CC BY
16
Естественные и точные науки •
Natural and Exact Sciences •••
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
НАУКИ
Физико-математические науки / Physics and Mathematics Sciences Оригинальная статья / Original Article УДК 514.74
DOI: 10.31161/1995-0675-2022-16-3-5-9. EDN: AJHRZH
О различных методах вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми
© 2022 Гаджимурадов М. А., Гаджиева З. Д., Гаджиагаев Ш. С.
Дагестанский государственный педагогический университет Махачкала, Россия; e-mail: algebr 2014@yandex.ru; gadzhieva.zulfiyaa@mail.ru; sharafudin79@mail.ru
РЕЗЮМЕ. Цель. Рассмотреть преимущества векторно-координатного метода вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми. Методы. Аналитико-синтетический метод, позволяющий определить расстояние без выполнения наглядного рисунка. Результат. При решении стереометрических задач на вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми проиллюстрировано использование векторно-координатного метода. Вывод. При прохождении темы «Декартовы координаты и векторы в пространстве» в десятом классе по геометрии желательно ознакомить учащихся с применением векторно-координатного метода.
Ключевые слова: скрещивающиеся прямые, расстояние, векторно-координатный метод, прямоугольная система координат, вектор, скалярное произведение векторов.
Формат цитирования: Гаджимурадов М. А., Гаджиева З. Д., Гаджиагаев Ш. С. О различных методах вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми // Известия Дагестанского государственного педагогического университета. Естественные и точные науки. 2022. Т. 16. № 3. С. 5-9. РР!: 10.31161/1995-0675-2022-16-3-5-9. EDN: AJHRZH_
On Various Methods for Calculating the Distance Between Skew Lines
© 2022 Madrid A. Gadzhimuradov, Zul'fiya Dzh. Gadzhieva, Sharafudin S. Gadzhiagaev
Dagestan State Pedagogical University Makhachkala, Russia; e-mail: algebr2014@yandex.ru; gadzhieva.zulfiyaa@mail.ru; sharafudin79@mail.ru
ABSTRACT. The aim is to consider the advantages of the vector-coordinate method for calculating the distance between skew lines. Methods. Analytical-synthetic method that allows you to determine the distance without performing a visual drawing. Result. It is illustrated the use of the vector-coordinate method when solving stereometric issues for calculating the distance between skew lines. Conclusion. It is desirable to familiarize students with the use of the vector-coordinate method when passing the topic "Cartesian coordinates and vectors in space" in the 10th grade in geometry.
Keywords: skew lines, distance, vector-coordinate method, rectangular coordinate system, vector, scalar product of vectors.
••• Известия ДГПУ. Т. 16. № 3. 2022
••• DSPU JOURNAL. Vol. 16. No. 3. 2022
For citation: Gadzhimuradov M. A., Gadzhieva Z. D., Gadzhiagaev Sh. S. On Various Methods for Calculating the Distance Between Skew Lines. Journal. Natural and Exact Sciences. 2022. Vol. 16. No. 3. Pp. 5-9. DOI: 10.31161/1995-0675-2022-16-3-5-9. EDN: AJHRZH (In Russian)
Введение
Проблема, затронутая в настоящей работе, является одной из трудных в школьном курсе геометрии. В учебниках геометрии о расстоянии между скрещивающимися прямыми сказано очень мало, а для решения на уроках предлагается несколько самых простых задач [1]. С другой стороны, задачи на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми регулярно встречаются в материалах ЕГЭ по профильной математике, поэтому тема является достаточно актуальной.
Методы
Для вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми существуют два основных подхода: геометрический и аналитический. При геометрическом подходе можно использовать следующие методы решения задачи:
1. Метод построения общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых и нахождения длины этого перпендикуляра [3].
2. Метод построения параллельной плоскости. В этом случае через одну прямую проводится плоскость, параллельная другой прямой, а затем находится расстояние от произвольной точки второй прямой до построенной плоскости.
3. Метод параллельных плоскостей. Через каждую из прямых проводится плоскость. параллельная другой прямой, а затем находится расстояние между параллельными плоскостями.
4. Метод ортогонального проектирования. В этом случае вначале проводится плоскость к, перпендикулярная одной из данных прямых (пусть Затем прямую 12 ортогонально проектируем на построенную плоскость [2].
Результаты и их обсуждение
Проиллюстрируем применение первого метода при решении следующей задачи.
Задача 1. Дана правильная треугольная пирамида ДАВС (Д - вершина) с ребром основания 2 и боковым ребром 4. Найдите расстояние между прямыми АС и ДВ.
Решение. Построим плоскость, проходящую через апофему ДМ и медиану ВМ. Эта плоскость перпендикулярна плоскости основания и высота пирамиды ДО лежит в этой плоскости.
Д
А
Так как АС перпендикулярен ДМ и АС перпендикулярен ВМ, то АС перпендикулярен плоскости ВМД.
