КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЁРТОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Челябинский физико-математический журнал. 2023. Т. 8, вып. 2. С. 157-172.

УДК 517.951.2 Б01: 10.47475/2500-0101-2023-18201

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЁРТОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Ю. П. Апаков1'2'", С. М. Мамажонов1'6

1 Институт математики им. В. И. Романовского АН РУз, Ташкент, Узбекистан 2Наманганский инженерно-строительный институт, Наманган, Узбекистан "yusupjonapakov@gmail.com, 6sanjarbekmamajonov@gmail.com

Для уравнения четвёртого порядка с постоянными коэффициентами рассмотрена одна краевая задача в прямоугольной области. Единственность решения поставленной задачи доказана методом интегралов энергии. Решение выписано через построенную функцию Грина. При обосновании равномерной сходимости установлено отличие от нуля «малого знаменателя».

Ключевые слова: уравнение четвёртого порядка, кратные характеристики, младшие члены, краевая задача, единственность 'решения, существование 'решения, функция Грина.

Введение

Изучение многих задач газовой динамики, теории упругости, теории пластин и оболочек приводит к рассмотрению дифференциальных уравнений в частных производных высоких порядков. В частности, с точки зрения физических приложений представляют большой интерес дифференциальные уравнения четвёртого порядка (см. [1-4]).

В данной работе в области П = {(х, у) : 0 < х < р, 0 < у < д} рассматривается уравнение четвёртого порядка

ихххх - иуу + Аиххх + Л2ихх + Лгих + А4и + А5Цу = ^(х,у), где Аг Е К, г = 1, 2, 3, 4, 5, ^(х, у) — заданная достаточно гладкая функция. Заменой

и (х, у) = ехр

А1 А5

- Тх + 1"у

и(х,у)

это уравнение можно привести к уравнению

ихххх(х,у) + а"ихх(х,у) + а,2их(х,у) + а3и(х,у) - иуу(х,у) = f (х,у), (1)

где

а1

А2

3А"

а2 = --

А" 8

А1А2

+ Аз

3А4

аз = -

256

1 + А1А<

2

16

А1Аз А2

-V3 + А4 + А,

4 4 4

8

2

/ (Х,У) = ехр

А1 А5

—х--у

4 2 у

Р (х,у).

Уравнение (1) в литературе называют уравнением четвёртого порядка с кратными характеристиками и второй производной по времени.

Монография Т. Д. Джураева, А. Сопуева [5] посвящена классификации дифференциальных уравнений в частных производных четвёртого порядка и решению краевых задач для таких уравнений. Согласно лемме 1.3 из [5] уравнение (1) относится к параболическому типу.

В работах [6-11] изучен ряд корректных краевых задач для уравнений третьего порядка с кратными характеристиками; разработанную в этих работах методику применим здесь для уравнения четвёртого порядка.

Д. Аманов, М. Б. Мурзамбетова в работе [12] рассмотрели задачу с краевыми условиями для неоднородного уравнения четвёртого порядка с кратными характеристиками при а1 = а2 = 0. К. Б. Сабитов, О. В. Фадеева в [13] решили задачу с начальными и граничными условиями для вынужденных колебаний консольной балки. Б. Ю. Иргашев в статье [14] изучал краевую задачу для уравнения высокого порядка с кратными характеристиками методом построения функции Грина. В работе [15] метод Фурье используется для решения краевой задачи для модельного уравнения произвольного чётного порядка. А. К. Уринов и М. С. Азизов в работе [16] исследовали задачу для уравнения четвёртого порядка с неизвестной правой частью.

Задача, изучаемая в данной статье, во многом отличается от тех, которые исследованы в перечисленных выше работах. Во-первых, в уравнение включены младшие члены. Во-вторых, в вышеупомянутых работах собственные функции найдены для дифференциального оператора по переменной х. В данном случае будет использовано разложение по собственным функциям дифференциального оператора по переменной у, а по х решается задача с построением функции Грина, при этом получается интегральное уравнение Фредгольма второго рода. Решая это уравнение, находим решение поставленной задачи.

Постановка задачи

Для уравнения (1) в области П изучим следующую задачу.

Задача (А). Найти функцию и(х, у) из класса С^П) П ^¿(Й), удовлетворяющую уравнению (1) в области П и следующим краевым условиям:

иу(х, 0) = 0, иу(х, q) = 0, 0 ^ х ^ р,

и(0,У) = ^(У), и(Р,У) = Ф2(У), ихх(0,У) = фз(У^ ихх(р,у)= ф4(У), 0 ^ У ^ q, (2) где фг(у), г = 1, 2, 3, 4, /(х,у) — заданные достаточно гладкие функции, причём выполняются условия согласования

ФК0) = Ф= 0, г = 1, 2, 3, 4, /у (х, 0) = /у (х, q) = 0.

