Решение одной краевой задачи для уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Math-Net.Ru

Ю. П. Апаков, Р. А. Умаров, Решение одной краевой задачи для уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2024, номер 1, 171-185

001: 10.14498^^2030

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 109.252.33.182

29 сентября 2024 г., 12:21:20

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2024. Т. 28, № 1. С. 171-185 ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) d https://doi.org/10.14498/vsgtu2030

EDN: DTEVGQ

УДК 517.951

Решение одной краевой задачи для уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами

Ю. П. Апаков1'2, Р. А. Умаров2

1 Институт математики имени В.И. Романовского АН Республики Узбекистан, Узбекистан, 100174, Ташкент, ул. Университетская, 46.

2 Наманганский инженерно-строительный институт, Узбекистан, 160100, Наманган, ул. Ислама Каримова, 12.

Аннотация

В прямоугольной области рассматривается вторая краевая задача для неоднородного дифференциального уравнения в частных производных третьего порядка с кратными характеристиками и с переменными коэффициентами. Единственность решения поставленной задачи доказана методом интегралов энергии. Для случая нарушения условий теоремы единственности построен контрпример.

Решение задачи ищется в виде произведения двух функций X (х) и Y(у) с использованием метода разделения переменных. Для определения Y(у) получено обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с двумя граничными условиями на границах сегмента [0, q]. Для этой задачи найдены собственные значения и соответствующие им собственные функции при п = 0 и п € N. Для определения X(х) получено обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка с тремя граничными условиями на границах сегмента [0,р]. Решение указанной задачи построено методом функции Грина. Отдельная функция Грина была построена для п = 0 и отдельная функция Грина для случая, когда п натуральное. Проверено, что найденные функции Грина удовлетворяют граничным условиям и свойствам функции Грина. Решение для X(х) выписано через построенную функцию Грина.

После некоторых преобразований получено интегральное уравнение Фредгольма второго рода, решение которого выписано через резольвенту. Получены оценки резольвенты и функции Грина. Доказана равномерная сходимость решения и возможность его почленного дифференцирования при некоторых условиях на заданные функции. Сходимость

Дифференциальные уравнения и математическая физика Краткое сообщение

© Коллектив авторов, 2024 © СамГТУ, 2024 (составление, дизайн, макет)

<3 @® Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru) Образец для цитирования

Апаков Ю. П., Умаров Р. А. Решение одной краевой задачи для уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2024. Т. 28, № 1. С. 171-185. EDN: DTEVGQ. DOI: 10.14498/vsgtu2030. Сведения об авторах

Юсуфжон Пулатович Апаков А https://orcid.org/0000-0001-8805-8917 доктор физико-математических наук, профессор; ведущий научный сотрудник; Наманган-ское отделение1; профессор; каф. высшей математики2; e-mail: [email protected] Рахматилла Акрамович Умаров © https://orcid.org/0009-0004-4778-4444 PhD докторант; каф. высшей математики2; e-mail: [email protected]

производной третьего порядка решения по переменной х доказывается с помощью неравенств Коши-Буняковского и Бесселя. При обосновании равномерной сходимости решения доказывается отсутствие "малого знаменателя".

Ключевые слова: дифференциальное уравнение, третий порядок, кратные характеристики, вторая краевая задача, регулярное решение, единственность, существование, функция Грина.

Получение: 7 июня 2023 г. / Исправление: 7 февраля 2024 г. / Принятие: 4 марта 2024 г. / Публикация онлайн: 6 августа 2024 г.

По аналогии с работами [1,2] в области D = {(х, у) : 0 < х < р, 0 < у < q} рассмотрим уравнение третьего порядка вида

Uxxx - Uyy + Аг(x)Uxx + A2(x)Ux + Аз(х)и + A4Uy = gi(x,y), (1)

где р, q, А4 е R; А1(х), А2(х), А3(х), д1(х,у) —заданные достаточно гладкие функции. Заменой

(1 ix А \

-1 Jo Ai(^)d^ + itУ)

уравнение (1) можно привести к виду

L[u] = иххх - иуу + ai(x)ux + a2(x)u = д(х,у), (2)

где

ai(x) = -А[(х) - 1 Aj(x) + А2(х),

3

12 1 А2

a,2(x) = -зA'l(х) + 27А\(х) - зAi(x)A2(x) + А3(х) + ,

9(х,у) = gi(x,y)exp(^ J Ai(Od£ - ^У^.

