О РАЗРЕШИМОСТИ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ В ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2020. Том 27, № 4

УДК 517.946

О РАЗРЕШИМОСТИ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ В ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ А. И. Кожанов

Аннотация. Изучается разрешимость обратных задач нахождения вместе с решением u(x, t) также положительного параметра а в дифференциальных уравнениях

utt + аДи — ви = f (x, t), autt + Ди — ви = f (x, t)

(t € (0,T), x = (xi,... , xn) € О с Rn, Д — оператор Лапласа по переменным xi,... ,xn). В качестве дополнения к краевым условиям, определяющим корректную краевую задачу для эллиптических уравнений, используется условие линейного финально-интегрального переопределения. Доказываются теоремы существования и единственности регулярных (имеющих все обобщенные по С. Л. Соболеву производные, входящие в уравнение) решений.

DOI: 10.25587/SVFU.2020.57.53.002 Ключевые слова: эллиптические уравнения, неизвестный коэффициент, финально-интегральное условие переопределения, регулярные решения, существование, единственность.

Введение

Отличительной особенностью изучаемых в работе обратных задач является то, что в них неизвестный коэффициент представляет собой величину постоянную, а не функцию от временной или пространственных переменных, как в большинстве работ, посвященных обратным задачам восстановления коэффициентов в тех или иных дифференциальных уравнениях.

Различные аспекты теории обратных коэффициентных задач достаточно хорошо освещены в мировой литературе — см. монографии [1-11], статьи [1238]. Вместе с тем рассматриваемые в настоящей работе задачи — именно задачи восстановления вместе с решением того или иного дифференциального уравнения также неизвестного параметра (числа) — изучены сравнительно мало — см. работы [29-38] (помимо работ [1-28], посвященных исследованиям обратных задач с неизвестными коэффициентами, являющимися функциями тех или иных независимых переменных, можно назвать огромное количество других).

Заметим, что обратные задачи восстановления параметров требуют иных условий переопределения, нежели те, которые использовались в исследованиях,

The work is supported by the Scientific Committee of Kazakhstan (Grant AP05132041).

© 2020 Кожанов А. И.

посвященных обратным задачам с неизвестными коэффициентами, являющимися функциями от независимых переменных.

И еще одно замечание. К дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами часто приводит математическое моделирование процессов, протекающих в однородной среде — см. [39, 40]. Если при этом коэффициенты, характеризующие те или иные свойства среды (или процесса), являются заранее неизвестными величинами, то мы автоматически приходим к обратным задачам с неизвестными параметрами.

Изучаемые в работе задачи имеют модельный вид. Возможные усиления и обобщения (на более общие уравнения, на другие задачи) будут описаны в конце работы.

Все построения и рассуждения в работе будут вестись с использованием пространств Лебега Ьр и Соболева W!p. Необходимые сведения о функциях из этих пространств можно найти в книгах [41-43].

Наконец, заметим, что обратные задачи, подобные рассматриваемым в настоящей работе, ранее для эллиптических уравнений не изучались.

1. Постановка задач

Пусть ж = (жх,... , жп) — точка ограниченной области О пространства К" с гладкой (для простоты — бесконечно дифференцируемой) границей Г, ^ — цилиндр {(ж, 4) : х € О, 4 € (0, Т)} конечной высоты Т, Б = Г х (0, Т)} — боковая граница Далее, пусть N (ж) и / (ж, 4) — заданные функции, определенные при а; £ О, { £ [О,?1], А — заданное действительное число.

Обратная задача I. Найти функцию п(ж, 4) и положительное число а, связанные в цилиндре Q уравнением

пц + аДп — вп = / (ж, 4) (1)

(в — заданное положительное число), при выполнении для функции п(ж, 4) условий

п(ж,*)|я = 0, (2)

п(ж, 0) = 0, п4(ж, Т) = 0, ж € О, (3)

jN(ж)п(ж, Т) ¿ж = А. (4)

о

Обратная задача II. Найти функцию п(ж, 4) и число а, связанные в цилиндре Q уравнением

ащ± + Дп — вп = / (ж, 4) (5)

(в — заданное положительное число) при выполнении для функции п(ж, 4) условий (2)-(4).

В обратных задачах I и II условия (2) и (3) суть условия обычной смешанной краевой задачи для эллиптических уравнений, условие (4) — условие

финально-интегрального переопределения линейного вида. Обратные задачи с неизвестными параметрами (постоянными коэффициентами) с квадратичным переопределением ранее изучались с помощью полугруппового подхода в работах [29, 31-34], с помощью методов регуляризации и неподвижной точки — в работах [30,35-38]. Далее, обратные задачи с линейным финально-интегральным переопределением вида (4) ранее изучались для параболических уравнений в работах [36, 37] и для гиперболических — в [38]. Как уже говорилось выше, обратные задачи определения неизвестных параметров, подобные задачам I и II, ранее для эллиптических уравнений не изучались.

