CC BY
38
УДК 519.8
РС! 10.21661/Г-112813 Л.В. Лебедева
О разработке учебных задач по теме «Транспортная задача линейного программирования»
Аннотация
В работе предлагается способ выбора параметров математической модели закрытой транспортной задачи линейного программирования, оптимальное решение которой стандартным методом потенциалов определяется за малое количество шагов.
I Ключевые слова: закрытая транспортная задача, линейное программирование, метод потенциалов, метод северо-западного угла.
L.V. Lebedeva
About educational tasks development of the subject «Transportation problem of linear programming»
Abstract
The research offers a variant of closed transportation task of linear programming options choice, which optimal solution is defined by a standard method of potentials involving small quantity of steps.
| Keywords: closed transportation task, linear programming, potenial method, northwestern angle method.
Теория линейного программирования (ЛП), появившаяся в первой половине XX века, в настоящее время получила широкое применение в самых различных задачах оптимизации, логистики [1]. При решении реальных производственных задач методами ЛП требуется использование вычислительной техники и знание соответствующего программного обеспечения. Однако при первом знакомстве с этой теорией полезны простые задания, с одной стороны, позволяющие получить оптимальное решение за небольшое количество шагов, с другой стороны, демонстрирующие все основные моменты выбранного метода. На основе таких заданий достаточно просто могут быть построены и тестовые проверочные работы, в которых студентам предлагается выбрать правильный ответ из нескольких имеющихся. Не смотря на большое количество существующей сегодня учебной литературы по данной тематике, соответствующая методическая литература представлена в недостаточном объеме. Составление заданий по теме «Транспортная задача линейного программирования» представляется не самым простым вопросом, поскольку математическая модель транспортной задачи содержит большое количество параметров. Это и объемы грузов, имеющихся у поставщиков, и объемы грузов,
заказанные потребителями, и стоимости перевозок по каждому из направлений.
В настоящей работе сформулированы ограничения на параметры математической модели, выполнение которых обеспечивает определение оптимального решения методом потенциалов (без вырождений) за три шага, при условии, что первоначальный опорный план построен методом северо-западного угла.
Постановка задачи [1, с. 288]. Некоторый однородный груз, сосредоточенный у поставщиков Л1, ... , Am в количестве Б1, ... , Bn единиц соответственно, требуется доставить потребителям Б , ... , Бп в количестве Ъ1, ..m , b единиц соответственно. Предполагается, что Sa.=SЪ,. Задана матрица транспортных издержек Cmxn = ||c =|, где С.. - стоимость перевозки одной единицы груза от поставщика Л. потребителю Б. Требуется найти оптимальный план x (x > 0), т. е. объемы перевозок xt (x > 0) для каждой пары «поставщик Л. - потребитель Б» такие, чтобы все грузы от поставщиков были вывезены £х, = a., (i = 1, m) , все заказанные потребителями обЪемы грузов доставлены S xj = Ъ,, (j = 1, n), и суммарная стоимость перевозок была бы минимальной Z(X) = S S С • х, ^ min.
Запишем ограничения, которым должны удовлетворять параметры математической модели в простейшем случае, когда имеется два поставщика и три потребителя. Мы хотим, чтобы третий опорный план был оптимальным. Предположим, что элементы платежной матрицы С2х3 удовлетворяют соотношениям с21 = с +
Г С22 = С12 С23 = С13 + 1
1 вариант. Ограничения на параметры г, s, I: г < s <
/ - s < s— г
Порядок и условия выбора значений для параметров
а1, а2, Ь1, Ь2, Ь3: ^ а (а1 > Ь1); Ь2 (Ь2 > а1 + Ь1); Ь3 (Ь3 > а1); а2 (а2 = Ь1 + Ь2 + Ь3 - а1).
2 вариант. Ограничения на параметры г, к г < s < (, / — • < г
Порядок и условия выбора значений для параметров а1,а2, Ь1,Ь2,Ь3: Ь1; а1 (а1 >Ь1); Ь2 (Ь2 >а1); Ь3 (Ь3 > а1); а2 (а2 = Ь1 + Ь2 + Ь3 - а1).
3 вариант. Ограничения на параметры г, •, г: г < г, г < г, 0 < г - • < • - г.
Порядок и условия выбора значений для параметров а1, а2, Ь1, Ь2, Ь3: Ь1; Ь2 ; Ь3 (Ь3 < Ь1); а1 (Ь2 + Ь3 < а1 < Ь1 + Ь2); а2 (а2 = Ь1 + Ь2 + Ь3 - а1).
4 вариант. Ограничения на параметры г, •, г: г < г < • , г + г < 2 • •.
