О рациональном распределении нервюр в кессонном крыле Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м IV

19 7 3

№ 3

УДК 629.735.33.015.4

О РАЦИОНАЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ НЕРВЮР В КЕССОННОМ КРЫЛЕ

В. Н. Семенов

Приводится решение задачи о рациональном числе нервюр и их оптимальном весовом распределении по размаху кессонного крыла большого удлинения при соблюдении условия устойчивости сжатых панелей. Приведены результаты расчета.

Оптимизация силовой конструкции самолета ведется в основном и двух направлениях: оптимизация конструктивных элементов с точки зрения местной прочности и оптимизация конструктивно-силовой схемы с позиции общей прочности и аэроупругости. Естественно, что возможности, открываемые оптимизацией конструктивно-силовой схемы, могут быть реализованы в том случае, если они не противоречат требованиям местной прочности и, в частности, требованиям устойчивости сжатых панелей.

В данной статье предлагается один из возможных способов оптимизации конструкции кессона одновременно по условиям общей прочности и условиям устойчивости сжатых панелей.

Рассмотрим сжатую панель отсека кессонного крыла, заключенного между нервюрами к, 6+ 1 (фиг. 1), имеющего параметры: /Н!- — длина панели отсека (шаг нервюр); В (г) — ширина кессона; Ь (г)—хорда крыла; с (г) — относительная

толщина крыла; а — отношение расстояния между центром тяжести верхней и нижней панелей к максимальной высоте крыла в данном сечении. Поток нормальных напряжений в сечении г определим по формуле

1

2

і

(I)

а (¿) — ~-----------------------

4 4 ' ас (г) В (г) Ь (г)

ас (г) В (г) Ь (г)

10— Ученые записки ЦАГИ № 3

145

где лр— расчетная перегрузка, Рр (.г)— расчетная распределенная нагрузка, А — величина полуразмаха.

Влияние крутящего момента для прямого кессонного крыла менее существенно и здесь не рассматривается. Оценка максимальной, т. е. критической, величины напряжений общей потери устойчивости для заданных характеристик материала, профиля панели и условий нагружения получена по формуле Шэн-

[1] [формула (2.15)], представленной в виде

-'кр

л2 Е1 &р с 1-М2

1/3

, 2,3

(2)

где кр — коэффициент формы панели, Е/—тангенциальный модуль упругости, (а — коэффициент Пуассона, с — коэффициент упругости заделки концов панели, который находится экспериментально- и для реальных панелей равен 1,5—2,0.

Согласно (2) уровень допустимых напряжений ограничен величиной крити-

ческих напряжении потери устойчивости ок

\2/3

и зависит от параметра напряжен-

ности панели

/н

В концевой зоне крыла, согласно формуле (1), поток нормальных напряжений существенно уменьшается, поэтому для получения более высоких напряжений необходимо уменьшать значение 1Н, при этом выравнивается уровень напряжений в панелях вдоль крыла. С другой стороны, уменьшение шага нервюр ведет к увеличению их количества и, следовательно, веса. Предполагается, что вес лонжеронов и элементов крыла вне кессона остается постоянным, поэтому процесс оптимизации сводится к определению числа нервюр и такому их распределению по размаху, при котором суммарный вес продольного и поперечного силового набора принимает минимальное значение.

Приведенная толщина панели 5пр определяется как

5ПР И = Гп-^

в (г)

где /=■„ — площадь поперечного сечения панели, связанная с щей системой трансцендентных уравнений:

’кр>

(3)

£р следую-

икр

(*) =

^изг (¿)

(1 »л2) I ас (г) В (г) Ь(г)

і

2/3

2/3 .

= А, (г) [£>(*)]

1/3

-'пр

(г) ■■

^р ^изг (^)

[Ар (г>) 1

2/3.

Ч (?)________________________________________________________

акр (г) ас (г) В (г) Ь (г) акр (•?)

= А., {г),

акр

’(*)

кр(г) =

і / ■/п _ і Г ^ ^5пр^

V ^л8п2р V ф3(йпр)51р "

ипр;

Iі 2.