2. Разрешимость обратной задачи I

Воспользуемся методом работ [17,18, 20, 35-38] — методом, который сводит исследование разрешимости исходной обратной задачи к исследованию разрешимости краевой задачи для некоторого специального «нагруженного» [44,45] дифференциального уравнения.

Пусть и А — заданные действительные числа, причем А = 0. Пусть Жх(ж) — функция, определенная с помощью равенств

ДЖх(ж) = N (ж), ж е О,

жх(ж) = 0, ж е г,

^х(ад) — функционал:

^м = / (ж, т) ¿ж - в / ^(жМж, ^

о я

о

Для произвольной функции ад(ж) из пространства ^ 2 (О) выполняется неравенство

J ад2 (ж) ¿ж < ¿о ^^ J (ж) ¿ж (6)

о 1=1 о

с постоянной ¿о, определяющейся лишь областью О (см.[41-43]). Это неравенство и само число ¿о понадобятся ниже.

Пусть Мо — фиксированное число из интервала (0,1), д(ж, £) — фиксированная функция из пространства Ь2(^). Положим

а/2 (ЗйоАТ1/2

К1 = -Жп\\М1\\ып)\\9\\ь2(я), К2 = —р-\\К1\\ь2(п)\\д\\ь2(я),

в1/4 1 - Мо

2мо

Наконец, пусть Нх — заданное положительное число.

Рассмотрим краевую задачу: найти функцию г>(ж, £), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

Уи + ^МАу_ру = д{х^ (7)

и такую, что для нее выполняются условия (2), а также условие

у4(х, 0) = у(х,Т)=0, х е П. (8)

Уравнение (7) и представляет собой искомое «нагруженное» дифференциальное уравнение.

Теорема 1. Пусть д(х,Ь) — заданная функция из пространства Ь2(^), и пусть выполняются условия

N(х) е Ь2(П); в > 0, А > 0; Ко < Кг.

Тогда краевая задача (7), (2), (8) имеет решение у(х,Ь), принадлежащее пространству Ж22(^), такое, что |<^г(у)| < м0К1.

Доказательство. Для м = м0Кг определим срезающую функцию СМ(С),

С е К:

если < м, М, если С > м,

—м, если С < —М.

Рассмотрим задачу: найти функцию у(х,Ь), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

--А- у-/3у = д(х,г) (7М)

и такую, что для нее выполняются условия (2) и (8). Разрешимость этой задачи в пространстве Ж^^) нетрудно установить с помощью метода неподвижной точки. Действительно, пусть г>(х, £) — произвольная функция из пространства Краевая задача с условиями (2) и (8) для линейного эллиптического уравнения

Уц Н--^-Аг; - /Зу = д(х, 1)

имеет решение у(х, £), принадлежащее пространству Ж^^) (см. [42]). Тем самым эта задача порождает оператор, переводящий пространство Ж^^) в себя и ставящий в соответствие функции у(х, £) функцию у(х, £). Этот оператор вполне непрерывен (доказательство нетрудно провести повторением доказательства подобных фактов в [17, 38]). Отсюда и из теоремы Шаудера и вытекает разрешимость краевой задачи (7М), (2), (8) в пространстве №).

Умножим уравнение (7М) на функцию —у(х, £) и проинтегрируем по цилиндру Q. После несложных преобразований с использованием неравенства (6) и неравенства Гельдера получим, что для решений у(х, £) краевой задачи (7М), (2), (8) выполняется первая априорная оценка

2 ,1/2 А.& Ч1/2

у2

я

Далее, имеет место также очевидная вторая оценка

J V2 Ах(И < — J д2 с1хсИ. (10)

я Я

Умножим уравнение (7М) на функцию г^(ж,£) и проинтегрируем по цилиндру ф. После применения неравенства Гельдера и использования оценки (10) получим третью априорную оценку решений г>(ж, £) краевой задачи (7М), (2), (8):

J V2 (ж, Т) Ах < —-¡= J д2 с1хсИ. (11)

о я

Из неравенств (9) и (11) вытекает оценка для ^(и):

К2 Л1

Из этой оценки и неравенства Ко < следует, что выполняется неравенство

< Мо-йь Но тогда выполняется равенство См(^1(«)) = Из этого

равенства следует, что решение краевой задачи (7М), (2), (8) будет искомым решением краевой задачи (7), (2), (8). Теорема доказана.

