О разрешимости одной начально-граничной задачи для вырождающегося уравнения высокого четного порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Math-Net.Ru

А. К. Уринов, Д. Д. Орипов, О разрешимости одной начально-граничной задачи Для вырождающегося уравнения высокого четного порядка, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2023, номер 4, 621-644

001: 10.14498^^2023

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 109.252.33.182

29 сентября 2024 г., 12:15:41

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2023. Т. 27, № 4. С. 621-644_

ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) d https://doi.org/10.14498/vsgtu2023

EDN: AYWFBD

УДК 517.956

О разрешимости одной начально-граничной задачи для вырождающегося уравнения высокого четного порядка

А. К. Уринов1'2, Д. Д. Орипов1

1 Ферганский государственный университет, Узбекистан, 150100, Фергана, ул. Мураббийлар, 19.

2 Институт математики имени В. И. Романовского АН Республики Узбекистан, Узбекистан, 100174, Ташкент, ул. Университетская, 46.

Аннотация

Рассмотрено вырождающееся дифференциальное уравнение в частных производных высокого четного порядка в прямоугольнике. Для рассматриваемого уравнения сформулирована одна начально-граничная задача и исследованы единственность, существование и устойчивость её решения. Единственность решения задачи доказана методом интегральных тождеств. Существование решения задачи исследовано методом разделения переменных. Здесь сначала исследована спектральная задача для обыкновенного дифференциального уравнения высокого четного порядка, вытекающая из поставленной задачи при разделении переменных. Построена функция Грина спектральной задачи. С её помощью спектральная задача эквивалентно сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с симметричным ядром. Отсюда на основании теории интегральных уравнений заключено, что существует счетное число собственных значений и собственных функций спектральной задачи. Найдены условия, при которых заданная функция разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям спектральной задачи. C использованием свойств функции Грина и собственных функций спектральной задачи доказана лемма о равномерной сходимости некоторых билинейных рядов. Доказаны также леммы о порядке коэффициентов Фурье заданной функции. Решение изучаемой задачи выписано в виде суммы ряда Фурье по системе собственных функций спектральной задачи. Равномерная сходимость этого ряда и рядов,

Дифференциальные уравнения и математическая физика Научная статья

© Коллектив авторов, 2023 © СамГТУ, 2023 (составление, дизайн, макет) 3 ©® Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru) Образец для цитирования

Уринов А. К., Орипов Д. Д. О разрешимости одной начально-граничной задачи для вырождающегося уравнения высокого четного порядка // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2023. Т. 27, № 4. С. 621-644. EDN: AYWFBD. DOI: 10.14498/vsgtu2023. Сведения об авторах

Ахмаджон Кушакович Уринов А https://orcid.org/0000-0002-9586-1799

доктор физико-математических наук, профессор; профессор каф. математического анализа и дифференциальных уравнений1; ведущий научный сотрудник2; e-mail: [email protected]

Дастонбек Дилшодбек угли Орипов © https://orcid.org/0000-0002-0212-6964 базовый докторант; каф. математического анализа и дифференциальных уравнений1; e-mail: [email protected]

полученных из него почленным дифференцированием, доказана с помощью лемм, перечисленных выше. В конце статьи получены две оценки для решения поставленной задачи, одна из которых — в пространстве квадратично суммируемых функций с весом, а другая — в пространстве непрерывных функций. Из этих неравенств следует устойчивость решения в соответствующих пространствах.

Ключевые слова: вырождающееся дифференциальное уравнение, начально-граничная задача, спектральная задача, существование, единственность и устойчивость решения, метод разделения переменных.

Получение: 14 мая 2023 г. / Исправление: 9 октября 2023 г. / Принятие: 13 декабря 2023 г. / Публикация онлайн: 23 декабря 2023 г.

Введение

Рассматривается вырождающееся уравнение высокого четного порядка вида

д2п , д2пи,

д^ [ха д^) + и« + + Ьи = ; (М) (1)

в прямоугольнике П = {(ж,¿) : 0 < х < 1; 0 < I < Т}. Здесь и(х, ¿) — неизвестная функция; f (ж,£) — заданная функция, а а, 7, Ь, п € М — заданные числа, причем 0 < а < 1, 0 ^ ^ < 1/2, Ь ^ 0, п € N.

Из уравнения (1) при 7 = Ь = а = 0, п = 1, /(ж,£) = 0 следует уравнение, описывающее свободное колебание балки, которое имеет многочисленные приложения в строительной механике, авиастроении, машиностроении, судостроении и т.д. [1-5]. В работе [6] для данного частного случая уравнения (1) изучена начальная задача, а в работах [7-13] —различные начально-граничные и обратные задачи. Для уравнений четвертого порядка, описывающих колебания прямоугольной пластинки, в работах [14-15] изучены различные начально-граничные задачи; уравнения колебаний балки в многомерном случае рассматривались в работе [16].

Обратим также внимание на работы [17-22], в которых ставятся и изучаются различные начально-граничные задачи для уравнений в частных производных высокого четного порядка с различными локальными и нелокальными граничными условиями.

Отметим, что в работах, посвященных изучению начально-граничных задач, в качестве объекта исследования в основном взяты невырождающие-ся уравнения. Начально-граничные задачи для вырождающихся уравнений в частных производных высокого четного порядка изучены сравнительно мало. В частности, в работах [23-25] для уравнений четвертого порядка с тремя линиями вырождения изучены локальные и нелокальные начально-граничные задачи. В работах [26-27] рассматриваются вырождающиеся дифференциальные уравнения 2к порядка и исследованы задачи с граничными условиями вида

д з и дхэ

о ^и

х=о ' дхз

= 0, 3 =0,к - 1,

х=1

а в работах [28, 29] — с условиями вида

rß и dxi

dk+j u

х=о ' dxk+i

= 0, j = 0,k - 1.

х=1

В настоящей работе в области О для уравнения (1) формулируется и исследуется начально-граничная задача с условиями на х = 0 и х = 1, связанными со значениями частных производных искомой функции четного порядка по х.

1. Постановка задачи

Задача А\. Найти функцию и(х,£), обладающую следующими свойства-

ми:

1) (&>/dxj)u, (dj/dxj)[xa(d2n/dx2n)u] e С(Q), j = 0, 2n - 1; t2^ut e С(Q); (d2n/dx2n)[xa(d2n/dx2n)u] e С(Q); (utt + 2rut) e С(Q);

2) в области Q удовлетворяет уравнению (1);

3) на границе области Q выполняются следующие начальные и граничные условия:

и(х, 0) = <р(х), х e [0,1]; lim t2jщ = ф(х), х e (0,1); (2)

t^Q

2n

= 0,

х=0

, \ д22 ( п д2п , .ч

9^7^ х=о = 0, ^27 {хд^ПФА)

д2 д2 ( д2п \

8x27<х, V х=1 = 9^7 Г ^П<х, V) х=! = (3)

з =0,п - 1, £ е [0,т],

где ф(х) и ф(х) — заданные функции.

Отметим, что эта задача при а = 7 = Ь = 0, п = 1 была ранее изучена в работах [8, 10] для уравнения балки, а в работе [9]—для нелинейного уравнения балки. В работе [10] изучены обратные задачи с граничными условиями вида (3) при а = 0, п = 1 для уравнения балки, а в работах [14, 15] — начально-граничные задачи с такими же граничными условиями для уравнения колебания пластины. Задача А1 при а = 0 и другие задачи типа А1 для уравнения

27 д2т

иа + + МГ ^ и = } (М)

изучены в работах [20, 22].

