О расчете параметров многослойных теплозащитных панелей Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И Том III 1972

№ 4

УДК 629.735.33.015.4-977

О РАСЧЕТЕ ПАРАМЕТРОВ МНОГОСЛОЙНЫХ ТЕПЛОЗАЩИТНЫХ ПАНЕЛЕЙ

С. Н. Иванов

Приводится алгоритм расчета параметров многослойной теплоизолированной панели, работающей в условиях нестационарного аэродинамического нагрева. В качестве примера рассмотрена задача о выборе параметров четырехслойной панели.

Рассматривается задача проектирования многослойной теплоизолированной панели, работающей в условиях нестационарного аэродинамического нагрева (фиг. 1). Подвод тепла к конструкции производится в течение времени полета -с из внешней среды с температурой восстановления Те(х) и коэффициентом теплоотдачи а(т), являющимися заданными функциями времени. Охлаждение осуществляется за счет излучения с внешней поверхности конструкции и отвода тепла конвекцией на внутренней поверхности в хладагент с параметрами Тхл и ахл.

£

т ь ь Те

'хл к «

X

І, 4 4

Фиг. 1

Теплофизические и механические свойства отдельных слоев являются известными функциями температуры. Количество слоев в конструкции и последовательность

их расположения задаются вектором 7 = (К1. ■ • • . 7п)> где п— число слоев, •уг — удельный вес материала г-го слоя. Варьируемыми параметрами являются

толщины отдельных слоев О, представленные вектором 8 = (81;..., 8П). Задача отыскания рациональных параметров панели ставится следующим образом: построить итерационный процесс, приводящий к сходящейся последовательности

решений 8* таких, что О (8*4-1) <[ О (8^), где

п

О (в) = (те, 8) =^кг8г — функция веса (1)

г-1

при выполнении ряда ограничений вида

¥*(8)<0 (* = !,...,т<л). (2)

Контроль ограничений требует знания температурного поля в конструкции.

К ним можно отнести ограничения на зависящие от 8 температуры Ti(x, т) отдельных слоев

max Tj(8)— Toi^O,

х, х

ограничения на полный тепловой поток, проводимый в течение полета к хладагенту

Q(sj-Qo<o,

где Q (Ь) = J ссхл [ Тг (О, т) — Гхл] dz\

О

-требование сохранения прочности несущего первого слоя конструкции

max aj [7, Tt (8), Я0] - а0 [815 Тх (?)] < 0, (3)

где Ро(т) — заданная погонная нагрузка на конструкцию, а0 — напряжение, при котором происходит разрушение силового слоя.

Температурное поле в многослойной панели является функцией 8 и определяется из решения системы п квазилинейных уравнений

X !Т\ dTl

1 (Ti) дх

с начальными

(/ = 1,..п) Ti(x,0) = TiQ(x) (г = 1,..., п)

и граничными условиями

дТх

( ^l) fix _0 “хл (Tlл Т\)

_ х (Т )dTi+i I

L*=0

Ti \x=Xt~ Tl +1 \x-xt

dT,

Здесь С/ — удельная теплоемкость; А,- — коэффициент теплопроводности материала г-го слоя; е = г (Т) — коэффициент черноты поверхности; с0 — постоянная

Стефана — Больцмана; лгг- = bk

к=1

Сформулированная в таком виде задача отыскания минимума функции (1) является задачей нелинейного программирования с линейной целевой функцией и нелинейными ограничениями. Решение ее может быть получено приближенно прямыми методами поиска, изложенными,' например, в работах [1] и [2]. Эти методы предполагают определенную последовательность итераций, причем на каждой итерации приходится решать задачу о температурном поле в многослойной панели при различных 6. Согласно [3] .использование явных разностных схем для квазилинейных уравнений нецелесообразно, так как условие устойчивости требует мелкого шага по времени. Поэтому будем проводить расчет температур по безусловно устойчивой неявной схеме метода балансов [3]. Температурное поле в панели в каждый момент % = р-Ьх определяется из решения системы N -{-1 алгебраических уравнений:

Здесь И] — толщина /-го элемента, на которые делится каждый из слоев, Ы— число всех элементов. Свойства внешнего потока а, Те берутся в момент т. Теплофизические характеристики определяются по приближенным температурам в момент р-Дт, полученным линейной экстраполяцией по известным температурам в два предыдущие момента времени. Для решения системы (4) воспользуемся методом прогонки [4]. Рекуррентные соотношения для определения прогоночных коэффициентов с*, й* следующие:

После проведения прямой прогонки Ы-& уравнение в системе (4) примет вид

Решая его совместно с (Л^+1)-м уравнением, находим, что температура наружной поверхности в должна удовлетворять уравнению четвертой степени

Ті -|- ег Т2 — <1\\ а)Т+ Ь] Тув]7\+1 и = 2,.. ., Ы— 1);

аы ты~\ + = —0;

(4)

где

аі=1; яу=---------■■■- — (у = 2, ..., ЛО;

ьі = — («у + Є) ~ <*/) О'=1,2,--А');

*

аУ+1 а/+1

*7+1 — а/+1 с7

О" — I, ■■■ і N— 1).