Отметим, что уравнение (1) рассмотрено в работе [12] при а1 = а2 = 0, а3 = 0; в работах [13-16] исследованы краевые задачи для уравнений четвёртого порядка спектральным методом. При этом собственные числа и собственные функции были найдены для дифференциальных операторов по х. В данной работе используются собственные числа и собственные функции для оператора второй производной по переменной у, в дальнейшем исследования проводятся для старших производных по х.

Основные результаты

Теорема 1. Если задача (А) имеет решение, то при выполнении условий а1 ^ 0, а3 ^ 0 оно единственно.

Доказательство. Предположим обратное, пусть задача (А) имеет два решения и1(х,у) и и2(х,у). Тогда функция и(х,у) = и1(х,у) — и2(х,у) удовлетворяет однородному уравнению (1) и однородным краевым условиям. Докажем, что и(х,у) = 0 в П .В области П справедливо тождество

и£[и] = иихххх + а1иихх + а2иих + а3и2 — ииуу = 0,

т. е.

д^х {ииххх - ихПхх + а1иих + 1 а2и2^ + и2хх - а1и2х + ази2 - (ииу) + и2у = 0. (3)

Интегрируя тождество (3) по области П и учитывая однородные краевые условия, получим

р я р я р я р я

У J ихх(х,у)^жйу-а^ J их(х,у)^х^у+а^У J и2(х, J и^(х,у)^х^у = 0.

00 00 00 00

Если а1 = 0, а3 = 0, то из третьего слагаемого получим и(х, у) = 0. Пусть а1 = а3 = 0, тогда имеем ихх(х,у) = 0, и(х,у) = с1(у)х + с2(у). Учитывая однородные краевые условия, получим и(0,у) = с2(у) = 0, и(р,у) = с1(у)р = 0, поэтому с1(у) = 0, а значит, и(х,у) = 0. □

Замечание 1. Отметим, что при нарушении условий теоремы 1 задача (А) для однородного уравнения (1) может иметь нетривиальные решения. Например, легко можно убедиться, что при

2 (2 а1 = — , а2 = 0, а3 = - — 1

p ) V q /

задача

nk\ 2 ( пи4 2

— uxx(x,y) - —

p / V q

uxxxx (x,y)+( — ) uxx(x,y) -( — ) u(x,y) - uyy = 0,

uy(x, 0) = uy(x, q) = 0, ^u (0, y) = u (p, y) = uxx (0, y) = uxx (p, y) = 0 имеет нетривиальные решения вида

/пк N /пи \

un k (x,y) = sin— x cos— y , k E N, и = 0,1, 2,...

' V p / V q /

Теорема 2. Пусть выполняются следующие условия: 1) ^i(y) E C3[0,q], ф'г(0) = ф'г(q) = 0, i = 1, 2, 3,4;

^ d3f (x,y) E C(Й), / |fyy(x,y)|dy < / |fxyy(x,y)|dy < fy(x, 0) =

0 0

öxöy2

fy(x,q) = 0; 0 ^ x ^ p;

1 ß3(1 - e-2ßip)2

3) max(|ßi|, |a21, Ы) < min ^ ^ --—, ———_0 2, > , где

2p2(1 + p + p2)' p(3 + 3^(1 + e-4^) + 2^2)

2q-

4

ßl- 'v

Тогда существует решение задачи (А). Доказательство. Рассмотрим следующую задачу:

У"(у) + ЛУ (у) = 0, У(0) = У/(q) = 0.

Её решение имеет вид

Yn (y)

1

—, n = 0, л/Q

2

Л = An = (

V q

cos ^УЛП^ , n G N, Решение задачи (A) ищем в виде

те

i(x,y) = Xn (x) Yn (y)

n=0

n = 0,1, 2,...

(4)

Подставим (4) в уравнение (1) и, учитывая граничные условия (2), получим задачу X(4) (х) + а1Х// (х) + а2Х/ (х) + азX (х) + Л„Х (х) = / (х) ,

X (0) = X (p) = ^n, X" (0) = ^3n, X" (p) = ^n,

(5)

где фг„ = / Фг (п) Уп (п) ^п, г =1, 2, 3, 4, / (х) = / / (х, п) Уг (п) <^п, п = 0,1, 2,... 0 0 Решение задачи (5) находим методом построения функции Грина. Для этого

сделаем краевые условия однородными. Введём обозначение

где

vn (x) = Xn (x) - Pn (x)

Pn (x) = Ci (x) ^in + C2 (x) ^2n + C3 (x) ^3n + C4 (x) ^4n,

(6)

(7)

Ci (x)

1 - x p

x 3x2p _ <x3 _ 2xp2

C2 (x) = , C3 (x) = ---, C4 (x)

p 6p

32 x3 - xp2

6p

Учитывая (7), подставим (6) в (5) и получим задачу

К(4) (х) + Л„К (х) = 0га (х) - а^ (х) - а2^П (х) - аз К (х)

