О разбиении плоских множеств на четыре, пять и шесть частей без достаточно маленьких расстояний Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.174.5

Е. Ю. Воронецкий Школа № 42 г. Петрозаводск

О разбиении плоских множеств на четыре, пять и шесть частей без достаточно маленьких расстояний

В настоящей работе мы улучшаем прежнюю верхнюю оценку для минимального расстояния, которого нет между точками каждой из пяти частей некоторого разбиения произвольного множества диаметра 1 на плоскости.

Ключевые слова: проблема Борсука, диаметр, запрещенное расстояние, разбиение, универсальная покрышка.

1. Введение и формулировки результатов

В связи с классической проблемой Борсука о разбиении множеств в Rd на части меньшего диаметра (см. [1]) в 50-е годы ХХ века Х. Ленц поставил следующую задачу (см. [2]). Пусть Ф С R2 и диаметр Ф равен единице. Положим

d (Ф, k) = inf {ж е R+ : Ф С Ф: U ... U Фк, Vi diam Ф^ ^ ж} , d(k) = sup d (Ф, k).

Ф

Требуется найти или как можно точнее оценить указанные величины.

В настоящей работе мы рассмотрим нетривиальную модификацию величины d(k), предложенную В. П. Филимоновым в 2008 году (см. [3]):

d! (Ф, k) = inf {ж е R+ : Ф С Ф1 U ... U Фк, V i V X,Y е Фi p(X,Y ) = ж} ,

d!(k) = sup dd (Ф, k).

Ф

В своей работе [3] Филимонов показал, помимо всего прочего, что

d!{ 1) = d!{2) = 1, d\3) ^ d!{4) ^ -±=, d!{b) ^ -±=, d\6) ^ (2 - >/з) ,

d'(k) = 0 V k ^ 7.

В разделах 2 и 3 статьи мы докажем следующие две теоремы.

Теорема 1. Имеет мест,о оценка d'(4) ^

V3

Теорема 2. Имеет место оценка

й'(6) ^ </(5) ^ ^6л/3 = 0 5()55 _ _ _

4^3-2

Обе теоремы значительно уточняют оценки Филимонова, т.к., разумеется, ~^= < ~^=,

уЗ л/2

а 0.5055... < Уу (2-у/Щ = 0.5577... < -±= = 0.577... Кроме того, в этом же разделе

сборника публикуется статья В. В. Буланкиной, где доказывается оценка ^(6) ^ ^;(5) ^ ^ л/2 — л/3 = 0.517... Хотя неравенства из теоремы 2 и сильнее, результат Буланкиной ценен тем методом, который развит для его получения.

2. Доказательство теоремы 1

Пусть Ф С К2 — произвольное множество точек на плоскости, имеющее диаметр

1. Хорошо известно, что его заведомо можно покрыть правильным шестиугольником П = Л1Л2ЛзЛ4Л5Л6, у которого расстояние между параллельными сторонами равно 1. Первым этот факт опубликовал Й. Пал (см. [4]), но подробное доказательство проще найти в книге [5]. Пусть О — центр П. На отрезках ОЛ6,ОЛ2,ОЛ4 отложим соответственно точки С*1, С*2, Сз, которые отстоят от О на расстояние ^ (рис. 1). Треугольник С\С2Сз,

1

очевидно, равносторонним, и длина каждой его стороны равна —=.

л/3

А--

Ао

А- В-

Ао

Аз

Аз

Рис. 1

Рис. 2

А- В-

Ао

Рис. 3

з

Проведем окружности с центрами в точках С\, С2, С\ и радиусами -^-=. Возникнут нол/3

вые точки Б\,... ,Б6, как показано на рис. 2. Наконец, на рис. 3 дана схема разбиения шестиугольника П, а вместе с ним и исходного множества Ф С П. Цифра от 1 до 4 означает номер части, к которой относится (открытая) область, содержащая эту цифру. Чтобы пояснить, к части с каким номером относится данная дуга или данная точка, мы рисуем стрелочку, направленную от этой дуги или точки в сторону области с надлежащим номером. Например, точка С2 относится к части 4, а дуга СіС2 (без концов) — к части 1. Остается проверить, что ни в одной из частей нет пары точек на расстоянии —=. У

3

части 1 (она называется «треугольником Рело») диаметр равен Однако пары точек,

3

которые друг другу «диаметрально противоположны», лежат на границе треугольника Рело и аккуратно разнесены по разным частям. Например, р(С\,Х) = -^=, коль скоро X

3

принадлежит дуге С2С3. Но точки дуги относятся к частям 1, 3, 4, тогда как С\ находится в части 2. И так далее.

Посмотрим на части 2, 3 и 4. Они совершенно одинаковы, поэтому достаточно разобраться с частью 2. Она состоит из двух кусков — «левого» и «правого». Правый кусок просто по построению имеет диаметр -^=, и снова те его точки, что отстоят друг от друга

на расстояние —^=, аккуратно разнесены по разным частям. В левом куске диаметр реа-

^3

лизуется точками В5,В6. Легко понять, что р(В5,В6)

^з:

но B5 — в части 4, а B6

в части 3. Опять все в порядке. Наконец, если одна точка в левой части, а другая — в правой, то между ними расстояние больше -^=. Теорема 1 доказана.

3. Доказательство теоремы 2

Рассмотрим конструкцию с рис. 2. Если гомотетично уменьшать треугольник Рело, взяв за центр гомотетии точку О, то длина орезка ВіА2 будет непрерывно расти. Легко

видеть, что найдется момент, когда р(Ві,А2) = р(С\,С2) = -——6\/3^ При этом

4у3 — 2

В\ лежит по-прежнему между А\ и А2} ведь р(Аі,А2) = -^=. Таким образом, картинка

3

по сути не меняется. Однако расстояния между В1,В2, между В3,В4 и между В5,В6 увеличиваются. Поэтому нужно разрезать прежний левый кусок части 2 и аналогичные куски частей 3 и 4 пополам, назвать одну из половинок 5 (всего таких половинок три) и получить разбиение с рис. 4. Нетрудно убедиться в том, что при таком разбиении ни в

1-\/3 + V

одной из пяти частей нет расстояния

А-

2

-. Теорема 2 доказана.

Bi

Aq

Рис. 4

з

Литература

1. Borsuk K. Drei Satze Uber die n-dimensionale euklidische Sphare // Fundamenta Math.— 19ЗЗ—V. 20.-P. 177-190.

2. Lenz H. Zerlegung ebener Bereiche in konvexe Zellen von moglichst kleineren Durchmesser // Jahresbericht d. DMV Bd. — 1956. — V. 58. — P. 87-97.

3. Филимонов В. П. О покрытии плоских множеств // Матем. сборник. — 2010. — Т. 201, № 8. — С. 127-160.

4. Ра1 3. иЬег ет е1ешеп1агеБ Уапа^опзргоЫет // Бапяке Videnskab. БеЬкаЬ. Ма^.-Буя. Меаае1. — 1920. — V. 3, N 2.

5. Болтянский В. Г., Гохберг И. Ц. Теоремы и задачи комбинаторной геометрии. — М: Наука, 1965.

Поступила в редакцию 09.08.2011