CC BY
320
ФИНАНСОВЫЕ ПРОБЛЕМЫ
В.П. Семенов
О ПРОПОРЦИЯХ ВАЛЮТНОГО ПОРТФЕЛЯ, ОБЛАДАЮЩЕГО НАИМЕНЬШИМ РИСКОМ
В статье предложено решение задачи отыскания оптимального состава портфеля, включающего в себя доли 3-х основных мировых валют, по статистическим данным об их месячной доходности при инвестировании в них рублевых средств за период с января 1999 по декабрь 2001 г.
Для определения состава валютного портфеля американским математиком Г. Марковицем [1, 2] предложен метод, посредством которого в условиях риска можно найти в определенном смысле эффективную структуру портфеля ценных бумаг. Существенный вклад в данную теорию внесен также Д. Тобином, который установил среди множества эффективных портфелей существование оптимального [3], и У. Шарпом, улучшившим методику Г. Марковица [4, 5]. Сегодня можно утверждать, что теория выбора портфеля является основополагающим принципом инвестиционного планирования в условиях неопределенности и риска [6].
Практическое значение теории эффективных портфелей для рассредоточения вкладов, увеличения прибыли и снижения риска очень велико. В работе [7] появление этой теории названо революцией финансового рынка.
Поскольку считается, что для принятия решения инвестор рассматривает только ожидаемую доходность и вариацию (дисперсию), теория портфеля у Г. Марковица получила название двухпараметрической модели.
Доходность портфеля т активов за фиксированный период определяется соотношением:
Яр = Ц1Х1 + Ц2Х 2 + ■■■ + ЦтХт = Е Ц ]Х] , (1)
1=1
где Яр - доходность портфеля за период; X - доходность 1-го актива за период; -
вес актива в портфеле (т. е. доля рыночной стоимости актива 1 в общей стоимости
т
всего портфеля); Е Ц 1 = 1.
1=1
Доходность портфеля, рассчитываемую по формуле (1), часто называют реализованной. Очевидно, что она является случайной величиной.
По определению, ожидаемая доходность портфеля - это сумма ожидаемых доходностей активов, взвешенных по их весу в портфеле:
Е(Яр ) = ЦЕ(Х ) + Ц2ЕХ2 ) + ... + ЦтЕ(Хт ) = ЕЦ¡Е(X 1). (2)
1=1
Дисперсия портфеля определяется соотношением:
тт
Б(Яр) = Е{(Яр -Е(Яр))2} = Е •Ц •Ц1.
,=1 1=1
Для стандартного отклонения доходности портфеля ценных бумаг (риск за период)
тт
а(Яр) = (Е Еа ■Ц1 •Ці)1/2,
,=1 1=1
где 5 - ковариация между доходностями 1-й и 1-й ценных бумаг.
ООУ(Х,.,Xі) = 5 = {Е((Х -Е(Х))• (-Xі -Е(Хі)))} (і = 1,2,...,т;1 = 1,2,...,т).
Причем 5 =52 = В(Хі) является дисперсией доходности ценной бумаги і-го вида (і = 1,2,...,т).
Введем коэффициент корреляции активов: р X,, X2) = Р12 =
^ 1 2' И2 а(Л1)а(Л2) а^2
Множество инвестиционных возможностей портфеля представляет собой кривую второго порядка, точнее, ее часть (дугу), заключенную между точками (ах; Е\) и (а2; Е2). В предельных случаях, т. е. при р12 = 1; р12 = -1, дуга вырождается в отрезки прямых.
Это уравнение удобно записать в другом выражении [8]:
Л
AEP
а.
2BEp+C
E2 - Ei~
Ei < Ep < E2,
2 2 2 2 где A = ai + a2 - 2pi2aia2 ; B = ai E2 + a2 E - Pi2^i^2(Ei + E2);
C = ai2E22 + a22Ei2 - 2pi2aia2EiE2.
Сказанное иллюстрирует рис. 1.
(3)
Рис. 1. Значения комбинации «риск - доходность» при систематическом изменении структуры портфеля и альтернативных коэффициентов корреляции
На рис. i показано, что таким образом можно подобрать пару ценных бумаг даже с большим риском каждой из них, при которых риск портфеля будет не очень велик (например, точка М на кривой инвестиционных возможностей). Комбинирование видов ценных бумаг позволяет уменьшить корреляцию активов с i до 0 и даже до -i.