Поскольку МР лежит в плоскости ВМД, то МР перпендикулярен и АС. Следовательно, МР является общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых АС и ДВ. Для вычисления длины МР рассмотрим треугольник ВМД. В этом треугольни-
ке ВМ=73, ВО= 2ВМ = ^ , ДО=
7ДВ2 - ВО2 = ^42 - Площадь
треугольника ВМД можно вычислить двумя разными способами: с ВМ-ДО с ДВ-МР
Ь = —-—, Ь = —-— . Приравнивая правые
ВМ-ДО
2
2V3
части этих формул, получим: МР =
У3-2У33 _ УГГ
4-3 _ 2 '
При аналитическом подходе используются два метода:
1. Метод выбора произвольного базиса.
2. Векторно-координатный метод. Рассмотрим более подробно последний
метод, при котором вводится прямоугольная система координат. Введем сначала некоторые понятия, используемые в работе [1]. Пусть в пространстве задана некоторая прямая к. Произвольный ненулевой вектор а, параллельный прямой к, называется направляющим вектором этой прямой [2].
Пусть МР= в - произвольный вектор пространства. Проекцией вектора в на ось к или на вектор ав называется число, определяемое следующим образом: пркМР = прк
С
В
Естественные и точные науки •
Natural and Exact Sciences •••
в =|м 1 р -J, где Mi и Pi - проекции точек М и Р.
Если |а| и |в| - длины ненулевых векторов а и в , а угол между векторами |а| и |в| обозначим к, то проекцию вектора в на вектор а можно вычислить по формуле: прав = |в| cos к.
Следует отметить, что проекция вектора на вектор вычисляется через скалярное
- ав г, -,
произведение векторов: прав = — [4J.
При вычислении расстояния между скрещивающимися прямыми следует придерживаться следующей последовательности действий:
1. Ввести прямоугольную систему координат.
2. Найти координаты двух точек Q, P е ^ и направляющего вектора а =QP прямой
3. Найти координаты двух точек К, М е
и направляющего вектора в =КМ прямой /2.
4. Найти координаты нормального вектора п(пг, п2,п3) плоскости как одного из решений системы линейных уравнений, полученных из условий перпендикулярности п к векторам а и В. Найти координаты любого вектора, начало которого лежит на одной прямой а конец - на второй прямой
5. Вычислить искомое расстояние по формуле в = (—).
Задача 2. Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1, все ребра основания
которой равны
Сечение, проходящее через боковое ребро СС1 и середину К ребра В1А1, является квадратом. Найдите расстояние между прямыми А1В и СК.
А!
У
Х
В
Решение. Построим сечение, проходящее через ребро СС1 и середину К ребра А1В1. Соединим точки С1 и К. Через точку К проводим КМ11СС1. Соединив точки С и М получим искомый квадрат СС1КМ. Найдем сторону этого квадрата: СС1=
СlК=АlСlSin600 =273 73=3.
Введем прямоугольную систему координат в пространстве следующим образом: начало координат О совпадает с серединой ребра ВС, ось ОХ направлена по ребру ВС, ось ОУ - по прямой ОА, а ось О2 перпендикулярна плоскости основания. В выбранной системе координат вершины
призмы имеют следующие координаты: А(0;3;0), В(-73;0;0), С(73;0;0), А1(0;3;3),
В1(-73;0;3), а(73;0;3), К^^О). Вычислим координаты векторов:
Щ-^фо), ВА1(7з;3;3).
Найдем координаты вектора
т(ш1,ш2,ш3), перпендикулярного векторам СК и
(тС^ = 0 + 0 = 0
о { 2 2
(mB А! 0 + 3m2 + 3т3 = 0
^ тг = V3m2,3m2 + 3m2 + 3m3 = 0, m3 = -2m2.
••• Известия ДГПУ. Т. 16. № 3. 2022
••• ОЭРиЮиРЫА!.. Уо!. 16. N0. 3. 2022
Все векторы т(-3т2,т2,-2т2) перпендикулярны векторам СК и ВАг при любом т2 ^ 0. Возьмем т2 = 1, тогда т(-3; 1; -2).
Найдем вектор, началом которого является любая точка прямой СК, а концом -точка, лежащая на прямой ВА1. В качестве такого вектора можно взять, например,
Сй(-2-3; 0,0). Вычислим расстояние между прямыми
р(А1В,СК) = ^ = |(-2^+01-021 = 6
3-2
Задача 3. В правильной четырехугольной пирамиде ЬЛБСБ сторона основания
равна 2-3, а высота ЬН пирамиды равна 3. Точки М и N - середины ребер СД и АВ, соответственно, а N7 высота пирамиды №СБ с вершиной N и основанием ЬСБ. Найдите расстояние между N7 и ЬС.