Задача Вэ- Найти функцию и(х,у) из класса Сх,у №) п су \у{Е), удовлетворяющую уравнению (2) и следующим краевым условиям:

иу (х, 0) = 0, иу (х,д) = 0, 0 ^ х ^ р, (3)

и(0,у)= фу(у), иу(р,у)= фу (у), иух(р,у)= ф3 (у), 0 < у < д, (4)

где фу(у), фУ(у), фз(у), д(х,У) — достаточно гладкие заданные функции.

Теорема 1. Если задача Ву имеет решение, то при выполнении условий ау(р) ^ 0, ау(х)-уа'у(х) ^ 0, а[(х), ау(х) € С[0,р], х е [0,р], оно единственно.

Доказательство. Предположим обратное. Пусть задача В2 имеет два решения иу(х,у) и и2(х,у). Тогда функция и(х,у) = иу(х,у) — и2(х,у)

удовлетворяет однородному уравнению (2) с однородными краевыми условиями. Докажем, что и(х, у) = 0 в И.

В области И справедливо тождество

иЬ[и] = ииххх — ииуу + а1(х)иих + а2 (х)и2 = 0.

Интегрируя это тождество по области И и учитывая однородные краевые условия, получим

1 [д 1 [д

- (Ц('[))у2('р,у)(1у + - у2х(0,у)(1у +

1

+Л и2ЛхЛу+ХС (ка2(х) — 2 а1(х))и2ЛхЛу = о.

Если а2(ж) — 1 а^(ж) > 0, то из четвертого слагаемого получим, что и(х, у) = 0, (ж, у) € Б. Если а2(х) — 2(%) ^ 0, а1(р) > 0, то из первого и третьего слагаемых имеем и(р,у) = 0, иу(х,у) = 0. Отсюда следует, что и(х,у) = f (х), / (Р) = 0.

Подставив полученное в уравнение (2) и учитывая краевые условия (4), имеем задачу

¡/'"(х) + (ц(х)/'(х) + а,2(х)/(х) = 0, \/ (Р) = / '(Р) = / ''(Р) = 0.

Линейное однородное уравнение имеет общее решение в виде

} (х) = С1Х1(х) + С2Х2(х) + С3Х3(х),

где Х1 (х), Х2(х), Хз(х) — линейно независимые решения. Для нахождения С1, С2, С3 воспользуемся краевыми условиями и получим следующую систему уравнений:

(С\Х1(Р) + С2Х2 (р) + С3 Х3(р) = 0, \ сакр) + С2Х2(Р) + с3х'3(р) = 0, {с\х>1(р) + С2Х'2(р) + СзХ'3(р) = 0.

Определитель этой системы есть определитель Вронского и поэтому отличен от нуля. Значит С1 = С2 = Сз = 0 и отсюда f (х) = 0, тогда и(х, у) = 0.

При а1(х) = 0, а2(х) = 0, х € [0,р] легко можно показать, что и(х,у) = 0. Теорема 1 доказана. □

Замечание. Отметим, что при нарушении условия теоремы 1 однородная задача В2 для однородного уравнения (2) может иметь нетривиальные решения. Например, можно легко убедиться, что при р = 1, д = ж, а,1(х) = 0, а2(х) = —(^3 + 1) < 0, где ^ > 0 — решение уравнения

г-3^/2 — » — I) =0

задача

иххх(х, у) — (V3 + 1)и(х, у) — иуу(х, у) = 0,

иу(х, 0) = иу(х, ж) = 0, и(0, у) = их(1, у) = ихх(1,у) = 0

имеет нетривиальное решение вида и(х, у) = [еКу — 3) — е-»х/2 8т(^(1 — х) — |) +

сов у.

Отсюда следует, что если а2 является параметром разделения, то при а2 ^ 0 задача корректно поставлена, а при а2 < 0 задача поставлена некорректно, т.е. существует спектр.