При этом в случае pi2 = -i можно добиться того, что стандартное отклонение ожидаемой доходности портфеля окажется равным нулю, т. е. достичь безрисковой комбинации обеих акций, хотя риски каждой из них в отдельности могут быть весьма значительными.
Данное явление иногда называют «чудом диверсификации» (magic of diversification). Инвестор может снизить риск портфеля, удерживая его ожидаемую доходность с помощью сочетания активов с низкой (желательно отрицательной) корреляцией. Однако активов с малой, тем более с отрицательной, корреляцией существует совсем немного. Таким образом, задача превращается в поиск среди многочисленных активов таких, портфель из которых имел бы минимальный риск при заданном уровне доходности или, наоборот, при заданном уровне риска имел бы наибольшую доходность.
Если pi2 < i, то всегда есть портфель, который имеет минимальный риск по сравнению с прочими допустимыми портфелями. На рис. i этот портфель находится в крайней левой точке (М). Для портфелей, состоящих из двух видов
активов, структура портфеля минимального риска легко определяется с использованием методов дифференциального исчисления.
Основной принцип работы на рынке ценных бумаг состоит в том, что инвестор не должен приобретать ценные бумаги только одного вида - необходимы разнообразие, диверсификация вложений, т. е. понимается такой способ формирования портфеля, при котором уменьшается его риск, причем желательно без значительного снижения доходности.
Некоторые инвесторы считают, что портфель можно диверсифицировать, включив в него как можно большее число активов разных классов, например, акции, облигации, драгоценные металлы, недвижимость. Не оспаривая разумности данного предложения, попытаемся ответить на 2 вопроса: сколько следует инвестировать в каждый класс активов и какие конкретно акции, облигации, недвижимость должен выбрать инвестор при заданном распределении?
Стратегия «наивной диверсификации» (naive diversification) означает, что инвестор, вкладывая средства в некоторое количество акций и других типов активов, надеется, что стандартное отклонение ожидаемой доходности портфеля будет малым. Подобную стратегию можно отнести к типу деятельности, который Александер и Френсис [9] назвали «финансовым декорированием».
В центре же внимания стратегии диверсификации Г. Марковица (Markowitz diversification) находится уровень ковариации доходностей активов портфеля. Ключевой вклад Г. Марковица состоит в постановке вопроса о риске активов как составляющих единого портфеля, а не отдельно взятых единиц. Данная стратегия, стремясь к максимально возможному снижению риска при сохранении требуемого уровня доходности, предполагает выбор таких активов, которые имели бы наименьшую положительную (в идеале отрицательную) корреляцию. Именно учет взаимной корреляции доходностей активов с целью снижения риска отличает стратегию диверсификации Г. Марковица от стратегии «наивной диверсификации».
Если инвестиционный портфель включает в себя 3 вида ценных бумаг, то на основании формулы (2) имеем:
Ep = HiEi + l*2E2 + ^3E3 ; (4)
a2(Rp) = D(Rp) = ці2аі2 + + Цз2аз2 + 2p ^а^Ці^ +
+ 2РізаіазЦіЦз +2p23a2a3^2^3. (5)
Задача отыскания портфеля, обладающего наименьшим риском, сводится в данном случае к минимизации функции (5) при условии: ц1 + ц2 + ц3 = 1.
При решении поставленной в работе задачи рассмотрим идеальный рынок, где все активы абсолютно ликвидны. Это означает, что в любой момент можно купить или продать любое количество указанных валютных активов и золота. Расход на покрытие трансакционных издержек и уплату налогов в расчет не принимается.
Рассмотрим временной отрезок [t; t + At], At > 0. Пусть S(t), S(t + At) - стоимость инвестиционного портфеля соответственно в начальный и конечный моменты времени; D - доход, полученный за этот период от владения портфелем. Тогда доходность инвестиций (показатель эффективности капиталовложений) за указанный временной промежуток:
i = [S (t + At) - S (t) + D]/ S (t), (6)
где D - дивиденды, выплаченные в рассматриваемый период времени, если имуществом инвестиционного портфеля являются акции; купонный доход, полученный за период At, если портфель состоит из облигаций; процентные деньги, выплаченные обладателю валютных счетов за истекший период, если рассматривается валютный портфель [10]. При D = 0 (обладатель валюты, не
доверяя свои деньги банку, хранит сбережения «на руках») формула (6) упрощается:
і = [К (ґ + Дґ) - К (ґ)]/ К (0, (7)
где Кп = К(ґ + Лґ); К0 = К(ґ) - соответственно конечный и начальный курсы рубля по отношению к соответствующей иностранной валюте. При этом если за рассматриваемый период времени Кп > К0, то і > 0; если Кп = К0, то і = 0; если Кп < К0, то і < 0.
