О ранге неявных представлений над одним классом функций трехзначной логики Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. 2-е изд. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1983.

Поступила в редакцию 28.03.2008

УДК 519.716+510.644

О РАНГЕ НЕЯВНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ НАД ОДНИМ КЛАССОМ ФУНКЦИЙ

ТРЕХЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ

Е. В. Михайлец

Понятие неявной выразимости функций k-значной логики введено А. В. Кузнецовым как одно из обобщений понятия выразимости функций суперпозициями [1].

Пусть A — произвольная система функций k-значной логики, A С Pk. Системой неявных уравнений над системой функций A будем называть всякую систему уравнений вида

...,Xn,y) = , . . . ,Xn,y), Фд (Xl,. . . ,X,n,y) = ^q (Xl,. . . ,Xn ,y),

где Ф1,..., Фд , Ф1,..., Фд — некоторые формулы над системой функций A.

Говорят, что функция f (xi, ..., Xn) k-значной логики неявно выразима над системой функций A, если существует система неявных уравнений над A указанного вида, имеющая при любых фиксированных значениях Xi,. ..,xn единственное решение y = f (xi,..., Xn). При этом соответствующую систему уравнений называют неявным представлением функции f (xi,... ,xn) над A.

Множество всех функций f, f £ Pk, неявно выразимых над системой функций A, называется неявным расширением системы A и обозначается через I (A) [2]. Благодаря очевидному соотношению I (A) = I ([A]) при исследовании неявных расширений можно ограничиться рассмотрением только замкнутых относительно суперпозиции классов функций k-значной логики.

Если любая функция k-значной логики неявно выразима над A, т.е. I (A) = Pk, то систему функций A называют неявно полной в Pk.

Помимо неявных расширений большой интерес для исследования представляют метрические характеристики неявных представлений.

Рассмотрим произвольную функцию f из неявного расширения некоторой системы A функций k-значной логики, f £ I(A). Назовем рангом функции f над системой A и будем обозначать через mA(f) наименьшее число уравнений, достаточное для построения неявного представления f над A.

Далее, вводится функция Шеннона mA(n) = maxmA(f), называемая ранговой функцией системы A (максимум берется по всем функциям k-значной логики, принадлежащим неявному расширению системы A и существенно зависящим не более чем от n переменных).

О. М. Касим-Заде в работе [2] исследовал поведение ранговой функции m?A(n) для всех замкнутых классов A булевых функций. Из результатов работы [2] следует, что максимальный порядок роста функции m\(n) достигается на классах D2 и Ff, где i = 2, 3, 6, 7 и / = 2, 3,...,ж, и составляет Q(n log n). Для любого неявно полного замкнутого класса A в P2 порядок роста ранговой функции m?A(n) составляет 0(n).

Автором было исследовано поведение ранговых функций для некоторых неявно полных классов функций в Pk. Выяснилось, что для широкого диапазона неявно полных систем функций k-значной логики ранговые функции имеют линейный порядок роста B(n). В частности, для классов функций, монотонных относительно произвольного частичного порядка, заданного на множестве Ek, Ek = {0,1,... ,k — 1}, и содержащего хотя бы одну пару сравнимых элементов, выражение для ранговой функции определяется следующей теоремой.

Теорема 1 [3]. Пусть k > 2 и на множестве Ek задан частичный порядок Ш, содержащий хотя бы одну пару сравнимых элементов. Пусть A — класс всех функций в Pk, монотонных относительно

частичного порядка Ш. Тогда система функций А неявно полна в Р^ и при всех натуральных п ранговой функции тА(п) имеет место равенство

mkA(n) =

n + 2

2

В связи с полученными результатами возник вопрос, существует ли неявно полная система функций в Pk, у которой порядок роста ранговой функции выше линейного. В данной работе описан неявно полный класс функций в P3, ранговая функция которого имеет экспоненциальный порядок роста.

Для задания функций одной и двух переменных в P3 будем использовать таблицы значений [4]. Рассмотрим систему функций, заданную таблицей.

Обозначим ее замыкание по суперпозиции через W. В работе Е. А. Ореховой [4] показано, что система функций W неявно полна в P3. Приведем необходимые определения.

Пусть f (xi,... ,xn) — произвольная функция в Pk. Будем называть точками графика функции f (x) наборы вида (a, f (a)) Е En+i, где a = (а1,..., an) Е Е'П .

Будем называть переменную x¿, 1 < i < n, переменной второго типа для функции f (xi,..., xn), если

f (ai,.. .,a—i, 2, a.i+i,. ..,an) = 2

для любого набора значений (ai,..., a—i, a—i,... an) Е En-i.

Будем называть переменную x¿, 1 < i < n, переменной первого типа для функции f (xi,..., xn), если xi не является переменной второго типа и f не различает 0 и 1 по этой переменной, т.е.

f (ai,..., ai-i, 0, a—i, ...,an) = f (ai,..., ai-i, 1, ai+i, ...,an)

для любого набора значений (ai,..., a—i, a—i,... an) Е ЕП-1.

Сформулируем основной результат.