Теорема 2. Пусть выполняются следующие условия:

1) ау(р) = 0, ау(х), а2(х) € С2[0,р];

2) С< шт' у

.Кр(1 + Ху)' р3 + 2р2. _

3) фг(у) еС3[0,д], ф'1(0)=ф'г(д)=0, 1 = 1,3;

4) ЧЩ^ € С[П], ду(х, 0) = ду(х, д) = 0, 0 ^х < р. Тогда решение задачи В2 существует. Здесь

С = шах{ 1ау(х)1,1а!у(х) — а2(х)1, х е [0,р]}

1 ( 2^3тг \

1—ехп ——)

ду = 3 (;)2, К = 3

3

Доказательство. Рассмотрим следующую задачу Штурма—Лиувил-

ля:

{У(у) + ^У (у) = 0,

\У'(0) = ¥'(д) = 0. ( )

Известно, что нетривиальное решение задачи (5) существует только при

А3 = А3 = п = 0,1,2,....

Числа Ап являются собственными значениями задачи (5), а соответствующие им собственные функции имеют вид

Уо(у) = —, п = 0; Уп(у) = <-со& ^, п = 1, 2, 3,.... лД У д д

Собственные функции Уп(у), п = 0,1, 2,..., образуют полную ортонор-мированную систему в Ь2(0, д), поэтому функцию д(х,у) можно разложить в ряд Фурье:

те

9(x, У) = ^9п(х)Уп(у),

где дп(х) = [ д(х, г])Уп(т])(1т]. Jo

п=У

т

Ю 174

Решение задачи В2 ищем в виде

те

и(х, у) = ^Хп(х)Уп(у). (6)

п=0

Формально считая, что (6) удовлетворяет уравнению (2), и подставляя (6) в (2), с учетом граничных условий (4) получим задачу

\Х'П + а1(х)Х'п + а,2(х)Хп + \Пхп = 9п(х), (7)

\Хп(0) = фы, хп(р) = ф2п, хп(р) = фзп, ( )

где фгп = ( фг(г])Уп(г])(1т], 1 = 1, 3. Jо

Задачу (7) решаем с помощью функции Грина, для построения которой сначала обнулим краевые условия. Введем обозначение

Уп(х) = Хп(х) — Рп(х), (8)

где

Рп (х) = Ф1п + ХФр2п + ---—^-Фъп. (9)

Подставляя (8), (9) в (7), получим задачу

\Уп + >1Уп = ЛЩп(х) — счУп — а2Уп, {Уп(0) = Уп(р) = Уп (р) = 0,

где

((12 (х) Л (ха2(х)+й1(х) \

¡п(х) = — ^ —+ 1)Фы — ^-^- + х) Ф2п —

(хсч(х) — рсц(х) — ха,2(х)р + 02(0)2 + 12_ + 9п(х)

I лп + лп Ж +2Ж РХ)Фп + хп .

Задача (10) при Ло = 0 имеет вид

Ы" = /о(х) — О1(х)У0 — 02(х)Уо,

\Уо(0) = у,'(р) = У0'(р) = 0, ( )

(10)

где

¡о(х) = до(х) — Фю02 (х) + {—(Ц(х) — ха2(х))ф20 +

+ (^—х а1(х) + ра1 (х) — 1х2а2 (х) + рха2(х)^ф2о. Задача (11) эквивалентна интегральному уравнению вида

ГР ГР

У(х) = Со(х, ОЫ№— ау (ОСо(х, ОЦ0(0^ — .)о .)о

г р

— а*2(ОСо(х, т(Ч№ (12) о

Здесь

со(х, о = Ь(х, 0 ^(13)

0( , &20 (X, О, У }

— функция Грина для задачи (11); Су0(х, = — т^.х2 + £х, С20(х, = у{2. Интегрируя по частям второй интеграл в (12) и вводя обозначения

Г Р

аю(х)= С0(х, 0МО^, ■)0

С0(х, 0 = {а'у(0 — а2(0)С0(х, £) + ау(£)в0£(х, О,

получим

Г Р_

У0(х)=а0(х)+ С0(х, ОУ0((Щ. (14)

0

Уравнение (14) является интегральным уравнением Фредгольма второго рода, которое будем решать методом итераций:

