КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИНЫ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ "ШАРНИР-ЗАДЕЛКА" Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2022. Т. 26, № 4. С. 650-671 ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) d https://doi.org/10.14498/vsgtu1950

EDN: CXCQCU

УДК 517.95

Колебания пластины с граничными условиями «шарнир—заделка»

К. Б. Сабитов1'2

1 Стерлитамакский филиал Уфимского университета науки и технологии, Россия, 453103, Стерлитамак, пр. Ленина, 49.

2 Самарский государственный технический университет, Россия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

Аннотация

Изучена начальная задача для уравнения колебаний прямоугольной пластины с граничными условиями типа «шарнир-заделка». Установлено энергетическое неравенство, из которого следует единственность решения поставленной начально-граничной задачи. Доказаны соответствующие теоремы существования и устойчивости решения задачи в классах регулярных и обобщенных решений. Существование решения поставленной задачи проводится методом спектрального анализа и оно построено в виде суммы ортогонального ряда по системе собственных функций соответствующей двумерной спектральной задачи, которая строится методом разделения переменных. Дано полное обоснование сходимости построенного трехмерного ряда в классе регулярных решений рассматриваемого уравнения. Обобщенное решение определяется как равномерный предел последовательности регулярных решений начально-граничной задачи.

Ключевые слова: уравнение колебаний прямоугольной пластины, начально-граничная задача, энергетическое неравенство, единственность, ряд, существование, устойчивость.

Получение: 25 августа 2022 г. / Исправление: 7 ноября 2022 г. / Принятие: 11 декабря 2022 г. / Публикация онлайн: 28 декабря 2022 г.

Дифференциальные уравнения и математическая физика Научная статья

© Коллектив авторов, 2022 © СамГТУ, 2022 (составление, дизайн, макет)

3 ©® Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru) Образец для цитирования

Сабитов К. Б. Колебания пластины с граничными условиями «шарнир-заделка» // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2022. Т. 26, № 4. С. 650-671. EDN: CXCQCU. DOI: 10.14498/vsgtu1950. Сведения об авторе

Камиль Басирович Сабитов А https://orcid.org/0000-0001-9516-2704 доктор физико-математических наук; главный научный сотрудник1; профессор; каф. высшей математики2; e-mail: [email protected]

1. Постановка задачи. Рассмотрим дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка [1, с. 394]

Lu = иц + a2 A2 u = F (x,y,t), (1)

которое моделирует поперечные колебания тонкой однородной прямоугольной пластины толщины h (при этом ее толщина полагается малой по сравнению с другими размерами) со сторонами р и q, где а2 = EJ/(ph); EJ — жесткость пластинки; р — масса на единицу площади пластинки; Е — модуль упругости материала; J — момент инерции; Au = uxx + uyy; F(x, y, t) — непрерывная внешняя сила, рассчитанная на единицу площади пластинки; u(x, у, t) — смещение точки (х, у) пластинки в момент времени.

Отметим, что многие задачи о колебаниях мембран, пластинок имеют важное прикладное значение в строительной механике, авиастроении, машиностроении, судостроении и т.д., которые изучены в известных работах ([2, с. 444-449], [3, с. 211-219], [4, с. 132-133], [5, с. 248-258], [6, с. 35-69] и др.).

Для определения колебания (смещения) u(x, у, t) точек (х, у) пластинки нужно задать граничные условия на краях х = 0, х = р, у = 0 и у = q. Вид граничных условий зависит от способа закрепления соответствующих краев. В этой работе изучим случай, когда стороны х = 0 и х = р шарнирно закреплены, а стороны у = 0 и у = q наглухо заделаны:

(u(0,y,t) = uxx(0,y,t) = u(p,y,t) = uxx(p,y,t)=0, 0 < y < q, 0 < t < T;

0, t) = uy(x, 0, t) = u(x, q,t) = uy(x,q,t) = 0, 0 ^ x ^ p, 0 ^ t ^ T.

Начальные условия такие же, как и в случае колебаний мембраны:

u(x,y,t)\t=0 = <р(х,у), Ut(x,y,t)\t=0 = Ф(х,у), 0 < ж < р, 0 < у < q. (3)

Введем обозначения:

Q = {(x,y,t)\(x,y) е D, 0 <t<T}, D = {(x,y)\0 <х<р, 0 <y<q},

где р, q и Т — заданные положительные числа, и поставим следующую начально-граничную задачу.

Задача 1. Найти функцию u(x,y,t) со свойствами

u(x,y,t) е C4xy2t(Q), (4)

Lu(x,y,t) = F(x,y,t), (x,y,t) е Q, (5)

которая удовлетворяет начальным условиям (3) и граничным условиям (2), где F(x,y,t), (р(х,у) и ф(х,у) —заданные достаточно гладкие функции, символ CXy™(D) означает множество функций, имеющих непрерывные частные производные по переменным х,у и t соответственно до п-го и т-го порядка включительно на множестве D, п, т е No = N U {0}.

Отметим, что в работе [2, с. 444-449] путем представления решения в виде двойного ряда

те

, . v-^ í \ ■ ткх . пжу

u(x,y,t)= ) amn(t)srn-sin-

^ р q

m,n= 1

и использования интегралов энергий найдены собственные частоты и форма собственных колебаний прямоугольной пластины в случае шарнирного закрепления на краях. В монографии [3, с. 211-219] исследуются колебания с условиями (2). Здесь сначала изучается задача, в постановке которой все края свободно оперты, затем на ее основе достаточно сложным путем исследуется поставленная задача. Полученные результаты являются приближенными.

В работе [4, с. 132-133] предлагается вариационный метод нахождения собственных частот колебаний.

В монографии [5, с. 250-251] отмечается аналог задачи с условиями (2) в идейном уровне без подробных исследований.

В книге [6, с. 35-69] используется метод асимптотических разложений по малому параметру для нахождения приближенных значений собственных частот и формы собственных колебаний пластины с различными режимами на краях. Но вопросы по построению решений в явной форме и обоснованию корректности поставленной нами задачи не изучены. В работах [7-11] изучены начально-граничные и обратные задачи для одномерного уравнения балки. В работе [12] в случае шарнирного закрепления пластины на краях доказаны теоремы существования и устойчивости решения начально-граничной задачи в классах регулярных и обобщенных решений.

В настоящей работе исследуется задача (2)-(5) (задача 1) для уравнения колебаний прямоугольной пластины с граничными условиями «шарнир-заделка», т.е. с условиями (2). Установлено энергетическое неравенство, из которого следует единственность решения поставленной начально-граничной задачи. Для этой задачи доказаны теоремы существования и устойчивости решения в классах регулярных и обобщенных решений. При этом решение построено в явном виде.

