Антагонистические игры с векторными выигрышами Текст научной статьи по специальности «Математика»

служат для заполнения базы данных. При этом возникает необходимость использования в процессе трансформации XML-документа его XSD-схемы, которая требуется для заполнения столбца <Тип>, определяющего типы данных, необходимых для интерпретации значений столбца <Значение>. Требуется также решить вопрос генерации значений атрибутов первичных ключей, представленных дополнительными элементами, формируемыми для создания конечного в рассмотренной технологической цепочке XML-документа, содержащего все элементы, необходимые для внесения в базу данных. Он представлен XML-файлом, который может быть конвертирован в базу данных с помощью специальных программных средств, например, ALTOVA XML SPY.

Второй способ заполнения базы данных основан на использовании языков программирования, имеющих средства разбора и анализа XML-документов и средства обмена данными с базами данных.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 03-857034).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Орел А.А. Формально грамматический подход к построению XML-схем // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов, 2004. Вып. 6. С. 105-108.

2. Гриднев В.И., Орел А.А., Петров Н.В., Довгалевский П.Я. Маршрутно-групповая технология кардиологической помощи в системе <пациент-поликлиника-стационар> // Проблемы стандартизации в здравоохранении: Тез. докл. М., 2001. С. 113.

УДК 519.4, 519.8

М.В. Пасечник

АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ С ВЕКТОРНЫМИ ВЫИГРЫШАМИ

В теории игр важное место занимает проблема непустоты множества индивидуально рациональных исходов для различных классов игр [1]. В данной статье рассматривается вопрос о непустоте множества индивидуально рациональных исходов для класса антогонистических игр с векторными выигрышами. Дается также описание их структуры.

Введем некоторые понятия. Основным объектом является стратегическая игра вида

О = (Ж, (Хг)геМ,А, (иг)геМ),

где N = {1,... ,п} — множество игроков, Хг — множество стратегий игрока г, А — множество исходов, иг — бинарное отношение на А, выражающее предпочтения игрока г, Г — функция реализации, представляющая собой

отображение множества XN = П X ситуаций игры О в множество ее ис-

¿еж

ходов Г : Хж ^ А. Будем рассматривать самый важный случай, когда иг является отношением порядка или квазипорядка [2].

Игра протекает следующим образом: каждый игрок г е N независимо от остальных выбирает стратегию хг е Х^, в результате складывается ситуация х = (хг)геж, приводящая к исходу а = Г(х). Полагаем для коалиции S = 0, 5 С N: Х^ = П X ия = □ иг.

геБ геБ

Определение 1. Стратегия х^ е Хб называется возражением коалиции 5 на исход а, если при любой стратегии уж\Б е Хж\б выполняется

Г(хБ, ум\в) > а. Исход а называется допустимым для коалиции 5, если она не имеет на него возражений в форме стратегий. В противном случае а называется недопустимым для коалиции 5.

Определение 2. Исходы, допустимые для всех одноэлементных коалиций (то есть для всех игроков), называются индивидуально рациональными. Множество индивидуально рациональных исходов будем обозначать О (О).

Игра называется антагонистической, если в ней два игрока и их порядки взаимнообратные. В этом случае задается отношение порядка и, выражающее предпочтения игрока 1, а предпочтения игрока 2 определяются обратным отношением порядка и-1.

Антагонистическую игру с векторными выигрышами (X, У, (/&)к=гр), где X — множество стратегий игрока 1, У — множество стратегий игрока 2, ¡к : X х У ^ ЯР (к = 1,р, р > 2) — компоненты функции выигрыша игрока 1, можно рассматривать как игру с квазиупорядоченными исходами вида

О = ^^ЯР, ^Раг,Г), (1)

где в качестве множества исходов выступает ЯР, упорядоченное паретовским (покомпонентным) порядком

(иГ,... ,иР) ^Раг (гг, ... , гР) ^^ (иГ < гг) Л ... Л (иР < гР), функция реализации Г задается равенством

Г (х,У) = (Л (х,У),---,/р(х,У))-

Далее функции ¡1,... , /Р предполагаются ограниченными, в этом случае операторы инфинума и супремума всегда применимы. Для рассматриваемых нами игр с векторными выигрышами справедлив следующий результат.

