О разрешимости сингулярного стохастического уравнения леонтьевского типа с импульсными воздействиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 517.9

MSC2010: 60H30, 60H10

О РАЗРЕШИМОСТИ СИНГУЛЯРНОГО СТОХАСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЛЕОНТЬЕВСКОГО ТИПА С ИМПУЛЬСНЫМИ

ВОЗДЕЙСТВИЯМИ1

© Е. Ю. Машков, Д. Н. Тютюнов

ЮГО-ЗАПАДНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

ул. 50 лет октября, 94, Курск, 305040, Российская Федерация e-mail: mashkovevgen@yandex.ru, tjutjunov@mail.ru

On solvability of singular stochastic Leontieff type equation with impulse action.

Mashkov E. Yu., Tyutyunov D. N.

Abstract. By a stochastic Leontief type equation we mean a special class of stochastic differential equations in the Ito form, in which both in the left-hand and right-hand sides there are rectangular real matrices that form a singular pencil. Besides, in the right-hand side there are a deterministic summand, depending only on time, and impulse action. It is supposed that the diffusion coefficient of the system is given by a matrix depending only on time. For investigation of this equation it is required to consider derivatives of sufficiently high orders from the free terms, including the Wiener process. In connection with this, to differentiate the Wiener process, we apply the machinery of Nelson mean derivatives of random processes, which makes it possible to avoid using the theory of generalized functions to the study of equations. As a result, analytical formulas are obtained for solving the equation in terms of mean derivatives of random processes.

Keywords: mean derivative, current velocity, Wiener process, stochastic Leontief type equation

Введение

Изучается система стохастических дифференциальных уравнений в Кп вида г г г

ц(г) = м Jc(s)ds + у /(э^в + <С(г) + У ро < г < т, 0 0 0

где \Ь + М — сингулярный пучок постоянных матриц размера п х т, причем в случае с квадратными матрицами Ь вырождена, Р(г) — коэффициент диффузии,

Исследование поддержано грантом РФФИ 18-01-00048

являющийся достаточно гладкой n х m — матрицей, f (t) — достаточно гладкая детерминированная вектор функция, зависящая от времени, Q — числовая n х n — матрица, ((t) — n-мерный процесс скачков, w(t) — винеровский процесс, £(t) — искомый случайный процесс.

Системы леонтьевского возникают работах Л. А. Власенко и др. [1, 2] при математическом моделировании динамики корпорации предприятий при использовании инвестирования. С применением данных систем в работах А. Л. Шестакова, Г. А. Свиридюка и А. В. Келлер [3, 4], изучается динамическое искажение сигналов в радиоустройствах. В работах O. Schein, G. Denk [5], T. Sickenberger, R. Winkler [6] рассматриваемые системы возникают при математическом моделировании колебаний и электрических цепей. Также отметим замечательную работу А. A. Белова, А. П. Курдюкова [7], в которой описаны многочисленные приложения систем леон-тьевского типа.

Для изучения данного класса уравнений требуется рассмотрение производных высших порядков от свободных членов [7, 8] — в данном случае, детерминированного слагаемого и винеровского процесса или белого шума. Известно, что производные винеровского процесса существуют только в смысле обобщенных функций, которые крайне трудны для применения в конкретных уравнениях. Это обстоятельство делает прямое исследование нашей системы сложным.

Следуя работам [9, 10], в которых был изучен данный класс уравнений без импульсных воздействий в правой части, мы для изучения решений рассматриваемых уравнений применяем аппарат производных в среднем по Нельсону от случайных процессов, для описания которых не применяются обобщенные функции. А именно, мы применяем симметрические производные в среднем (текущие скорости) винеров-ского процесса. Текущие скорости, в соответствии с общей идеологией производных в среднем, являются естественными аналогами физической скорости детерминированных процессов. В результате для рассматриваемой системы мы получаем физически осмысленные формулы для решений в терминах симметрических производных в среднем случайных процессов.

1. ПРОИЗВОДНЫЕ В СРЕДНЕМ

Рассмотрим стохастический процесс £(t) в Rn, t Е [0, /], определенный на некотором вероятностном пространстве (П, F, P) и такой, что £(t) является Li-случайной величиной для всех t. Известно, что каждый такой процесс порождает семейство а-подалгебр а-алгебры F «настоящее» N^, которое будем считать полным, т. е. пополненным всеми множествами вероятности нуль.

Ради удобства мы обозначаем условное математическое ожидание Е) относительно «настоящего», Л^? для £ (г) через Е?. Обычное ("безусловное") математическое ожидание обозначается символом Е.