Здесь

К (0) = Vn (p) = Vi' (0) = УЦ (p) = 0.

gn (x) = fn (x) + din (x) ^in + d2n (x) ^2n + ^3n (x) ^3n + ^4n (x) ^4n, , / 4 «2 + Й3 (x - p) , - , , Й2 + «3x , -

din (x) =--AnCi (x), d2n (x) =---AnC2 (x)

(8)

p

p

, , , 6 (x — p) ai + (3x2 + 2p2 — 6xp) a2 + (x2 — 3xp + 2p2) xa3 . , ,

d3n (x) =----AnC3 (x)

6p

, , . (p2 — 3x2) a2 — 6xai + (xp2 — x3) a3 , .

d4n (x) = ----AnC4 (x).

6p

2

где

Сначала ищем решение задачи (8) при Ао = 0

Vo(4) (x) = go (x) - aiVO" (x) - <22 V (x) - <23 V (ж) ,

Vo (0) = VO (p) = V" (0) = V>" (p) = 0,

go (x) = fo (x) + dio (x) фю + d20 (x) Ф20 + d30 (x) Ф30 + d4o (x) Ф40,

... Й2 + «3 (x — p) , , , Й2 + «3x

dio (x) =-, d20 (x) =--,

pp

6 (x — p) a1 + (3x2 + 2p2 — 6xp) a2 + (x2 — 3xp + 2p2) xa3

d30 (x)

d40 (x)

6p

(p2 — 3x2) a2 — 6xa1 + (xp2 — x3) a3

(9)

6р

Фг0 = J Фг (п) Уо (п) ^п, г =1, 2, 3, 4, /о (х) = J / (х, п) Уо (п) ^ 00 Согласно теореме Гильберта [17], решение задачи (9) ищем в виде

р р

V. (х) = 1 Со (х, 0 #0 (С) dС - а1 у Со (х, ^ У," (О 00

р р

- а2 У Со (х, О У/ (С) dС - аз У Со (х, С) Уо (С) (10) 00

где С0(х, С) — функция Грина задачи

' Уо(4) (х) = 0,

Уо (0) = Уо (р) = У" (0) = Уо// (р) = 0, которая имеет следующий вид:

1 /х (С - р) (С (С - 2р)+ х2) , 0 ^ х<С ^ р,

Со (х, С) — — \ /

6р |С (х - р) (х (х - 2р)+ С2) , 0 ^ С<х ^ р.

Интегрируя по частям в равенстве (10), имеем

р р

у0 (х) - У (-а1Со?? (x, С) + а2Со§ (х С) - азСо (х С)) уо (С) dС = У Со (x, С) #0 (С) dС. оо

(11)

Для удобства введём обозначения р

ао (х) = У Со (х, С) #о (С) <5о (х, С) = -а^о^ (х, С) + а2Со? (х, С) - азСо (х, С), о

тогда (11) имеет вид уравнения

р

Уо (х) - I Со (х, С) Уо (С) ^С = ао (х), (12)

которое представляет собой интегральное уравнение Фредгольма второго рода. Находим решение (12) с помощью последовательных приближений. Обозначим нулевое приближение >00 (х) = а0 (х) и запишем (12) в виде

р

У0т (х) = а0 (х) + J Й (х, £) И(т-1) (£) Л£, т =1, 2,... 0

Имеем 1-е приближение

р

V« (х) = а» (х) + / б» (х,£) ао К) С

0

2-е приближение

р

>02 (х) = а0 (х) + J 60 (х, в) V,! (в) Лв = а0 (х) + 0

р / р \

+ У 60 (в, £) | а0 (в) + У 60 (в, £) а0 (£) Л£ | Лв = а0 (х) +

р р р

+ / ЙО (х,£) а„ К)+ / ЙО (х,.) /ЙО (., £) а0 К)

0 0 0

В повторном интеграле поменяем порядок интегрирования, введём обозначение

р

Й1 (х, £) = У Й0 (х, в) Й0 (в, £) Лв 0

и получим

р

>02 (х) = а0 (х) + У (Й0 (х, £) + Й1 (х, £)) а0 (£) Л£. 0

Продолжая этот процесс, находим

V) (х) = а0 (х) + I I Й0 (х, £) + ^ Йт (х, £) I а0 (£) Л£,

0 V т=1 /

Р

где Йт (х, £) = / Й0 (х, в) Йт-1 (в,£) Лв, т = 1,2,

0

Введём обозначение для функции

те

Д (х, £) = Й0 (х,£) + ^ Йт (х,£),

т=1

которую называют резольвентой решения уравнения (12), тогда

р

V« (х) = а0 (х) + / Д (х,£)а0 (£)

0

Таким образом, при Ао = 0 решение задачи (9) имеет вид

ио (х) = (Уо (х) + ро (х)) Уо (у) = — (Уо (х) + ро (х)) ,

где ро (х) = С1 (х) фю + С2 (х) + Сз (х) фзо + С4 (х) ^4о.