Рассмотрим краевую задачу (7), (2), (8) в случае д(ж,£) = /4(ж,£). Пусть ^о есть некоторое число из интервала (0,1), числа К*, К2 и К** определены так же, как и ранее, но через функцию /4(ж,£).

Теорема 2. Пусть функции /(ж, £) и /4(ж, £) принадлежат пространству Ь2(ф), и пусть выполняются условия

N (ж) е ¿2(0);

в > 0, А > 0;

3 Мо е (0,1) : КО < У ^(ж)/(ж, Т) ¿ж; о

/(ж, 0) = 0 при ж е О.

Тогда обратная задача I имеет решение {и(ж, £), а} такое, что и(ж, £) е ЭД^ (ф), а > 0.

Доказательство. Пусть и(ж,£) — решение краевой задачи (7), (2), (8), в которой

д(ж, ¿)= /4(ж,£), Д1 = J N1(ж)/(ж,Т) ¿ж.

о

Согласно теореме 1 функция г>(ж,£) определена и принадлежит пространству 22

Определим число а:

(ф), для нее выполняются условия (2) и (3).

а =-^-. (12)

Это число и функция и(ж, 4) будут связаны в цилиндре Q уравнением (1). Покажем, что для функции и(ж, 4) и данного числа а будет выполняться условие переопределения (4).

Положим 4 = Т в уравнении (1) с определенным равенством (12) числом а, умножим на функцию ^(ж) и проинтегрируем по области О. После несложных преобразований получим равенство

Поскольку второй множитель в этом равенстве отличен от нуля, получим

Это и означает, что для функции и(ж,4) выполняется условие переопределения (4).

Итак, для найденных функции и(ж, 4) и числа а выполняется уравнение (1), функция и(ж, 4) принадлежит пространству Ж2^), число а положительно, для функции и(ж, 4) выполняются условия (2)-(4). Следовательно, функция и(ж,4) и число а дают искомое решение обратной задачи I.

Теорема доказана.

Вновь воспользуемся методом, основанным на переходе от обратной задачи к исследованию разрешимости краевой задачи для нелинейного «нагруженного» дифференциального уравнения.

Вновь пусть Нх и А суть заданные действительные числа, ^о — фиксированное число из интервала (0,1).

Для функций ф(4), принадлежащих пространству ([0,1]) и таких, что ф(0) = ф'(1) = 0, выполняется неравенство — аналог неравенства (6):

А - N(ж)и(ж,Т) ¿ж [Нх - <^1(«)] = 0.

о

3. Разрешимость обратной задачи II

т

т

(13)

о

о

(см. [43]).

Определим функционал

Далее, положим

Q

М0 = ^ (Mi + \JMf + АЦ0М2) ■

1

2мо '

Рассмотрим краевую задачу: найти функцию u(x, t), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

+ Au - ßu = f(x, t) (14)

и такую, что для нее выполняются условия (2) и (3).

о 1

Теорема 3. Пусть f (ж, t) — заданная функция из L2(0, T; W 2(^)), и пусть выполняются условия

N(x) G С1 (О); в> 0, A > 0, Ri < 0; Mo < |Ri|.

Тогда краевая задача (14), (2), (3) имеет решение u(x,t), принадлежащее пространству Wf(Q) и такое, что — ßu) < ^0|R2|.

Доказательство. Для числа ß = ßo|Ri| рассмотрим краевую задачу: найти функцию u(x, t), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

G^2{Au - ßu)) - Ri

—-—-utt + Au - ßu = f(x,t) (14M)

и такую, что для нее выполняются условия (2) и (3). Учитывая представление

^2(Ди — ви) = — ^^ j NXi (ж) I j uXi (ж,т) dT I dxdt

i=iQ Vt /

T / T \

- J J N(x) ij J dsdr - ßtp2(u),

0 г \t /

используя теоремы вложения [41-43] и применяя метод неподвижной точки, нетрудно показать, что краевая задача (14м), (2), (3) имеет решение u(x, t), принадлежащее пространству W2(Q). Установим наличие необходимых априорных оценок функции u(x,t).

Умножим уравнение (14м) на функцию —u(x, t). Интегрируя по цилиндру Q, используя неравенство

используя также неравенство (13), получим первую оценку

(Ju*dxdty2 <(1_4м^2|Д1|(/ fMdxdt)1'2 (15)

QQ

для решений и(ж, £) краевой задачи (14), (2), (3). Далее, имеет место вторая оценка

[(Ли)2 в,хМ < 4 ^ / (16)

я я

(получаемая вначале на гладких функциях умножением уравнения (14м) на функцию —А2и и интегрированием по цилиндру ф, и далее — использованием предельного перехода).