г р_

Ут(х)=а0(х)+ С0(х, £)Ут-у(0<1£, т = 1,2,3,...; Ц)(х) = а0(х). 0

Первое приближение имеет вид

г р_

Уу (х)=а0(х)+/ С0(х, £)а0(£)(!£; 0

второе приближение имеет вид

гр ___

У2(х) = а0(х)+ {р0(х, 0 + Су(х, 0)а0(0(£, 0

где

__гр_ _

Су (х, 0= С0(х, з)С0(8, £)((8. 0

Ц)(х) = а0(х) + ! (с0(х, О + ^ Ст(х, 0^а0(0^,

Если продолжить процесс бесконечно, то получим

г-р /_

" (%, 6 +

т=У

где

__гр_ _

Ст(х, 0= С0(х, 8)Ст-у(8,т = 1,2,3,.... 0

Если формально считать, что ряд

те

Ко(х, О = Со(х, О + ^ Ст(х, О

т=1

сходится, то решение уравнения (14) получим в виде

Г Р

Уо(х) = ао(х)+ Ко(х, 0ао(0^. о

Значит решение задачи (10) имеет вид

ио(х, у) = Хо(х)Уо(у) = -— (Уо(х) + ро(х)). (15)

Оценим полученное решение. В дальнейшем максимальное значение всех найденных в оценках положительных известных постоянных будем обозначать одной буквой М.

Сначала найдем оценку для (13):

1Со(х, 01 < \р2, (ж, 01 < Р.

Тогда

|Со(х, 01 + р (,7ор),

1

где .1о = С|^р2 + р\.

Для оценки резольвенты Ко (х, £) имеем

1По(х, 0| < \Со(х, 0| + \С1(х, 0| + ■ ■ ■ + \Ст(х, 0| + ■ ■ ■ . Найдем мажорирующий ряд:

— (Р — — 1

^т(х, 0| ^(х, з^^т-Лз, -(Зор)т+1, т = 1,2,3,.

7о р

1 те

В итоге мажорантный ряд имеет вид — N ( .1ор)т.

Р 1

т=1

Условие 2 теоремы 2 можно записать в виде

С < 6 \ 2 ^ С р6 + 2р2

12

-Р +Р

1

< -,

Р

отсюда ,1оР < 1. Тогда мажорирующий ряд является суммой членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии. В этом случае резольвента равномерно сходится и ее оценка имеет вид

|К <*■ «>| < г^

Отсюда ao(x) и Vo(x) имеют следующие оценки:

С р

Ых)| < / IGo(x, Oil go(tm <м,

J0

г р

|Vo(x)| < |ас(х)| + l Ro(x, Ol lMOldi < М. Jo

Тогда

luo(x)l <М, lu'0'(x)l <М. Решение задачи (10) при n £ N ищем следующим образом:

гр ГР

Vn(x) = Xin Gn(x, О fn(№- Gn(x, Oai(OV^(OdC -Jo Jo

г р

- Gn (x, (i)Vn(№, (16) o

где

Gn(x. «=(G1n(x1!' 0 <x < (17)

[Gn(x, 0, C<x <p — функция Грина задачи (10). Здесь

Gin(x, О = {-ех"(р-*-2) sln(+ 6) - —§) cos -^p +

+ ef-f) cos{ —-\»(x - p)) + еХп(Р+f-§) sln(- x) + 6) -

x (i + p x) V3 f\3. .

- 2 e-x"( 2+2 - 2) sm—\nx cos^—\n(i - p) +

„ , 1 Г „ злп; . /л/3. А К \

Gn(x, О = тз^А 1 - 2е - ^ + б)

1 еАп(^Р-Х) + е MS-1 + f) cos(-3^n(x - p))

. л/3 \ -Г- _ „ ЗХ„Р л/3 ,

А = ^ех"РА, А = 1 + 2е—2- cos^-\np. Покажем, что А = 0. Для этого рассмотрим следующую функцию:

A(t) = 1 + 2 е-V3t cos t, t = ^\пР .

Значения критических точек этой функции запишутся в виде

2ж

t k = — + жк, к = 0,1,2,.... 3

х

Величина А(Ь) принимает минимальное значение только при к = 0. Тогда

А ^ 1 — ехр^--^ > 0.