В дальнейшем максимальное значение всех используемых в доказательстве положительных констант будем обозначать через М. Легко показать, что

|Со (х,С)| ^ 2р3, |Со? (х,С)| ^ 2р2, |Соее (х,С)| ^ 2р,

| Со (х, С) | ^ 2Ср (1 + р + р2), |ро (х) | ^ М.

Оценим Мо (х). Для оценки резольвенты имеем

|Яо (х,С)| ^ |<5 о (х,С )| + |С 1 (х,С )| + ••• + |<5т (х,С)| + ...

Используя обозначение = 2Ср (1 + р + р2) , составим мажорирующий ряд следующим образом:

|Со (х,С)| ^ 2Ср (1+ р + р2) ^ 11 (Лр),

р

р

|С1 (х,С)| ^ / (х,в)| |<5о (5,С ^ ^Лр)2,

р

о

р

|С2 (х,С)| ^ /|<5о (х,5)| |С1 (5,С)| ^ ^(Лр)3, ...,

р

о

Р

|<5т(х,С) ^ |<5о (х,в)||<5т-1 (в,С)| ^ ^ -(/1р)т+1,...

-р

о

Таким образом, мажорирующий ряд имеет вид

.. те

- Е «р)"'

1 т=1

Если выполняется условие /1р < 1, то он является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Отсюда имеем достаточное условие сходимости мажорирующего ряда:

С := тах^а!^ ^^ |аз|} < 1 . (13)

2 р2 (1 + р + р 2 )

При выполнении условия (13) находим оценку

|Яо (х,С)| ^ —^т ^ М. (14)

1 - Лр

Для ао (х) получим неравенство

р

|ао (х)| ^ I |Со (х,С)| |#о (С)| ^ ^ М. (15)

о

Согласно (14), (15) находим следующие оценки:

|uo (x) | С M, u04) (x)

С M.

(16)

Переходим к исследованию задачи при п Е N. Ищем решение задачи (8) в следующем виде:

р р

Уп (х) = 1 ап (х, Оди (О - / сп (х, О («УП (£) + «2УП (0 + «аУп (0) С (17) 0 0

где Gn(x, C) — функция Грина задачи

Vj4) (x) + AnK (x) = 0,

vn (0) = Vn (p) = vnn (0) = vnn (p) = 0,

которая имеет вид

Gn(x, О = { ^n

Gn (x, c), 0 с x<e С P, Gn (x, C) , 0 С C<x с p.

Здесь

Gn (x, )

1

2^Д

{[cos (^np) sh (^p) (cos (^n (C - p)) sh (^n (C - p)) -

- sin (^n (C - p)) ch (jn (C - p))) +

+ sin (^np) ch (^np) (cos (^n (C - p)) sh (jn (C - p)) + + sin (j, (C - p)) ch (^n (C - p)))] cos (^nx) sh (^nx) + + [sin (^np) ch (^np) (cos (jn (C - p)) sh (^n (C - p)) -- sin (jn (C - p)) ch (jn (C - p))) - cos (jnp) sh (^p) (cos (jn (C - p)) sh (jn (C - p)) - sin (jn (C - p)) ch (jn (C - p)))] sin (jnx) ch (jnx)}

Gn (x, C)

1

{[cos (jnp) sh (jnp) (cos (jnC) sh (jnC) - sin (jnC) ch (jnC)) +

где

+ sin (jnp) ch (jnp) (cos (jnC) sh (jnC) + + sin (jnC) ch (jnC))] cos (jn (x - p)) sh (jn (x - p)) + + [sin (jnp) ch (jnp) (cos (jnC) sh (jnC) -- sin (jnC) ch (jnC)) - cos (jnp) sh (jnp) (cos (jnC) sh (jnC) + + sin (jnC) ch (jnC))] sin (jn (x - p)) ch (jn (x - p))} ,

- - 1 + p-4^np /nn д = _e2^pA, Д = ^--cos (2jnp) e—2^nP, jn = W^

Предположим, что Д = 0, тогда 2cos(2jnp) = e2^nP + e 2^nP. Известно, что e2^nP + e-2^nP > 2 и 2 cos (2jnp) С 2. Получена система неравенств

e2MnP + e-2MnP > 2

2 cos (2jnp) С 2,

которая не имеет ни одного решения. Итак, Д = 0.

Чтобы оценить Д снизу, будем считать, что cos(2jnp) = 1, тогда имеем

д ^

1 + e-4MnP 2"

e

-2^nP

1 (1 -

?—2^nP\2

Правая сторона этого неравенства при дискретных значениях п возрастает, поэтому при п =1 принимает минимальное значение, поэтому

1( )2 Д ^ -{1 - е-2^р)2 = 8 > 0.