Из неравенств (15) и (16) вытекает оценка

М2

ЫД и-(5и)\<М1 + -^-|Л1|

Из этой оценки и неравенства Мо < Д1 следует, что выполняется неравенство |^2(Аи — ви)| < ^оД1. Но тогда

См(<^(Аи — ви)) = ^2(А« — ви).

А это означает, что решение и(ж, £) краевой задачи (14м), (2), (3) будет представлять собой искомое решение краевой задачи (14), (2), (3). Теорема доказана. Положим

Я1 = J N (ж) |У / (ж,т) ¿т I ¿ж^. я V* /

(ж) /(ж,

я

Теорема 4. Пусть выполняются условия

Щх) €= С^П), /(х,г) € Ь2(0,Т;т1^(О)); в> 0, А > 0, Й1 < 0; Мо < |Й1|.

Тогда обратная задача II имеет решение {и(ж, £), а} такое, что и(ж, £) е а > 0.

Доказательство. Пусть и(ж,£) — решение краевой задачи (14), (2), (3). Определим число а:

а =---. (17)

Это число положительно, функция и(ж,£) и число а связаны в цилиндре ф уравнением (5). Выполнение для функции и(ж, £) условия переопределения доказывается так же, как доказано аналогичное свойство для решения краевой задачи (7), (2), (8). Следовательно, функция и(ж, £) и число а дадут искомое решение обратной задачи II. Теорема доказана.

4. Единственность решений

Пусть Д — число, введенное при доказательстве теоремы 2, До — фиксированное положительное число, ^о — фиксированное число из интервала (0,1). Определим множество У^0 :

УМ0,Но = Им) : е Ю^), ЫМ) е

||А^ Уь2(д) < До, Ь Н| < М0Й1}-

Теорема 5. Пусть |и1(ж, £), а1}, {и2(ж, £), а2} — два решения обратной задачи I такие, что е У^0 ,д0, а» > 0, г = 1, 2, и пусть выполняются условия

N (ж) е ¿2(0);

в> 0, А > 0, Й1 > 0;

Тогда и1(ж, £) = и2(ж, £) в Q, а1 = а2.

Доказательство. Положим £) = и1(ж,4) — и2(ж,£). Для функции £) в цилиндре Q выполняется уравнение

^^ + а1Аад — = (а2 — а1)Аи2(ж, £)

и выполняются также условия (2) и (3). Поскольку функции и1(ж, £) и и2(ж, ¿) принадлежат множеству У^0,я0, уравнение (18) можно дифференцировать по переменной при этом для функции Ти(х, £) = £) будут выполняться усло-

вия (2) и (7); учитывая представления (12) чисел а1 и а2 через функции и1(ж, £) и и2(ж,4), получим, что в цилиндре Q выполняется уравнение

яПц + а1А1В-/ЗШ] = ^М Аи24(ж, (19)

Повторяя для задачи (19), (2), (7) доказательство оценок (9)—(11), получим неравенства

] 1/2 < ¿оДоЬМ ( [^ ¿хсц] 1/2 <

(1 - мо)Й1 'У ) - а

в1/4А о

Имеет место также неравенство

< (У йУ2(ж,Т)с^ ' ЦЖхЦЫп) + РТ1/2 У ' ||Ж1||ь2(о).

о я

Объединяя первое, третье и четвертое из данных неравенств, получим оценку

* (Дг+ ТГГ^г)

Из этой оценки и условия теоремы следует, что числа а1 и а2 совпадают. Но тогда функция Ти(х, £) как решение краевой задачи (19), (2), (7) с нулевой правой частью будет тождественно нулевой в д функцией. Очевидно, что тождество Ш^ж, = 0 влечет тождество ад(ж, = 0. А это вместе с совпадением чисел а1 и а2 означает требуемое. Теорема доказана.

Пусть у«о — фиксированное число из интервала (0,1), Д1 — число, определенное при доказательстве теоремы 3. Определим множество :

,До = |«(ж,*) : «(ж,*) е ж2(ф), е 0,т; ^ 1(0))

ЫАи - 0щ)| < мо|Й1|, /

\г=1 Я

2 V72 1

Я

Теорема 6. Пусть |и1(ж, а1}, |и2(ж, а2} — два решения обратной задачи II такие, что щ (ж, е ,я0, а» > 0, г =1, 2, и пусть выполняются условия

N (ж) е Ь2(0); '>»• ^ ^(да

Тогда щ1(ж, = щ2(ж, в д, а1 = а2.