Порядок и условия выбора значений для параметров а1, а2, Ь1, Ь2, Ь3: Ь1; а1 ; а1 (Ь2 < а1 < Ь1 + Ь2); Ь3 (Ь3 > а1 - Ь 2); а2 (а2 = Ь1 + Ь2 + Ь3 - а1).
5 вариант. Ограничения на параметры г, •, г:
2я - г < г < • < г.
Порядок и условия выбора значений для параметров а1, а^ Ь1, Ь2, Ь3: Ь1; Ь2 ; Ь3 (Ь3 < Ь 2); а2 (а2 > Ь1); а1 (а1 = Ь1 + Ь2 + Ь3 - а2)
6 вариант. Ограничения на параметры г, •, г:
2« - г < г < • < г .
Порядок и условия выбора значений для параметров
а1, a2, Ь1, Ь2, Ь3: Ь1; Ь2 ; Ь3 (Ь3 < min{Ь 1, Ь 2} ); а1 (тах{Ь1 + Ь3, Ь2 + Ь3} < а1 < Ь1 + Ь2); а2 (а2 = Ь1 + Ь2 + Ь3 - а1 ).
7 вариант. Ограничения на параметры г, •, г: •< г < г.
Порядок и условия выбора значений для параметров
а2, Ь1, Ь2, Ь{: Ь1; Ь2 ; Ь3 ; а1
(тах{Ь1,Ь } < а1 < ш1п{Ь1 + Ь2, Ь1 + Ь3});а2 (а2 = Ь1 + Ь2 + Ь3 - а1).
8 вариант. Ограничения на параметры г, •, г:
г > шах{ г ;2я - г; 0.5 (• + г)}.
Порядок и условия выбора значений для параметров а1,a2, Ь1,Ь2,Ь3: Ь1; Ь2 ; Ь3 (Ь1 <Ь3); а; (Ь1 < а1 < шт{Ь + Ь2, Ь1 + Ь3, Ь3); а2 (а2 = Ь1 + Ь2 + Ь3 - а1). Р вариант. Ограничения на параметры г, •, г: • < г < г. Порядок и условия выбора значений для параметров а1,а2, Ь1,Ь2,Ь3: Ь1; Ь2 ; Ь3 (Ь1 + Ь2 <Ь3); а1 (Ь1 + Ь2 < а1 <Ь3); а2 (а2 = Ь1 + Ь2 + Ь3 -а1).
10 вариант. Ограничения на параметры г, •, г: • < г < г.
Порядок и условия выбора значений для параметров
а1,а2, Ь1,Ьг,Ьз: Ь,\ Ь2(Ь<Ь2); Ь3 (Ьг <Ь3); а1 (Ь1 + Ь2 < а1 < Ь1 + Ь3); а (а2 = Ь1 + Ь2 + Ь3 - а1).
Пример. Построим математической модели, используя требования варианта 1. Пусть с11 = 10, с12 = 7, с13 = 1. Примем г = -1, • = 3 (г = 5), г = 5 (г < 2« - г = 7). Тогда с21 = 9, с22 = 10, с23 = 16. Выберем объемы перевозок: Ь1 = 120 ; а1 =150 (а1 >Ь1); Ь2 = 300 (Ь2 >а1 + Ь1 = 270); Ь3 = 180 (Ь3 > а1); а2 = 450 (а2 = Ь1 + Ь2 + Ь3 - а1). Получим задачу, данные которой можно записать в таблицу 1.
Таблица 1
В1 В 2 В 3 а1 :
А, 10 7 11 150
А 2 9 10 16 450
120 300 180
Легко проверяется, что первый
150
второй
120 1500 180
и
120 30 - 270 180 опорные планы не удовлетворяют
условиям оптимальности. Оптимальным является тре-
0 0 150 тий опорный план ^ 20 ,(Ж) ,0 .
Используя аналогичные соотношения можно построить математические модели для случая, например, платежной матрицы См. Двадцать четыре варианта таких заданий приведены в таблице 2.