Это доказывает отличие от нуля «малого знаменателя». Интегрируя по частям в равенстве (17), имеем

К (х) - у (-а^п^ + а2Сга? - азС„) К (С) ¿С = J Сп£п (С) ¿С. (18)

оо

Для удобства введём обозначения р

«п (х) = J (х, С) £п (С) ¿С, С (х, С) = -а^^ + а2Сга? - азС„, (19) о

тогда (18) является интегральным уравнением Фредгольма второго рода

р

Уп (х) - У ( (х, С) Уп (С) ¿С = ап (х). (20)

о

Запишем решение (20) с помощью резольвенты:

р

Уп (х) = ап (х) + У Яп (х, С) ап (С) ¿С, (21)

о

где

те

Яп (х, С) = С (х, С) + Е Стп (х, С) , Соп (х, С) = С (х, С) ,

' тп

т=1

р

(Стп (х,С) = ^ (5п (х,5) (5(т-1)п (в, С) ¿5, т = 1, 2, 3, . . . о

В силу (4), (6), (7) и (21) решение задачи (А) имеет вид

те те

и (х, у) = Е (Уп (х) + Рп (х)) Уп (у) = ио (х) + Е (Уп (х) + Рп (х)) Уп (у). (22)

Проверим это решение на сходимость. Сначала оценим резольвенту:

|Яп (х, С )| ^ |(5 п (х, С) | + |(51п (х, С) | + ••• + |Стп (х, С) | + ...

Для правой части этого неравенства составим мажорирующий ряд. После некоторых вычислений получим оценки

К К 2К

-з , |Сп? (х,С)| ^ -г (1 + е-4м"р) , |Сп?? (х,С)| ^ —,

Рп —п —п

р

р

где К = 215 = (1 — е 2"1р) 2. Учитывая эти оценки и (19), имеем |Сп (ж,С)| ^ (—+ -1 (1 + е-4"пр) + -М СК

\ —п —п —п /

При п =1 введём обозначение

2 1 , 1

-4"1р

-1 -1 ' -1

У = - + -* (1 + е-4"1р) + -3 СК

и получим |Сп (ж, £)| ^ У2. Используя эту оценку, получим

|ёп (ж,С)| — + -1 (1 + е-4"пр) + -Л СК ^ - (^р)

V—п —п —п / —

2 12 ( е-4"пр) + -И СК ^ ^у-

- п - 2п - 3п Р

р

|с^1п(ж О пп (в, £) | ^ ^ -(72Р) ,

Р

0

р

|^2п (ж, С )| ^ |Сп (ж, в) |С1п (^С) ^ ^ -(/2Р)3,...,

Р

0

р

ртп (Ж,С)| ^ У ^п (Ж, 5)| |С(т-1)п (5,^)^5 ^ Р(У-)™*1, Ш =1, 2,... 0

Тогда мажорирующий ряд имеет вид

те

1Е у-г

^ т=1

Достаточное условие У2р < 1 сходимости ряда имеет вид

2 3 3 \

— + ^ (1 + е-4"1р) + — СКр < 1.

- 1 - 21 - 31

Отсюда получаем условие

-3(1 — е-2"1р)2 р (2-2 + -1 (1 + е-4"1р) + 1)'

С < — ° _4" , ^. (23)

Замечание 2. Неравенство (23) выполняется, например, если р =1, д = п, -1 = 1. Тогда С ^ 0.186. Берём С = 0.16, тогда есть бесконечно много чисел а1, а2, «3, удовлетворяющих условия теоремы единственности, например, а1 = — ^ < 0,

«2 = — 30, а3 = 40 > 0.

Если выполняется (23), то для резольвенты получим оценку

Л

К(ж,£)| ^ -У- ^ М. (24)

1 — У2-

Теперь оценим ап (ж). Сначала, учитывая условия согласования, интегрируем по частям п € N три раза, а /п (ж), п € N два раза, и получаем

/ (д\3 фгп . 1 0 „ , , ( л ( д \2 фп (ж)

тгп = (-) —т", г = 1, 2, 3, 4, /п (ж) = —— -,

п3 \пп/ п

,— q q

где Фт = JЧ ф'''г (n) sin nf ndn, i = 1, 2, 3, 4, Ф„ (x) = / /w (x, n) Yn (n) dn-V 0 0 Отсюда имеем следующие оценки:

M M

Ы ^ — |*in| , |/n (x)| ^ — |Ф„ (x)| , i =1, 2, 3, 4, n e N. (25) n3 n2

Функция Грина удовлетворяет уравнению (x,£) + AnGn (x, £) = 0. Тогда,

подставляя Gn (x,£) = — (x,£)/An в an (x), имеем

p

an (x) = — A^/(x,C)gn (£) 0

Учитывая, что Gnggg(x, x + 0) — Gnggg(x, x — 0) = 1, интегрируем по частям один раз и находим

p

an (x) = A" ( gn (x) — gn (p) (x, P) + gn (0) (x 0) + / (x, £) g'n )

Учитывая (24), (25) и ранее найденные оценки

|gn (x)| ^ |Фт| + -2 Ф (x)| , |g'n (x)| ^ -Y, l^ínl + -2 |Ф'п (x) |

n n2 n n2

i=1 i=1

находим оценку

— , —

|an (x)| ^ - £ l*«l + -4 (1 + |Фп (x)| + |Фп (0)| + |Фп (p)|). (26)

n3— n4

i=1

Согласно (24), (26) имеем

|Vn (x)l ^ - £ + - (1 + |Фп (x)| + |Фп (0)| + |Фп (p)|). (27)

— , —

(х)| ^ П^^- '^п| + П4 (1 + |фп (х)

г=1

После некоторых вычислений находим оценку

М

|Рп (х)| ^ "Т (|Ф1п| + |Ф2п| + |Фзп| + |Ф4п|) . п3

Учитывая её и соотношения (16), (27), для решения задачи (А) получим оценку

те 1 4 те 1

|и (х,у)| ^ М + М Е 1 Е |Ф^п| + МЕ 1 (1 + |фп (х)| + |Фп (0)| + |Фп (р)|) <

п=1 г=1 п=1

Отсюда следует, что ряд (22) сходится абсолютно и равномерно в П. Теперь покажем равномерную сходимость ряда для производной ихххх(х,у).

Находим производную 4-го порядка от УЦж):

Уп(4) (ж) = дп (ж) — Лп |«п (ж) + У Дп (ж, С) «п (С) ^С I — р \ ( р

— « ( а''п (ж) + Дпхх (ж, С) «п (С) ^С | — «2 I а'п (ж) + Дпх (ж, С) «п (С) ^С 1 —

р

— Й3 | «п (ж) + ^ Дп (ж, С) «п (С) ^С 1 .

Используя ранее найденные оценки

|а'п (ж)1 ^ ^М^ Е |Ф«| + ^ (1 + |Фп (ж)| + |Фп (0)| + |Фп (р)|)

¿=1

М 4 М

|а''п (ж)| ^ "2 V |Фгп| + " (1 + |Фп (ж)| + |Фп (0)| + |Фп (-)|) , 2 3

¿=1

|Дпх (ж, С)| ^ п1/2М, |Дпхх (ж, С)| ^ пМ,

получаем

Уп(4) (ж) ^ М £ |Ф«| + М £ |Ф«| + п2 (1 + |Фп (ж)| + |Фп (0)| + |Фп (р)|) + п ¿=1 п2 ¿=1 п

+ "п Е |ф*п| + "п (1 + |Фп (ж)| + |Фп (0)| + |Фп (р)|) + Е Фп| +

п3 ¿=1 п3 п5/2 ¿=1

(1 + |Фп (ж)| + |Фп (0)| + |Фп (р)|) + М (1 + |Фп (ж)| + |Фп (0)| + |Фп (р)|) .

п

Для удобства эту оценку напишем в виде

|У„(4) (ж)| ^ М (|Фщ| + |ф2п| + |Ф3п| + Фп|) + О (п-2

1 1 П

Тогда имеем

те 1 те

кххх (ж,у)| ^ М + М Е 1 (|ф1п| + |Ф2п| + |Ф3п| + |Ф4п|) + Е О ( п-2) .

1 ^ 1

п=1 п=1

Для того, чтобы показать сходимость правой части этого неравенства, используем неравенства Коши — Буняковского и Бесселя:

, , те 0 Г™ о Г™ о Г™ о \ 1

К*** (ж,у)| ^ М(А/£ |Ф1п|2 ЫЕ |Ф2п|2 ЫЕ |Ф3п|2 +</£ |Ф4п|^Е +

п=1 V п=1 V п=1 V п=1 ) V п=1 п

те /-

+м + Е О (п-2) ^ м(11^1 (у)|| + ц^ (у)| + 3 (у)| + ||Л (у)||) VпГ+

1 2 " .......... 1 (У)Н + Н^ 2 (У)Н + Н^ 3 (У)Н + Н^ 4

п=1

те

+м + Е о (п-2) <

п=1

те 2

Здесь Е |Фт|2 ^ ^''(у)^), г = 1, 2, 3, 4, Е 1 = пг

п=1 п=1

Из уравнения (1) заключаем, что и ряд для тоже сходится. Теорема доказана. □

Авторы выражают глубокую благодарность академику АН РУз Ш. А. Алимову и профессору В. Е. Федорову за ценные советы, способствовавшие улучшению данной работы.