Теорема (о непустоте множества индивидуально рациональных исходов в антагонистических играх с векторными выигрышами). В антагонистической игре О с векторными выигрышами вида (1) множество индивидуально рациональных исходов непусто.

Идею доказательства можно пояснить для случая p = 2. Введем следующие обозначения:

щ = sup inf /1 (x, y), u2 = inf sup /i(x,y), v1 = sup inf /2(x,y), v2 = inf sup /2(x,y).

Лемма 1 (структура множества индивидуально рациональных исходов в антагонистических играх с векторными выигрышами на плоскости). В игре G = (X, Y, R2, F) с векторными выигрышами выполняются следующие включения:

1. {(u, v) : u > u1 V v > v1} С D1(G),

2. {(u, v) : u < u2 V v < v2} С D2(G),

3. {(u, v) : u > u1 Л v < v2} С D(G),

4. {(u,v) : u < u2 V v > v1} С D(G).

Следствие 1.В игре G вида (1), в которой p = 2, множество D(G) индивидуально рациональных исходов непусто и выполняется следующее включение:

D(G) ^ {(и,v) : u > u1 Л v < v2} U {(u, v) : u < u2 Л v > v1}.

Аналогичный результат имеет место при p > 2. Введем следующие обозначения: u = sup inf /¿(x,y), щ = inf sup /¿(x,y).

Лемма 2 (структура множества индивидуально рациональных исходов в антагонистических играх с векторными выигрышами (p > 2)). В игре G вида (1) с векторными выигрышами, в которой p > 2, выполняются следующие включения:

1. исход (и0,... , upp) Е где (3 k1 = 1,... ,p) uk1 > ukl допустим для игрока 1;

2. исход (и0,... , uPP) Е где (3 k2 = 1,... ,p) uk2 < uk2 допустим для игрока 2.

Следствие 2.В игре G вида (1), в которой p > 2, множество D(G) индивидуально рациональных исходов непусто и выполняется следующее включение: D(G) ^ {(3 k1, k2 = 1,... ,p) : и^ > ukl Л uk2 < uk2}.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Мулен Э. Кооперативное принятие решений: аксиомы и модели / Пер. с англ. М.: Мир, 1991. 464 с.

2. Пасечник М.В., Розен В.В. Игры с квазиупорядоченными исходами, имеющие единственный индивидуально рациональный исход // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. Вып. 3. С. 87-90.

УДК 512.56

В.Б. Поплавский

ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ БУЛЕВЫХ МАТРИЦ

В нашей статье продолжается построение теории определителей матриц над произвольной булевой алгеброй, начатой в статье [1] и получившей развитие в работах [2-6]. Доказывается утверждение, которое помогает оценить число образующих, порождающих столбцы (или строки) данной булевой матрицы.

Определитель квадратной булевой матрицы был введен О.Б. Соколовым в работе [1] для изучения матриц, элементами которых являются формулы логики. Большая часть этой статьи посвящена теории булевого определителя. Он определяется как симметрическая разность

РеЛА =у Аф V А = (V А\ V А) и (V А\ V А)

полуперманентов

+ А

и

К1 Паа П.

.Па^,

(аь...,а„)еР

и

V А = и

(аа Паа П.

.Паап)

(«1,...,а„)ер

+ -

(все четные и нечетные перестановки обозначены Р и Р соответственно) матрицы А = (а*), элементы которой а* принадлежат произвольной булевой алгебре (В, и, П,', 0,1). Показаны такие свойства определителя, как его сохранение при транспонировании, его неизменность при перестановке строк, равенство нулю для двух одинаковых строк. Доказано свойство аддитив-