Вообще говоря, почти все выборочные траектории процесса £ (г) не дифференцируемы, так что его производные существуют только в смысле обобщенных функций. Чтобы избежать использования обобщенных функций, согласно Нельсону [11], [12], даем следующее определение:

Определение 1 ([13]). (1) Производная в среднем справа Б£(г) процесса £ (г) в момент времени г есть Ь1-случайная величина вида

= 11т Е(+ ^ ^),

лг^+0 гк Аг '

где предел предполагается существующим в Ь\(0>, &, Р) и Аг ^ +0 означает, что Аг стремится к 0 и Аг > 0. (11) Производная в среднем слева Б*£(г) процесса £(г) в момент времени г есть Ь1-случайная величина

о = А Е? (^М)

где (как и в (1)) предел предполагается существующим в Ьх(0,, &, Р) и Аг ^ +0 означает, что Аг стремится к 0 и Аг > 0.

Следует отметить, что, вообще говоря, Б£(г) = Б *£(г), но если, например, £(г) почти наверное имеет гладкие выборочные траектории, эти производные очевидно совпадают.

Из свойств условного математического ожидания (см. [14]) следует, что Б£(г) и Б *£(г) могут быть представлены как суперпозиции £(г) и борелевских векторных полей (регрессий)

У0(г,х)= Иш Е?(£(г + Аг - £(г |£(г) = х) ; лг^+0 гк Аг '

У*0(г,х) = пш0Е?(£(г) -£(г-Аг |£(г) = х) лг^+0 Аг

на Яп, то есть, Б£ (г) = У0(г, £(г)) и Б * £(г) = У*0(г, £(г)).

Определение 2 ([13]). Производная Б^ = 1 (Б + Б *) называется симметрической производной в среднем. Производная Б а = 2 (Б — Б *) называется антисимметрической производной в среднем.

Рассмотрим векторные поля V? (г,х) = 2 (У0(г,х) + У*0(г,х)) и

и? (г,х) = 2 (У 0(г,х) — У°(г,х)).

Определение 3 ([13]). (Ь) = (Ь,£(Ь)) = Ds£(Ь) называется текущей скоростью процесса £(Ь); (Ь) = (Ь, £(Ь)) = называется осмотической скоростью про-

цесса £(£).

Текущая скорость является для случайных процессов прямым аналогом обычной физической скорости детермиинированных процессов (см. [13]). Осмотическая скорость измеряет насколько быстро нарастает «случайность» процесса.

Определяющую роль в наших конструкциях играет винеровский процесс ([13]), который мы обозначим символом Имеют место следующие

Лемма 1 ([9]). Пусть w(t) - п-мерный винеровский процесс, Р(Ь) - достаточно гладкая к х п-матрица, Ь € (0,Т). Тогда для любого Ь имеет место формула

г

Р(8^(8) = Р(Ь)^.

0

Лемма 2 ([13], [15]). Для Ь € (0,Т) имеют место равенства

БЦЬ) = 0, Б*ЦЬ) = ^, Dsw(t) =

2Ь

При целом к > 2

Ш2г - 1)

Dksw(t) = (—1) '

_ ( 1\к-1 ¿=1 _w(t)

2к Ьк .

2. Основной РЕЗУЛЬТАТ

Как уже было сказано выше, рассматривается система стохастических дифференциальных уравнений в Кп вида

г г г

¿£(Ь) = У М£(8)С18 + у /(8)^8 + <ЗС(Ь) + / Р(8)dw(8) , 0 < Ь < Т, (1) 0 0 0

где М + ЛЬ - сингулярный пучок матриц размера п х т, £(Ь) - искомый случайный процесс, гу(Ь) - винеровский процесс в Кт, Р(Ь) — достаточно гладкая п х т — матрица, << — числовая п х п — матрица, £(Ь) — п-мерный процесс скачков, /(Ь) - достаточно гладкая п-мерная вектор-функция. Для простоты изложения будем считать, что строки и столбцы пучка ММ + ЛЬ не связаны линейными зависимостями с постоянными коэффициентами. Процесс скачков £ (Ь) = £ (Ь, ш) задается следующим образом

N

с(Ь,ш) = ^ <Р(ш)х(Ь - Ьг), 0 < Ь1 < ■ ■ ■ < tN < Т,

Г=1

где х - функция Хевисайда, равная нулю для отрицательных значений аргумента и единице для неотрицательных, (г (ш) - случайные величины со значениями в Кп.

Из вида (1) понятно, что (для простоты) начальное условие для решения (1) предполагается вида

£ (0,ш) = 0. (2)

Скажем сразу, что для построенных нами ниже решений это условие не выполняется. Поэтому мы аппроксимируем решения процессами, которые удовлетворяют этому начальному условию, но становятся решениями лишь с некоторого (заранее заданного сколь угодно малого) момента времени г0 > 0 (см. ниже).