2. Энергетическое неравенство. Единственность решения.

Теорема 1. Если существует решение начально-граничной задачи (2)-(5), то при любом £ € [0, Т] для решения и(х, у, справедливо неравенство

[у2 + а2(ь2хх + 2и1у + и2у)] йхйу ^

Б

Ц [ф2 + а2{^2хх + 2^ + <р2уу)] йхйу +

\ (6)

+ /// Р2(Х,У,^) йхйусМ

Отметим, что интеграл 1

ад = 2 Л [рь>и2 + Е'](иХх + 2иХу + и2уу)] йхйу =

ю

1

= ^2 Л ^ + (и2Х + 2иХу + иуу)]йхйу = ркЕ(Ъ)

представляет собой закон сохранения энергии свободных колебаний однородной пластинки при нулевых граничных условиях (2).

Действительно, кинетическая энергия движущейся пластинки состоит из поступательного движения элемента с!хс1у параллельно смещению и,(х, у, Ь) и определяется интегралом

К(I) = 1 II рки2(1х(1у,

2Jив

где рк — масса на единицу поверхности пластинки.

Потенциальная энергия колебаний пластинки зависит от жесткости ЕЗ при изгибе и находится интегралом [2, с. 446]:

П(Ь) = 1 Цп Е'](и*х + 2и*у + У'2уу)гШу-

Следовательно, интеграл Е0(Ь) = К(Ь) + П(£) представляет собой полную энергию свободных поперечных колебаний пластинки.

До казат еюл ьство теоремы 1. Рассмотрим тождество

1

щЬи = 2 К2 + а2 (иХх + 2и2хУ + и2у^ 4 +

+ (X ^Щиххх Щхихх + Щи,хуу Щуиху) х +

+ (X {У'^'ууу Щуиуу + Щи,хху Щ^х^ху)у

и, интегрируя его по области = П {£ < т}, 0 < т ^ Т, будем иметь

Е(т) - Е(0) + Зх + 32 + Уз + З4 =Ц РщШуМ, (7)

Щт

где

3\ = а (щиххх - - Щх^хх + ЩПхуу — Щу иху) \х_(1у(И,

JJs! р

32 = а'2 (щиууу — Щу Щу + щихху — ШхПху)\у=я (1х(И,

,=-—....+^—^и,.

JJs з

З4 = а 2 Л (щиууу — Щуиуу + щихуу — ЩхЩу)\у=0(1х(И,

Бг — грани параллелепипеда QT, лежащие соответственно на плоскостях х = р, у = д, х = 0 и у = 0.

Пусть выполнены граничные условия (2): и = ихх = 0 при х = 0 и х = р. Тогда % = щу = 0 при х = 0 и х = р, поэтому интегралы 3\ = З3 = 0. Аналогично иг = щх = иух = 0 при у = 0 и у = д. В силу этого 32 = 34. Тогда из равенства (7) следует, что

Е(т) < Е(0) + 1 И/ Е2(х,у, 1)(1х(1у(И + 1 И/ и2(ШусИ =

2 .1.1.1 Ят 2 JJJQT

= А + 2[ Я Ц и-2

2 -/0 ■¡■¡В!\ЗВ2

[ М Ц и2АхАу < А +[ Е(г)м, (8) Уо УУй1 ид9 У 0

где

А = Е+ р2(х,у,г) йхйу<И.

Отсюда, следуя [13, с. 77], получим

Гт Ю

Тогда из неравенств (8), (9) следует оценка (6). □

А + I Е(г)<И < Ает. (9)

о

Следствие 1. Если в условиях теоремы 1 правая часть Е(х,у,Ь) уравнения (1) равна нулю, то при любом £ € [0,Т] справедливо равенство

Е(1) = Е(0) = \Ц [Ф2(х, у) + а2(<р2хх + 2(р2у + <р2уу)] йхйу. (10)

Равенство (10) означает, что полная энергия собственных колебаний однородной пластины остается в течение всего процесса колебаний постоянной и равной ее начальной энергии.

Справедливость равенства (10) следует из соотношения (7).

Следствие 2 (Теорема единственности). Если существует функция и(х, у, Ь), удовлетворяющая условиям (2)-(5), то она определяется единственным образом.

Доказательство. Пусть существуют функции и\(х,у,Ь) и и2(х,у,Ь), которые удовлетворяют условиям следствия 2. Тогда их разность и\(х, у, ¿) — — и2(х,у,Ь) = и(х,у,Ь) принадлежит классу (4), удовлетворяет однородному уравнению Ьи = 0 в нулевым начальным условиям и(х, у, 0) = щ(х, у, 0) = 0 и граничным условиям (2). Для такого решения из равенства (10) имеем

Е(г) = ^ [иу + а2(иХх + 2и2 + и2)] йхйу = 0 2 3¿Я

при любом £ € [0,Т]. Данное равенство возможно только тогда, когда щ = 0, ихх = 0, иху = 0 и иуу = 0 в области Q. Из этих условий следует, что и(х,у,Ь) = ах + Ьу + с, где а, Ъ и с — произвольные постоянные. По условию эта функция должна удовлетворять граничным условиям (2) и нулевым начальным условиям. Из этих условий следует, что а = Ь = с = 0. Следовательно, и(х,у,1) = 0 в Q. □

3. Колебания пластины с граничными условиями «шарнир—заделка». В уравнении (1) разделим переменные и(х,у,Ь) = у(х,у)/(¿). Тогда относительно ь(х,у) получим спектральную задачу

А2ь — Х2ь = 0, (х,у) € Б, (11)

ь(0,у) = Ьхх(0,у)= ь(р,у)= Ьхх(р,у) = 0, 0 < у < д, (12)

у(х, 0) = уу(х, 0) = у(х, д) = уу(х, д) = 0, 0 ^ х ^ р. (13)

Решение спектральной задачи (11)-(13) будем искать в виде у(х,у) = = X(х)У(у). Тогда из уравнения (11) будем иметь

Х1¥ ¥1У УХ" х2 2 — + X2 = —V2.