Исследуем существование, единственность и устойчивость решения поставленной задачи А1.

2. Единственность решения задачи А\

Теорема 1. Задача А1 не может иметь более одного решения.

Доказа тельство. Предположим, что существуют два решения и1(х, ¿) и и2(х,Ь) задачи А1. Их разность обозначим через и(х,Ь). Тогда функция и(х,Ь) удовлетворяет уравнению (1) при f (ж,£) = 0, а условиям (2) и (3) — при <р(х) = ф(х) = 0.

Пусть УТо € (0, Т], а По = {(х,г) : 0 <х < 1, 0 <г < То}. Очевидно, что С П. Введем следующую функцию:

гТ,о

ш(х, г) = -у С21и(х, £)с1£, (х, г) € По.

Эта функция обладает следующими свойствами:

1) (д^/дхз )ш, (д^/дх^ )[ха(д 2п/дх2п)ш] € С (По), 3 = 0,2п - 1; ^ ин, г21§-г (Ъ21 ил) € С (По);

2) удовлетворяет условиям (3) при £ € [0,То].

Рассмотрим уравнение (1) при /(х,Ь) = 0, умножим его на функцию г21 ш(х,г) и проинтегрируем полученное равенство по области По:

д2п дх2п

х

,д 2пи(х,г) дх2п

+

+-21I

^ ди(х^ ¿) + Ьи(х,^ (Мх = 0.

Перепишем полученное в виде

Т,

«г

д:

2п

Л '"к ш{х'()о**«

г 1 г То д

+ .1о ёХ]о Ш(Х,'] дЬ

ди(х, г) дх2п

йх +

21 ди(х, г)

ъ М

г 1 ¡-То

(М + йх Ы2,1 ш(х,1)и(х,1)(И = 0. оо

Теперь, применяя правило интегрирования по частям к первым двум внутренним интегралам, получим выражение

То

ш(х, {)

д2

\п-1

д2пи(х, ¿) \ дш(х, Ь) д2

\п-2

дх2п-1

дх2п

дх дх2п-2

з2п-1

X

,д 2пи(х,г)

дх2п

+

+----

д2п-1ш(х,г) ( а д2пи(х,г)

дх2п-1

х

дх2п

х=1

х=о

м +

(■То /■1 р2п

+ г21 м Ха

оо г 1

д2пщ(х,г) ди(х, г) дх2п дх2п

йх +

+

ш

(х, г)?1

ди(х, 1)

сН

г=То гТ°

ди(х, 1)

шг(х, 1)121 г=о зо

1 гТ,о

М

йх +

1 То

+ йх Ы21ш(х, ¿)и(х, £)(И = 0, оо

из которого в силу свойств функций ш(х, Ь) и и(х, Ь) следует равенство

Г (д2ПШ(Х, *) 92Пу'(Х, *) Нт - ((Т° *21 дШ(Х, *) 9и(Х, *) к 1оХ 9х2п дх2- ах ]о йХ1о т дь

м +

о

То

1 То

+ йх Ы21ш(х, ¿)и(х, £)(И = 0. оо

а

X

а

X

о

о

Отсюда, учитывая равенства

,дш д2п и о,,д2п+1ш

и

= /27 д^ д и = /27'

= 1 , Я„.2п. = 1

дЪ' дх2п дх2пд1 имеем

1 [То 47д2пш(х, г)д2п+1 ш(х, *) , Г\ Гт° ди(х, *) ,

х°»х I 11 -щ*1 д^х ) *- 1"х I и(х ^-ж2*+

¡'1 Гт° д

+ *х Ы41ш(х, Ь)—ш(х, Ь)(И = 0. ]о Уо дI

Далее, принимая во внимание равенства ( ди(х, ¿) = 1 д_ г, ,)т 2 д2пш(х, ¿) д 2п+1ш(х, ¿) = 1 д_ г д2пш(х, ¿)

4х, V ^ =2 ^ ' дх2пд1 = 2 дЪ У дх2п

д2 п

д^^То)=0, и(х' 0)=0

и применяя правило интегрирования по частям к интегралам по Ь при 0 < < 7 < 1/2, получим

£ и2(х, Т0)(х + 47 ^1 (х£° Ь41-1^ха [^ ^ ]2 + Ъш2(х, = 0,

а при 7 = 0 имеем

11

.2/™ ГТ1 N7 , / «

/О 70

дш(х, *)

дх2п

2

1

и2(х,То)((х + I ха " *х + Ь I ш2(х, 0)((х = 0.

4=0

/о

В силу свойств функций и(х, ¿), ш(х, ¿) и условий Ь ^ 0, 0 < 7 < 1/2, 0 < а < 1 все интегралы в левой части последних равенств существуют и неотрицательны. Тогда из них следует, что и(х,Т0) = 0, х € [0,1]. Так как УТ0 € [0, Т], функция и(х, ¿) = 0, (х, ¿) € О. Тогда и1(х, ¿) = и2(х, ¿), (х, ¿) € О. Теорема 1 доказана. □

3. Исследование спектральной задачи

При формальном применении метода Фурье к задаче А1 возникает следующая спектральная задача: найти значения параметра Л, при которых существуют нетривиальные решения уравнения

Му = (хау(2п)(х))(2п) = Лу(х), 0 < х < 1, (4)

удовлетворяющие условиям

у(^(х), (хау(2п)(х))(з) € С[0,1], 3 = 0, 2п - 1;

у(2^(0) = 0, (хау(2п)(х)У2з)\х=0 = 0, з = 0, п - 1; (5)

\х=0 _

у(2) (1) = 0, (хау(2п) (х))(2) \Х=1 = 0, 3 = 0, п - 1.

0

Пусть у(х) и Ь(х) —функции, удовлетворяющие условиям (5), и Му(х), МЬ(х) € Ь2(0,1). Тогда, применяя правило интегрирования по частям, имеем

10

Ь(х)Му (х)йх = \ь(х)(хау(2п) (х))(2п-1) - ЬЬ (х) (ха V(2п) (х))(2п-2) +

+Ь"(х) (хау(2п)(х))(2п-3)-----Ь(2п-1)(х) (хау(2п)(х)) + (хаЬ(2п)(х))у(2п-1)(х)

- (хаЬ(2п\х))'у(2п-2)(х) + (хаЬ(2п\х))"у(2п-3)(х) - ...

1х=1

----(хаЬ(2п)(х)) (2п-1'у(х) + у(х)МЬ(х)йх.

Отсюда в силу свойств функций у(х) и Ь(х) следует равенство

/ Ь(х)Му (х) йх = у(х)МЬ(х)йх. 00

Следовательно, задача с условиями Ми = 0 и (5) самосопряжена.

Пусть у(х) ф 0, х € [0,1] и удовлетворяет условиям задачи (4), (5). Тогда

-1 г\

2

Л/ у2(х)ёх = у(х)(хау(2п)(х)У2п)с1 х =\у(х)(хау(2п)(х)){2п-1) -00

— V' (х) (ха V (2п)(х)У2п-2) +----у(2п-1)(х)(хау (2п\х))]Х= +

\ х=0

Г1 Г1

+ ха[у(2п)(х)]2(1х = ха[у(2п)(х)]2(1х, 00

т.е.