Список литературы

1. Турбин М. В. Исследование начально-краевой задачи для модели движения жидкости Гершель — Балкли // Вестн. Воронеж. гос. ун-та. Сер. Физика. Математика. 2013. №2. С. 246-257.

2. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М. : Мир, 1977.

3. Ш^абров С. А. Об оценках функций влияния одной математической модели четвёртого порядка // Вестн. Воронеж. гос. ун-та. Сер. Физика. Математика. 2015. №2. С. 168-179.

4. Benney D. J., Luke J. C. On the interactions of permanent waves of finite amplitude // Journal of Mathematical Physics. 1964. Vol. 43. P. 309-313.

5. Джураев Т. Д., СопуевА. К теории дифференциальных уравнений в частных производных четвёртого порядка. Ташкент : Фан, 2000.

6. Джураев Т. Д., Апаков Ю. П. К теории уравнения третьего порядка с кратными характеристиками, содержащего вторую производную по времени // Украин. мат. журн. 2010. Т. 62, №1. С. 40-51.

7. ApakovYu. P., RutkauskasS. On a boundary problem to third order PDE with multiple characteristics // Nonlinear Analysis: Modeling and Control. 2011. Vol. 16, no. 3. P. 255-269.

8. Apakov Yu. P. On the solution of a boundary-value problem for a third-order equation with multiple characteristics // Ukrainian Mathematical Journal. 2012. Vol. 64, no. 1. Р. 1-11.

9. ApakovYu. P. Irgashev B. Yu. Boundary-value problem for a degenerate high-odd-order equation // Ukrainian Mathematical Journal. 2015. Vol. 66, no. 10. Р. 1475-1488.

10. ApakovYu. P., ZhuraevA.Kh. Third boundary-value problem for a third-order differential equation with multiple characteristics // Ukrainian Mathematical Journal. 2019. Vol. 70, no. 9. Р. 1467-1476.

11. ApakovYu. P. On unique solvability of boundary-value problem for a viscous transonic equation // Lobachevski Journal of Mathematics. 2020. Vol. 41, no. 9. P. 1754-1761.

12. Аманов Д., Мурзамбетова М. Б. Краевая задача для уравнения четвёртого порядка с младшим членом // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютер. науки. 2013. Вып. 1. С. 3-10.

13. Сабитов К. Б., Фадеева О. В. Начально-граничная задача для уравнения вынужденных колебаний консольной балки // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2021. Vol. 25, no. 1. P. 51-66.

14. ИргашевБ.Ю. Краевая задача для одного вырождающегося уравнения высокого порядка c младшими членами // Бюл. Ин-та математики. 2019. №6. C. 23-30.

15. Иргашев Б. Ю. Краевая задача для уравнения высокого чётного порядка // Вестн. Волгоград. гос. ун-та. Сер. 1. Математика. Физика. 2016. Вып. 3 (33). C. 6-18.

16. UrinovA.K., AzizovM. S. Boundary value problems for a fourth order partial equation with an unknown right-hand part // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2021. Vol. 42, no. 3. P. 632-640.

17. Hilbert D. Mathematisch-Physikalische Klasse aus dem Jahre 1904. Nachrichten von der Konigl Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen, Commissionsverlag der Dieterich'schen Universitatsbuchhandlung Luder Horstmann. 1904.

Поступила в 'редакцию 06.07.2022.

После переработки 26.12.2022.

Сведения об авторах

Апаков Юсупжон Пулатович, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, Институт математики имени В. И. Романовского АН РУз, Ташкент, Узбекистан; профессор кафедры высшей математики, Наманганский инженерно-строительный институт, Наманган, Узбекистан; e-mail: yusupjonapakov@gmail.com.

Мамажонов Санжарбек Мирзаевич, докторант института математики имени В. И. Романовского АН РУз, Ташкент, Узбекистан; e-mail: sanjarbekmamajonov@gmail.com.

Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2023. Vol. 8, iss. 2. P. 157-172.

DOI: 10.47475/2500-0101-2023-18201

BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A INHOMOGENEOUS FOURTH ORDER EQUATION WITH CONSTANT COEFFICIENTS

Yu.P. Apakov1'2'", S.M. Mamajonov1b

1 Institute of Mathematics named after V.I. Romanovsky AS RUz, Tashkent, Uzbekistan 2Namangan Civil Engineering Institute, Namangan, Uzbekistan "yusupjonapakov@gmail.com, bsanjarbekmamajonov@gmail.com

For a fourth-order equation with constant coefficients, a boundary value problem in a rectangular domain is considered. The uniqueness of a solution of the stated problem is proved by the method of energy integrals. The solution is written in terms of the constructed Green's function. In substantiating the uniform convergence, the "small denominator" is established to be nonzero.