X Y Y X

Допустим, что X" = —С0Х, где С0 = const > 0. Тогда получим

XIV(х) + ц2Х(х) = 0, 0 <х<р, (14)

YIV (у) — 2CoY''(y) — (р2 + X2)Y (у) = 0, 0 <y<q. (15)

Из условия X" = —С0Х вытекает, что XIV = —С0Х" = С2Х. Следовательно, из уравнения (14) получим, что ¡л2 = —С2, и относительно X(х) имеем спектральную задачу

XIV(х) — С$Х(х) = 0, 0 <х<р, (16)

X (0) = Х"(0) = X (р) = Х"(р) = 0. (17)

Обозначим через L дифференциальный оператор, порожденный дифференциальным выражением XIV на множестве функций С4(0,р)ПС3[0,р], удовлетворяющих граничным условиям (17). Этот оператор является самосопряженным, так как задача, сопряженная задаче (16) и (17), совпадает с исходной. Отсюда следует, что все собственные значения оператора L являются действительными числами, и собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны на [0,р]. Система собственных функций полна в пространстве Ь2[0,р]. При этом оператор L является положительным, поэтому каждое собственное значение является неотрицательным и простым. Собственные функции задачи (16), (17) и соответствующие им собственные значения имеют следующий вид [10]:

Хт(х) = л/2/p sin (18)

со = dm = (кт/р)4, т = 1, 2,.... (19)

Для функций Y (у) на основании (15) и (13) имеем следующую задачу:

Y"(y) — 2CoY''(y) — (X2 — С2)Y(у) =0, 0 <y<q. (20)

Y (0) = Y' (0) = Y (q) = y' (q) = 0. (21)

Для дифференциального уравнения (20) составим характеристическое урав-

нение

k4 — 2Cok2 + с02 — X2 = 0,

имеющее корни

к\ = д/Со + Л = а, к2 = —а, к3 = д/С0 — X = í\JX — Со = ifí, к4 = —ifí.

Здесь считаем, что С0+Х > 0, С0 — X < 0. Тогда дифференциальное уравнение (20) имеет общее решение

Y (у) = а\ ch ау + а2 sh ау + а3 cos fíy + а4 sin fiy, (22)

где üí — произвольные постоянные.

Удовлетворив функции (22) первым двум условиям из (21), найдем

a

a3 = —ai, о>4 = —ñ&2.

P

Тогда функция (22) примет вид

Y (у) = ai(ch ay — cos Py) + a2[ shay — — sin Py

P

a

(23)

Теперь удовлетворим функцию (23) двум последним условиям из (21):

a1 (ch aq — cos Pq) + a2 ^sh aq — a sin Pq j = 0, a1 (a sh aq + P sin Pq) + a2a(ch aq — cos Pq) = 0.

Для определения P приравняем к нулю определитель этой системы:

2aP — 2aP ch aq cos Pq — (P2 — a2) sh aq sin Pq = 0.

Уравнение (24) перепишем в виде

sin(P q + 7) =

2aP

(24)

(25)

2 aP ch a где 7 = arcsin-—-,

A = ^(2aP ch aq)2 + (P2 — a2)2 sh2 aq = ^4a2P2 + (a2 + P2)2 sh2 aq. Из уравнения (25) найдем

p =1

, 1Ш . 2aP nn + (—l) arcsin—---7

A

n e N,

(26)

так как правая часть уравнения (25) больше нуля и меньше единицы.

Полученное равенство (26) относительно Р является нелинейным уравнением. Для обоснования существования его решения рассмотрим функциональное уравнение

P = f(P) = J

, 1Лга . 2ap nn + (—l) arcsin—---7

A

при фиксированном п.

Как известно, для разрешимости такого уравнения достаточно того, чтобы | ¡'(Р)| < 1. Найдем производную:

f(.P) =

2a(a2 + 3P2) sh aq

A2

a2 + P2 (—If + ch aq

a — P

Отсюда получим оценку

^ < 2 a(a2 + 3¡2) [a2 - ¡32 + (а2 + ¡2) ch aq] = U (3)| < ( а2 -¡2)(а2 + 32)2 shaq =

4 а(а2 + 3¡2) (а2 ch2 f + ¡2 sh2 aq

(a2 -¡2)(a2 + ¡2)2 sh aq

:) ía2 + (a2 + 32) sh2

2 a(a2 + 3¡2) (a2 + (a2 + ¡2) sh2 f)

(а2 -32)(а2 + Р2)2 ад

которая меньше 1 при больших Р, следовательно, и при больших а (так как а > Р).

Тогда уравнение (26) имеет по крайней мере одно решение. Придавая п различные значения, получим счетное множество значений ¡3П, которые находятся из уравнения (25). При больших п справедлива асимптотическая формула

Рп & Жп/С[.

Соответствующая система собственных функций имеет вид

Ynm(y) —

_ 3n sh anmq - anm sin ¡nq ch anmq - cos ¡,nq

— Anm (cos 3ny - ch anmy) + 3n sh anmy - anm sin 3ny — 1

(cos 3ny - ch anmy) + 3n sh anmy anm sin ¡ny — h anmy) + 3n sh anmy anm sin ¡ny — [3n(sh anmq cos ¡,ny - sh a,nmy cos ¡,nq) -

, n i KnV01-1 ^nm

ch anmq - cos ¡,nq

- 3n sh anm(q - y) - anm sin ¡,n(q - y) +

+ anm (ch anmy sin 3nq - ch anmq sin ¡ny), (27)

которая, вообще говоря, зависит от номера т, так как a2 — С0 + Л — 2С0 + + ¡n — 2dm + 3n зависит от п и т.

Ортогональность системы собственных функций (27) задачи (20), (21) следует из того, что дифференциальный оператор, определенный дифференциальным выражением YIV - 2C0Y" на множестве функций С4(0, q) П С3[0, q], удовлетворяющих граничным условиям (21), является самосопряженным. Найдем норму элементов системы собственных функций (27):

~ гч ~

\\Ynmf — Y2m(y)dy — J о

íq

— [Aim(cos 3ny - ch anmy)2 + 2Anm(cos ¡пУ - ch anmy) X

Jo

X (3n sh anmy - anm sin 3ny) + (3n sh anmy - anm sin 3ny)2] dy —

— Jl +J2 + J3.