1

2

С1 С1

Л / у2(х)йх = ха[у(2п)(х)]2(1х. 00

Отсюда в силу у(х) ф 0 следует, что Л ^ 0. Если Л = 0, то из последнего равенства следует, что у(2п)(х) = 0, 0 < х < 1. Тогда

х2п 1 2 х

У(х) = С1 + С2+ ■■■ + С^- х + ^п, х € (0, 1),

где с* — произвольные действительные числа. Подчиняя эту функцию условиям (х)\х_0 = 0, у(2)(х)\Х_1 = 0, j = 0,п - 1, получим с* = 0, j = 1, 2п. Тогда у(х) ф 0, 0 ^ х ^ 1. Следовательно, задача (4), (5) может иметь нетривиальные решения только при Л > 0.

Для доказательства существования собственных значений задачи (4), (5) применим метод функции Грина. Так как Л = 0 не является собственным значением, существует единственная функция Грина С(х, в). Построим ее. Она должна обладать следующими свойствами:

1) функции (д*/дх*)С(х, 8), ] =0^-1, (д*/дх*)[ха(д2п/дх2п)С(х, 8)], j = 0, 2п - 2 непрерывны для всех х, 8 € [0,1];

2) в каждом из интервалов [0, в) и (в, 1] существует непрерывная производная (д2п-1 / дх2п—1)\ха(д2п/дх2п)С(х, з)], а при х = в имеет место скачок 1:

(д2п-1/дх2п-1)[ха(д2п/дх2п)С(х, ^Е—0 = 1;

3) в интервалах (0, в) и ( в, 1) существует производная

(д2п/дх2п) [ха(д2п/дх2п)С(х, и выполняется равенство МС(х, в) = 0;

4) при в € (0,1) и к = 0, п - 1 выполняются граничные условия

(д2 к/дх2к)С(х, 5)|х=0 = 0, _ (б)

(д2 к/дх2к){ха(д2п/дх2п)С(х, *))\х=0 = 0;

(д2 к/дх2к)С(х, з)\х=1 = 0,

(д2 к/дх2к)(ха(д2пХ/дх2п)С(х, в))|х=1 = 0.

(7)

Принимая во внимание вид общего решения уравнения МС(х, в) = 0 в промежутках (0, 8) и (в, 1), функцию С(х, в) ищем в виде

С(х, в) = <

2п а .х4п-а-] 4п а .х4п—]

ЕИг •? «Л/ <—, И/о «д / _

_I__и V —_ 0 < х < ч

=1 (2п - j)\(2п -а 3 + 1) 2п + =к+1 (4п - ¿)!, < < , (8

Еи ч л> ^—. и ч Л/

----V V —- ч < х < 1

=1 (2п - з)\(2п -а 3 + 1) 2п + =Гп+1 (4п - ;)!, < < ,

где aj и ^, з = 1,4п — неизвестные функции переменной з, а (,г)п = г(г + 1) х х ( г + 2) ■ ■ ■ ( г + п - 1) — символ Похгаммера [30].

Если функция (8) удовлетворяет свойствам 1) и 2) функции Грина, получим следующую систему уравнений относительно (Ь3 - а3), 3 = 1, 2,..., 4п:

8тх-з _

Ь1 - а1 = 1, > ---г(Ь1 - а^) =0, т1 = 2,2п,

^ ( т1 - з)! ' '

^ 82п-»+Ш2-(Ъ] - а-) ^ 8т2-(Ь2п+3 - а2п+])

/ , Ч1/ ч + > -т-—г;- =0, т2 = 1, 2п.

= (2п - ;)!(2п -а -3 + 1)т2 = (т2 - з)! , 2 ,

Эта система имеет единственное решение:

(-1).? —18]-1 (-1у-1 82п+j-1-a _

ъз -а = а- 1)! , Ъ2п+3 -а2п+3 = --1Ш -а)2п , ^2п. (9)

Подставляя (8) в условия (б), последовательно получим

а4п = а^п—2 = ■ ■ ■ = а2п+2 = а2п = ■ ■ ■ = а^ = а2 = 0. (10)

В силу этих равенств из (9) следует, что

82] — 1 §2п—1—а+2] _

*'2' = -(27-1)!• = -(2;1 - 1)1(2., -а)2п• ' = (11)

627

Далее, подставляя (8) в условия (7), получим систему уравнений £( Ш + (2т3 - 2зу)=0, тз =

п г,

уг__+

—V (2п - 2 3 + 1)!(2п -а - 2з + 2)^.. (12) +_^_) +

(2п - 2з)\(2п -а - 2з + 1)2т,)

т4 г, г,

. ^^ 02п+2 *-1 . 02п+2 * \ „ г:-

+ > 7-—-77 + 7- ч. =0, т4 = 1,п.

¿-Л(2т4 - 2з + 1)\ (2т4 - 2з)\) ' 4 '

Принимая во внимание, что 2 — известные величины вида (11), из (12) однозначно находим Ь2 *-1, з = 1, 2п:

Ь1 = - Ь2;

2*-2 Ь.

Ьц-1 = - Ь2з - Е (отЬ^, 1=^;

(23 - г)!

2 п

Ь2п+1 = - Ь2п+2 - У]

(2п - г).(2п -а + 1 - ¿У (13)

Ь2п+2 *-1 = - Ь2п+2 * - Е

2п ,

- У - -

(2п - г)! (2п -а + 1 - г)2* ^ 2*-2

— (2.1 - г)!, * ,

Подставляя (13) в (9), находим а2*-1, з = 1, 2п :

а1 = - Ь2 - 1 = в - 1;

82]-2 _

а2*-1 = Ь2з-1 - ( - 2)., з =2 п;

8Чп-а (14) а2п+1 = ®2п+1 - 77-\-,

(1 - а)2п

82п+2]-2-а _

а2п+2-1 = Ъ2п+2-1 - 2 - 2т - 1 - а)2п, 1 = Ъ*. Подставляя (10), (11), (13), (14) в (8), находим функцию Грина в виде

= х4п-а-1(з - 1) ^ 8)= (2п - 1)!(2п -а)2п +

™ , 82*-2 , х4п-а-2*+1

+ ¿-'У23-1 - (2з - 2)0 (2п - 2з + 1)!(2п -а - 2з + 2)Ъп +

* — 2

^ 2п-а ч х2п-1

у ^ыь ^ ч х

+ \Ь2п+ - О-а^) ТЬ-)!. +

п , 82п-а+2]-2 . х2п-2]+1

+ £( ^2п+2,-1 - (2, - 2)1(2, - 1 -а)2п) (2„ - 2, + 1)!' ^ 0 ^ ^ *

3—2

Х^п-а-1^

С(Х 8)= (2„ - 1)!(2„ -а)2п +

х4п-а-2у+1

+ 5—2Ь23-1 (2„ - 2] + 1)!(2„ - а - 2] + 2)2п +

—2

п х4п-а—2,7 Х2п-1

Ет х , х

.—1 ^ (2„ - 2;)!(2„ -а - 2; + 1)2п + (2^-ГТ +

- х2п—2]+1 ™ х2п—2]

+ £ 1 (2„ - 2; + 1)!+£ б2п+2^ (2„ - 2;)!' ^ * ^ ^ 1 (15)

где Ъ21—1, Ь2], 3 = 2,„; &2п+2.?, j = 1,„; &2п+1, Ь2п+2]—1, j = 2,„ — определены равенствами (11) и (13).

Так как задача с условиями Мь = 0 и (5) самосопряжена, ее функция Грина (15) симметрична относительно аргументов х ив.