Формулы для решений задачи (1), (2) будем искать среди случайных процессов £(г,ш), которые удовлетворяют (в том смысле как описывается ниже) дифференциальным уравнениям

г г г

Ь£(г) — Ь£(0) = м J £(s)ds + у /(э^э + у р(э^(э), 0 < г < гъ

0 0 0 г г г

Ьт — Ь£(гг) = мI+//Ш., + !Рмм*, и <г < ^

гг гг гг

г г г

Ь£(г) — Ь£(гм) = м J + ! /(э^э + ! р(э^т(э), гм < г < т,

гМ % %

при всех г = 1, 2,..., N — 1, в точках гг удовлетворяют равенствам

Ь£(гг + 0, ш) — Ь£(гг — 0,ш) = <! (ш),г = 1, 2

и в начальный момент времени г = 0 удовлетворяют начальному условию (2).

Итак, процесс £(г) для решения задачи (1), (2) определяется последовательно для г = 0,1,... , N через случайные процессы £г(г), которые удовлетворяют уравнениям

г г г

Ь£0(г) — Ь£0(0) = М У £0(s)ds + ! /(э^э ^ Р(э^т(э), 0 < г < гъ (г = 0),

0 0 0

г г г

Ь£Г (0 - Ь£г (,) = м I £г + ! / + 1 ри < г <

гг гг гг

г г г

Ь£м(г) — Ь£м(гм) = М У £м(s)ds + ! /(э^э ^ Р(э^и)(э), ги < г < т,

гМ % %

г = 1, 2,...,Ы - 1, где

£о(0) = 0, Ь£г(и) = Ь^(¿г+ (СгМ, г =1,...,Ж

Как нетрудно видеть, уравнение (1) в общей форме неудобно для изучения, поэтому приведем его к некоторому каноническому виду. Для сингулярного пучка матриц М + \Ь имеется преобразование Кронекера-Вейерштрасса (описывается парой невырожденных матриц (операторов) Р^ и Рд размеров п х п и т х т соответственно), при котором матрица Р^МРд + ХР^ЬРц - квазидиагональна (см., например, [8]) и тогда уравнение (1) преобразуется следующим образом

г г г

РьЬРяР-1 Ш = У РьМРдР-1С(в)(1в + ] Рь1 Шв + ] РьР(в)^(в)

0 0 0

При соответствующей нумерации векторов базиса, в Ь = Р^ЬРд вдоль главной диагонали стоят в указанном порядке блоки следующих типов: N - жордановы клетки с нулями вдоль главной диагонали, Е - единичная матрица, А и О - прямоугольные матрицы указанного ниже вида (сингулярные клетки). В М = Р^МРд строках, соответствующих блокам Ь, стоят в указанном порядке такие блоки: Е - единичная матрица, К - некоторая квадратная матрица, В и Н - прямоугольные матрицы ука-

занного ниже вида (сингулярные клетки). Приведем матрицы А иВ

явном виде:

0 1 0. .. 0 0^ 1 0 . .0 0 0\

0 0 1. .. 0 0 0 1 . .0 0 0

А= ,В =

0 0 0. .. 1 0 0 0 . .1 0 0

0 0 0. .. 0 1 0 0 . .0 1 0

0 0. .0 0\ 1 0. . . 0 0\

1 0. .0 0 0 1. . . 0 0

О 0 1. .0 0 ,Н= 0 0. . . 1 0

0 0. .1 0 0 0. . . 0 1

0 0. .0 1 0 0. . . 0 0

Обозначим n(t) = P-1£(t), C(t) = PlP(t). В новых обозначениях (1), (2) принимает вид

t t t Lrj(t) = J Mn(s)ds + J Pl f (s)ds + j C(s)dw(s), (3)

0 0 0

V(0) = 0, (4)

Тогда, учитывая сказаное выше, формулы для решений r/(t) задачи (3), (4) определяется последовательно для r = 0,1,..., N через случайные процессы Пг (t), которые удовлетворяют уравнениям

t t t Ln0(t) - Ln0(0) = J Mn0(s)ds + J PLf (s)ds + j C(s)dw(s), 0 < t < ti, (5) 0 0 0

t t t Lnr(t) - Lnr(tr) = J M'qr(s)ds + J PLf (s)ds + j C(s)dw(s), tr < t < U+i, (6)

t t t LVN(t) - LVn(tN) = j MnN(s)ds + J PLf (s)ds + j C(s)dw(s), tN < t < T, (7)

tN tN tN

r = 1,... ,N — 1, где

щ(0) = 0, Lnr(tr) = Lnr-i(tr,ш) + Q(r(ш), r =1,...,N (8)

и Q = PlQ.

Замечание 1. Как было отмечено выше, для построения процесса, описывающего модель, заданную уравнениями (5), (6) и (7), нужны производные свободных членов (включая винеровский процесс). Производные винеровского процесса существуют только в смысле обобщенных функций. Поэтому, чтобы избежать использования обобщенных функций, мы для построения процесса, описывающего модель, заданную (5), (6) и (7), будем использовать симметрические производные в среднем (текущие скорости) DW для случайных процессов. В этой работе для вычисления симметрических производных высших порядков будет использоваться а-алгебра «настоящее» винеровского процесса. Отметим, что для вычисления производных в среднем можно использовать и какую-либо другую а-алгебру, но тогда формулы для вычисления симметрических производных высших порядков от винеровского процесса изменятся.

