CC BY
9
УДК 514.174.5
Д. А. Белов, Н. А. Александров Гимназия № 26 г. Набережные Челны
0 разбиении плоских множеств на шесть частей малого диаметра
В настоящей работе мы улучшаем прежнюю верхнюю оценку для минимального диаметра каждой из шести частей некоторого разбиения произвольного множества диаметра 1 на плоскости.
Ключевые слова: проблема Борсука, диаметр, разбиение, универсальная покрывающая система.
1. Введение и формулировка результата
В 1933 году К. Борсук задал вопрос: верно ли, что любое множество диаметра 1 в Rd разбивается на d + 1 часть меньшего диаметра (см. [1])? А в 1956 году Х. Ленц предложил следующий вариант вопроса Борсука (см. [2]): если Ф С R2 и диаметр Ф равен единице, то, коль скоро
d (Ф, k) = inf {x G R+ : Ф С Ф: U ... U Фк, Vi diam Ф* ^ x} , d(k) = sup d (Ф, k) ,
Ф
как устроена последовательность чисел d(k)? Величины d(k) в разное время оценивали сам Ленц (см. [2], [3]), Г. Хадвигер и Г. Дебруннер (см. [4]), М. Дембиньски и М. Лассак (см. [5]) и В.П. Филимонов (см. [6]). Сейчас известно, например, что
d(l) = d(2) = l, d( 3) = ^, d(4) = -j=, 0.5877 ... = sin | ^ d(5) ^ 0.602 ...,
°'5051 ' ' ' = ШГ? « d<6> « VT (2 - ^) = °-5577- ■ ■
Здесь последняя оценка принадлежит Филимонову, и именно ее мы улучшим в настоящей работе.
Теорема 1. Выполнено неравенство
d(6) ^ 10 ~4^ = 0.5426...
5^3-3
Более подробную историю задачи можно найти в статье [6], а доказательство теоремы
1 мы приведем в следующем разделе.
2. Доказательство теоремы 1
Напомним, что любое множество диаметра 1 на плоскости покрывается правильным шестиугольником П с расстоянием 1 между параллельными сторонами (см. [7]). Нетрудно видеть, что тогда оно заведомо покрывается либо множеством либо множеством П2 (рис. 1). На рисунке треугольники отсекаются прямыми, проходящими на расстояии ^ от центров шестиугольников. Таким образом, для завершения доказательства теоремы
А
К
В
•С
А
Рис. 2 К
В
А
К
В
•С
Рис. 3 АЗ и В
IР'
6 1
Р Б
2 /С Е\ •
о
Я я
4 3 Ум
Е Б Е
с и Р . 4 Рис.
С
Б
1 достаточно убедиться в том, что оба множества П1,П2 допускают разбиения на шесть
частей, диаметры которых не превосходят величины ^ 4\/3 _ д 5426 ...
5 л/ 3 3
Начнем с более симметричного множества Оно получено из шестиугольника П = = АБСОЕЕ отсечением треугольников с вершинами А,С,Е. В последующем разбиении П1 на шесть частей будут встречаться два типа фигур. Поэтому мы подробно опишем лишь часть разбиения. Пусть К, Ь, М — середины сторон АБ, БС и СП шестиугольника. Пусть PCQ — отсеченный треугольник с вершиной С (рис. 2). Пусть О — центр П. Рассмотрим отрезки ОВ и СШ. Возьмем на них такие точки Тиб', что \ВТ\ = \08\ = л/2 — у/3 (рис. 3). Первая часть разбиения — это КБЬТ, вторая — OTЬPQMS. Остальные части
5
получаем за счет симметрии (рис. 4). Нетрудно показать, что диаметр части КБЬТ равен \ВТ\ = у/2- л/З = 0.517.. . < 0.542. Аналогично диаметр части ОТЬРС^МЗ достигается на ОР и ОС^, длины которых легко вычисляются и также равны л/2 — \/3 = 0.517... < < 0.542. Таким образом, в случае П оценка получается даже лучше заявленной в теореме.
А
3
и
в
А
3
и
в
с
с
Рис. 6
Рис. 7
А 3 ив
А 3 М и В
с
с
Рис. 8
Рис. 9
Перейдем к множеству П2. Теперь от шестиугольника П = ABCDEF отсечены треугольники БЦУ, AIJ и FSR (рис. 5). На отрезках AO, CO и EO выберем точки A1,C1,E1, отстоящие от точек А, С, Е на расстояние л/2 — л/3, как показано на рис. 6. Также возьмем точку Т, которая лежит на диагонали AD и равноудалена от S и D (рис. 7). Проведем прямую E1D и прямую, которая проходит через Т и параллельна CD. Точку пересечения этих прямых назовем Ш. Аналогично по C1 определим точку Z (рис. 8). Наконец, опустим из Т перпендикуляры на стороны шестиугольника. Возникнут точки К, Ь, М, Ы,Р^, ас ними и разбиение множества П2 на шесть частей (рис. 9).
Стандартными выкладками можно показать, что |5Т| = \ТИ\ = ^ 4\/3 _ д 5426...
5\/3 — 3
и что больших расстояний ни в одной из частей разбиения нет. Теорема доказана.
Литература
1. Borsuk K. Drei Satze tiber die n-dimensionale euklidische Sphare // Fundamenta Math.— 1933.-V. 20.-P. 177-190.
2. Lenz H. Zerlegung ebener Bereiche in konvexe Zellen von moglichst kleineren Durchmesser // Jahresbericht d. DMV Bd. — 1956. — V. 58. — P. 87-97.
3. Lenz H. Uber die Bedeckung ebener Punktmegen durch solche kleineren Durchmessers // Arch. Math.— 1956.— V. VII. — P. 34—40.
4. Хадвигер Г., Дебруннер Г. Комбинаторная геометрия плоскости.— М.: Наука, 1965.
5. Dembinski M., Lassak M. Convering plane sets of three times less diameter // Demon-stratio Math. — 1985. — V. XVIII. — P. 517—525.
6. Филимонов В. П. О покрытии плоских множеств // Матем. сборник. — 2010. — Т. 201, № 8. — C. 127-160.
7. Болтянский В. Г., Гохберг И. Ц. Теоремы и задачи комбинаторной геометрии. — М: Наука, 1965.
Поступила в редакцию 09.08.2011