С помощью метода, примененного в [31], легко убедиться, что задача (4), (5) эквивалентна следующему интегральному уравнению:

г>(х) = А / С(х, 8)у(з)(18. (16)

./о

Так как ядро С(х, в) непрерывно, симметрично, и положительно (т.е. А >0), интегральное уравнение (16), следовательно, задача (4), (5) имеет счетное число собственных значений

0 < А1 < А2 < Аз < ■ ■ ■ <Ак < ..., Ак ^ то,

а соответствующие им собственные функции ^(х), у2(х), уз(х), ..., (х), ... образуют ортонормированную систему в пространстве Ь2 (0,1) [32].

Лемма 1. Пусть функция д(х) удовлетворяет следующим условиям:

д(2Л(х), [хад(2п)(х)](2) е С[0,1], з = 0,„ - 1; Мд(х) е С(0,1) П ¿2(0,1); д(2з) (0) = 0, д(2з) (1) = 0, 3= 0,„ - 1; (хад(2п)(х))(2) | ж—0 = 0, (хад(2п)(х))(2) | л—1 = 0, ; = М=Т.

Тогда ее можно разложить на отрезке [0,1] в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по системе собственных функций задачи (4), (5).

Доказательство. Пользуясь правилом интегрирования по частям, свойствами функции Грина С(х, в) и условиями, наложенными на функцию ( х) , нетрудно убедиться, что справедливо равенство

[1С(х, з)Мд(в)(в = /1 С(х, з)[зад(2п)(8)](2п)(з = д(х). Уо Jо

Следовательно, д(х) — функция, представимая через ядро G(x, s). Кроме того, в силу непрерывности функции G(x, s) имеет место оценка

/ G2(x, s)ds ^ А(х) = а0 = const < те. Jo

Тогда на основании теоремы Гильберта—Шмидта [32] справедливо утверждение леммы 1. □

4. Вспомогательные леммы

В этом пункте под Х< и v<(х), к Е N, понимаются собственные значения и собственные функции задачи (4), (5), а под дк — коэффициенты Фурье функции д(х):

9к = д(х)Vk(x)dx, к Е N. o

Лемма 2. Следующие ряды сходятся равномерно на сегменте [0,1]:

V ^, v (HiW, = (17)

к=1 Хк к=1 Х2

Доказательство. В силу (16) и (4) справедливы равенства

vk\x) = Хк J G(x, s) Vk (s)ds =

&

= J Vav<2n)(s)](2n)^G(x, s)ds, j = 0,2n - 1.

Отсюда, применяя правило интегрирования по частям 2 п раз, а затем принимая во внимание условия (5), получим

к o

<(х) = ]о п)(*) о^ыьС(х, 8)08, э=0,2п - 1

Следовательно, справедливо равенство

11 К (18)

/Лк .¡0 V д^дз2п ( , ^ /\к) В силу условий (4) и (5), имеют место равенства

Г1 8 «укп\8) V (2п\8) = Г1, к = I, ]о у/ЛкЛ \ 0, к = I.

1

Следовательно, {з а/2 V <2п) (в 1 — ортонормальная система. Тогда

из выражения (18) следует, что у]2^ (х) / — коэффициенты Фурье функции за/2(д2п+:>/дх^дз2п)С(х, з) по системе {8а/2у{2п) ( 5 )/л/А^}^—г Поэтому, согласно неравенству Бесселя [32], имеем

^ и ,00 ( х)]2 <■ 1 д2п+3 12 _

Е ^Т^ М *а ¡я^я^п^ *) ^ 3 = 0 2„ - 1. (19)

к=1 Ак "]0 8

Интеграл в правой части можно переписать в виде

а

о

-дх^д 82п

'Л г д2п+3 2 Г1 г дЗ / д2п \"| 2 _

С(х, 8)\ (18 = ] 8—а [^[8а 8))\ ds, j = 0, 2„ - 1

Так как

а

д2пС(х, в) дЩ(х, в)

еС (О), з = 0,2„ - 1,

дв2п ' дх^

функция в квадратной скобке в последнем интеграле непрерывна на О. Тогда в силу 0 < а < 1 интеграл в (19) равномерно ограничен при з = 0, 2„ - 1, откуда следует, что первые ряды в (17) сходятся равномерно.

Аналогично доказывается сходимость и остальных рядов. □

Лемма 3. Если выполнены условия

ди)(х) е С[0,1], э= 0, 2„ - 1; ха/2д<2п)(х) еС (0,1) П£2(0,1); д<2)(0) = 0, д<2)(1) = 0, 3= 0,„ - 1,

то справедливо неравенство

1

ЕАк9к < ха[д<2п)(х)] 1 х, (20)

к=1 о

в частности, ряд в левой части сходится.

Доказательство. В силу (4) справедливо равенство 1

(1 (1 Ак2 9к = А]/2 д(х) Ьк (х)1х = А—1/2 д(х)[хаукп (х)]{2п) 1х. оо

оо Из этого равенства, применяя правило интегрирования по частям 2 „ раз и учитывая свойства функций ( х) и к( х), получим

г 1

а]/2 дк = [ха/2д<2п)(х)][А—1/2ха/2у{2п)(х)]1х. к о к к

Это означает, что числа А]/2дк — коэффициенты Фурье функции ха/2д<2п)(х) по ортонормированной системе функций {ха/2у<2п) (х) ^ Тогда, со-

гласно неравенству Бесселя [32], справедливо неравенство (20). □

Лемма 4. Если выполнены условия

ди)(х), [хад^(х)]^ € С[0,1], з=0,2п - 1; Мд(х) € С(0,1) ПЬ2(0,1);

g(2j)(0)=0, [хад(2п)(х)](2)\х=о = 0,

д(2)(1) = 0, [хад(2п)(х)](2^\х=1 = 0, з= 0~п-Т,

то справедливо неравенство

Ж г 1

^ЛЫ ^ [Мд(х)]2йх, (21)

к—1 ^

в частности, ряд в левой части сходится.

Доказательство. В силу (4) справедливо равенство

Лк9к = Лк С д(х)Ук(х)йх = Г д(х)[хау{(2п)(х)](2п')йх. 00

Применяя правило интегрирования по частям 4п раз и учитывая свойства функций ( х) и к( х), получим

Лк9к = !\хад (2п)(х)](2п) Ук (х)(1х = [\Мд (х)] ук (х)(1х. 00

Отсюда следует, что числа Лкдк — коэффициенты Фурье функции Мд(х) по ортонормированной системе функций [ук(х)}Ж— 1. Тогда, согласно неравенству Бесселя [32], справедливо неравенство (21). □

Лемма 5. Если выполнены условия

ди)(х), [хад(2п)(х)](:>), [Мд(х)]^ €С[0,1], j = 0;2пГ—Т; ха/2[Мд(х)](2п) € С(0,1) П Ь2(0,1); д(2)(0) = 0, [Мд(х)](2)\х=о = 0, д(2)(1) = 0, [Мд(х)](-2)\х=1 = 0, =0,^-1,

то справедливо неравенство

Ж г 1

Т,Лк9к < ха{[Мд(х)](2п))2(1х, (22)

к—1

в частности, ряд в левой части сходится.

