CC BY
21
Определим следующие множества:
1) /(О) = К](С)пК2(С) — центр игры,
2) Р(С) = (УХ{С)-и У2(С)У={У^(С))'гл(У2(о)У-периферия игры;
3) Д(<7) = Л,(С)иД2((7),где
Я, (С?) = (V, (С) \ (С)) \ У2 (С) = \\ (С) п £>, (С) о (К2 (С))', Р2(С) = (У2(С) \ г/2*(С)) \ У, (С) = У2 (С) п А (б) о (К, (О))', называется кольцом игры.
ТЕОРЕМА (структура множества индивидуально рациональных исходов в антагонистической игре с упорядоченными исходами).
В антагонистической игре с упорядоченными исходами О ~< Х,У,А,со,Р > множество всех индивидуально рациональных исходов может быть представлено в виде непересекающегося объединения следующих трех множеств: центра, кольца и периферии, то есть 0{в) = г(С) и Л (С) и Р (С).
Доказательство теоремы проводится в три шага.
1-й шаг. Устанавливается включение /{О) и Р (С) и/,(?)с О(С). Доказаны следующие три вспомогательных леммы.
ЛЕММА 1. В любой антагонистической игре С с упорядоченными исходами выполнено включение /АС) с ЩС).
ЛЕММА 2. Справедливы следующие включения:
Я2(С) с £>((?).
ЛЕММА 3. Справедливо следующее включение: Р(С)с £> (О).
2-й шаг. Проверяется, что множества Z(G), Л (С), Р(С) попарно не пересекаются.
3-й шаг. Устанавливается обратное включение:
О (О) с г(в) и /? (С) и Р(в).
Итак, всякий допустимый исход игры С принадлежит точно одному из трех попарно непересекающихся подмножеств: либо центру либо
кольцу либо периферии Р(С!).
УДК 512.56
В. Б. П оила веки й
О РАВЕНСТВЕ ОБРАТНЫХ БУЛЕВЫХ МАТРИЦ
СИММЕТРИЧЕСКОЙ РАЗНОСТИ ОРИЕНТИРОВАННЫХ ПРИСОЕДИНЕННЫХ МАТРИЦ
Введенные автором ранее [1] понятия ориентированных объемов и определителей позволяют определить ориентированные присоединенные матрицы для произвольной квадратной булевой матрицы с элементами из
95
некоторой булевой алгебры. В статье доказывается равенство обратной матрицы симметрической разности ее ориентированных присоединенных матриц.
Придерживаясь терминологии и системы обозначений, выбранной в [1 - 4], определим для булевой матрицы А = (а'А (г, у = 1,...,«) над некоторой булевой алгеброй (В,и,О,\0,1) присоединенные булевы матрицы следующим образом.
Четным или нечетным (ориентированным) алгебраическим дополнением элемента, расположенного в г -й строке и /-м столбце квадратной
*. +
булевой матрицы А назовем ориентированные объемы {А}^ =У(с1е1^(АУ),
{а}^■ = если {i + j) есть четное число, и {а}^ =^((161'.^)),
{А}': = Ч(сШ'ЛА)), если сумма (г + /) - нечетная. Здесь через с1еГ,(А) обозначена матрица, полученная из матрицы А удалением / -й строки и у -го столбца при условии, что остальные строки и столбцы сохраняют тот же порядок следования друг за другом.
Четной или нечетной (ориентированной) присоединенной булевой
матрицей для матрицы А назовем матрицу ас!] А (или аф А ), элементами
± -
которой являются (аф'А)' = {л}/ (г,у = 1,...,«).