Доказательство. Для разности ад(ж,£) решений щ1(ж, и щ2(ж, в цилиндре д выполняется уравнение

у2(Дц; - ¡Згу) агъии + Агу - /Зад =--—-и2ы{х, Ц

и выполняются также условия (2) и (3). Повторяя доказательство оценок (15) и (16), используя также неравенство (6), получим, что для функции ад(ж, имеют место неравенства

2 | <

1/2 ^ ~

(1 - мо)п2|Й1| Я

Далее, имеет место оценка

ЫДч, - < 2ГЗ/2"з1|и2(0) (/ (А^)2 Лий) 1/2

Я

3 У )

Я

Из этой оценки, двух предыдущих неравенств и условия теоремы следует, что — = 0- Но тогда числа а и а2 будут совпадать, и далее — функции ^(ж, £) и и2(ж,4) будут совпадать в цилиндре

Теорема доказана.

5. Комментарии и дополнения

1. В обратных задачах I и II оператор Лапласа можно заменить более общим эллиптическим оператором второго порядка, действующим по пространственным переменным.

2. Полученные в теоремах 1 и 3 результаты о разрешимости краевых задач для нелинейных нагруженных эллиптических уравнений имеют, на взгляд автора, самостоятельное значение.

3. Множества У^0 ,я0 и У^0,я0 можно трактовать как множества единственности решений обратных задач I и II.

4. Покажем, что множество исходных данных, для которых выполняются условия теорем существования 2 и 4, непусто.

Пусть в обратной задаче I /(ж, £) — положительная в (3 функция, Ж(ж) — отрицательная в О функция, /ло = Число Й1 в этом случае положительно. Имеем

К0 < 2Кг + -Ц = + ^¡З^АТ^.

Очевидно, что неравенство Ко < Д1 будет выполняться, если число в велико (настолько, например, чтобы первое слагаемое в правой части последнего равенства стало меньше ^Д].), и далее — если при фиксированном /3 число А мало.

Аналогично, если в обратной задаче II функция /(ж,£) отрицательна в (3, функция Ж(ж) положительна в О, число ¡3 велико и число А мало, то все условия теоремы 4 будут выполняться.

Заметим следующее. Вообще говоря, в условии (4) обратных задач I и II можно считать, что число А сколь угодно мало. Но тогда функция N (ж) изменится, и, значит, числа К1 и К2, М1 и М2 изменятся. Поэтому в работе считается, что N (ж) — фиксированная функция, число же А может варьироваться.

5. Граничные условия (2) и (3) в обратных задачах I и II могут быть и неоднородными, но количество выкладок при этом (в рамках используемого в работе подхода) существенно увеличивается.

ЛИТЕРАТУРА

1. Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во МГУ, 1994.

2. Anikonov Yu. E. Inverse and ill-posed sources problems. Utrecht: VSP, 1999.

3. Kozhanov А. I. Composite type equations and inverse problems. Utrecht: VSP, 1999.

4. Prilepko A. I., Orlovsky D. G., Vasin I. A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York: Marcel Dekker, 1999.

5. Lorenzi A. An introduction to indentification problems via functional analysis. Utrecht: VSP, 2001.

6. Belov Yu. Ya. Inverse problems for partial differntial equations. Utrecht: VSP, 2002.

7. Lavrentiev M. M. Inverse problems of mathematical physics. Utrecht: VSP, 2003.

8. Ivanchov M. Inverse problems for equations of parabolic type. Lviv: WNTL Publ., 2003.

9. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сиб. кн. изд-во, 2009.

10. Isakov V. Inverse problems for partial differential equations. New York: Springer-Verl., 2006.

11. Hasanov H. A., Romanov V. G. Introduction to inverse problems for differential equations. New York: Springer-Verl., 2017.

12. Cannon J. R. An inverse problem for an elliptic partial differential equation // J.EMath. Anal. Appl. 1987. V. 126. P. 329-340.

13. Cannon J. R., Lin Y. Determination of a parameter p(t) in some quasi-linear parabolic differential equations // Inverse Probl. 1988. V. 4. P. 35-45.

14. Прилепко А. И., Костин А. Б. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением // Мат. сб. 1992. Т. 183, № 4. С. 473490.

15. Прилепко А. И., Костин А. Б. Об обратных задачах определения коэффициента в параболическом уравнении. I // Сиб. мат. журн. 1992. Т. 33, № 3. С. 144-155; II // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, № 5 С. 147-162.