Нетрудно заметить, учитывая квазидиагональную структуру матриц Ь и М, что задачи (3), (4) и (5), (6), (7), (8) распадаются на несколько независимых систем уравнений четырех типов (каждой паре соответствующих блоков в Ь и М соответствует уравнение определенного типа). Обозначим через я(¿), "$(*), п(*), компоненты вектора п(*), соответствующие парам блоков N и Е, Е и К, А и В, О и Н соответственно. Также через и(*), !>(*), д(*), ¿(¿) обозначим соответствующие компоненты вектора Р/(¿), а через Ср+1 (¿), Сд+1(^), С1 (¿), обозначим соответствующие

блоки матрицы С(¿). Исследуем каждый тип уравнений.

Паре матриц N и Е размера (р + 1) х (р + 1) соответствует система типа

г г г

(*) - (*г ) = у яг (в)йв + у и(в)йв + у Ср+1(в)^(в).

гг гг гг

¿г < * < ¿г+1, г = 1, 2,..., N - 1.

В координатной форме это уравнение имеет вид

010 0 0 1

000 000

0

1 0

(я1(*)

Яг2(*)

\яР+1(*)У ( Л(я1(в)+ и1(в))^в \

010 0 0 1

000 000

0\ / ял*г) - 2

яг (¿г

1 0

Яг2(*г )

ЯгР(*г ) \ЯгР+1(*г )/

Г (Яг2(в)+ и2(в))йв

Л (яР(в)+ ир(в))йв

V/; (яр+1(в)+ир+1(в))^ву

+

( с1(в) с1(в) с?(в) с2(*)

+

ст-1(в) ст(в) х\

Ст-1(в) Ст(в)

Ст-1(в) Ст(в)

ст-1(в) е1(в)/

^1(в) \

( т1 т2(в)

т

т— 1

V

с?(в) ср(в)

чср+1(в) с2+1(в)

Из последнего уравнения системы (10) получаем, что

г г

т

/ (я^1 (в) + ир+1(в))йв = - ^ ср+1(в)йт^'(в).

(в)

тт(в) у

(9)

10)

г

Поскольку текущая скорость (симметрическая производная в среднем) соответствует физической скорости, из этого уравнения мы находим яР+1(1) применением к обеим частям производной . Тогда с применением Леммы 1 мы получаем, что

т э (+)

= -пр+1(ь) - £ ^(г) Э-. (11)

3 = 1

Из предпоследнего уравнения системы (10) мы получаем, что

г г

„ т

Я?+1(Ь) = ! (<*(в) + ПР(в)^8 + £ У (в)

гг э и

откуда, проведя рассуждения, аналогично сделанным выше, выводим

г

т

<*(г) = -пр(г) + яр+1(г) - £ у (в).

Подставив в последнее равенство выражение для из (11) и применив Леммы

1 и 2, получим

duP+1 _ ^ dcp+1

qp(t) = - ^- - up(t) -у w- + Y cp+i w -Y сw- (12

r W r f W Z-^ r f Of i A+2 i Of v

Также получаем

dt " ^ dt 2t ' ^ ^ 4t2 ^~i 2t i=i i=i i=i

i = ^d2up+__ dup _ up-i_

^r = dt2 dt

■m d2Cp+l wl -m dCp+i wl -m V+i 3wl

- ^ dt2 2 + ^ dt 4P - ^ l W-i=i i=i i=i

m , p i m i m i

\^dcp w cp w STs-iw (13)

=i =i =i

В точности аналогично, для 1 < г < р мы получаем рекурентную формулу

m

г

4® = я1+1(1) - 4(*)<М(в) - пг. (14)

С помощью Лемм 1 и 2 по формуле (14) нетрудно получить явное выражение для любого ягг (Ь)

г = _ A dk-i+iuk+i г_т dci+i wi ^ = ' < dtk-i+i u ^ dt 2t

к=г i=i

+ гг+1 т__у^ сг т+

1=1 -=¿+1 1=1

+^.^-¿+1 П;-1+1 (2^- - 1) +

+ С1 ( 1) о*-;+2 ^-¿.+2 +

-в-г+1-кс*+1 ГГк , (2? — 1) 7,,1(+) ™ 7,,1

+ С«-г+1 й**-г+1-к ( 1) 2к+1 } ^ С 2*, (

к=1 1=1

п1!

1 < г < р -1,

П; к1!(п1 - к1)!

Отметим, что для уравнений вида (9), заданных на промежутках [0, * 1 ] и [¿^, Т], справедливы при 0 < * < и ^ < * < Т соответственно аналогичные формулы для решений. При этом найденные процессы удовлетворяют ограничениям (8) в том случае, если компоненты случайной величины (ш), соответствующие жордановым клеткам с нулями по главной диагонали в Ь, равны нулю.