Допустим, что цель управления инвестиционным портфелем заключается в том, чтобы к моменту ґ + Лґ путем вложения рублевых средств в валюту максимально увеличить рублевый капитал, имевшийся в момент времени ґ. Если бы будущие курсы всех валют были предсказуемы абсолютно точно, то вопрос о рассредоточении капитала не возникал бы. В этом случае достаточно просто вложить все рублевые средства как собственные, так и, если возможно, заемные, в ту валюту, для которой доходность, определяемая по формуле (7), была бы наибольшей. Однако точная предсказуемость доходностей не входит в число исходных предпосылок предлагаемой модели. Поэтому вопрос о способах рассредоточения капитала должно изучать. При этом важно рассмотреть связь между ожидаемыми прибылями и размерами риска при различных возможных стратегиях.
Итак, рассмотрим следующую гипотетическую ситуацию. Если некий российский вкладчик 1 января 1999 г. инвестировал рублевые средства в покупку иностранных валют (долларов США, евро, иен) и золота, то каким должно быть процентное соотношение данных активов в составе инвестиционного портфеля, чтобы последний принадлежал эффективной границе множества инвестиционных возможностей? И каков, в частности, процентный состав валютного портфеля, обладающего наименьшим риском?
Временной горизонт инвестора определен по 31 декабря 2001 г. Статистические данные о помесячной доходности (в %) инвестирования рублевых средств в доллары США, японские иены, евро, а также в золото за период с января 1999 г. по декабрь 2001 г. получены с использованием формулы (7).
Исходные оценки приведены в табл. 1-3.
Таблица 1
Статистические оценки математических ожиданий, дисперсий и стандартных отклонений эмпирического распределения доходностей, %*
Доллар США, X Японская иена, У Евро, ЕУ Золото, г
Математическое ожидание 1,0112 0,6554 0,0832 0,9994
Дисперсия 4,4423 10,4781 10,4344 23,6222
Стандартное отклонение 2,1077 3,2370 3,2302 4,8603
* Рассчитаны по данным табл 3.
Таблица 2
Ковариационная матрица активов золотовалютного портфеля
1Ь11=
Таблица 3
Корреляционная матрица активов золотовалютного портфеля
Ы1=
Рассмотрим портфели, включающие в себя только по два валютных актива.
Портфель доллар США - японская иена. Обозначим долю первого актива в портфеле через ц, тогда доля второго актива составит 1-ц. Индексом «1» обозначим параметры, относящиеся к доллару, индексом «2» - к иене.
В соответствии с данными табл. 1 и 3:
Е = 1,0112%; Е2 = 0,6554%; с = 2,1077%; Ст2 = 3,2370%; рп = 0,5314.
Подставив значения в формулу (1), имеем:
Ер = 1,0112ц + 0,6554(1-ц); (8)
ср = д/4,4423ц2 + (1 - ц)210,4781 + 2ц(1 - ц)3,6255 . (9)
Находим параметры портфеля, обладающего минимальным риском: цтт = 0,8935; (1-ц)тт = 0,1065; Ерт1П = 0,9733; Сртт = 2,0869.
Итак, если валютный портфель включает в себя только доллары и иены, то чтобы его риск был наименьшим, он на 89,35% должен состоять из долларов и на 10,65% - из иен. При этом ожидаемая месячная доходность портфеля окажется равной 0,9733%, а стандартное отклонение - 2,0869%.