Вычислим интегралы J¿: íq

Jl — Anm (cos2 ЗпУ - 2 cos ЗпУ ch anmy + ch2 anmy) dy — о

( sin2 pnq\ 2 At m г . п

I Q +--2p-)--2-Tp2 Vanm COS finQ sh UnmQ + Pn Sin finQ ch UnmQ\ +

V 2Pn ' anm + Pn

Anm ( i sh2&mn,Q^

+ q +

2 ar¡

íq

J2 = 2 Anm {Pn cos PnU sh a,nmD — anm cos Pny sin Pny — Jo

— Pn ch anmy sh anmy + anm ch anmy sin Pny) dy = 2 An m P

anm cos Pnq ch anmq + Pn sin Pn sh an m - an m -

a2 + p2 ^nm 1 rn

sin2 Pn sh2

anmQ

2Anmanm 7Г7, 2AnmPn ~ г

2 Pn 2 a

+ 2 nm+nPm [anm sin Pnq sh anmQ — Pn cos Pnq ch anmQ + Pn] =

anm + pn

Anm (Ñ ^ ^ 1 ^ о „\2

-(Pn sh anmQ anm sinPn4

anmPn iq

J3 = {Pn sh2 anmy — 2Pnanm sh anmy sin Pny + a^m sin2 Pny) dy = Jo

Pn (sh 2anmQ \ 2Pnanm f • о 1 001 \

= — т;--Ql--2-^ (anm sin Pnq ch anmQ — Pn cos Pnq sh anmq)

2 \ 2anm ) anm + P2

+ atim (n sin2Pnq \

Предварительно с учетом равенства (24) вычислим 2A2

2 i Ту) anmcos

Pnq sh anmQ + Pn sin Pnq ch anmQ] +

anm + pn

2 Pn a

+ 2 n +l1P2 {anm sin Pnq ch anmQ — Pn cos Pnq sh anmQ I —

anm + pn

2

[(A n m — Pn)

anm cos Pn sh anm

^nm + pn

О? + Я2

n m n

+ (A2nm + a2nm)Pn sin Pnq ch anmq] = 2 Anm sin Pnq sh anmq

Тогда будем иметь

\\v 112 _ ( л 2 , °nm — Pn \ , Anm ( sin 2РгЯ sh 2anmQ \

lin-ll = {Anrn + 2 )q + -T{ + anm J +

Rn sh 2anmQ anm -no о л о i

+--4---рт sin 2Pnq — 2 Anm sin Pnq sh anmq —

4 anm 4pn

anmp

Anm {Pn sh anmq — a sin Pnq)2 =

_ ( л 2 i anm fin \ „ i Anm

f sin 2f3nQ , sh 2anmq \ , fin u 0 = y^nm + 2 4 V p + a У + 4a sh2anm«

\ 2 / 4 \ pn anm 7 4anm

anm ■ o o Anm fin , 2 A,nmanm . 2 о /oo\

- -Pm sin 23n q--sh2 anm<?--б-sin2 p,nq. (28)

4pn anm Pn

Ортонормированная система собственных функций задачи (20), (21) определяется по формуле

Ynm(y) = -~^-Ynm(y), (29)

|| Ynm ||

где Ynm(y) находятся по формуле (27), норма ||l^m|| — из формулы (28), а собственные значения Pn — из равенства (26).

На основании найденных собственных функций (18) и (29) одномерных спектральных задач (16), (17) и (20), (21) построим собственные функции

Vmn(x, у) = Xmn(x)Ynm(y), (30)

которые соответствуют собственным значениям

Лmn = dm + pn, (31)

где dm и pn находятся из формул (19) и (26) соответственно. Следуя работам [10,14], введем функции

итп^) = JJ и(х,у, ¿)утп(х, y)dxdy, (32)

где и(х,у, ¿) — решение начально-граничной задачи (2)-(5).

Дифференцируя равенство (32) по t € (0, Т) дважды и учитывая уравнение (1), получим

u'mn(t) = Ц F(Х,У, t)Vmn(x,y)dxdy -

a 11 i^xxxy + 2^xxyy + Uyyyy)Vm'n(x, y)dxdy. (33)

JJd

Интегрируя по частям с учетом граничных условий (2) и (12), (13), имеем UxxxxVmn(x, y)dxdy = dm uVmn(x, y)dxdy,

xxxx umn\^} у/ильину — "'mil UjUmn

d JJd

II 'U'yyyy'Vmn(x, У)dxdy — JJd

ГР ГЯ ГГ

= / Xmn(x)dx UyyyyYnm(y)dy= u(x, y)Xmn(x)Y¿mi(y)dxdy

jo jo jjd

= Ud U(x, y)Xmn(.x) [2CoYnm + (Л'п - Cl)Ynm(y)] dxdy =

= 2(1^11 иХтп(х)¥"т(у)(Шу + (\2тп — (1^) иутп(х, у)(Шу, в Мв

гд гр

'U'Ххуу'Vтп(%, У)(1Х(1 у — I ¥Пт(у)Лу I иууххХтп(х)(1х —

в Jо Jо

2 И 2 [Р П

т 11 уу-^тп(х)Упт(У)Лх(1у — (1т I Хтп(х)(1х I иууУ~пт( Мв Jо Jо

= Ли Ь'(Х, У)Хтп(Х)¥>пт(У)Лх(1у.

Подставляя найденные значения этих интегралов в равенство (33), получим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка относительно итп(Ъ):

штп

(I) + а2 ^тп^тп^) — Ртп^к), (34)

где

Етп(^ = Ц ^(Х,у, ¿)Ьтп(х, у)(Шу.

Общее решение дифференциального уравнения (34) находится по формуле

^тп — ^тп СОЭ СхХтп^ + Ьтп аХтп^ + Етп^), (35)

где

~ 1 Г*

Ртп&) = - Ртп(в) 8ш[штп(^ — 8)}(18, Штп = аХтп, (36)

№тп J0

атп и Ьтп — произвольные постоянные. Для определения неизвестных атп и Ьтп воспользуемся начальными условиями (3) и формулой (32):

итп(0) = и(х,у, 0)Ьтп(х, у)йхйу =

^ ф(х, у)Ьтп(х, у)йхйу = фтп, (37)

и'тп(0) = Ц Щ(Х,У, 0) Утп (х, у)(1х(1у =

= Ц ф(х, у)Ьтп(х,у)сШу — фтп. (38)

Удовлетворив функции (35) начальным условиям (37) и (38), найдем

Фп

__, _ -утп

4>тп = ifiтп, Отп =

аХг.

Подставляя найденные значения атп и Ьтп в формулу (35), получим явный вид функций

У>тп(£) — ^тп + + -Етп(^). (39)

№тп

На основании частных решений (39) и (30) решение задачи (2)-(5) можно определить в виде суммы ряда Фурье

те

u(x,y, t) — Umn(t)Vmn(x, y). (40)

m,n=1

Лемма 1. При y £ [0, q] и больших п и т справедливы оценки

I Ynm(y) I <^<m, ^ — 074,

где здесь и далее Mi — положительные постоянные, зависящие, вообще говоря, от a, р, q и Т.

Доказательство. Из формулы (27) следует, что при больших п и т

lYñm(y)I < M+ianm, ¿ — М. (41)

Здесь Mi — также положительные постоянные.