Доказательство. Функция Мд(х) удовлетворяет условиям леммы 3. Как показано выше, Лк9к — коэффициенты Фурье функции Мд(х) по системе {Ук(х)}к—1. Тогда, согласно лемме 3, справедливо неравенство (22). □

5. Существование и устойчивость решения

Решение задачи А\ ищем в виде

u(x, t) = yUk (t) vk (x), (23)

k=i

где Uk(t) —неизвестные функции, которые подлежат определению; Vk(x) — собственные функции задачи (4), (5).

Подставим (23) в уравнение (1) и условия (2), а затем умножим полученные равенства на vm(x). После этого, интегрируя полученные равенства по x на интервале (0,1) и принимая во внимание ортонормированность системы функций {Vk(x)}k=i, относительно неизвестных функций Uk(t) получим следующую задачу:

u'k(t) + Y<(t) + (Xk + b)uk(t) = fk(t), te (0,T), к e N; (24) uk(0) = , lim t2lu'k(t) = фк, к e N, (25)

где

^k = p(x) Vk (x)dx, фk = ф(x) Vk (x)dx,

J0 J0

fk(t)=i f (x, t)Vk(x)dx, к e N. Jo

Задача (24), (25) имеет единственное решение: Uk (t) = akt1/2-1 Ji/2-1 (t y/Xk + b)+ bkt1/2-1 J1-i/2(t V^k + b) + + J^^Jo tJl/2-!(t^Xk+b)Ji-i/2(Tл/h + b-) --Jj-i/2(tVXk + b) Ji/2-1 (TVXk + rfk(T)dT, к e N, (26)

где

ak = 2(VXkTb/2)1-i/2r(1/2 -i)^k,

2 (27)

bk = j(VXk+b/2)i/2-1 Г(1/2 + i)<pk,

Jv(x) — функция Бесселя первого рода [33], Г(,г) — гамма-функция [30].

Лемма 6. Для функций Uk(t), к e N, определяемых равенствами (26), при всех t e [0, T] справедливы неравенства

T i-2i 2Ts/2

\uk (i)| < Ы \ + №k \ + II fk (t)\\L2(0,T), к e N, (28)

\г*Ч(*)\ \фк| + (Лк ++^}2Т71+27\<РЬI +

+ С2(Хк + Ъ)Т2+1/2\\ 1к(ЩЫо,т), к е М,

и'к(¿) + 2ЧЦ) < (Лк + Ъ)\ик(¿)\ + \/к(*)\, к е М,

где С1 иС2 — некоторые действительные положительные числа.

Доказательство. Переписывая функции (26) с помощью функции Бесселя—Клиффорда Зш(г) = Г(ш+1)(г/2)-ш.1ш(г) и учитывая, что \Зш(,г)\ ^ 1 при ш > -1/2, а также 0 ^ т ^ í ^ Т, получим оценку

. (УЛк+Ъ /2)1/2-1 + \ик < \ак\-Щ+/)-+

+ \Ък\ Г (1/2 + 7) + Т-^ I \/к(Т)\Г1Т-

Отсюда, принимая во внимание равенства (27) и применяя неравенство Ко-ши—Буняковского к интегралу, приходим к неравенству (28).

Остальные неравенства доказываются аналогично. □

Теорема 2. Пусть 7 е (0,1/2) и функции ф(х) и ф(х) удовлетворяют условиям леммы 5, а функция /(х, ¿) удовлетворяет условиям леммы 5 по аргументу х равномерно по Тогда ряд (23), коэффициенты которого определены равенствами (26), (27), определяет 'решение задачи А1.

Доказательство. Докажем равномерную сходимость в О ряда (23) и следующих рядов, формально полученных из (23):

д 2

^^ о 7 Я2П ^^

дх Еик(Фк^х), дЬ{хад^) = Еик(^^(х))^ ^ = 072^-1;

к=1 к=1

оо

^ ди = £ ('->'к(х),

дУ (х- уи) = Т.ик (¡)(*"<Г(*))( ^ (29)

д

к=1

и равномерную сходимость в любом компакте И С О следующих рядов:

д2"_ („а д2"и Ли«., (2")^ ^ 2")

к=1

2 ^ 2

иЫ + 27Щ = Е[и'к (1) + ~7У'к (*) ук (х).

к=1

Рассмотрим ряд (29). В силу (4) в любом компакте И С О ряд из правой части (29) записывается в виде

ЕЛк ик (*) Ьк (*). (30)

к=1

Для доказательства равномерной сходимости ряда (30), согласно (28) достаточно доказать абсолютную и равномерную сходимость рядов

(х), У \кфкьк(х)

к=1

к=1

ж I гТ

, Ем / ■

к=1 V л

/%(т)Ат ук(х).

(31)

К каждому из этих рядов применим неравенство Коши—Буняковского:

ж ж _

Е Хк<РкУк (х) ^ ЕI V

Ук (х)

к=1

к=1

ЕЛк^к^к (х)

л/^к к( х)

к=1

к=1

<

<

■ж ж 2( \

£ ^

к=1

Ехк Ф1Е

к=1

ж к( х)

к=1

к=1

Ак

1/2

1/2

к

ж I ,-Т

Е Ч ,

к=1 V ^

Ц (Т) Ал Ук(х)

<

ж I 7т"

Е \ Ак .

к=1 V -/о

Ук (х)

<

я

Т ж

<

(г)АТ Е ^

к=1

к=1

1/2

Ряды, стоящие в правых частях этих неравенств, в силу условия теоремы 2 согласно леммам 2 и 5 равномерно сходятся. Тогда ряды, стоящие в левых частях, т.е. ряды (31), сходятся абсолютно и равномерно в П. Следовательно, ряд (30) сходится абсолютно и равномерно в П. Поэтому ряд в (29) сходится абсолютно и равномерно в любом компакте И С П.

Равномерная сходимость ряда (23) следует из сходимости ряда (30).

Аналогично доказывается равномерная сходимость и остальных рядов. Теорема 2 доказана. □

При 7 = 0 в силу Jl/2(х) = \/2/(жх) 8тх, J-l/2(х) = \/2/(жх) соъх функции (26) записываются в виде

ик(^ = Рк сов(гу/АкГь) +

Фк

уДк+Ь

л/\к + Ь) +

+

откуда следует оценка

л/Ак + Ь 7о

/ ¡к(т*) 8шК - т)^Ак + Ь]Ат, к е N (32) о

Ы(*)| < Ы + 1ФкI + л/т/Х~к||}кт\Ыо,т).

(33)

В этом случае справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Пусть 7 = 0 и функция р(х) удовлетворяет условиям леммы 5, функция ф(х) удовлетворяет условиям леммы 4, а функция ¡(х, Ь) удовлетворяет условиям леммы 4 по аргументу х 'равномерно по Ь. Тогда

о

1

ряд (23), коэффициенты которого определены равенствами (32), определяет решение задачи А1 .