Эмпирическое распределение вероятностей, в соответствии с которым рассредоточены значения случайных величин, т.е. доходностей (см. табл. 1), с хорошей точностью аппроксимируется нормальным распределением, и следовательно, то же можно сказать о распределении вероятностей доходностей
портфеля. Это означает, что для найденного портфеля с минимальным риском
вероятность того, что его месячная доходность не выйдет за пределы интервала Ертт - сртт; Ертт + сртт, т. е. (-1,1136%; 3,0602%), равна ~ 0,683; вероятность того, что отклонения от ожидаемой величины не превысят 2сртт, т. е. Ер є (-3,2005%;
X У ЕУ г
X 1 0,5314 0,5276 0,3995
У 0,5314 1 0,4485 03877
ЕУ 0,5276 0,4485 1 0,4032
г 0,3995 0,3877 0,4032 1
X У ЕУ г
Сх2 сху схеу СХ7
X 4,4423 3,6255 3,5920 4,0925
сху Су2 суеу су2
У 3,6255 10,4781 4,6896 6,0996
схеу суеу 2 сеу СЄУ7
ЕУ 3,5920 4,6896 10,4344 6,3301
СХ7 СУ7 СЄУ7 с/
г 4,0925 6,0996 6,3301 23,6222
5,1471), равна « 0,955; и, наконец, вероятность того, что доходность портфеля подчиняется «правилу трех сигм», т. е. Ер е (-5,2874%; 7,2340), равна « 0,997. Другими словами, «крушение» доллара, т. е. рост курса рубля по отношению к доллару, скажем на 20%, в предыдущие 3 года (1999-2001 гг.) представлялось событием маловероятным.
Воспользовавшись формулой (3), можно от параметрического задания кривой (8-9) перейти к ее явному заданию ар = / (Ер):
ар = 2,8106^7,6695Ер2 -14,9294Ер + 7,8164 , (10)
где Ер е [0,6554; 1,0112]; ар е [2,0869; 3,2370].
График функции (10) - это кривая ХМ(х,гттРУ на рис. 2б. Эффективная граница здесь представлена дугой М(х,г)тшЛ. Множество точек, лежащих на данной дуге, представляет набор оптимальных портфелей в зависимости от предпочтений инвестора при выборе между риском и доходностью.
Следует признать, что выбор не очень велик. Портфель должен быть представлен в основном долларами, а доля японской валюты может колебаться от 10,65% до 0.
Портфель доллар США - евро. Обозначим долю первого актива в портфеле, как и ранее, через ц, тогда доля второго актива составит 1-ц. Индексом «1» будем обозначать параметры, относящиеся к доллару, индексом «2» - к евро.
В соответствии с данными табл. 1 и 3:
Е1 = 1,0112%; Е2 = 0,0832%; а: = 2,1077%; а2 = 3,2302%; рп = 0,5276. Подставив значения в формулу (1), имеем:
Ер = 1,0112ц + 0,0832 (1-ц); (11)
а р =у14,4423ц2 +10,4342(1 -ц)2 + 7,1841ц(1 - ц) . (12)
Находим параметры портфеля, обладающего минимальным риском:
цтт = 0,8935; (1-ц)тт = 0,1105; Ертт = 0,9087; артт = 2,0853.
Итак, если валютный портфель включает в себя только доллары и евро, то чтобы его риск был наименьшим, он на 88,95% должен состоять из долларовой компоненты и на 11,05% из евро. При этом по сравнению с парой «доллар - иена» доходность этого портфеля оказывается ниже на 0,0646%, а риск снижается только на 0,0016%.
Воспользовавшись формулами (3), можно от параметрического задания кривой (11)-(12) перейти к ее явному заданию:
ар = 1,0776^7,6925Ер2 -13,9792Ер +10,0954 , (13)
где Ер е [0,0832; 1,0112]; ар е [2,0853; 3,2302].
График функции (13) - кривая ХМ(укуут,пР’ЕУ на рис. 2б.
Эффективная граница здесь представлена дугой М(х,Еу)тт X. Инвестор в зависимости от своих предпочтений может считать оптимальным любой из валютных портфелей, лежащих на этой дуге между риском и доходностью. Выбор по-прежнему невелик. Портфель должен состоять или только из долларов, или из долларов и евро, доля которого может колебаться от 11,05% до 0.
Портфель доллар США - золото. Аналогично предыдущим расчетам имеем:
Е1 = 1,0112%; Е2 = 0,9994%; а1 = 2,1077%; а2 = 4,8603%; рп = 0,3995.
Ер = 1,0112ц + 0,9994(1-ц) ; (14)
ар =44,4423ц2 + 23,6225(1 - ц)2 + 8,1850ц(1 - ц) . (15)
цт1п = 0,9824; (1-ц)т1п = 0,0176; Ертт = 1,0110; арт1п = 2,1047.
А
б
а
Рис. 2. Множество допустимых портфелей и эффективная граница множества инвестиционных возможностей (с продажами без покрытий и без таких продаж)
Портфель наименьшего риска должен на 98,24% состоять из долларов США и на 1,76% - из золотой компоненты. При этом включение в портфель золота микроскопически уменьшает риск и настолько же снижает доходность.