Стало быть, компоненты процесса я¿(*) при 0 < * < Т находятся из следующих соотношений

яр+1(*) = -ир+1(*) - £ ср+1(*) ^, (16)

.7 = 1

1=1 1=1 1=1

= -- ир(*) - у ^т + у ср+1 т - у ср(17)

я ¿(*) = -£ - и-Е-

&=г 1=1

т т1 р т («-»+1с«+1 т1

+ „¿+1 у^ у г с1 т+

+ ^ 1 4*2 ^ (**-г+1 2* +

1=1 -=¿+1 1=1

+с*+1(_ ^-¿+1 П*-1+1 (2.7 - 1) т1(*) +

+ С1 ( 1) о*-;+2 ^-¿.+2 +

+ Ск -_С1 ( 1)^Ь = 1(2^ 1) т т (18)

+ С«-»+1 -**-г+1-к ( 1) 2к+1 *к+1 } ^ с 2* , ( )

к=1 1=1

1 < г < р - 1,

Для пары матриц Е и К размеров (д + 1) х (д +1) получаем систему в Д9+1 типа

г г г

(*) - (*г) = К У (в)-в ф)-в + у Сд+1(в)-т(в), (19)

гг гг гг

и < Ь < и+1, г = 1, 2,...,Ы - 1.

Для этого уравнения известна аналитическая формула для решений (см. [16])

г г

0Г « = е-< > Л ) + / ^ ^ + / е^>С,+<(г )Мг У

гг г г

Для уравнения вида (19), заданных на промежутках [0,Ь1] и [Ь^,Т], справедливы аналогичные формулы для решений. Суммируя все $г (Ь), получаем выражение для

т

N

m = Y eK(t-tr]QCr(u)x(t - tr)+ eK(t-T)v(r)dr + eK(t-T>C+ (r)dw(r),

r=i

где из произведения Q(r (ш) берутся только элементы из Кя+1.

Рассмотрев пару матриц А и В размера I х (I + 1), получим систему вида

(20)

Anr(t) - Anr(tr)= Bnr(s)ds + g(s)ds + Ci(s)dw(s),

(21)

tr < t < tr+i, r = 1, 2,..., N - 1.

В координатной форме это уравнение имеет вид

/0 1 0 ... 0 0\ ( гп1(Ь)\ /0 10 . 00

0 0 1

000 000

10 01

n2(t)

nlr (t)

\4+i(t)J 10 01

00 00

0 0 1

0 0 0 ... 1 0 \0 0 0 ... 0 1/

0 0^ ( ni(s) \

00 00

000

100 010

vt(s)

4 (s)

\vlr+i(s)/

( ni (tr)

(tr)

nlr (tr ) \nlr+i(tr )/

ds+

t

t

t

t

t

t

т. е.,

+

/ 21(з) \ ( С1(з) с2(з) . . ^^ ^ / и1 (з) \

22 (з) г йз + / с?(в) с (О (О . ст(з) и)2 (з)

21-1(з) 3 с1-1(з) с2-1(з) . . Ст (з) ит-1(з)

V 21(5) / V с1(5) с2(з) . . ст(з) у У ит(з) у

Пг2(*) - )= /(^(3)+ 21 (в))^ + £ / (в),

¿=1

п3(

(*) - П?(*г) = / (п2(з) + (*))Ж + £ / (3)

¿=1

г г

г. т г.

(*) - ) = у (пГ(3) + ^ у с' (^(в).

Это означает, что можно взять в качестве пГ+ произвольный случайный процесс, удовлетворяющий ограничениям (8) и для которого можно найти симметрическую производную порядка /, а потом рекурентно получить все остальные компоненты процесса пг. Дело обстоит таким образом потому, что в системе число неизвестных на единицу больше, чем число уравнений, т.е. система недоопределена. Аналогично случаю первой независимой системы, имеют место формулы:

пГ(*) = ^- £ с;-^ - 2^);

¿=1

(22)

п\к

(*) = / (пГ-1(з) + 2-1(я))Ж + £ / с*-1(в)^(з);

;=1

т ^с; и

;=1

Точно также, для 1 < г < I получаем

1 -- V с1-1 — - _ 21-1 ;=1 ;=1 ;=1

4

пГ(*) = ^пГ+1 - с;(^(з) - £*(*).