2
Решение. Построим прямоугольную систему координат следующим образом: начало координат поместим в вершине Д, ось ОХ направим по ребру ДС, ось ОУ - по ребру ДА, ось О2 - перпендикулярна плоскости основания. В выбранной системе координат вершины пирамиды имеют следующие координаты: А(0;2;0), В(2-3; 2-3; 0), Н(-3; -3;0), Т1(-3;-3;3), Ь(-3;-3;3), ^-3;2-3;0),
М(-3;0;0), Т(-3;-3;|).
Вычислим координаты векторов: N7(0;-
3-3;3), 5С(-3;--3;-3). Найдем какой-
нибудь вектор п^п1, п2,п3), перпендикулярный векторам Л^Г и 5С.
л 3-3 3 п
0 - —П2 +-% = 0
—3п1 - -3п2 - 3п3 = 0
П'.
= -3
п2,п1 = 4п2,п(4п2,п2, -3п2).
При п2 = 1 получим п(4, 1, -3). Найдем какой-нибудь вектор, начальная точка которого принадлежит одной прямой, а конечная точка лежит на второй
прямой. Например, Л^-3;-2-3;0).
Искомое расстояние находим по формуле р(ОТ,ЬС) = -|мся|
р(ОТ,ЬС) =
|п| ■
|4—3- 2-3+ 0| 2-3 _ -15 /42+12+(-3)2 "^ = ~
Вывод
При вычислении расстояния между скрещивающимися прямыми традиционным способом, основная трудность заключается в том, чтобы построить общий перпендикуляр, длина которого равна иско-
Естественные и точные науки ••• 9
Natural and Exact Sciences •••
мому расстоянию. Решение подобных задач векторно-координатным методом позволяет вычислить искомое расстояние аналитическим методом, т. е. не видя и не рисуя отрезок на чертеже, длина которого равна расстоянию между данными прямы-
1. Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. Геометрия. 10-11 классы: учебник для общеобразовательных организаций. 2-е изд. М.: Просвещение, 2017. 255 с.
2. Бардушкин В. В., Прокофьев А. А. Обобщающее повторение темы «Решение заданий С2 координатно-векторным способом» // Математика в школе. 2012. № 10. С. 9-15.
Geometriya. 10-11 klassy: uchebnik dlya ob-shcheobrazovatel'nykh organizatsiy. 2-e izd [Geometry. Grades 10-11: A Textbook for Educational Organization. 2nd ed.]. Moscow, Prosvesh-chenie Publ., 2017. 255 p. (In Russian)
2. Bardushkin V. V., Prokof'ev A. A. Generalizing repetition of the topic "Solving tasks C2 by the coordinate-vector method". Matematika v shkole [Mathematics at School]. 2012. No. 10. Pp. 9-15. (In Russian)
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ Принадлежность к организации Гаджимурадов Мадрид Абдуллаевич,
кандидат физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики, Дагестанский государственный педагогический университет, Махачкала, Россия; e-mail: algebr2014@yandex.ru
Гаджиева Зульфия Джамалдиновна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, Дагестанский государственный педагогический университет, Махачкала, Россия; e-mail: gadzhieva. zulfiyaa@mail.ru
Гаджиагаев Шарафудин Сираджудино-вич, кандидат педагогических наук, доцент кафедры высшей математики, Дагестанский государственный педагогический университет, Махачкала, Россия; e-mail: sharafudin79 @mail.ru
Принята в печать 28.07.2022 г.
ми. В десятом классе при прохождении темы на векторы желательно ознакомить учащихся с указанным выше методом, хотя соответствующий материал в действующих учебниках отсутствует [2].
3. Гаджимурадов М. А. Практикум по элементарной геометрии. Махачкала: Алеф, 2014. 108 с.
4. Рыжик В. И. О расстоянии вообще и расстоянии между скрещивающимися прямыми в частности // Математика для школьников. 2008. № 1. С. 45-51.
mentarnoy geometrii [Workshop on Elementary Geometry]. Makhachkala, Alef Pub., 2014. 108 p. (In Russian)
4. Ryzhik V. I. On the distance in general and the distance between intersecting lines in particular. Matematika dlya shkol'nikov [Mathematics for Schoolchildren]. 2008. No. 1. Pp. 45-51. (In Russian)
INFORMATION ABOUT AUTHORS Affiliations Madrid A. Gadzhimuradov, Ph.D. (Physics and Mathematics), Professor, Department of Higher Mathematics, Dagestan State Pedagogical University, Makhachkala, Russia; e-mail: al-gebr2014@yandex.ru
Zul'fiya Dzh. Gadzhieva, Ph.D. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Department of Higher Mathematics, Dagestan State Pedagogical University, Makhachkala, Russia; e-mail: gadzhieva.zulfiyaa@mail.ru
Sharafudin S. Gadzhiagaev, Ph.D. (Pedagogy), Associate Professor, Department of Higher Mathematics, Dagestan State Pedagogical University, Makhachkala, Russia; e-mail: shara-fudin79@mail.ru
Received 28.07.2022.
Литература
References
1. Aleksandrov A. D., Verner A. L., Ryzhik V. I. 3. Gadzhimuradov M. A. Praktikum po ele-