ср = 84,7458^19,8798Ер2 - 40,1966Ер + 20,3199 , (16)
где Ер є [0,9994; 1,0112]; Ср є [2,1047; 4,8603].
График функции (16) приведен на рис. 3.
Эффективная граница здесь представлена дугой МтіпХ. В зависимости от своего отношения к риску, инвестор может считать оптимальным любой из портфелей, принадлежащих этой дуге. Портфель должен состоять или только из долларов, или долларов и золотой компоненты, доля которой может колебаться от 1,76% до 0. Любопытно, что увеличение доли золота в портфеле, практически не влияя на доходность портфеля, приводит к существенному возрастанию его риска.
дед, ‘
1Д
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
X (2,1077; 1,0112)
Мтіп (¡2,1047;1,0110)
X (4,8603; 10,9934)
с (Яр), %
2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 ...5,0
Рис. 3. Множество допустимых портфелей для комбинации «доллар - золото» Портфель японская иена — евро. Аналогично предыдущим расчетам находим: Е1 = 0,6554%; Е2 = 0,0832%; а1 = 3,2370%; а2 = 3,2302%; р12 = 0,4485.
Ер = 0,6554ц + 0,0832(1-ц); (17)
ср = ^10,4782ц2 +10,4342(1 - ц)2 + 9,3792ц(1 - ц) . (18)
Цтіп = 0,4981; (1-ц)тіп = 0,5019; Ертт = 0,3682; сртіп = 2,75187.
Портфель, имеющий минимальный риск, на 49,81% должен быть заполнен японской иеной и на 50,19% - евро.
ср = 1,7476^11,5332Ер2 - 8,4934Ер + 4,0431, (19)
где Ер є [0,0832; 0,6554]; ср є [2,7519; 3,2370].
График функции (19) - дуга ЇМ(У>ЕУ)тіпР’ЕУ приведен на рис. 2б. Эффективная граница множества возможностей представлена дугой М(УЕУ)тіпУ. В зависимости от своих предпочтений риска или доходности, инвестор может считать оптимальным любой из портфелей, принадлежащих данной дуге. Выбор довольно велик. В портфель могут входить только японские иены, или он может быть «разбавлен» европейской валютой. Причем доля евро колеблется между 50,19% и 0. Портфель, где доля евро превышает 50,19%, неэффективен и не должен приниматься инвестором в расчет.
Портфель японская иена - золото. По аналогии с предыдущими комбинациями имеем:
Е1 = 0,6554%; Е2 = 0,9994%; с = 3,2370%; с2 = 4,86032%; рп = 0,3877.
Ер = 0,6554ц + 0,9994(1-ц); (20)
ср =у110,4782ц2 + 23,6225(1 - ц)2 + 12,1992ц(1 - ц), (21)
Цтіп = 0,8001; (1-ц)тіп = 0,1999; Е^ = 0,7242; сртт = 3,0988.
Портфель, имеющий минимальный риск, на 80,01% должен быть заполнен японскими иенами и на 19,99% - золотом.
ср = 2,9070^21,9015Ер2 - 31,7210Ер +12,6220 , (22)
где Ер є [0,6554; 0,9994]; ср є [3,0988; 4,8603].
Эффективный портфель может включать или только золотой актив, или золото и японскую иену, причем доля последней может колебаться от 80,01% до 0.
Портфель евро - золото. Е1 = 0,0832%; Е2 = 0,9994%; сі = 3,2302%; с2 = 4,8603%; р12 = 0,4032,
Ер = 0,0832ц + 0,9994(1-ц); (23)
ср = ^10,4342ц2 + 23,6225(1 - ц)2 + 12,6603ц(1 - ц). (24)
цтіп = 0,8082; (1-ц)тт = 0,1918; Е^ = 0,2589; сртт = 3,1061.
Портфель наименьшего риска на 80,82% должен состоять из евро и на 19,10% -из золотого актива.
ср = 1,0915^21,3964Ер2 -11,0806Ер + 9,5325 , (25)
где Ер є [0,0832; 0,9994]; ср є [3,1061; 4,8603].
Эффективный портфель может включать либо только золотой актив, либо золото и евро, причем доля последнего может колебаться от 80,82% до 0. Рассмотрим теперь портфель, включающий 3 мировые валюты.
Портфель «доллар - японская иена - евро». Индексом «1» обозначим параметры, относящиеся к доллару, индексом «2» - к иене, «3» - к евро.