Оценим норму ЦУщ^Ц. Для этого равенству (28) придадим несколько иной вид:

rnmll2 — {A, + a*m-3n )q + shaOmq [(An+f32n)chanmq - 2Anfin shanmq] +

+ suifiaq ^ An - anm) cos ffnq - 2Andnm sin ffnq] —

2 ¡n

— иn + aL-fn \q + [(An - fn)2e«"™* + (An + fn)2e] +

V 2 / 2anm

A2 + a2

+ n 2f nm sin fnq cos(fnq + Jam),

2 f n

n n2 m

где Jnm — arccos n nm

A2 - a'

Л2 + а2 •

т^п \ ^пт _

Поскольку Ап ~ Рп при больших п и т, отсюда следует, что ||1Пт|| ~ апт. Тогда в силу неравенств (41) следует справедливость оценок, указанных в лемме 1. □

Лемма 2. При любом £ € [0, ¿] справедливы оценки

— \1 I —

л |гтп| + л Лтп Лг,

\uk(Í)I <mJ\Pmn\ + Л-I^mnl + Л-ll^mnll) , (42)

Л Л

К(i)| mn | + ^тп1Фтп1 + ^mn\\Fmn\\) , (43)

где \\Fmn\\ = max |Fmn(i)|.

Справедливость оценок (42) и (43) следует из формул (39), (36) и леммы 1. Формально из ряда (40) почленным дифференцированием составим ряды

те

utt = u'mjt)Vmn(x, у), (44)

m,n=1

ихххх —

т,п=1

X

Е ^ итп (Ф тп (х, у), (45)

(

иуууу — / у итп(ь)Хт(х)±пт

т,п=1

(

Е итп^Хт^У^т (У) —

1

(

= итп^)Хт^) [2(1тХпт(У) + (^пт — -т)¥пт(У)] —

т,п=1

(( 2 Е (тПтп^)Хт^)Упт(у) + ^ Упт(х, у), (46)

(

иххуу — — 'У ^ (титп(^)Хт(х)Утп(У) • (47)

т,п=1

Ряд (40) при (х, у, Ь) £ О на основании лемм 1 и 2 мажорируется рядом

(

М7 Е (I Ртп I + ХтШФтп1 + \тЛРтп\\). (48)

т,п=1

А ряды (44)—(47) аналогично при (х, у, Ь) £ Q на основании лемм 1 и 2 мажорируются рядом

(

М8 Е аАтп{\Ртп\ + К^п \фтп1 + К^п^ти\\) • (49)

а.

т,п=1

Прежде обоснуем сходимость числового ряда (48). Лемма 3. Пусть

р(х, у) £ сху (П), Р(0, у) — р(р, у) — 0, 0 < у < д;

Р(2,0)(х, 0) — р(2,0)(х, д) — р(2,1)(х, 0) — р(2,1)(х, д) —0, 0 ^ х ^ р; ф(х, у) £С1,1у(П), ф(0,у)—ф(р,у)—0, 0 д;

ф(1,° (х, 0) — ф(10)(х, д) — 0, 0 ^ х ^ р; ^ (х,у, I) £ С (О) ПС1$(П), ^ (0,у, 1) — Р (р, у, 1) — 0, 0 < д, 0 ^^Т;

Рх(х, 0, г) — Рх(х, д, г) — 0, 0 ^ х ^ р, 0 ^ г ^ т. Тогда имеют место оценки

I I ^ М9 , , ^Мю ,, ^ М11

\Ртп\ < , \фтп\ < (—¡Г, \\Ртп\\ < (-р- • (50)

(-трп —трп —т Рп

Доказательство. Проинтегрируем интеграл в (37) по частям два раза по переменной х. Тогда имеем

Ртп = -^ Утп(х, y)dxdy =

1 Гр ,

= -Ж ХтШх ^20¥птШу. (51) ^ ■>о .'о

Внутренний интеграл снова два раза проинтегрируем по частям:

гя я гя

- ^)(х, у)¥пт>Шу, (52) оо

я ГЯ

I <Р(2'0)ГптШу = ^(2'0)(х, у)гп^(у) о

где

УптКу) = I УптШу =

1 Упт1 ■'

п т|

1 1

ЦУптЦ аптЯ - еоэ РпЯ

1 пт..

+ -а— еИ а.Пт(я - у) - со® Рп(я - у) + йЬ а,ПтУ эт РпЯ -

апт Рп

эИ аптЯ эт РпУ - еИ —ПтУ еоэ РпЯ +

ап т

а

пт

Р

еЬ аптЯ ьт РпУ = ^У^(у);

п

Р

п

функция У^т(у) ограничена при больших п и т.

Тогда равенство (52) примет вид

^2'0)(х,у)¥птШу = - — ^(2'1)(х, у)УЩ ШУ = Jо рп ,;о

1 гя

= - — ^(2'2)(х, у)¥пт>Шу. (53)

Рп о

п о

Здесь

Упй(у) = / У{1 Шу =

Рп

1 апт 1

Рп ЦУптЦ еЬаптЯ - ео® РпЯ

эИ аптЯ еоь РпУ -

а

Р3 Р3 п йИ а,ПтУ еоь РпЯ--йИ апт (я - у) + ЭШ Рп (Я - у) +

а3 а3

^пт ^пт

Р2 1 1 —(2)

+ еЬа,ПтУ этРпЯ - еЬа,ПтЯ эт РпЯ = РгУпт(у); (54)

апт Рп

_(2)

функция Упт(у) также ограничена при больших п и т. С учетом представления (54) равенство (53) примет вид

<р(2'0)(х, у)УптШу = -¡2 р(2,2)(х, у)УптШу- (55)

о Рп о

Тогда из равенств (51) и (55) вытекает справедливость первой оценки из (50). Аналогично получим представления

фтп = ~ / СОёйтХ(1х ( ф(1'°\х,у)Упт(у)(1у =

(т У р 7о Jо

= Т^\1 II ^{1'1](х, у) СОВ йт(х)Упт(у)(х(у,

(т0п \ р JJD

РтпО = - II Р(1'1){х,у, 1)сЛО8(1т{х)¥[Пт(у)(х(у,

(т0п У р .J.JD

на основании которых убеждаемся в справедливости остальных оценок из (50).

□

В силу оценок (50) ряд (48) при т, п ^ Щ0, Щ0 —достаточно большое натуральное число, мажорируется сходящимся рядом

те 1 1 те 1

М12 Е (Г0? + ((2 + 02)( 0 < М13 Е ттп? ■ (56)

т,п>Мо (т0п ((т + 0п) ат0п т,п>Мо Г

Для обоснования сходимости ряда (49) нужны дополнительные условия для заданных функций ((х,у), ф(х, у) и Р(х,у, ¿).