(23)

(24)

4

4

г

4

г

г

г

С помощью Лемм 1 и 2 по формуле (24) получаем явное выражение для любого пГ (Ь),

1, 2,..., N — 1:

i-i Jk-i+i r,k+i

dg

^k-г+л--g

k=i

dtk-i+i

j=i

+

dt 2t

+£

i+i j

wJ

4t2

i- i m £ £ {

j=i s=i+i j=i

rs-i+i.

ds-i+icsi+i w -j---+

dts-i+i 2t

sS+U ns-rnlKK^-ii wj (t)

+C+i(-1)

2s-i+2 ts-i+2

+£ c

ds-i+i-kcs+', ^Jll^r - 1) wj(t)

k=i

s-i+i dts-i+i-k

-(-1)

2k+i tk+i 1<i<l-2

}- £ j I + d's1

j=i

-i'qi+i,

(25)

Нетрудно заметить, что для уравнений вида (21), заданных на промежутках [0 , Ь\] и [Ь^ ,Т ], имеют место при 0 <Ь < Ь1 и < Ь <Т соответственно аналогичные формулы для решений. Также в качестве пГ+1 берется произвольный случайный процесс, удовлетворяющий требованиям (8) и для которого можно найти симметрическую производную порядка I. При этом найденные процессы удовлетворяют ограничениям (8) в том случае, когда компоненты случайной величины QZr (ш), соответствующие сингулярным клеткам А и В, равны нулю. Таким образом, для нахождения п(Ь) при 0 < Ь < Т имеют место формулы

ni(t) = D'sпГ+_ Cj - gi(t); j=i

w

m j -i j m j m

n'-i(t) = Dl - £ dj w + £ j wj - £ ¿fi

dt 2t ' ^ 4t2 ^ j j=i j=i j=i

w ~2t

l-i

£

k=i

dk-i+i gk+i dtk-i+i

£

j=i

dC+i

wj

dt 2t

+

m +£

j=i

w

4t2

l-i m £ £ {

s=i+i j=i

dts-i+i 2t

+

+c

s+i{-1)s-l+iП:=1+1(2г - 1) wj(t)

2s-i+2

s-г

ds-i+i-k j+i

+ \ Ck _

~ Z—t s-i+i dts-i+i-k k=i

2k+i

tk+i

ts-i+2 }-

+

dgl ~dt

j-1

wj (t)} - у4 c wj + Di+i-ij+i

^ j 2t 3 = i

n

(26)

(27)

r

n

r

f

n

1 < г < I - 2

И, наконец, для матриц О и Н размера (й +1) х й имеем систему типа

г г г

¿г ¿Г ¿Г

< * < *г+1, г = 1, 2,...,Ж - 1. В координатной форме получаем систему вида /0 0 ... 0 0\

1 0 01

00 00

00 00

10 01

(ад

V #(*) )

0 0. .0 0

1 0. .0 0

0 1. .0 0

0 0. .1 0

0 0. .0 1

ад)

ад^)

V

'Г\ЬТ

(29)

или

0 1. .0 0

0 0. .1 0

0 0. .0 1

0 0. .0 0

( ¿100 ад

+

(з )

0?-1(з) V

йз +

с2(в)

¿2(*)

С,т(з ¿т(з)

( ^

г2(з) и2(з)

гт(в) ит-1(з)

¿т+1(^у V ит(з) у

г г

т

0= /(^(в) + + £ / (з)

г~ ;=1 г_

¿2 (з),

;=1

г г

т

/ ^^ , , £ / (з),

^ / ;

гГ ;=1 г:

а

г

г

г

г

г

t t m

^d(t) = I zd+1(s)ds + £ ¿^(s)-—(s).

Начиная с первого уравнения, последовательно получаем

t

m f m j /, \

01(t) = -z1(t) - DW ^ Cj1(s)dwj(s) = -z1 - £ cj—^, (30)

j=i tr j=1 t

m

0?(t) = -z2(t) + DW01 - DW c2(s)d—j(s) =

;=1 ;=1 ;=1 Как и ранее, для 2 < г < й имеет место рекурентная формула

г

т

#(*) = -*<(*) + ^^ - ^ £ ^ ¿;(з).

Тогда

0Г (t) = -z^t) -

dt dti—1

t t t m m m

-Ds £ / cj(s)d—j(s) - D| £ / cj-1(s)dwj(s) - ... - DS £ / cJ1(s)dwj(s)

j tr j tr j tr

m j m i—1 j

£ cj — - £ £ DSj —j

j=1 j=1 p=1

Следовательно, применяя Леммы 1 и 2, получаем при г > 3 следующее

г-1 di—pzp ™ — ™ dci—1

(t) = _ V Z - Zi - V сг — - V — +

(t) dti—p Z ^Cj 2t ^ dt 2t +

p=1 j=1 j=1

m j m i— 1 /TpC^—P j

+ v ci—1 —j - Wi+

+ Cj 4t2 dtp 2t +

j = 1 j = 1 p=2

+ P-1 -p—1cj—p ( w ПГ=1 (2r - 1) —j + Ci—p( x)pПР=1 (2r - 1) —j +cp dtp—i (-1) 2+ ¿г+т + cj (-1) 2P+1 ¿Р+1(32)

l=1

а также условие согласования

г г

т

/4 1, р

га+1(в)(в + £ С'}+1(в)(—3 (в) = ваг(1).