Таблица 2
№1 В1 В 2 В 3 В 4 В 5 а, :
А: 20 3 9 18 35 300
А 2 24 18 12 20 50 150
А 3 34 17 22 19 48 250
160 120 100 140 180 700
№2 В1 В 2 В 3 В 4 В 5 аг :
А1 7 3 9 18 35 180
А 2 11 18 12 20 50 100
A 3 21 17 22 19 48 120
bj 100 60 90 70 80 400
№3 B 2 B 2 B 3 B 4 B 5 at ■
Ai 7 20 10 19 35 250
A 2 22 24 12 20 50 125
A 3 21 35 22 19 48 225
bj : 120 110 85 135 150 600
№4 B i B 2 B 3 B 4 B 5 at ■
Ai 48 19 16 34 21 200
A 2 50 20 10 28 22 110
A 3 35 15 3 20 7 190
bj : 120 130 70 100 80 500
№5 B i B 2 B 3 B 4 B 5 at ■
Ai 7 20 3 19 38 220
A 2 15 14 10 12 46 120
A 3 19 36 15 16 48 160
bj 70 110 80 100 140 500
№6 B i B 3 B 3 B 4 B 5 at:
A i 24 23 18 22 15 600
A 2 26 24 17 23 16 115
A 3 25 32 31 29 17 100
bj : 120 110 90 180 315 815
№7 B i B 2 B 3 B 4 B 5 at:
Ai 7 20 3 9 15 210
A 2 15 28 10 12 20 140
A 3 17 25 13 16 19 150
bj 80 120 90 110 100 500
№8 B i B 2 B 3 B 4 B 5 at ■
Ai 11 7 3 9 11 170
A 2 19 15 10 12 20 120
A 3 18 19 15 16 19 110
bs : 90 70 90 80 70 400
№9 В1 В 2 В 4 В 4 В 5 а, :
А1 18 15 27 25 19 150
А 2 15 3 14 12 20 300
А 3 11 7 20 9 15 250
140 160 100 120 180 700
№10 В1 В 2 В 3 В 4 В 5 а, :
А! 17 15 19 14 10 200
А 2 16 17 21 10 10 50
А 3 18 13 22 16 11 70
50 40 20 60 150 320
(
№11 В1 В 2 В 3 В 4 В 5 а, :
А1 23 21 13 10 49 150
А 2 20 17 9 3 36 300
А 3 36 19 25 18 48 250
160 140 100 120 180 700
№12 В1 В 2 В 3 В 4 В 5 а, :
А1 10 10 15 23 49 110
А 2 16 15 19 19 48 110
А 3 6 14 9 17 35 180
60 100 90 70 80 400
№13 В1 В 3 В 3 В 4 В 5 аг :
А1 20 27 24 10 49 125
А 2 18 25 22 15 48 225
А 3 18 24 15 7 35 250
135 110 85 120 150 600
№14 В1 В 2 В 3 В 4 В 5 а, :
А1 11 17 20 18 13 650
А 2 20 13 17 15 9 200
А 3 10 19 14 20 15 150
200 100 120 130 450 1000
№15 В1 В 2 В 3 В 4 В 5 а1:
А1 10 12 20 48 3 100
A 2 22 16 19 48 21 130
A 3 15 9 20 35 7 170
bj 60 90 70 80 100 600
№16 B i B 2 B 4 B 4 B 5 at ■
Ai 7 15 9 16 10 800
A 2 15 16 10 18 8 120
A 3 11 14 12 13 10 180
bj : 200 200 100 160 440 1100
№17 B i B 2 B 3 B 4 B 5 at ■
Ai 19 18 15 19 18 100
A 2 16 12 10 15 19 120
A 3 15 9 3 7 11 170
bj : 70 70 90 70 90 390
№18 B i B 2 B 3 B 4 B 5 at:
Ai 13 10 20 46 3 110
A 2 27 11 19 48 15 180
A 3 25 3 15 35 7 210
bj 100 70 130 120 80 500
№19 B i B 2 B 3 B 4 B 5 at:
Ai 14 10 16 46 3 120
A 2 27 11 16 48 15 160
A 3 20 3 9 35 7 220
bj 110 80 100 140 70 500
№20 B i B 2 B 3 B 4 B 5 at:
Ai 14 10 16 22 3 140
A 2 27 11 16 24 18 150
A 3 20 3 9 15 7 210
bj 120 90 110 100 80 500
№21 B i B 2 B 3 B 4 B 5 at ■
Ai 39 43 46 45 40 500
A 2 40 42 47 46 41 90
А 3 41 44 48 45 41 120
90 100 110 80 330 710
№22 В1 В 2 В 3 В 4 В 5 аг :
А1 12 10 14 20 46 150
А 2 24 11 25 19 48 250
А 3 10 8 22 15 35 300
100 120 160 140 180 700
№23 В1 В 2 В 3 В 4 В 5 а1 :
А1 10 20 14 5 16 250
А 2 22 32 25 15 20 125
А 3 26 15 30 19 10 225
135 85 110 150 120 600
(
№24 В1 В 2 В 3 В 4 В 5 а, :
А1 11 20 14 19 20 150
А 2 21 25 11 16 25 150
А 3 17 14 10 12 20 200
80 110 60 140 110 500
Литература
1. Красс М.С. Математика в экономике: математические методы и модели: учебник для бакалавров / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов; под ред. М.С. Красса. - 2-е изд., испр. и доп. - М.: Юрайт, 2013. - 541 с.