Доказательство. Здесь при рассмотрении ряда (29) [(30)] в силу (32) и (33) вместо (31) получим ряды

ЕЛкРкУк (х), Е^ЛкФкУк (х),

к=1

к=1

Ъ^Лк I ■

рк(г)йт Ук (х). (34)

Абсолютная и равномерная сходимость первого из рядов (34) доказана выше. Рассмотрим второй и третий ряды. Применяя неравенство Коши—Бу-няковского к каждому из этих рядов, имеем

Е^кФкУк(х) Фк^ЕЛкФк •£^

у2(х)

1/2

Ж л _

У^УЛк / ¡к (т^Ш^ - Т)л/Лк + Ъ](1т • Ук (х) к=1 ]о

< а д

<

^ кГц

10 V Лк

Т 11 ЕЛк!2к {т)(т • £

к=1

1/

В силу условия теоремы 3 на основании лемм 2 и 4 ряды в правой части последних неравенств сходятся равномерно на [0,1]. Следовательно, ряды, стоящие в левых частях, сходятся равномерно в О. Дальнейшие рассуждения аналогичны случаю 0 <7 < 1/2. □

Теорема 4. Пусть функции ф(х), ф(х) и ¡(х, ¿) удовлетворяют условиям теоремы 2 или 3. Тогда для решения задачи А1 справедливы оценки

\\и(х, т2Ы0,1) < Ко[Мх)\\ыо,1) + Шх)\\ь2(0,1) + \\¡(х, т2Ып)}, (35)

\\и(х * )\с (П)

<

4 К

^2 ")(х)|22„ (0,1) + 11^") (х) 11 ¿2,г (0,1) +

д2 "

где

Ых)\\ь2,г (0,1)

\\9(х, Щь2,г(П)

1

дх2" 1/2

¡(х,I )

¿2,г (П)!

, (36)

ха[ср(х)]2(х

0

т г 1

Пхад2(х, ¿) (хМ

1/2

00

г(х) = ха; К0 и К1 — некоторые действительные положительные числа.

Доказательство. Учитывая ортонормальность системы {Ук(х)}^=1 и неравенства (28), (33), из (23) получим

те

ml2 (O,D = Y.uk (*) < к ED^ i +1^ i + (^L (о,т)]2

<

k=l k=l

те

.2 I j,2

< зкЕ^+Фк + \\fk mi2 (о,т)}, k=l

где K2 = const > 0.

Отсюда, учитывая неравенство Бесселя, получим

\\u(x, t)\\l2oi) < 3kJ\Mx)\\l2(Oil) + Mx)\\l2oi) + E \\fk(t)\\l2(0,т)). (37 ^ k=i '

Принимая во внимание представление f (x, t) = fk(t)Vk(x) и ортонор-

мированность системы функций {Vk(x)}^=i, имеем

(те те ч

Е fk (t) Vk(x), Е fn(t )vn(x))

k=l n=l '

k=l

L2 (Q)

T те те

Et fk (t)]2dt = E\\fk ш L (о,т).

10 k=l n=l

Если учесть это равенство, то неравенство (35) сразу следует из (37) Из (23) на основании (28) и (33) при любых П имеем

| u( x, )| =

E^k(x)Uk(t) ^ Е IVk (x) I luk(i)| ^ ^k (x)

VXk

k=l k=l

те

< E I^M(^TkI<fikI + K3^x~kI + KA^\k\\fk(t)\L(от)),

к=1

где К3 и К4 — некоторые действительные положительные числа. Отсюда, применяя неравенство Коши—Буняковского, получим

ж * (х) , у/2^ ^ Ф1^1/2+

Iu(x, t)I < (у T,Xk^k) +K3(y

4=l Xk k=l J \=l Xk k=l J

+ к*(Е T- txk\\fk (t)\L от)) \=l Xk k=l }

Принимая во внимание утверждение лемм 2 и 3, из (38) находим

/ гl \l/2

\ \ u(x, t) \ \ С{Щ = sup Iu(x, i)I xa[v(2n)(x)]2dxj +

/ rl \l/2 / f-т f l -2n l2 \l/2

+ K3K5IJ xa[tp(2n) (x)]2dx) + K4K5IJ J xa f(x, i)J dxdtj ,

где

* = (sup £ f) )1/2.

\{o,i]ti Хк /

Если учесть введенные обозначения, то из последнего сразу следует неравенство (36). Теорема 4 полностью доказана. □

Заключение. В данной работе рассмотрена начально-граничная задача для дифференциального уравнения в частных производных высокого четного порядка в прямоугольной области. Методом разделения переменных найдено решение задачи в виде ряда, который сходится абсолютно и равномерно в замыкании области рассмотрения уравнения. Доказаны единственность решения задачи и непрерывная зависимость его от заданных функций.

Конкурирующие интересы. Мы не имеем конкурирующих интересов. Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.

Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

Библиографический список

1. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с.

2. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. М.: Физматлит, 1967. 444 с.

3. Коренев Б. Г. Вопросы расчета балок и плит на упругом основании. М.: Стройиздат, 1954. 156 с.

4. Филиппов А. П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение, 1970. 734 с.

5. Крылов А. Н. Вибрация судов. Л.; М., 1936.

6. Сабитов К. Б. Начальная задача для уравнения колебаний балок// Диффер. уравн., 2017. Т. 53, №5. С. 665-671. EDN: YSXNEH. DOI: https://doi.org/10.1134/ S0374064117050090.

7. Сабитов К. Б. Колебания балки с заделанными концами // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2015. Т. 19, №2. С. 311-324. EDN: UGXNZR. DOI:https:// doi.org/10.14498/vsgtu1406.

8. Сабитов К. Б. К теории начально-граничных задач для уравнения стержней и балок // Диффер. уравн., 2017. Т. 53, №1. С. 89-100. EDN: XRBXOV. DOI: https://doi.org/10.1134/ S0374064117010083.

9. Сабитов К. Б., Акимов А. А. Начально-граничная задача для нелинейного уравнения колебаний балки// Диффер. уравн., 2020. Т. 56, №5. С. 632-645. EDN: FUQBLD. DOI: https://doi.org/10.1134/S0374064120050076.

10. Сабитов К. Б. Обратные задачи для уравнения колебаний балки по определению правой части и начальных условий// Диффер. уравн., 2020. Т. 56, №6. С. 773-785. EDN: ZUQBSX. DOI: https://doi.org/10.1134/S0374064120060096.

11. Сабитов К. Б., Фадеева О. В. Начально-граничная задача для уравнения вынужденных колебаний консольной балки // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2021. Т. 25, №1. С. 51-66. EDN: SXRWIP. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1845.

12. Urinov A. K., Azizov M. S. A boundary problem for the loaded partial differential equations of fourth order // Lobachevskii J. Math., 2021. vol. 42, no. 3. pp. 621-631. EDN: GZFFEC. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080221030197.

13. Urinov A. K., Azizov M. S. Boundary value problems for a fourth order partial differential equation with an unknown right-hand part// Lobachevskii J. Math., 2021. vol.42, no. 3. pp. 632-640. EDN: JDWUYD. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080221030203.

14. Сабитов К. Б. Начально-граничные задачи для уравнения колебаний прямоугольной пластины// Изв. вузов. Матем., 2021. Т. 65, №10. С. 60-70. EDN: RZSSHV. DOI: https:// doi.org/10.26907/0021-3446-2021-10-60-70.

15. Сабитов К. Б. Колебания пластины с граничными условиями «шарнир-заделка» // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2022. Т. 26, №4. С. 650-671. EDN: CXCQCU. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1950.

16. Касимов Ш. Г., Мадрахимов У. С. Начально-граничная задача для уравнения колебаний балки в многомерном случае// Диффер. уравн., 2019. Т. 55, №10. С. 1379-1391. EDN: VSFLTA. DOI: https://doi.org/10.1134/S0374064119100091.

17. Amanov D. J., Yuldasheva A. V. Solvability and spectral properties of boundary value problems for equations of even order// Malays. J. Math. Sci., 2009. vol.3, no. 2. pp. 227248. EDN: XMCRSH.