и 3=1 и

Если компоненты гг и —г не удовлетворяют этому условию, то система не имеет решений. Здесь число уравнений на единицу больше, чем число неизвестных, т. е. данная подсистема переопределена.

Легко видеть, что для уравнений вида (29), заданных на промежутках [0,1^ и [1м ,Т ], справедливы при О < 1 < 11 и < 1 <Т соответственно аналогичные условия согласования и формулы для решений. При этом, найденные процессы удовлетворяют условиям (8) в том случае, если компоненты случайной величины Q(r(ш), соответствующие сингулярным клеткам О и Н, равны нулю.

Стало быть, при 0 < 1 < Т имеют место при выполнении условий согласования г г

т

/I III г.

га+1(в)(в + ^ у Са3+1(в)(—3(в) = ваг(1) (33)

0 3=1 1Г соотношения для определения компонент вг(1)

— (1)

в1 = -г1 с*^, (34)

3 21 3 = 1

- ^ - £Ш+£3 - £3 (35)

3 = 1 3 = 1 3 = 1

г-1 (Ц-ГгГ , т Лс\-1 из

вг(Ь) = -У - гг -У с* - - V

аг-Р ^ 3 2г ^ (Ь 21

Р=1 3=1 3=1

т 3 т г-1 1р^-р 3

+ VГ-1 --Х^ VI( с3 —+

+ ^ 3 (Ьр 2Ь

3=1 3 = 1 Р=2

+ ^ с1 ( 1)1 ПГ=1 (2Г - 1) — + сг-р ( х)р ПР=1 (2Г - 1) —3 + ср (+р-1 (-1) 2+1 1+ + с3 (-1) 2р+1 ¥+1(36)

1=1

Перейдем к вопросу о нулевых начальных условиях для решений систем (9), (21), (29) (при г = 0). Принимая во внимание определение симметрических производных в среднем, нетрудно заметить, что они корректно определены только на открытых промежутках времени, поскольку в их конструкции использованы как приращения по времени вправо, так и влево. Тогда из формул (11), (12), (13), (15), (22), (23),

(25), (30), (31) и (32) видно, что решения п'(*> описываются как суммы, в которых каждое слагаемое содержит сомножитель вида , к > 1. Следовательно, решения стремятся к бесконечности при * ^ 0, т. е. значения решений при * = 0 не существуют. Один из вариантов разрешения указанной ситуации (как и в [15]) состоит в следующем. Зафиксируем сколь угодно малый момент времени *0 € (0,Т) и зададим функцию *0(*> формулой

*(*) = Ь если 0 < * < *0; (37)

I если *0 <

Элементы ^ в формулах (11), (12), (13), (15), (22), (23), (25), (30), (31) и (32), а следовательно ив формулах (16), (17), (18), (26), (27), (28), (34), (35) и (36), заменим на . Полученные процессы в момент времени * = 0 будут принимать нулевые

значения, однако они станут решениями только при *0 < * < Т. Отметим,

+(1) +(2) 4- ^ /+(1) +(2)\

что для двух разных моментов времени ¿0 и ¿0 при * > тах(*0 , *0 ) значения соответствующих процессов п.н. совпадают.

Таким образом, суммируя выше сказанное, мы доказали следующее утверждение

Теорема 1. Пусть М + ЛЬ - сингулярный пучок матриц размера п х т, у которого строки и столбцы не связаны линейными зависимостями с постоянными коэффициентами, <3 - п х п-матрица, f (*) - достаточно гладкая п-мерная вектор-функция, 0 < * < Т; пусть 0 < *1 < ■ ■ ■ < < Т; Р^ и Рд - невырожденные матрицы размеров п х п и т х т соответственно, приводящие пучок ЛЬ + М к канонической форме Кронекера-Вейерштрасса (т. е. к квазидиагональному виду), Ь = Р^ЬРд и М = Р^ММРд, < = РсЗ; пусть (ш), г = 1, 2,..., N - случайные величины со значениями в Кп, такие, что компоненты случайной величины (ш), соответствующие жордановым и сингулярным клеткам по главной диагонали в Ь, равны нулю; пусть ((*,ш) = (г(ш)х(* - *г), где х - функция Хевисайда, равная нулю для отрицательных значений аргумента и единице для неотрицательных. Тогда: 1) уравнение (1) трансформируется к каноническому уравнению (3), которое распадается на независимые подсистемы уравнений; 2) для подсистемы в Кя+1, соответствующей единичной матрице в Ь и (д + 1) х (д + 1)-матрице К в М, имеет, место аналитическая формула для решений вида (20); 3) для подсистем, соответствующих жордановым клеткам в Ь размера (р + 1) х (р + 1) с нулями по главной диагонали и единичным матрицам в М, при 0 < * < Т имеют место соотношения для нахождения решений вида (16), (17) и (18); 4) для подсистем, соответствующих сингулярным клеткам из М + ЛЬ размера I х (/ + 1), при 0 < * < Т имеют место

формулы для нахождения решений вида (26), (27) и (28); 5) для подсистем, соответствующих сингулярным клеткам из M + XL размера (d +1) х d, при 0 <t<T имеют место при выполнении условий согласования (33) соотношения для нахождения решений вида (34), (35) и (36); 6) зафиксировав сколь угодно малый момент, времени t0 > 0, мы в знаменателях процессов, удовлетворяющих приведенным в пунктах 3)-5) соотношениям, заменяем t на t0(t) по формуле (37) и получаем процессы, которые при t = 0 принимают нулевые значения, но становятся решениями только при t0 < t < T.