Это доказывает отсутствие «малого знаменателя», отсюда А = 0. Интегрируя по частям второй интеграл в (16) и учитывая условие 1 теоремы 2, имеем

г р

Vn(x) = \3n Gn(x, О+

J0

+ Г/»GG^o am +

/о - »i

Для удобства введем следующие обозначения:

с р

ai(0 + Gn(x, ОШ) -a2(0))vn(0<%. (18

ГР

У0п(х) = А3п Сп(х, ОШ(%, 0

Сп(х, О = ЭЩ^Иау(0 + Сп(х, 0Ш0 — 0,2(8). Тогда (18) примет вид

г р_

У*(х) = У0п(х)+ Сп(х, 0Уп((Щ. (19)

0

Уравнение (19) является интегральным уравнением Фредгольма второго рода, решение которого запишем с помощью резольвенты в виде

ГР

Vn{x) = Von{x)+ Ra(x, 0Voa(0d(, (20)

0

где резольвента имеет вид

те

Rn(x, О = Gn(x, О Gmn(x, О',

m=1

__ГР_______

Gmn(x, 0= Gn(x, s)G(m-1)n(s, £)ds, m = 1,2,3,...; Gon(x, s)=Gn(x, s). 0

В силу формулы (6) с учетом (8), (15) и (20) решение задачи В2 запишется в виде

те

u(x, у) = Uo(x) + ^2(Vn(x) + pn(x))Yn(y).

n=1

Учитывая условие 3 теоремы 2 и интегрируя по частям фгП три раза, получим оценку

QV 1ф-1 • т^

(-)3^, i = h3, (21)

т ¡2 П . . кп

где Фгп = \~ Фг (V) вт-Г](1Г].

0

Интегрируя функцию дп(х) по частям два раза, учитывая условие 4 тео-

г д

ремы 2 и вводя обозначение Еп(х) = / дщ(х,^)Уп(т])(1'д, получим

0

дп(х) = (—) ^п(х).

' п

Отсюда имеем оценку

\9п (х)1 ^М . (22)

п2

Учитывая оценки (21), (22), получим

\Ш\ < МОФуп\ + \Ф2п\ + |Фз«.! + ^^).

Аналогично имеем

\ Ш\ < М (' Фу™ \ + \ Ф2п \ + \Фзп\ + ^^). (23)

Из (17) получим следующие оценки:

К

АН

'п

дСп (х, О

\Сп(х, О \ ^ту, ^. (24

д

К

А

■п

Используя оценки (24), получим оценку для Сп(х, £) в виде

\ С \ < \ ау(0 \ | дСп(д^ 0 | + К (О — а2(0\ \Сп\ < (у + -1 )КС.

Оценим резольвенту:

\ Еп(х, О \ < \ С0п(х, О \ + \ Суп(х, О \ + \ С2п(х, О \ + ••• + \ Стп(х, £) \+ ••• .

Для правой части этого неравенства составим мажорирующий ряд. Вводя обозначение

=(АУ+

находим

\ Суп(х,О\ < \ сп(х,О\ < КС(А- + А2) < ,]у,

__ГР ___

\ Стп(х, О \ ^ \ Суп(х, з) \ \С{т-у)п(8,0 \ (в ^,7?рт-у, т = 2,3,4,.... 0

1 те

Тогда мажорирующий ряд имеет вид - ^^ (3\р)т.

Р т=у

Условие 2 теоремы 2 можно записать в виде

c<K(A+x ) * (1 + 1)кс< Р,

Kp (1 + Ai) Wi \iJ p

отсюда

Jip < 1.

Тогда мажорирующий ряд является суммой членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии. В этом случае резольвента равномерно сходится и оценка имеет вид

lR(x, Ol < T-JJ^p <М. (25)

В каждом из интервалов 0 < x и x < £ < p функция Gn(x, £) = = --X-Gn££t(x, £), рассматриваемая как функция от переменной £, является решением уравнения

Gnttt(x, 0 + AnGn(x, 0=0.

Подставляя Gn(x, £) в Von(x), имеем

гх гр

Von(x) = - G2nm(x, 0 fn(№ - Ginttdx, о fn(OdO

0 х

Интегрируя по частям Von(x) один раз и учитывая равенство Gin^(x,x) -- G n ( x, x) = 1, находим

г р

Von(x) = fn(x) + G2ntt(x, 0) fn(0) - Gntt(x, ош<%.

o

Учитывая оценки

lG2nHa(x, 0)l < K, lGin^(x,p)l < K = const,

получаем

lVon(x)l < М (IФш1 + l^2nl + l^3nl) + П4(IFn(x)l + lFn(0)l + K(x)l). (26) Из (25) и (26) получим оценку