Теорема 2. Для ранговой функции системы функций W при всех натуральных n справедливы следующие оценки:

2(га+1)/2 _ I ^ п4у(п) < 2 • 3ra.

Доказательство. Верхняя оценка доказывается просто. Пусть f (xi,... ,xn) — произвольная функция в P3. Множество En+i содержит 3n+i наборов, 2 • 3n из которых не являются точками графика функции f. Рассмотрим произвольную систему неявных уравнений, реализующую функцию f над системой функций W. Для каждого набора из En+i, не являющегося точкой графика функции f, в этой системе уравнений найдется уравнение, обращающееся в неравенство на данном наборе. Следовательно, из данной системы уравнений можно выделить подсистему не более чем из 2 • 3n уравнений, однозначно определяющую значение функции f всюду в Е™.

Таким образом, для любой функции f Е Pk существует ее неявное представление над системой функций W, содержащее не более 2 • 3n уравнений. Следовательно, mw(n) < 2 • 3n.

Доказательство нижней оценки опирается на следующую лемму, описывающую множество всех функций из класса W.

Лемма. Класс W содержит те и только те функции, которые одновременно обладают следующими свойствами:

1) являются монотонными;

2) сохраняют подмножество {0,1};

3) сохраняют разбиение {0,1}{2};

4) содержат только переменные первого и второго типа;

5) удовлетворяют условию: если переменные второго типа функции f не принимают значения 2, то значение функции f принадлежит множеству {0, 1}.

Автор выражает благодарность научному руководителю О. М. Касим-Заде за всестороннее внимание к данной работе.

тах(ж, у) minoi (х,у) 1{х) 0 1

0 1 2 0 0 2 0 0 1

1 1 2 0 1 2 0 0 1

2 2 2 2 2 2 1 0 1

вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2008. №5

67

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 08-01-00863), программы "Ведущие научные школы РФ" (проект НШ-4470.2008.1) и программы фундаментальных исследований Отделения математических наук РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики" (проект "Синтез и сложность управляющих систем").

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кузнецов А. В. О средствах для обнаружения невыводимости или невыразимости // Логический вывод. М.: Наука, 1979. 5-33.

2. Касим-Заде О.М. Об одной метрической характеристике неявных и параметрических представлений булевых функций // Матем. вопросы кибернетики. Вып. 6. М.: Наука, Физматлит, 1996. 133-188.

3. Михайлец Е.В. О ранге неявных представлений над классами монотонных функций ^-значной логики // Мат-лы VI Молодежной научной школы по дискр. матем. и ее прил. Ч. II. М., 2007. 26-29.

4. Орехова Е.А. Об одном критерии неявной полноты в трехзначной логике // Матем. вопросы кибернетики. Вып. 12. М.: Наука, Физматлит, 2003. 27-74.

Поступила в редакцию 28.03.2008

УДК 533.6.011.5:532.526:541

ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ И ТЕПЛООБМЕНА В МИКРО- И НАНОКАНАЛАХ МЕТОДАМИ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ДИНАМИКИ

В. Л. Ковалев, А. Н. Якунчиков

1. Микроэлектронные компоненты уменьшаются в размерах, а количество энергии, рассеиваемое их системами охлаждения, неуклонно увеличивается [1]. В связи с этим вопрос об охлаждении электронных компонентов стоит достаточно остро. Предполагается, что в будущем системы охлаждения будут представлять собой систему микро- и наноканалов, пронизывающую электронный компонент. По каналам будет осуществляться циркуляция охлаждающей жидкости или газа. Прототипы таких систем охлаждения уже появились в исследовательских институтах США. Охлаждающее устройство содержит два базовых элемента — эмиттер и коллектор. Эмиттер — это система заряженных игл с остриями малого диаметра, заряжающая частицы воздуха. Коллектор за счет действия электрического поля на ионизированную среду создает поток, охлаждающий чип. Также поток может создаваться "микронасосом" — осциллирующей стенкой канала.

Течение газов и жидкостей в большинстве случаев исследуется на основе макроскопического подхода, когда среда рассматривается как континуум [2, 3]. Такое описание справедливо в случаях, когда изучаемый объем содержит достаточно большое число молекул и среду можно считать непрерывной. Однако при исследовании течения в микро- и наноканалах, при моделировании физико-химических процессов в газе и на поверхности в ряде случаев необходимо использовать микроскопический подход, основанный на молекулярной динамике и прямом численном моделировании [4-8]. При таком подходе учитывается корпускулярная структура газа, определяются положения и скорости молекул в каждый момент времени, а макроскопические величины отождествляются со средними значениями соответствующих молекулярных величин.

2. Исследовалось течение теплопроводного совершенного газа между двумя пластинами, расположенными на расстоянии Ьу. Течение считалось двумерным, а область течения — симметричной относительно плоскости, равноудаленной от обеих пластин. Задача решалась методом прямого численного моделирования. При этом реальное течение газа описывалось при помощи большого количества моделирующих частиц, изменение координат, скоростей и свойств которых со временем вызвано межмолекулярным взаимодействием и взаимодействием с границами физического пространства. Уравнения движения частиц записывались в виде

(Рщ (М

-1Г =