Тдг — ~ сл? 0-

(5)

6* + Ад — В = о

(6)

с коэффициентами

2Х,

а ТР

2Х

лг /

----- «д/

В =

Со*

с0е

■ т ' оо-

(7)

Определив из (6) 0 и далее из (5) Т , по формулам обратной прогонки находим температурное поле

7> = ^-е*7}+1 (у-ЛГ-1, ЛГ-2,...,1).

Расчет рациональных параметров панели будем производить с помощью метода штрафных функций. В качестве штрафной функции использовалась функция вида .

ш

' (8)

*=1

где Л* — некоторые положительные постоянные.

Минимизация Ф проводилась методом скорейшего спуска. По описанному алгоритму была составлена программа на языке Фортран применительно к ЭЦВМ БЭСМ-6.

Рассмотрим некоторые примеры. На фиг. 2 представлена зависимость параметров нагрева а и Те от времени для возможного режима входа орбитального

самолета в атмосферу. Предполагается, что панель состоит из четырех слоев (п = 4): 71 = 8,2-104 н!'мг, = 980 и/ж3, 73 = 3,33• 103 н1м3, 74 — 1,15-104 н/м3. Несущим является внутренний слой, он работает на растяжение в упругой области и должен выдерживать погонную нагрузку величины Р0 = 4.2-104 дан/м. Это требование соответствует условию (3):

?1(»)=^~°'(Г1)<0' (9)

Предел текучести ат задавался кусочно-линейной функцией

от = 65- 10е; 0 < Т < 1000° К;

от =£— 0,144 Т + 209)-10 6; 1000° К < Т.

Теплозащита силового слоя осуществляется с помощью двух материалов с параметрами В2 и 63. Первый из них имеет меньшую теплопроводность, но его рабочий диапазон ограничен температурой Т0 = 1473° К:

92 (5) = шах Т2 (8) — Т0 < 0.

X, X

(10)

Наружный слой является покрытием и его толщина 84=10_3.м не варьируется. Теплофизические свойства материалов задавались квадратичными зависимостями от температуры: аЬТсТ2. Значения коэффициентов а, Ь, с приведены в табл. 1

Таблица 1

а Ъ с а 6 с

Ь| 4 1,6.10-з 0 с2 750 0,35 0

^2 0,08 2,19-10-6 8,2-10-8 с8 700 0,35 0

^3 0.4 -4,37-10-1 2,18-10-7 С* 280 0,35 0

45 0,013 0 Е 0,85 0 0

С1 300 0,34 0

Таблица 2

Считалось, что теплообмен на внутренней поверхности отсутствует, а

начальная температура панели равна 500° К. Исходные координаты вектора В при расчете температурного поля делились на число элементов и/ согласно табл. 2.

Значения щ далее оставались неизменными. Расчеты проводились для двух случаев. В первом менялись два параметра 82 и 83, а координата 8! оставалась

постоянной и равной 10~3 м. Коэффициенты = 10 7 и Л2 = Ю-2 выбирались из

условия, чтобы второе и третье слагаемые в выражении (8) были по величине на два порядка ниже первого при отклонении максимальной температуры второго слоя от 7о и нагрузки несущего слоя от Р0 на

1%. Начальное значение 8 задается из инженерных соображений. Процесс спуска к точке минимума С при

исходном 8, взятом согласно табл. 2, показан на фиг. 3

ломаной АС. Точка А определена после второго шага

спуска. Поиск из точки 8 с координатами Й! = 10_3 м,

82 = 5-10“2 83 = 10 а м и 84 = 10_:3 м показан лома-

ной ВС, причем точка В найдена после семи шагов. Счет проводился до тех пор, пока не перестали изменяться четыре первые значения цифры в величинах 8/. Как видно из фиг. 3, минимизация веса с приемлемой для практики точностью в данном случае

может быть осуществлена за 12—15 шагов, что соответствует 5—7 мин счета на

ЭЦВМ. В результате вес конструкции оказался равным 174,59 и/л2, т. е. на 34% меньше исходного, при значении функции Ф = 174,68 и координатах 82 = 40,53 мм, 83= 12,42 мм. Погрешности в выполнении условий (9) и (10)1 и 0,05% соответственно.

Во втором случае варьировалась также толщина силового слоя 8^ За начальную величину 8 было принято полученное в первой задаче. Как показал

8, [м] Щ

о 1 1 со 1 1

4-10-2 9

4-10-2 4

Ю-з 1

расчет, оптимальным для данной траектории является вектов 6 с координатами 8г = 0,998-10 з щ 82 = 40,59-10—8 53 = 12,42-10 3 м, 34 = 10 3 м, при этом

Ф = 174,63, (3 = 174,45 н/м2, т. е. взятое начальное 5] близко к оптимальному. Для этого случая поиск минимального веса был проведен графическим построением. Разница в полученных результатах не превышает 5%.

ЛИТЕРАТУРА

1. Моисеев Н. Н. Методы оптимизации. М., ВЦ АН СССР,

1968.

2. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование. М., .Мир“, 1967.

3. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М., „Наука", 1971.

4. Годунов С. К., Рябенький В. С. Введение в теорию разностных схем. Дополнение 2. М., Физматгиз, 1962.

Рукопись поступила 101X11 1971 г.