16. Kozhanov A. I. Questions of posing and solvability of linear inverse problems for elliptic equations // J. Inverse Ill-Posed Probl. 1997. V. 5, N 4. P. 337-352.

17. Кожанов А. И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Журн. вы-числ. математики и мат. физики. 2004. Т. 44, № 4. С. 694-716.

18. Кожанов А. И. Параболические уравнения с неизвестным коэффициентом поглощения // Докл. АН. 2006. Т. 401, № 6. С. 720-743.

19. Орловский Д. Г. Обратная задача Дирихле для уравнений эллиптического типа // Диф-ференц. уравнения. 2008. Т. 23, № 4. С. 31-45.

20. Kozhanov A. I., SaGullova R. R. Linear inverse problems for parabolic and hyperbolic equations // J. Inverse and Ill-Posed Probl. 2010. V. 18, N 1. P. 1-18.

21. Frolenkov I. V., Kriger E. N. Identification problem of coefficient in the special form at source function for multi-dimensional parabolic equation with Cauchy data //J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys. 2013. V. 6. P. 186-199.

22. Соловьев В. В. Обратные задачи для уравнений эллиптического и параболического типов в пространствах Гельдера: Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. М.: МИФИ, 2014.

23. Doo-Sung Lee. An inverse problem for an elliptic equation // Appl. Anal. 2016. V. 95, N 4. P. 919-929.

24. Пятков С. Г. О некоторых классах обратных задач с данными переопределения на пространственных многообразиях // Сиб. мат. журн. 2016. Т. 57, № 5. С. 1114-1126.

25. Ashyraliev Ch., Akunz G., Dedeturk M. Approximate solution for an inverse problem of multidimensional elliptic equation with multipoint nonlocal and Neumann boundary conditions // Electron. J. Differ. Equ. 2017. V. 197. P. 1-16.

26. Barbu V., Marinoschi G. An identification problem for a linear evolution equation in a Banach space // Discrete Contin. Dyn. Syst. 2020. V. 13. P. 1429-1440.

27. Wang Z., Chen Sh., Qiu Sh., Wu B. A non-iterative method for recovering the space-dependent source and the initial value simultaneously in a parabolic equation // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2020. V. 29, N 4. P. 499-516.

28. Kozhanov A. I., Shipina T. N. Loaded differential equations and linear inverse problems for elliptic equations // Complex Variables and Elliptic Equations. 2020. doi.org/10.1080/17476933. 2020.1793970.

29. Lorenzi A. Recovering two constants in a linear parabolic equation //J. Phys.: Conf. Ser.

2007. V. 73. 012014.

30. Lyubanova A. S. Identification of a constant coefficient in an elliptic equation // Appl. Anal.

2008. V. 87, N 10-11. P. 1121-1128.

31. Lorenzi A., Mola G. Identification of a real constant in linear evolution equations in a Hilbert spaces // Inverse Probl. Imag. 2011. V. 5, N 3. P. 695-714.

32. Mola G. Identification of the diffusion coefficient in linear evolution equations in a Hilbert space //J. Abstr. Differential Appl. 2011. V. 2, N 1. P. 18-28.

33. Lorenzi A., Mola G. Recovering the reaction and the diffusion coefficients in a linear parabolic equation // Inverse Probl. 2012. V. 28, N 7. 075006.

34. Mola G., Okazawa N., Pruss J., Yokota T. Semigroup-theoretic approach to identification of linear diffusion coefficient // Discrete Contin. Dyn. Syst. 2016. V. 9. P. 777-790.

35. Кожанов А. И., Сафиуллова Р. Р. Определение параметров в телеграфном уравнении // Уфим. мат. журн. 2017. Т. 9, № 1. С. 63-74.

36. Кожанов А. И. Обратные задачи определения параметра поглощения в уравнении диффузии // Мат. заметки. 2019. Т. 106, № 3. С. 394-407.

37. Кожанов А. И. Уравнение теплопроводности с неизвестным коэффициентом теплоемкости // Сиб. журн. индустр. математики. 2020. Т. 23, № 1. С. 93-106.

38. Kozhanov A. I. Hyperbolic equations with unknown coefficients // Symmetry. 2020. V. 12, N 9. 1539.

39. Courant R. Partial differential equations. New York; London: Intersci., 1962.

40. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1974.

41. Соболев C. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.

42. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

43. Triebel H. Interpolation theory, function spaces, differential operators. Berlin: VEB Deutscher Verl. Wissenschaften, 1978.

44. Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их применение. М.: Наука, 2012.