27 £

Р-І (*) = 4д3 °кр (*) [ав — акр (г)]2 = А3 акр (г) [ав — окр [г)]\

(4)

I

где J„ — момент инерции панели, ав —предел прочности, Е — модуль упругости.

Первое уравнение системы (4) получено путем подстановки формулы (1) в формулу (2); второе следует из определения потока напряжений </= 5а, которое разрешено относительно Вив которое подставлено выражение q (г) из формулы (1); третье соответствует определению коэффициента формы панели. Последнее уравнение системы взято из работы [2] [формула (13)], где изменение модуля упругости в зоне нелинейных деформаций задано эмпирической

°в '

зависимостью. При акр ^-д- (в упругой зоне) =Е.

На параметры системы (4) наложен ряд ограничений:

^пр вп-пп

(конструктивное ограничение, вызванное технологическими и ными требованиями);

0,288 < кр

(5)

эксплуатацион-

(6)

(ограничение на коэффициент формы панели; величина кр = 0,288 соответствует гладкой обшивке, ктах определяется радиусами инерций реальных панелей);

<

ШІП ] <зДОП)

“кр

Г+1

(7)

{ограничение на действующие напряжения сд, которые не должны превосходить допустимых нормальных напряжений аяоп и допустимых критических напряже-

ний а„

коэффициент запаса по критерию общей устойчивости).

Система уравнений (4) для различных отсеков крыла решается по-разному. Общая тенденция оптимизации кессона с точки зрения общей и местной прочности выражается в стремлении поднять действующие напряжения до уровня допустимых нормальных напряжений при условии достаточно высокого уровня критических напряжений потери устойчивости:

ад -^доп! (8)

акр ад (' +5)- (9)

В корневой зоне может быть удовлетворено условие

ад = адоп — акр/0 Н-») (10)

и решение системы (4) на этом участке сводится к вычислению Впр (г) и (г) по формулам:

Ао (г)

»«ч> (*) =-г1-*-; О')

^Р (г) '■

3/2

(12)

А ( (г) Ь( (одоп) .

Величина вычисляется для контроля за выполнением ограничения (6) и дает информацию о потребной форме профиля панели.

В концевых сечениях критические напряжения будут меньше допустимых, и система (4) разрешается относительно 6пр с помощью итерационной формулы

А3 (г) п

[бпр (*)]/ = А, (г) (Е, у_,)1/3 14» (8пру_1 (г)))' 3 ‘ 03)

Выполнение условия

ҐА№(8пр)]1,3у а2 V (®пР)

1 4 ^1/3 ) 3л,£;/3 [ф (8пр)|4/3

в области

Л =

(14)

(15)

&о! < 0,2 ^0\

обеспечивает сходимость итерационного процесса. (Индексы имеют значение: .0“ — исходная величина параметра, у — номер итерации, к — максимальное отклонение параметра от исходного значения).

В каждый шаг итерации по 5у- (г) включается итерационный цикл для коррекции значений акр и Е( по формуле, вытекающей из выражений (4):

. ___ А А ]/3 /,2/3 г

, — Л, Л3 П |ак

к—‘

«Р /—1

(16)

Соответствующая значению акр величина Ец используется в итерации у + 1 по формуле (13) как константа.

Для постоянных в пределах отсека значений параметров кр и 8пр панель рассчитывается по условию ад<; одо„ в концевой части отсека и по условию акр >ад (1 4-£) в центре отсека. Найденная таким образом толщина панели 8пр^ отсека /, удовлетворяющая обоим ограничениям, используется для определения его веса:

0,= 1,9-у 1 + С

/V,..

0„ о

~'п і— 1

і=1

“пр

і 1« і

Ві+В_

>'+1

(17)

Здесь Оу — вес панелей и нервюр на у'-м шаге расчета; * ~ статистический коэффициент, оценивающий вес нервюр по отношению к весу панелей при числе лервюр Л/с; Л\,аг — варьируемое число нервюр; Оп 0 — исходный вес панелей; <3Пу-_г — вес панелей на предшествующем шаге расчета; -у— удельный вес материала.