18. Amanov D., Ashyralyev A. Well-posedness of boundary value problems for partial differential equations of even order // AIP Conf. Proc., 2012. vol. 1470, no. 1. pp. 3-7. DOI: https:// doi.org/10.1063/1.4747625.

19. Иргашев Б. Ю. Об одной задаче с условиями сопряжения для уравнения четного порядка с дробной производной в смысле Капуто // Матем. заметки, 2022. Т. 112, №2. С. 218-226. EDN: WUKYZP. DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13184.

20. Уринов А. К., Азизов М. С. Начально-граничная задача для уравнения в частных производных высшего четного порядка с оператором Бесселя // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2022. Т. 26, №2. С. 273-292. EDN: LKMGUE. DOI: https:// doi.org/10.14498/vsgtu1893.

21. Уринов А. К., Азизов М. С. О разрешимости нелокальных начально-граничных задач для одного дифференциального уравнения в частных производных высокого четного порядка// Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 2022. Т. 32, №2. С. 240-255. EDN: HNVGQS. DOI: https://doi.org/10.35634/vm220206.

22. Азизов М. С. Об одной начально-граничной задаче для уравнения в частных производных высшего четного порядка с оператором Бесселя // Бюллетень Института математики, 2022. Т. 5, №1. С. 14-24.

23. Уринов А. К., Усмонов Д. А. Начально-граничная задача для вырождающегося гиперболического уравнения второго рода с тремя линиями вырождения // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2022. Т. 26, №4. С. 672-693. EDN: DIOYZF. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1962.

24. Urinov A. K., Usmonov D. A. Initial boundary value problems for a fourth order equation with three lines of degeneracy // Uzbek Math. J., 2023. vol. 67, no. 1. pp. 129-136. DOI: https://doi.org/10.29229/uzmj.2023-1-17.

25. Уринов А. К., Усмонов Д. А. Нелокальная начально-граничная задача для вырождаю-щиегося уравнения четвертого порядка с дробной производной Герасимова-Капуто // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки,, 2023. Т. 42, №1. С. 123-139. EDN: INZPHJ. DOI: https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-42-1-123-139.

26. Байкузиев К. Б., Каланов Б. С. О разрешимости смешанной задачи для уравнения высшего порядка, вырождающегося на границе области / Краевые задачи для дифференциальных уравнений. Т. 2. Ташкент: Фан, 1972. С. 40-54.

27. Иргашев Б. Ю. Краевая задача с условиями сопряжения для вырождающегося уравнения с дробной производной Капуто// Изв. вузов. Матем., 2022. №4. С. 27-36. EDN:DLFDSA. DOI: https://doi.org/10.26907/0021-3446-2022-4-27-36.

28. Уринов А. К., Азизов М. С. О разрешимости начально-граничной задачи для уравнения высокого чётного порядка, вырождающегося на границе области // Сиб. журн. индустр. матем., 2023. Т. 26, №2. С. 155-170. DOI: https://doi.org/10.33048/SIBJIM. 2023.26.213.

29. Уринов А. К., Азизов М. С. Об одной начально-граничной задаче для вырождающегося дифференциального уравнения в частных производных высокого четного порядка / Неклассические уравнения математической физики и их приложения: Международная научная конференция (Ташкент, 6-8 октября 2022 г.). Ташкент: НУУз, 2022. С. 186-187.

30. Erdelyi A. Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F. G. Higher transcendental functions. vol. II / Bateman Manuscript Project. New York, Toronto, London: McGraw-Hill Book Co., 1953. xvii+396 pp.

31. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 528 с.

32. Михлин С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматгиз, 1959. 232 с.

33. Watson G. N. A treatise on the theory of Bessel functions / Cambridge Mathematical Library. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1995. vi+804 pp.

Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki

[J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2023, vol. 27, no. 4, pp. 621-644

d https://doi.org/10.14498/vsgtu2023

ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print)

MSC: 35G15

On the solvability of an initial boundary problem for a high even order degenerate equation

A. K. Urinov1'2, D. D. Oripov1

1 Fergana State University,

19, Murabbiylar st., Fergana, 150100, Uzbekistan.

2 Institute of Mathematics named after V. I. Romanovsky of the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan, 46, Universitetskaya st., Tashkent, 100174, Uzbekistan.

Abstract

A degenerate partial differential equation of high even order is considered in the rectangle. For the considered equation, an initial-boundary problem has been formulated and the uniqueness, existence, and stability of the solution to this problem has been investigated. The uniqueness of the solution to the problem has been proved by the method of integral identities. The existence of a solution to the problem was investigated by methods of separation of variables. Here, we first studied the spectral problem for an ordinary differential equation of high even order, which follows from the considered problem in the separation of variables. The Green's function of the spectral problem was constructed. Using this, the spectral problem was equivalently reduced to an integral Fredholm equation of the second kind with a symmetric kernel. Hence, on the basis of the theory of integral equations, it is concluded that there are a countable number of eigenvalues and eigenfunc-tions of the spectral problem. The conditions were found under which a given function is expanded into a uniformly convergent Fourier series in terms of eigenfunctions of the spectral problem. Using the properties of the Green's function and the eigenfunctions of the spectral problem, we proved a lemma on the uniform convergence of some bilinear series. Lemmas on the order of the Fourier coefficients of a given function were also proved. The solution to the problem under study has been written as the sum of a Fourier series with respect to the system of eigenfunctions of the spectral problem. The uniform

Differential Equations and Mathematical Physics Research Article

© Authors, 2023

© Samara State Technical University, 2023 (Compilation, Design, and Layout) 3 ©® The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) Please cite this article in press as:

Urinov A. K., OripovD. D. On the solvability of an initial boundary problem for a high even order degenerate equation, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2023, vol. 27, no. 4, pp. 621-644. EDN: AYWFBD. DOI: 10.14498/vsgtu2023 (In Russian). Authors' Details:

Akhmadjon K. Urinov https://orcid.org/0000-0002-9586-1799

Dr. Phys. & Math. Sci.; Professor; Dept. of Mathematical Analysis and Differential Equations1; Leading Researcher2; e-mail:[email protected] Dastonbek D. Oripov © https://orcid.org/0000-0002-0212-6964 Basic Doctoral Student; Dept. of Mathematical Analysis and Differential Equations1; e-mail: [email protected]

convergence of this series and the series obtained from it by term-by-term differentiation were proved using the lemmas listed above. At the end of the article, two estimates are obtained for solution of the formulated problem, one of which is in the space of square summable functions with weight, and the other is in the space of continuous functions. These inequalities imply the stability of the solution in the corresponding spaces.

Keywords: degenerate differential equation, initial-boundary problem, spectral problem, existence, uniqueness and stability of a solution, method of separation of variables.

Received: 14th May, 2023 / Revised: 9th October, 2023 / Accepted: 13th December, 2023 / First online: 23rd December, 2023

Competing interests. We have no competing interests.

Authors' contributions and responsibilities. Each author has participated in the development of the concept of the article and in the writing of the manuscript. The authors are absolutely responsible for submitting the final manuscript in print. Each author has approved the final version of the manuscript. Funding. The research has not received funding.