Список ЛИТЕРАТУРЫ

1. Власенко Л. А. Об одной стохастической модели динамики предприятий корпорации / Л. А. Власенко, Ю. Г. Лысенко, А. Г. Руткас // Экономическая кибернетика.- 2011. №1-3 (6769). С. 4-9

VLASENKO, L. A., LYSENKO, YU. G., RUTKAS, A. G. (2011) About one stochastic model of enterprise corporations dynamics. Economic Cybernetics. No. 1-3 (67-69). Pp. 4-9

2. VLASENKO L. A., LYSHKO, S. L., RUTKAS, A. G. (2012) On a stochastic impulsive sustem. ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine. No. 2. P. 50-55.

3. Шестаков А. Л. Новый подход к измерению динамически искаженных сигналов / А. Л. Шестаков, Г. А. Свиридюк // Вестник Южно-Уральского государственного университета. - 2010. - № 16 (192). - С. 116-120.

SHESTAKOV, A. L., SVIRIDYUK, G. A. (2010) A new approach to the measurement of dynamically distorted signals. Vestnik of South Ural State University. — No. 16 (192). — P. 116-120.

4. SHESTAKOV, A. L., KELLER, A. V., SVIRIDYUK, G. A. (2014) The theory of optimal measurements. Journal of Computational and Engineering Mathematics. Vol. 1. No. 1. P. 3-16.

5. SCHEIN, O, DENK, G. (1998) Numerical solution of stochastic differential-algebraic equations with applications to transient noise simulation of microelectronic circuits. Journal of Computational and Applied Mathematics, Vol. 100, No. 1, P. 77-92, Nov. 1998.

6. SICKENBERGER, T, WINKLER, R. (2007) Stochastic oscillations in circuit simulation. PAMM-Proc. Appl. Math. Mech.. Vol. 7, Issue 1. P. 4050023-4050024.

7. Белов А. А. Дескрипторные системы и задачи управления / А. А. Белов, А. П. Курдюков // М.: АНО Физматлит, 2015. — 272 с.

BELOV, A. A., KURDYUKOV, A. P. (2015) Descriptor systems and control problems. M .: ANO Fizmatlit. — 272 p.

8. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. — М.: Физматлит, 1967. — 575 с. GANTMAKHER, F. R. (1967) The Matrix Theory. Moscow. Fizmatlit. — 575 p.

9. GLIKLIKH, YU. E., MASHKOV, E. YU. (2015) Stochastic Leontieff type equation with non-constant coefficients. Applicable Analysis: An International Journal. — Taylor and Francis. — Vol. 94, Issue 8. — P. 1614-1623.

10. MASHKOV, E.YU. (2017) Singular Stochastic Leontieff type equation with depending on time diffusion coefficients. Global and Stochastic Analysis. Vol. 4 No. 2, September (2017). P. 207-217

11. NELSON, E. (1966) Derivation of the Schrodinger equation from Newtonian mechanics. Phys. Reviews. — Vol. 150, No. 4. — P. 1079-1085

12. NELSON, E. (1967) Dynamical theory of Brownian motion. — Princeton: Princeton University Press. — 142 p.

13. GLIKLIKH, YU. E. (2011) Global and Stochastic Analysis with Applications to Mathematical Physics. — London: Springer-Verlag. — 460 p.

14. Партасарати К. Р. Введение в теорию вероятностей и теорию меры / К. Р. Партасарати. — М.: Мир, 1988. — 343 с.

PARTASARATI, K. R. (1988) Introduction to Probability Theory and Measure Theory. Moscow: Mir. — 343 p.

15. Гликлих Ю. Е. Стохастические уравнения леонтьевского типа и производные в среднем случайных процессов / Ю. Е. Гликлих, Е. Ю. Машков // Вестник Южно-Уральского государственного университета. — 2013. — Том 6, № 2. С. 25-39.

GLIKLIKH, YU. E., MASHKOV, E. YU. (2013) Stochastic Leontieff type equations and mean derivatives of stochastic processes. Bulletin of the South Ural State University. Series Mathematical Modelling, Programming & Computer Software. — Vol. 6. — Issue 2. — P. 25-39.

16. GIHMAN, 1.1., SCOROHOD, A. V. (1979) Theory of stochastic processes. Vol. 3. New York (NY): Springer-Verlag.