Отношение веса панелей, работающих на растяжение, к весу панелей, работающих на сжатие, принято равным 0,9 согласно рекомендациям [2].

Первый этап оптимизации конструкции представляет собой задачу целочисленного программирования для определения числа нервюр. На основе формул <4)—(17) составлена программа на языке ФОРТРАН, и на БЭСМ-6 произведены расчеты минимального веса конструкции при равномерном распределении нервюр по размаху крыла.

На втором этапе поиска ставилась задача отыскания оптимальных по весу параметров конструкции с переменным шагом нервюр при фиксированном

их числе. Представим целевую функцию веса как сумму весов отдельных отсеков:

N

°/ = 2[/Г(Я?’/н)]" (|8)

¿=1

где N—число отсеков, совпадающее с числом нервюр, Рр — параметры, от которых зависит вес отсека — нагрузки, геометрические размеры и т. д.:

р$ = Р\- Ръ Ръ. - = Мизг (г), Ь (г), с (г), ...

Оптимизация веса производится последовательно для различных пар смежных отсеков. Алгоритм оптимизации составлен на основе метода Гаусса—Зай-

к-2

*-/ #*■ Л

I I

к+1

э-

-V

Ж

I

Фиг. 2

деля [3]. Выделим два смежных отсека (см. 1 на фиг. 2) из их общей последовательности (18):

к-2

£[/4^, /„)] = [£(Р?, /„)]*_, + [/г(/>р./н)]А + Х X (19>

¿ = 1

(=1

¡=к +1

В течение одного прохода по размаху крыла считается, что вариация положения нервюры к в пределах пары отсеков {А—1, к-\-\), изменяет только значение первых двух членов разложения (19). Полный перебор возможных положений нервюры к показал, что зависимость веса пары смежных отсеков от положения нервюры имеет один строгий минимум, поэтому оптимальное положение нервюры к* находится методом паискорейшего спуска. Положение к* зафиксируем как очередное приближение к оптимальному положению к**. Далее переходим

к следующей паре отсеков (//) с вариацией нервюры к—\ в пределах {¡г—2, £*}

и находим ее локальный оптимум: (Л-1)*. Перебору подвергаем последовательно все пары отсеков, при этом возможны два исхода:

1) все нервюры сохранили свое положение, т. е. начальное распределение было оптимальным;

2) по крайней мере одна нервюра заняла новое положение, что привело к снижению веса:

V N

/„)]?< 2><р„. /«)]/.

¿=1 ;=1

Полученное распределение используется как исходное для следующего шага оптимизации.

Процесс итераций повторяется до сходимости, при которой

О г

<е>

О/

где е —малая величина, определяемая точностью расчета.

Окончательно полученное распределение /**■ считается оптимальным. Дли исследования вопроса о том, является ли полученное решение глобальным или локальным минимумом веса, был проведен расчетный эксперимент. Задача отыскания оптимального распределения заданного числа нервюр по размаху решалась несколько раз. причем в качестве исходного распределения нервюр, помимо равномерного, последовательно брались распределения со сгущением числа нервюр в корневой, центральной и концевой части крыла, кроме того, варьировался и путь поиска. Окончательное распределение нервюр во всех случаях совпало и дало одно и то же значение функции веса. Даже малые отклонения любой из нервюр от своего оптимального положения увеличивали вес. Таким образом, на основе результатов расчетного эксперимента было показано, что составленный алгоритм приводил к оптимальному решению, причем решению

0,5

ол

03

02

01

•л / /л* 10

** /

У

у' , Л о

—-—\за

О 02 ОЛ Об О,в 2

Фиг. 5

Фиг. 4

Фиг. 6

единственному. Это позволяет сделать вывод, что в рамках принятых предположений и ограничений полученное распределение нервюр реализует глобальный оптимум веса кессона.