References

1. Tikhonov A. N., Samarskii A. A. Uravneniia matematicheskoi fiziki [Equations of Mathematical Physics]. Moscow, Nauka, 1966, 724 pp. (In Russian)

2. Timoshenko S. P. Vibration Problems in Engineering. Chichester, Wiley, 1974, 538 pp.

3. Korenev B. G. Voprosy rascheta balok i plit na uprugom osnovanii [Analysis of Beams and Plates on Elastic Foundation]. Moscow, Stroiizdat, 1954, 156 pp. (In Russian)

4. Filippov A. P. Kolebaniia deformiruemykh sistem [Oscillations of Deformable Systems]. Moscow, Mashinostroenie, 1970, 734 pp. (In Russian)

5. Krylov A. N. Vibratsiia sudov [Vibration of Ships]. Leningrad, Moscow, 1936 (In Russian).

6. Sabitov K. B. Cauchy problem for the beam vibration equation, Differ. Equat., 2017, vol. 53, no. 5, pp. 658-664. EDN: XNIRNN. DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266117050093.

7. Sabitov K. B. Fluctuations of a beam with clamped ends, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2015, vol. 19, no. 2, pp. 311-324 (In Russian). EDN: UGXNZR. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1406.

8. Sabitov K. B. A remark on the theory of initial-boundary value problems for the equation of rods and beams, Differ Equat., 2017, vol.53, no. 1, pp. 86-98. EDN: YVJCOJ. DOI:https:// doi.org/10.1134/S0012266117010086.

9. Sabitov K. B., Akimov A. A. Initial-boundary value problem for a nonlinear beam vibration equation, Differ. Equat., 2020, vol. 56, no. 5, pp. 621-634. EDN: VFFDXC. DOI: https://doi. org/10.1134/S0012266120050079.

10. Sabitov K. B. Inverse problems of determining the right-hand side and the initial conditions for the beam vibration equation, Differ. Equat., 2020, vol.56, no. 6, pp. 761-774. EDN: ULGVTX. DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266120060099.

11. Sabitov K. B., Fadeeva O. V. Initial-boundary value problem for the equation of forced vibrations of a cantilever beam, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2021, vol.25, no. 1, pp. 51-66 (In Russian). EDN: SXRWIP. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1845.

12. Urinov A. K., Azizov M. S. A boundary problem for the loaded partial differential equations of fourth order, Lobachevskii J. Math., 2021, vol.42, no. 3, pp. 621-631. EDN: GZFFEC. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080221030197.

13. Urinov A. K., Azizov M. S. Boundary value problems for a fourth order partial differential equation with an unknown right-hand part, Lobachevskii J. Math., 2021, vol.42, no. 3, pp. 632-640. EDN: JDWUYD. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080221030203.

14. Sabitov K. B. Initial-boundary value problems for equation of oscillation of a rectangular plate, Russian Math. (Iz. VUZ), 2021, vol. 65, no. 10, pp. 52-62. EDN: FCMYHQ. DOI: https:// doi.org/10.3103/S1066369X21100054.

15. Sabitov K. B. Vibrations of plate with boundary "hinged attachment" conditions, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2022, vol.26, no. 4, pp. 650-671 (In Russian). EDN: CXCQCU. DOI: https://doi. org/10.14498/vsgtu1950.

16. Kasimov S. G., Madrakhimov U. S. Initial-boundary value problem for the beam vibration equation in the multidimensional case, Differ. Equat., 2019, vol. 55, no. 10, pp. 1336-1348. EDN: ZNTNRD. DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266119100094.

17. Amanov D. J., Yuldasheva A. V. Solvability and spectral properties of boundary value problems for equations of even order, Malays. J. Math. Sci., 2009, vol. 3, no. 2, pp. 227-248. EDN: XMCRSH.

18. Amanov D., Ashyralyev A. Well-posedness of boundary value problems for partial differential equations of even order, AIP Conf. Proc., 2012, vol. 1470, no. 1, pp. 3-7. DOI: https:// doi.org/10.1063/1.4747625.

19. Irgashev B. Yu. On a problem with conjugation conditions for an equation of even order involving a Caputo fractional derivative, Math. Notes, 2022, vol. 112, no. 2, pp. 215-222. EDN: YMKTPZ. DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434622070252.

20. Urinov A. K., Azizov M. S. An initial boundary value problem for a partial differential equation of higher even order with a Bessel operator, [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2022, vol. 26, no. 2, pp. 273-292 (In Russian). EDN: LKMGUE. DOI: https:// doi.org/10.14498/vsgtu1893.

21. Urinov A. K., Azizov M. S. On the solvability of nonlocal initial-boundary value problems for a partial differential equation of high even order, Vestn. Udmurtsk. Univ. Mat. Mekh. Komp. Nauki, 2022, vol.32, no. 2, pp. 240-255 (In Russian). EDN: HNVGQS. DOI: https:// doi.org/10.35634/vm220206.

22. Azizov M. S. About an initial-boundary value problem for a partial differential equation of higher even order with the Bessel operator, Bull. Inst. Math., 2022, vol. 5, no. 1, pp. 14-24 (In Russian).

23. Urinov A. K., Usmonov D. A. An initial-boundary problem for a hyperbolic equation with three lines of degenerating of the second kind, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2022, vol.26, no. 4, pp. 672-693 (In Russian). EDN: DIOYZF. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1962.

24. Urinov A. K., Usmonov D. A. Initial boundary value problems for a fourth order equation with three lines of degeneracy, Uzbek Math. J., 2023, vol.67, no. 1, pp. 129-136. DOI: https://doi.org/10.29229/uzmj.2023-1-17.

25. Non-local initial-boundary value problem for a degenerate fourth-order equation with a fractional Gerasimov-Caputo derivative, Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. Nauki, 2023, vol.42, no. 1, pp. 123-139 (In Russian). EDN: INZPHJ. DOI: https://doi.org/10.26117/ 2079-6641-2023-42-1-123-139.

26. Baikuziev K. B., Kalanov B. S. On the solvability of a mixed problem for a higher-order equation that degenerates on the boundary of a domain, In: Boundary Value Problems for Differential Equations, vol. 2. Tashkent, Fan, 1972, pp. 40-54 (In Russian).

27. Irgashev B. Yu. A boundary value problem with conjugation conditions for a degenerate the equations with the Caputo fractional derivative, Russian Math. (Iz. VUZ), 2022, vol. 66, no. 4, pp. 24-31 (In Russian). DOI: https://doi.org/10.3103/S1066369X2204003X.

28. Urinov A. K., Azizov M. S. About an initial boundary problem for a degenerate higher even order partial differential equation, Sib. Zh. Ind. Mat., 2023, vol.26, no. 2, pp. 155-170 (In Russian). DOI: https://doi.org/10.33048/SIBJIM.2023.26.213.

29. Urinov A. K., Azizov M. S. On an initial boundary value problem for a degenerate partial differential equation of high even order, In: Nonclassical Equations of Mathematical Physics and their Applications, International Scientific Conference (Tashkent, 6-8 October 2022). Tashkent, National Univ. of Uzbekistan, 2022, pp. 186-187.

30. Erdelyi A. Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F. G. Higher transcendental functions, vol. II, Bateman Manuscript Project. New York, Toronto, London, McGraw-Hill Book Co., 1953, xvii+396 pp.

31. Naimark M. A. Lineinye differentsial'nye operatory [Linear Differential Operators]. Moscow, Nauka, 1969, 528 pp. (In Russian)

32. Mikhlin S. G. Lektsii po lineinym integral'nym uravneniiam [Lectures on Linear Integral Equations]. Moscow, Fizmatgiz, 1959, 232 pp. (In Russian)

33. Watson G. N. A treatise on the theory of Bessel functions, Cambridge Mathematical Library. Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1995, vi+804 pp.