45. Дженалиев М. Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. Алматы: Инст. теор. и прикл. математики, 1995.

Поступила в редакцию 8 октября 2020 г. После доработки 8 октября 2020 г. Принята к публикации 29 ноября 2020 г.

Кожанов Александр Иванович

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Акад. Коптюга, 4, Новосибирск 630090; Новосибирский государственный университет, ул. Пирогова, 1, Новосибирск 630090 kozhanov@math.nsc.ru

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2020. Том 27, № 4

UDC 517.946

ON THE SOLVABILITY OF THE INVERSE PROBLEMS OF PARAMETER RECOVERY IN ELLIPTIC EQUATIONS A. I. Kozhanov

Abstract: We study solvability of the inverse problems of finding, alongside the solution u(x,t), the positive parameter a in the differential equations

utt + aAu — ßu = f (x, t),

autt + Au — ßu = f (x, t)

where t € (0, T), x = (xi,...,xn) € O c Rn, and A — the Laplace operator in variables xi,...,xn. As a complement to the boundary conditions defining a well-posed boundary value problem for elliptic equations, we use the conditions of the linear final integral overdetermination. We prove the existence and uniqueness theorems for regular solutions, those having all generalized in the S. L. Sobolev sense derivatives in the equation.

DOI: 10.25587/SVFU.2020.57.53.002 Keywords: elliptic equation, unknown coefficient, final-integral overdetermination condition, regular solution, existence, uniqueness.

REFERENCES

1. Denisov A. M., Introduction to the Theory of Inverse Problems [in Russian], Mosk. Gos. Univ., Moscow (1994).

2. Anikonov Yu. E., Inverse and Ill-Posed Sources Problems, VSP, Utrecht (1999).

3. Kozhanov A. I., Composite Type Equations and Inverse Problems, VSP, Utrecht (1999).

4. Prilepko A. I., Orlovsky, D. G., and Vasin I. A., Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics, Marcel Dekker, New York (1999).

5. Lorenzi A., An Introduction to Indentification Problems via Functional Analysis, VSP, Utrecht (2001).

6. Belov Yu. Ya., Inverse Problems for Partial Differntial Equations, VSP, Utrecht (2002).

7. Lavrentiev M. M., Inverse Problems of Mathematical Physics, VSP, Utrecht (2003).

8. Ivanchov M., Inverse Problems for Equations of Parabolic Type, WNTL Publ., Lviv (2003).

9. Kabanikhin S. I., Inverse and Ill-Posed Problems: Theory and Applications, Walter de Gruyter, Berlin (2012).

10. Isakov V., Inverse Problems for Partial Differential Equations, Springer-Verl., New York (2006).

11. Hasanov H. A. and Romanov V. G., Introduction to Inverse Problems for Differential Equations, Springer-Verl., New York (2017).

12. Cannon J. R., "An inverse problem for an elliptic partial differential equation," J. Math. Anal. Appl., 126, 329-340 (1987).

13. Cannon J. R. and Lin Y., "Determination of a parameter p(t) in some quasi-linear parabolic differential equations," Inverse Probl., 4, 35-45 (1988).

© 2020 A. I. Kozhanov

14. Prilepko A. I. and Kostin A. B., "On certain inverse problems for parabolic equations with final and integral observation," Mat. Sb., 183, No. 4, 49-68 (1992).

15. Prilepko A. I. and Kostin A. B., "Inverse problems of determining the coefficient in a parabolic equation," I: Sib. Mat. Zh., 33, No. 3, 146-155 (1992); II: Sib. Mat. Zh., 34, No. 5, 147-162 (1993).

16. Kozhanov A. I., "Questions of posing and solvability of linear inverse problems for elliptic equations," J. Inverse Ill-Posed Probl., 5, No. 4, 337-352 (1997).

17. Kozhanov A. I., "Nonlinear loaded equations and inverse problems," Comput. Math. Math. Phys., 44, No. 4, 657-678 (2004).

18. Kozhanov A. I., "Parabolic equations with unknown absorption coefficient," Dokl. Math., 74, No. 1, 573-576 (2006).

19. Orlovsky D. G., "Inverse Dirichlet problem for an equation of elliptic type," Differ. Equ., 44, 124-134 (2008).

20. Kozhanov A. I. and Sa&ullova R. R., "Linear inverse problems for parabolic and hyperbolic equations," J. Inverse Ill-Posed Probl., 18, No. 1, 1-18 (2010).

21. Frolenkov I. V. and Kriger E. N., "Identification problem of coefficient in the special form at source function for multidimensional parabolic equation with Cauchy data," J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., 6, 186-199 (2013).