При проведении расчетов оказалось, что число нервюр, при котором конструкция с равномерным их распределением имеет минимум веса, совпадает с числом нервюр, которое обеспечивает минимум веса конструкции с переменным их шагом по размаху. Это обстоятельство позволяет сократить процесс нахождения оптимальной конструкции.

На фиг. 3 показано изменение функции веса при различном числе равномерно (/н I — соп51) и оптимально (/н; = оргуаг) распределенных по размаху нервюр. Видно, что существует диапазон рационального (близкого к оптимальному) по критерию веса числа нервюр. На фиг. 4-7 в тех же обозначениях иллюстрируется получаемый выигрыш в весе при перераспределении нервюр в случаях их недостаточного, оптимального и избыточного числа.

Из фиг. 5 видно, что вследствие малых потоков нормальных напряжений (!), а также действия конструктивных ограничений (5) во всех случаях критические напряжения в концевой зоне значительно превосходят действующие, и, следовательно, шаг нервюр в этой зоне может быть увеличен, что не приведет к потере устойчивости конструкции.

Увеличение шага нервюр целесообразно также в зоне корневого сечения, когда зкр > здоп (см. фиг. 5). Уменьшение шага нервюр производится в зонах, где нормальные напряжения могут быть подняты до уровня допустимых, в частности, в корневом сечении при недостатке нервюр (см. фиг. 4 и 5)..

Фиг. 7

По мере увеличения числа нервюр минимум функции (фиг. 8)

¿н opt (А^, zjL)

/ (N, z\L) =

I» const (N)

сдвигается в концевую область крыла» что свидетельствует о том, что в концевой зоне реализуются более высокие нормальные напряжения (см. фиг. 5). При приближении f (N, zjL) к единице по абсолютной величине уровень действующих в панелях нормальных напряжений выравнивается по размаху и конструкция близка к равнопрочной, но это распределение нервюр не соответствует конструкции, оптимальной по весу.

При недостаточном и оптимальном числе нервюр требуется, чтобы тип панелей обеспечивал высокое значение коэффициента формы |6р (г) = kp тах] на всем протяжении крыла, за исключением его конца. При избыточном числе нервюр коэффициент формы панели (12) может быть уменьшен.

Из фиг. 3 видно, что конструкция с избыточным числом нервюр предпочтительнее, с точки зрения веса, конструкции с числом нервюр, меньшим оптимального. Если число нервюр выбрано близким к оптимальному, то вес конструкции кессона с оптимальным шагом нервюр меньше веса конструкции с постоянным шагом нервюр при том же их числе всего лишь на 2—3%. Это происходит потому, что вес продольного набора, уменьшенный вследствие приближения конструкции к равнопрочности по размаху, должен суммироваться с весом все возрастающего числа дополнительных нервюр.

В реальной конструкции ввиду размещения в крыле шасси, агрегатов, топливных баков и т. п. лишь на 30—40% размаха крыла не наложены ограничения на положение нервюр, поэтому в каждом конкретном случае необходимо оценить, достаточен ли выигрыш в весе, чтобы стоило усложнять конструкцию, переходя к переменному шагу нервюр, или можно остановиться на выборе рационального постоянного шага.

Заметим, что приведенные результаты и выводы получены для конкретной конструкции крыла со следующими основными параметрами: ¿ = 5,9м, рр = = 5000 Н/м2. Расчет других конструкций может привести к выводам, несколько отличающимся от изложенных.

Автор выражает благодарность В. М. Фролову за ценные рекомендации, полученные при выполнении работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шэнли Ф. Р. Анализ веса и прочности самолетных конструкций. М., Оборонгиз, 1957.

2. Синицын В. Ф. Оптимизация и весовой анализ некоторых самолетных конструкций. Труды ЦАГИ, вып. 1262, 1970.

3. Р а с т р и г и и Л. А. Статистические методы поиска. М., „Наука“, 1968.

Рукопись поступила 4¡IV 1972 г.