Keywords: fourth-order equation, multiple characteristics, lower terms, boundary value problem, uniqueness of solution, existence of solution, Green's function.

References

1. Turbin M.V. Issledovaniye nachal'no-krayevoy zadachi dlya modeli dvizheniya zhidkosti Gershel' — Balkli [Investigation of a initial-boundary value problem for the Herschel — Bulkley fluid motion model. Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya Fizika. Matematika [Bulletin of Voronezh State University. Series Physics. Mathematics], 2013, no. 2, pp. 246-257. (In Russ.).

2. Whitham G.B. Linear and Non-linear Waves. London, John Wiley & Sons, 1974.

3. ShabrovS.A. Ob otsenkakh funktsiy vliyaniya odnoy matematicheskoy modeli chetvyortogo poryadka [On estimates of influence functions for a fourth-order mathematical model]. Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya Fizika. Matematika [Bulletin of Voronezh State University. Series Physics. Mathematics], 2015, no. 2, pp. 168-179. (In Russ.).

4. BenneyD.J., Luke J.C. On the interactions of permanent waves of finite amplitude. Journal of Mathematical Physics, 1964, vol. 43, pp. 309-313.

5. Dzhuraev T.D., SopuevA. K teorii differentsial'nykh uravneniy v chastnykh proizvodnykh chetvyortogo poryadka [Towards the theory of fourth-order partial differential equations]. Tashkent, Fan, 2000. (In Russ.).

6. Dzhuraev T.D., ApakovYu.P. On the theory of the third-order equation with multiple characteristics containing the second time derivative. Ukrainian Mathematical Journal, 2010, vol. 62, no. 1, pp. 43-55.

7. ApakovYu.P., RutkauskasS. On a boundary problem to third order PDE with multiple characteristics. Nonlinear Analysis: Modeling and Control, 2011, vol. 16, no. 3, pp. 255-269.

8. Apakov Yu.P. On the solution of a boundary-value problem for a third-order equation with multiple characteristics. Ukrainian Mathematical Journal, 2012, vol. 64, no. 1, pp. 111.

9. ApakovYu.P. IrgashevB.Yu. Boundary-value problem for a degenerate high-odd-order equation. Ukrainian Mathematical Journal, 2015, vol. 66, no. 10, pp. 1475-1488.

10. ApakovYu.P., ZhuraevA.Kh. Third boundary-value problem for a third-order differential equation with multiple characteristics. Ukrainian Mathematical Journal, 2019, vol. 70, no. 9, pp. 1467-1476.

11. Apakov Yu.P. On unique solvability of boundary-value problem for a viscous transonic equation. Lobachevski Journal of Mathematics, 2020, vol. 41, no. 9, pp. 1754-1761.

12. AmanovD., Murzambetova M.B. Krayevaya zadacha dlya uravneniya chetvyortogo poryadka s mladshim chlenom [Boundary value problem for a fourth-order equation with a minor term]. Vestnik Udmurtskogo universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp'yuternye nauki [Bulletin of Udmurt University. Mathematics. Mechanics. Computer science], 2013, iss. 1, pp. 3-10. (In Russ.).

13. SabitovK.B., FadeevaO.V. Nachal'no-granichnaya zadacha dlya uravneniya vynuzhdennykh kolebaniy konsol'noy balki [Initial boundary value problem for the equation of forced vibrations of a cantilever beam]. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskiye nauki [Bulletin of Samara State Technical University. Ser. Physical and Mathematics science], 2021, vol. 25, no. 1, pp. 51-66. (In Russ.).

14. Irgashev B.Yu. Krayevaya zadacha dlya odnogo vyrozhdayushchegosya uravneniya vysokogo poryadka s mladshimi chlenami [A boundary value problem for a degenerate higher order equation with lower terms. Byulleten' Instituta Matematiki [Bulletin of the Institute of Mathematics], 2019, no. 6, pp. 23-30. (In Russ.).

15. Irgashev B.Yu. Krayevaya zadacha dlya uravneniya vysokogo chyothogo poryadka [A boundary value problem for an equation of high even order. Vestnik Volgogradskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya 1. Matematika. Fizika [Bulletin of Volgograd State University. Series 1. Mathematics. Physics], 2016, iss. 3 (33), pp. 6-18. (In Russ.).

16. Urinov A.K., Azizov M.S. Boundary value problems for a fourth order partial equation with an unknown right-hand part. Lobachevskii Journal of Mathematics, 2021, vol. 42, no. 3, pp. 632-640.

17. Hilbert D. Mathematisch-physikalische Klasse aus dem Jahre 1904. Nachrichten von der Konigl Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingem, Commissionsverlag der Dieterich'schen Universitatsbuchhandlung Luder Horstmann. 1904.

Article received 06.07.2022.

Corrections received 26.12.2022.