22. Solov'ev V. V., Inverse Problems for Elliptic- and Parabolic-Type Equations in Holder Spaces [in Russian], Diss. ... dokt. fiz.-mat. nauk, Mosk. Inzh.-Fiz. Inst., Moscow (2014).

23. Doo Sung Lee, "An inverse problem for an elliptic equation," Appl. Anal., 95, No. 4, 919-929 (2016).

24. Pyatkov S. G., "On some classes of inverse problems with overdetermination data on spatial manifolds," Sib. Math. J., 57, No. 5, 870-880 (2016).

25. Ashyraliev Ch., Akunz G., and Dedeturk M., "Approximate solution for an inverse problem of multidimensional elliptic equation with multipoint nonlocal and Neumann boundary conditions," Electron. J. Differ. Equ., 197, 1-16 (2017).

26. Barbu V. and Marinoschi G. "An identification problem for a linear evolution equation in a Banach space," Discrete Contin. Dyn. Syst., 13, 1429-1440 (2020).

27. Wang Z., Chen Sh., Qiu Sh., and Wu B., "A non-iterative method for recovering the space-dependent source and the initial value simultaneously in a parabolic equation," J. Inverse Ill-Posed Probl., 28, No. 4, 499-516 (2020).

28. Kozhanov A. I. and Shipina T. N., "Loaded differential equations and linear inverse problems for elliptic equations," Complex Variables Elliptic Equ., (2020). doi.org/10.1080/17476933. 2020.1793970

29. Lorenzi A. "Recovering two constants in a linear parabolic equation," in: Inverse Problems in Applied Sciences, J. Phys.: Conf. Ser., 73, 012014 (2007).

30. Lyubanova A. S., "Identification of a constant coefficient in an elliptic equation," Appl. Anal., 87, No. 10-11, 1121-1128 (2008).

31. Lorenzi A. and Mola G., "Identification of a real constant in linear evolution equation in a Hilbert space," Inverse Probl. Imag., 5, No. 3, 695-714 (2011).

32. Mola G., "Identification of the diffusion coefficient in linear evolution equations in a Hilbert space," J. Abstract Differ. Appl., 2, No. 1, 18-28 (2011).

33. Lorenzi A. and Mola G., "Recovering the reaction and the diffusion coefficients in a linear parabolic equation," Inverse Probl., 28, No. 7, 075006 (2012).

34. Mola G., Okazawa N., Priiss J., and Yokota T., "Semigroup-theoretic approach to identification of linear diffusion coefficient," Discrete Contin. Dyn. Syst., 9, 777-790 (2016).

35. Kozhanov A. I. and Sa&ullova R. R., "Determination of a parameter in the telegraph equation," Ufim. Mat. Zh., 9, 62-75 (2017).

36. Kozhanov A. I., "Inverse problems of finding of absorption parameter in the diffusion equation," Math. Notes, 106, 378-389 (2019).

37. Kozhanov A. I., "The heat transfer equation with an unknown heat capacity coefficient," J. Appl. Ind. Math., 14, 104-114 (2020).

38. Kozhanov A. I., "Hyperbolic equations with unknown coefficients," Symmetry, 12, No. 9, 1539 (2020).

39. Courant R., Partial Differential Equations, Interscience, New York; London (1962).

On the solvability of the inverse problems of parameter recovery

29

40. Vladimirov V. S., Uravneniya Matematicheskoi Fiziki [in Russian], Nauka, Moscow (1974).

41. Sobolev S. L., Some Applications of Functional Analysis in Mathematical Physics, Amer. Math. Soc., Providence, RI, (1991).

42. Ladyzhenskaya O. A. and Uraltseva N. N., Linear and Quasilinear Elliptic Equations, Acad. Press, New York; London (1987).

43. Triebel H., Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators, VEB Deutscher Verl. Wissenschaften, Berlin (1978).

44. Nakhushev A. M., Loaded Equations and Their Applications [in Russian], Nauka, Moscow (2012).

45. Dzhenaliev M. T., To the Theory of Linear Boundary Value Problems for Loaded Differential Equations [in Russian], Inst. Teor. Prikl. Mat., Almaty, Kazakhstan (1995).

Submitted October 8, 2020 Revised October 8, 2020 Accepted November 29, 2020

Aleksandr I. Kozhanov

Sobolev Institute of Mathematics,

4 Koptyug Avenue, Novosibirsk 630090, Russia;

Novosibirsk State University,

1 Pirogov Street, Novosibirsk 630090, Russia

kozhanov@math.nsc.ru