Лемма 4. Пусть

((х, у) е С10 (Л), ((0,у) = ((Р, у) = (2'2 (0, у) = ((2'2)(р,у) = 0, 0 < у < д;

((2'0°(х, д) = ((2'0)(х, 0) = (2'10(х, д) = (2'10(х, 0) = 0, (2'4°(х, 0) = (2'4°(х, д) = (2'5°(х, 0) = (2'5°(х, д) = 0, ((4'2°(х, 0) = ((4'2°(х, д) = (4'3°(х, 0) = (4'3)(х, д)=0, 0 < х < р; ф(х, у) е С6(Л), ф(0, у) = ф(р, у) = Ф(2'2\0, у) = ф(2,2^(р, у) =0, 0 < у < д; ф(2'0°(х, д) = ф(2'0°(х, 0) = ф(21 (х, д) = ф(2'1)(х, 0) = 0,

Р (х, у, г) е С (Я) п си (Л), Р (0, у, г) = Р (Р, у, I) = Р(2У2) (0, у, г) =

= рх2у2)(р,у, ¿)=0, 0 ^у^ д, 0 ^¿^Т;

Рх,у 0 (х, 0, Рх,у 0(х, Ч, Рх,у 1 (х, 0,

= Р(2у1 )(х,Ч, 1) = 0, 0 ^х < р, 0 ^¿^Т.

Тогда имеют место оценки

ММ 14 ММ 15 М16

1(тп1 ^ ,2 ал4 , 1фтп ^ ,2 о2„2 , \\Ртп\\ ^

(2 а4а4 ' ^тп\^(р02а2 ' (2 02а2 '

^тУп^тп ^тУп^пт ^тУп^пт

Доказательство. Рассмотрим равенство (37). Интегрируя в нем по частям два раза по переменной х, получим

Ртп = ^ ф(х, у)Ьтп(х, y)dxdy = -^^^ Р^Чх, у)Vтп(x,y)dxdy. (57)

Затем интеграл в правой части равенства (57) представим в виде

/Г Р(2,0)(х, у)Утп(х, у)г!хг1у = [ Xт(x)dx [ р(2,0)(х, y)Упт(y)dy = .¡.¡В -)0 -)0

1 ГР ГЧ

Х/(Х)(Х р(т[Упт(У) - 2d2тУпт(y)]dy.

\2 _ d4

'пт 1лт ^ 0 ^0

Снова интегрируя по частям, будем иметь Л р(2,0)(х, у)Ьтп(х, y)dxdy =

[! [р(2'4)(х,у) + 2р(4'2)(х,у)]Упт(х,у^у. (58)

Рпапт ^В

Рассмотрим интеграл в правой части равенства (58) и представим его в виде

Ц |У2'4)(х,у) +2р(4,2) (х, у)] Упт(х, у)(Шу =

/•р м

= х/(х)(х / [р(2'4)(х, У)+2р(4'2)(х, ^Упт^У = 00

ипт

/В "

гд

Lm(x)dx I [р(2'4)(х, У)+2р(4'2)(х, У)Кпт /0 ./0 ГР 1 /•<?

= Хт Шх--^ [Р(2'4)(х, у)+2р(4>2)(х, у)]^ (y)-2dmyn/m(^]dy =

</ 0 Рп атп л 0

1 ГР гя

12—Г \ Хт(* [р(2'8)(х, у) - 2(/^(2'6)(х, у) +

Рп атп ¿0 ¿0

2

+ 2р(4,6)(х, у) - 4(/р(4'4)(х, у) Уn(y)dy = 1 Но [Р(2'8)(х, У)+4р(4'6)(х, у)+4р(6'4)(х, у)Кт(х,у^у. (59)

Р2 а2 п

'n—mnJJD

Тогда равенство (57) с учетом (58) и (59) примет вид

Ртп = - „ я]а4 I/" [Р(2'8)(х, у) + 4р(4'6)(х, У) +

1

d2 Р4а4 I I I

+ 4 Р(6,4)(х, у)] Упт(х, у)(х(у . (60)

Аналогично (57) и (58) имеем

Фтп = - ^ Р4 4 11 [Ф(2'4)(Х,У) +2ф(4'2)(х, у)]Упт(х, у)(Шу. (61)

^тРпатп ^^ В

Ртп(*) = - ^ Р2 2 /( (2'4) (х, У, *) + 2Р(4,2) (х, у, *)] ^т(х, у)(х(у. (62)

dmpnamn В

Из представлений (60)-(62) следует справедливость оценок (56). □

В силу леммы 4, т.е. на основании оценок (56), ряд (49) при т, п > N0 оценивается сходящимся рядом

— 7 1 а2 N 1

М11 Е ((2"р4 + (Ррх'') ^М18 Е (тп)2

Следовательно, доказана следующая

Теорема 2. Если функции р(х, у), ф(х, у) и Р(х, у, ¿) удовлетворяют условиям лемм 3 и 4, то существует единственное 'решение задачи (2)-(5) в классе ((), которое определяется суммой 'ряда (40).

Теперь установим устойчивость решения поставленной задачи от начальных функций р(х, у), ф(х,у) и правой части Р(х,у, ¿).

Теорема 3. Для решения (40) задачи (2)-(5) имеют место следующие оценки:

||и(x,У, ^^(В) < М1э(Ых УШ2(0) +

+ Шх УШ2(В) +тах||р(x,y, ^^(В)), (63)

Ци(х,у, тс(д) П М20(||р(х,у)||С4(В) + ||^(х, у)Цс (В) + ||Р (х,у, тс (В))- (64)

Доказательство. Поскольку система (30) ортонормирована в Ь2(И), из формулы (40) на основании оценки (42) получим

Ци(х,У, т2ЫВ) = Е и1гп(^ П 3М2 ^ (|ртп|2 + |^тп|2 + ||Ртп ||2) = т,п=1 т,п=1

= 3М2 (IIР(х, у)И12(В) + |^(х, у) Ц2( В) + тах ||Р(х, у, *) Н^)), так как в силу неравенства Бесселя

те

Е Е/п(*) < 1|Е(х,у, ¿)|||2(В) < ||Е(х,У, ^^(В)

т,п=1

следует справедливость оценки

те

Е ||Етп|2 = Е (0™ахт |Етп(^)|)2 =

1,п=1 т,п=1

те

Е п^Рт пЮ < тах ||Р (х,2Л ^^(в) (х,2Л ^УС^у

т,п=1

Отсюда и получим оценку (63).