Можно показать справедливость формул разложения
V А - у (а"х п а"2 п ■ • • п а"п ) = и И}*) ориентированных
£ А=1
(«;. ...«„К/'
объемов по элементам произвольной строки (или столбца:
± я х
= П {Л},)). Для любой квадратной булевой матрицы А также
к=\
П - ~
справедливо п{у4}]() = У( Л ) = У( А ) = У( ) и
а=1 (№¡4 'фВД) {№1/$
п{4))=У( 4 ) = У( 4 ) = У( < ), если 1*]. Здесь сим-
волами и | | | обозначены матрицы, полученные из матрицы А,
заменой у'-й строки (или У-го столбца) строкой (соответственно столбцом) этой же матрицы с номером г. Эти формулы дают тождество
)\(Д\афА) и (А\\афА)\(А\}афА) \ = 1МАпЕ, (1)
I } - ]
где £ - единичная булева матрица.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Если для матрицы А существует А"], то ОеМ = ДеГ/Г1 = 1, кроме того, Я1\нА = КВеГЛ , ЮегА = ¿М .
Это утверждение непосредственно получается из формул, полученных в [1] для ориентированных объемов произведения произвольных квадратных булевых матриц.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Если существует обратная матрица А для квадратной матрицы А, то она равна симметрической разности ориентированных присоединенных матриц:
А = (аф А \ аф А) и (аф А \ аф А]. Доказательство. Воспользуемся формулой (Г) и тем, что ВегА = ОеЫ-1 = I. Тогда
(Ау[афА)\(А\\афА)
и| (А\\афЛ)\(Л\\афЛ) =ШАг\Е=Е=А\\А'1.
Пусть О есть нулевая булева матрица, тогда последнее равенство равносильно условиям:
!
(А1\афА)\(А\\афЛ)
и
(А\\АХ) п| (А{\афА)\(А\-\афА)
Ц-
о
(А\\афА)\(А\\афА) {А\\афА)\(А1\афА)
-е
= 0
[(А ЦА) г^(А\\афА)' г-,{А[\афА)г\ и[(А\\АА)г\(А\\афА) г{А\\афА)}=0)
[КАПА ')'п(лу\афА)п,(А\\афА)'}\}АЛ)'П(Л\\афА)гл(А\\афА)'}=®
| у А П А"1) п ЦА п( аф А и аф А
I
АЦ(А~1 глафАпафА)-®
{А\\аф А) гл
А1\(А]^афА)
в
= ©
(АЦафА)П\АЩА1 и аф А)
= 0.
При получении послелнего следствия, использовались дистрибутивность конъюнктного произведения относительно объединения матриц и то, что выполняется А|~[(/>'г-С) с (А\^В)о(А ["]С) для произвольных квадратных
булевых матриц А, В и С. Последняя система дает эквивалентную ей систему условий:
[(АП А'1) с: АЦ(аф А и аф А) \ АЦ(А ~1 п афА п афА) = 0
(А\\афА) с АЦСА1 и аф'А)
+
\{А\\афА)а А\\(А^ иаф А). Умножим слева каждое условие последней системы на обратную матрицу. Получим
А 1 с (аф А \ аф A) U (аф А \ аф А) + -
аф А \ аф Ас А 1
- +
афА\афА с А~'.
A cz аф А и аф А
т—I —] ,, А'] паф Аглаф .4 = 0 Аf] А = К -»-j + J J_
афАсА~х^афА
\ аф А с: A~l и аф А Таким образом, обратная матрица должна быть вида
А~х - (аф А \ аф А) и (аф А\аф А), что завершает доказательство.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Потавский В. Б. Ориентированные определители произведения булевых матриц // Математика- Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. Вып. 6. С. 111-114.
2. Rudeanu S. Boolean functions and eguations. Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1974. xix+ 442 p.
3. Rutherford D. E. Inverses of Boolean matrices // Proc. Glasgow Math. Assoc. 1963. Vol. 6,№ 1. P. 49-53.
УДК 517.95
Д. В. Понлавский
О РАЗРЕШИМОСТИ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ БОГОЯВЛЕНСКОГО*
Рассмотрим следующую задачу:
«; = ~иххх + 6иих + 6х'х. V, = 2уххх - ви\х, х>0, г>0. (1)
"!г=о = "о(*)> *||=о =уо(х)> (2)
* Работа выполнена при финансовой поддержке программы «Университеты России» (проект ур.04.01.376) и РФФИ (проект 04-01-00007).
98