3

lVn(x)l < М E + 1(lFn(x)l + lFn(0)l + lFn(p)l + 1).

i=i

Учитывая оценку

1 Pn(x) l < М (I Vinl + l^2nl + l^3nl),

|и(х, у)| < | ио(х)| + ¿(1 Уп(х)| + | Рп(х)|)

<

<

п=1 те 1 3

М + + п?+ |^(0)| + ^(р) + 1) <

п

п=1 г=1

Покажем сходимость иххх(х, у). После некоторых вычислений находим УЩ'(х) в следующем виде:

Уп (х) = ЛШп(х) — а1(х)(уоп(х) + £ КпХ(х, ОУоп(№) — — а2(х)(^Уоп(х) + £ Кп(х, 0Уоп(0^) —

— Л3п(Уоп(х) + £ Кп(х, ОУопШ^ . Используя оценку (23) и свойства функции Грина, находим

Уп^ < М (|Фш| + Ы + |Ф3п| + ^^ + Л , КпАх, 0| < п2/3м п'/3 V п /

Далее имеем

Отсюда

К' (®)| < ММ Е |Фгп| + М 0^)| + |^(0)| + |ЗД)| + 1). п =1 п

1

Кхх(х, у) ^М + М^2п 0Ф1п| + |Ф2п| + |Ф3п|) +

п=1

1

+ Е ПП2 + ^пШ + |ЗД)| + 1).

п

п=1

Используя неравенства Коши—Буняковского и Бесселя, имеем Кхх^, у^ ^М + М

(

\

Е|фт|2+

п=1

\

Е|*2" |2 +

п=1

\

те

Е | ^^ 3п |2 |

п=1 )

\

V —

^ п2

п=1

1

+ Е 1 0^)| + |ЗД)| + |ЗД)| +1)

<

п=1

^М + М\1 - {\\Ф1'\\Ыо,д) + \\ФЧ'\\ыы + Ш'и^)) +

те

+ Е -2 0^)| + ^пШ + ^пШ + 1) <

п=1

2

Здесь

те те 1 _2

£|^ I 2 < \\Г \\ЪШ, 1 = ^; Е ^ = у.

П=1 П=1

Учитывая неравенство

I иУУ (х, у) I ^ I иххх(х, у) I + I (11 | | их(х, у) I + I (12 I I и(х, у) | ,

можно заключить, что и и,уу тоже сходится.

Решение задачи В2 можно записать в явном виде:

1 / пр !-р !-р \

и(х, у) = со(х, о+ уо Ео(х, О уо °о(х, 8)+ ро(х)у +

д п=Л ^

ГР ГР \

+ \3П Еп(х, О С п (х, в)¡п(в)(1в+ рп(х) ООв-у.

.)о -)о /Я

(■р ГР

, Еп(х, О < ....... . . ,

'о -)о /Я

Таким образом, теорема 2 доказана. □

Заключение. В прямоугольной области рассмотрена начально-граничная задача для неоднородного дифференциального уравнения в частных производных третьего порядка с кратными характеристиками и с переменными коэффициентами. Единственность решения доказана методом интегралов энергии. Для случая нарушения условий теоремы единственности приведен контрпример. Решение поставленной задачи построено методом функции Грина. Доказана абсолютная и равномерная сходимость данного решения и его производных, входящих в уравнение в замыкании области рассмотрения уравнения.

Конкурирующие интересы. Заявляем, что в отношении авторства и публикации этой статьи конфликта интересов не имеем.

Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.

Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования. Благодарность. Выражаем глубокую благодарность академику Ш. А. Алимову за ценные советы при выполнении этого исследования.

Библиографический список

1. Апаков Ю. П., Умаров Р. А. Решение первой краевой задачи для уравнения третьего порядка с младшими членами, методом построения функции Грина // Вестник Ошского государственного университета, 2022. №1. С. 73-92. 001: https://doi.org/ 10.52754/16947452_2022_1_73.

2. Апаков Ю. П., Хамитов А. А. О разрешимости краевой задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками в трехмерном пространстве в полуограниченной области // Вестник Ошского государственного университета. Математика. Физика. Техника, 2023. Т. 1, №2. С. 13-23. 001: https://doi.org/10.52754/16948645_ 2023_1_13.

Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki

[J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2024, vol. 28, no. 1, pp. 171-185

d https://doi.org/10.14498/vsgtu2030

ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print)

MSC: 35G15

The solution to a boundary value problem for a third-order equation with variable coefficients

Yu. P. Apakov1,2, R. A. Umarov2

1 V.I. Romanovskiy Institute of Mathematics

of the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan, 46, University st., Tashkent, 100174, Uzbekistan.

2 Namangan Engineering-Construction Institute,

12, Islam Karimov st., Namangan, 160103, Uzbekistan.

Abstract

In a rectangular domain, the second boundary value problem for a non-homogeneous third-order partial differential equation with multiple characteristics and variable coefficients is considered. The uniqueness of the solution to the given problem is proved using the energy integral method. For the case where the conditions of the uniqueness theorem are violated, a counterexample is constructed.

The solution to the problem is sought in the form of a product of two functions X(x) and Y(y) using the separation of variables method. An ordinary differential equation of the second order with two boundary conditions on the boundaries of the segment [0, q] is obtained for determining Y(y). For this problem, the eigenvalues and the corresponding eigenfunctions are found for n = 0 and n G N. An ordinary differential equation of the third order with three boundary conditions on the boundaries of the segment [0, ] is obtained for determining X( x). The solution to this problem is constructed using the Green's function method. A separate Green's function was built for n = 0 and another for the case when n is a natural number. It is verified that the found Green's functions satisfy the boundary conditions and properties of the Green's function. The solution for X(x) is expressed through the constructed Green's function.

After some transformations, a Fredholm integral equation of the second kind is obtained, and its solution is written in terms of the resolvent. Estimates for the resolvent and the Green's function are derived. Uniform

Differential Equations and Mathematical Physics Short Communication

© Authors, 2024

© Samara State Technical University, 2024 (Compilation, Design, and Layout)

3 ©® The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) Please cite this article in press as:

Apakov Yu. P., Umarov R. A. The solution to a boundary value problem for a third-order equation with variable coefficients, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2024, vol. 28, no. 1, pp. 171-185. EDN: DTEVGQ. DOI: 10.14498/vsgtu2030 (In Russian). Authors' Details:

Yusufjon P. Apakov https://orcid.org/0000-0001-8805-8917

Cand. Phys. & Math. Sci., Associate Professor; Leading Researcher; Namangan Branch1; Professor; Dept. of Higher Mathematics2; e-mail: [email protected] Raxmatilla A. Umarov® https://orcid.org/0009-0004-4778-4444 PhD Doctoral Student; Dept. of Higher Mathematics2; e-mail: [email protected]

convergence of the solution is proven, along with the possibility of term-by-term differentiation under certain conditions on the given functions. The convergence of the third-order derivative of the solution with respect to the variable x is established using Cauchy-Schwarz and Bessel inequalities. In justifying the uniform convergence of the solution, the absence of a "small denominator" is proven.

Keywords: differential equation, third order, multiple characteristics, second boundary value problem, regular solution, uniqueness, existence, Green's function.

Received: 7th June, 2023 / Revised: 7th February, 2024 / Accepted: 4th March, 2024 / First online: 6th August, 2024

Competing interests. The authors declare that they have no competing interests. Authors' contributions and responsibilities. All authors participated in the development of the article's concept and in writing the manuscript. The authors bear full responsibility for providing the final manuscript for publication. The final version of the manuscript was approved by all authors. Funding. The research was conducted without funding.

Acknowledgments. We express our deep gratitude to Academician Sh. A. Alimov for the valuable advice provided during the course of this research.

References

1. Apakov Yu. P., Umarov R. A. Solution of the first boundary problem for a third order equation with minor terms, a method for constructing the Green's function, Bulletin of Osh State University, 2022, no. 1, pp. 73-92 (In Russian). DOI: https://doi.org/10.52754/ 16947452_2022_1_73.

2. Apakov Yu. P., Hamitov A. A. On solvability of the boundary value problem posed for an equation with the third order multiple characteristics in a semi-bounded domain in three dimensional space, Journal of Osh State University. Mathematics. Physics. Technical Sciences, vol. 1, no. 2, pp. 13-23 (In Russian). DOI: https://doi.org/10.52754/16948645_ 2023_1_13.