Пусть (х,у, Ь) —произвольная точка из Я. Тогда из (40) с учетом оценки (42) имеем

1и(х,у, ¿)| ^ ^^ Е (1<Ртп1 + -Г^- 1Фтп1 + ||^тп||) . (65

\/РЯ 1 ^ Лтп Лтгп /

ч т,п=1

По условиям леммы 3 коэффициент фтп можно представить в виде

1

фтп —

Л <р(2'2\х, у)Хт(х)УптШХ(1у. (66)

МО 2 ^тУп ^ ^ V

Из равенства (31) при больших т, п следует, что

(т2 + п2) ^ -тп ^ (^у^ (т2 +п2), — шах{р, д}, I — шт{р, д}. (67)

Тогда из неравенства (65) с учетом (66) и (67), используя неравенство Коши— Буняковского, получим

1и(х,у, £ )1 ^

1 те 1 -— шах 1ф2,2)(х, у)1 + Е -2 Цфтп1 + ЦРтпЦ) <

1лт°п V т~п=1т2+п2 -

те 1 \1/2 / \1/2

< М5 < Мб

/те 1 \1'2/ те \1'2

шах |ф{2'2)(Х, У)\ +( Е (т2 +п2)2) ( Е ^П +

т,п=1

\ 1/21

<

/те 1 \ 1/2 / те ^ 1/2-|

+ £ (Е ^

4т,п=1 ' 4т,п=1

< М7(т_ах |ф(2'2)(х, у)| + ||ф(х, у)|к2(в) + ^ (х,у, ^

<

М2о{Mх, уЦс^-Б) + ||ф(х, уЯс(V) + ^(х,y, Фсхя)),

что и доказывает справедливость оценки (64). □

Таким образом, нами полностью доказана корректность постановки задачи (2)—(5) (задачи 1). При этом отметим, что при доказательстве теоремы 2 существования решения задачи на начальные условия (3) наложены достаточно сильные условия гладкости. Если ввести понятие обобщенного решения этой задачи, то эти условия можно значительно ослабить.

Определение 1. Решение задачи (2)-(5) (задачи 1) из класса С4'2(Я) назовем классическим или регулярным решением этой задачи.

Определение 2. Функцию и(х,у, Ь) будем называть обобщенным решением задачи (2)-(5) (задачи 1), если существует последовательность ип(х,у, Ь) регулярных решений задачи (2)-(5) с начальными данными

Пп(х,у, г)—<Рп(х, у), ип ь(х,У, 0)—фп(х, у), (х, у) Е И,

и правыми частями Еп(х,у, ¿), (х,у, ¿) € (, равномерно сходящаяся к функции и(х,у, ¿) на при этом функции (п(х, у), фп(х, у) и Еп(х,у, ¿) удовле-

д4рп(х,у) . .

творяют условиям теоремы 2, они и производные — . —:—, 0 п г,1 п 4,

дхгду3

сходятся равномерно на И и ( соответственно к функциям (р(х, у), ф(х,у),

дУ(х,У) иЕ(х,у, *). дхгдуз у '

Теорема 4. Если функции (р(х, у), ф(х, у) и Е(х, у, ¿) удовлетворяют условиям леммы 3, то существует единственное и устойчивое обобщенное решение задачи (2)-(5), которое определяется суммой ряда (40) и является непрерывной на ( функцией.

Доказательство. Пусть функции (р(х, у), ф(х, у) и Е(х,у, ¿) удовлетворяют условиям леммы 3. Тогда существуют последовательности функций Рп(х, у), фп(х, у) и Еп(х,у, ¿), удовлетворяющие условиям определения 2. По функциям (п(х, у), фп(х, у) и Еп(х, у, ¿) на основании теоремы 2 построим последовательность ип(х,у, ¿) регулярных решений задачи (2)-(5). В силу линейности изучаемой задачи разность ип(х, у, Ь)-ит(х, у, ¿) является решением задачи (2)-(5) с начальными функциями (п(х, у)-(рт(х,у), фп(х, у)-фт(х, у) и правой частью Еп(х,у, ¿) - Ет(х,у, ¿). Тогда в силу оценки (64) при любых п, т € N имеем

| | ип - ит||С(В) П М2^||(п - (тЦС4(о) +

+ 11 фп -фт]\с(В) + ||Еn(x,У, ^ Ет(x,У, |^(В)) - (68)

д4(п(х у)

По условию последовательности — п '.—, 0 П 4, фп(х,у) и Еп(х,у, ¿)

дхгду1

_ __д4((х, у)

сходятся равномерно на И и ( соответственно к функциям ^ . , ф(х, у)

и Е(х,у, ¿). Следовательно, для них справедлив критерий Коши о равномерной сходимости. Поэтому из оценки (68) следует справедливость критерия Коши и для последовательности ип(х,у, ¿). Тогда она сходится равномерно на ( к единственной непрерывной функции и(х,у, ¿), определенной рядом (40). Из доказательства теоремы 3 следует, что для обобщенного решения задачи (2)-(5) справедлива оценка (64), что и означает устойчивость такого решения. □

Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею.

Авторский вклад и ответственность. Автор несет полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена.

Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

Библиографический список

1. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с.

2. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. М.: Физматлит, 1967. 444 с.

3. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. M.: Наука, 1966. 636 с.

4. Гулд С. Вариационные методы в задачах о собственных значениях: Введение в метод промежуточных задач Вайнштейна. M.: Mир, 1970. 328 с.

б. Филиппов А. П. Колебания деформируемых систем. M.: Mашиностроение, 1970. 734 с.

6. Андрианов И. В., Данишевский В. В., Иванков А. О. Асимптотические методы в теории колебаний балок и пластин. Днепропетровск: Приднепровская государственная академия строительства и архитектуры, 2010. 217 с.

7. Сабитов К. Б. Колебания балки с заделанными концами // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2015. Т. 19, №2. С. 311-324. EDN: UGXNZR. DOI:https:// doi.org/10.14498/vsgtu1406.

8. Сабитов К. Б. К теории начально-граничных задач для уравнения стержней и балок // Диффер. уравн., 2017. Т. 53, №1. С. 89-100. EDN: XRBXOV. DOI: https://doi.org/10.1134/ S0374064117010083.

9. Сабитов К. Б. Начальная задача для уравнения колебаний балок// Диффер. уравн., 2017. Т. 53, №5. С. 665-671. EDN: YSXNEH. DOI: https://doi.org/10.1134/ S0374064117050090.

10. Сабитов К. Б., Акимов А. А. Начально-граничная задача для нелинейного уравнения колебаний балки// Диффер. уравн., 2020. Т. 56, №5. С. 632-645. EDN: FUQBLD. DOI: https://doi.org/10.1134/S0374064120050076.

11. Сабитов К. Б. Обратные задачи для уравнения колебаний балки по определению правой части и начальных условий// Диффер. уравн., 2020. Т. 56, №6. С. 773-785. EDN: ZUQBSX. DOI: https://doi.org/10.1134/S0374064120060096.

12. Сабитов К. Б. Начально-граничные задачи для уравнения колебаний прямоугольной пластины// Изв. вузов. Матем., 2021. №10. С. 60-70. EDN: RZSSHV. DOI: https://doi. org/10.26907/0021-3446-2021-10-60-70.

13. Сабитов К. Б. Уравнения математической физики. M.: Физматлит, 2013. 352 с. EDN: UIDCGZ.

14. Young D. Vibration of rectangular plates by the Ritz method // J. Appl. Mech., 195G. vol. 1T, no. 4. pp. 448-453. DOI: https://doi.Org/10.1115/1.4010175.

Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki

[J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2022, vol. 26, no. 4, pp. 650-671 ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) d https://doi.org/10.14498/vsgtu1950

MSC: 35M12

Vibrations of plate with boundary "hinged attachment" conditions

K. B. Sabitov12

1 Ufa University of Science and Technology, Sterlitamak Branch, 49, pr. Lenina, Sterlitamak, 453103, Russian Federation.

2 Samara State Technical University,

244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation.

Abstract

In the paper, the initial problem for the equation of vibrations of a rectangular plate with boundary conditions of the "hinged attachment" type is studied. An energy inequality is established, from which the uniqueness of the solution of the stated initial-boundary problem follows. The corresponding existence and stability theorems for the solution of the problem in the classes of regular and generalized solutions are proved. The existence of a solution to the problem posed is carried out by the method of spectral analysis and it is constructed as the sum of an orthogonal series over a system of eigenfunctions corresponding to a two-dimensional spectral problem, which is constructed by the method of separation of variables. A complete substantiation of the convergence of the constructed three-dimensional series in the class of regular solutions of the considered equation is given. The generalized solution is defined as the uniform limit of the sequence of regular solutions of the initial boundary value problem.

Keywords: equation of vibrations of a rectangular plate, initial boundary value problem, energy inequality, uniqueness, series, existence, stability.

Received: 25th August, 2022 / Revised: 7th November, 2022 / Accepted: 11th December, 2022 / First online: 28th December, 2022

Competing interests. I have no competing interests.

Authors' contributions and responsibilities. The author assumes full responsibility for the submission of the final manuscript in print. I approve the final version of the manuscript.

Funding. The research has not received funding.

Differential Equations and Mathematical Physics Research Article

© Authors, 2022

© Samara State Technical University, 2022 (Compilation, Design, and Layout) Q ©® The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) Please cite this article in press as:

Sabitov K. B. Vibrations of plate with boundary "hinged attachment" conditions, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2022, vol. 26, no. 4, pp. 650-671. EDN: CXCQCU. DOI: 10.14498/vsgtu1950 (In Russian). Author's Details:

Kamil B. Sabitov & (0 https://orcid.org/0000-0001-9516-2704

Dr. Phys. & Math. Sci.; Chief Researcher1; Professor; Dept. of Higher Mathematics2;

e-mail: [email protected]

References

1. Tikhonov A. N., Samarskii A. A. Uravneniia matematicheskoi fiziki [Equations of Mathematical Physics]. Moscow, Nauka, 1966, 724 pp. (In Russian)

2. Timoshenko S. P. Kolebaniia v inzhenernom dele [Fluctuations in Engineering]. Moscow, Fizmatlit, 1967, 444 pp. (In Russian)

3. Timoshenko S. P., Woinowsky-Krieger S. Plastinki i obolochki [Theory of Plates and Shells]. Moscow, Nauka, 1966, 636 pp.

4. Gould S. Variatsionnye metody v zadachakh o sobstvennykh znacheniiakh: Vvedenie v metod promezhutochnykh zadach Vainshteina [Variational Methods for Eigenvalue Problems: An Introduction to the Weinstein Method of Intermediate Problem]. Moscow, Mir, 1970, 328 pp. (In Russian)

5. Filippov A. P. Kolebaniia deformiruemykh sistem [Oscillations of Deformable Systems]. Moscow, Mashinostroenie, 1970, 734 pp. (In Russian)

6. Andrianov I. V., Danishevskii V. V., Ivankov A. O. Asimptoticheskie metody v teorii kole-banii balok i plastin [Asymptotic Methods in the Theory of Vibrations of Beams and Plates]. Dnepropetrovsk, Prydniprovska State Academy of Civil Engineering and Architecture, 2010, 217 pp.

7. Sabitov K. B. Fluctuations of a beam with clamped ends, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2015, vol. 19, no. 2, pp. 311-324 (In Russian). EDN: UGXNZR. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1406.

8. Sabitov K. B. A remark on the theory of initial-boundary value problems for the equation of rods and beams, Differ. Equat., 2017, vol.53, no. 1, pp. 86-98. EDN: YVJCOJ. DOI: https:// doi.org/10.1134/S0012266117010086.

9. Sabitov K. B. Cauchy problem for the beam vibration equation, Differ. Equat., 2017, vol. 53, no. 5, pp. 658-664. EDN: XNIRNN. DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266117050093.

10. Sabitov K. B., Akimov A. A. Initial-boundary value problem for a nonlinear beam vibration equation, Differ. Equat., 2020, vol. 56, no. 5, pp. 621-634. EDN: VFFDXC. DOI: https://doi. org/10.1134/S0012266120050079.

11. Sabitov K. B. Inverse problems of determining the right-hand side and the initial conditions for the beam vibration equation, Differ. Equat., 2020, vol.56, no. 6, pp. 761-774. EDN: ULGVTX. DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266120060099.

12. Sabitov K. B. Initial-boundary value problems for equation of oscillations of a rectangular plate, Russian Math., 2021, vol. 65, no. 10, pp. 52-62. EDN: FCMYHQ. DOI: https://doi.org/ 10.3103/S1066369X21100054.

13. Sabitov K. B. Uravneniia matematicheskoi fiziki [Equations of Mathematical Physics]. Moscow, Fizmatlit, 2013, 352 pp. (In Russian). EDN: UIDCGZ.

14. Young D. Vibration of rectangular plates by the Ritz method, J. Appl. Mech., 1950, vol. 17, no. 4, pp. 448-453. DOI: https://doi.org/10.1115/1.4010175.