В соответствии с данными табл. 1-3, имеем:
Е1 = 1,0112%; Е2 = 0,6554%; Е3 = 0,0832; с = 2,1077%; с2 = 3,2370%;
с3 = 3,2302%; р12 = 0,5314;. р13 = 0,5276; р23 = 0,4485.
Множество допустимых возможностей и эффективная граница такого портфеля представлены на рис. 2б.
Рассмотрим вначале, каких комбинаций «доходность-риск» можно достичь, если образовать портфели, в которых могут содержаться разные пары из 3-х валютных активов. Если инвестировать средства в доллары и иены, то переместимся вдоль траектории ХМ(хУ)тіпУ. Если составлять портфели, включающие лишь доллары и евро, то переместимся вдоль кривой ХМ(Х, ЕУ)тіпЕУ, и наконец, при комбинации «иены - евро» перемещение происходит вдоль дуги
УМ(у, еУ) тіпЕУ.
Полное множество инвестиционных возможностей, состоящее из портфелей, включающих в себя допустимые парные комбинации из 3-х основных мировых валют, может быть найдено как решение системы уравнений (4)-(5). На рис. 2б оно представлено множеством точек, составляющих заштрихованную фигуру. При этом с(Яр) є [3,2370; 2,0730]; Е (Яр) є [0,0832; 1,0112]. Портфель же, обладающий наименьшим из возможных в данной ситуации рисков представлен точкой Мтіп.
Подставляя параметры ц1 = 0,8262; ц2 = 0,0843; ц3 = 0,0895 в (4)-(5), находим: с(Яр) = 2,0730; Е(Яр) = 0,8980.
Другими словами, портфель, имеющий абсолютный минимальный риск, должен на 82,62% состоять из долларов, на 8,43% - из иен, а доля евро должна составить 8,95%. Ожидаемая доходность такого портфеля равна 0,898%, а риск (стандартное отклонение) - 2,073%.
Эффективная граница множества инвестиционных возможностей - дуга МттБХ (рис. 2а). Оптимальный портфель должен, естественно, лежать на эффективном крае области допустимых портфелей. Конкретное место расположения оптимальной комбинации валют на кривой МтіпВХ зависит от степени нерасположенности к риску и, таким образом, от вида кривой безразличия инвестора. При этом движении вдоль эффективной границы от портфеля Мтіп к портфелю X доля долларов увеличивается от 82,62 до 100%, а доли иен и евро снижаются соответственно с 8,43 и 8,95% до 0. Например, портфель В, обладающий параметрами с(Яр) = 2,0787; Е(Яр) = 0,95, имеет следующие валютные пропорции: ц1 = 0,8864; ц2 = 0,0774; ц3 = 0,0362. Кривая М,тпВН показывает расположения «доходность - риск», которых можно достичь, двигаясь вдоль эффективной границы, когда продажи валюты без покрытия^ недопустимы. В противном случае на участке SAA, (пунктирная линия) компонента ц3 становится отрицательной (инвестор начинает занимать евро, тут же продавать их и вкладывать рубли в иены и в основном в доллары). В соответствии с соотношением ц1 + ц2 + ц3 = 1, компоненты ц1 и ц2 могут принимать при этом какие угодно большие значения и, следовательно, доходность портфеля теоретически может стать бесконечно большей. Правда, риск при этом тоже бесконечен. Портфель А, например, с параметрами с = 2,0965; Е = 1,000 содержит следующие пропорции валют: ц1 = 0,9457; ц2 = 0,0686; ц3 = -0,0143.
Не расположенный к риску инвестор всегда предпочтет при данной портфельной доходности портфель с меньшим риском, независимо от того, как велика его нерасположенность к риску. Иными словами, портфель Б, несомненно, более предпочтителен, чем портфель Ь, а тем более Р, в то же время портфель S предпочтительнее портфеля Б.
Граница МтіпБ^ КЕУ - неэффективна, т.е. разумный инвестор любому принадлежащему ей портфелю предпочтет портфель, принадлежащей дуге МтіпЙХ, ибо все подобные портфели, обладая таким же или значительно меньшим риском, имеют
1 Продажа без покрытия — это случай, когда инвестор в начальные моменты (t=to) занимает у кого-либо (например, у брокера) ценную бумагу и тут же ее продает. Одновременно он принимает на себя обязательство вернуть ее в некий момент ^^\) прежнему владельцу и компенсировать ему доходы, поступившие от этой ценной бумаги за данный промежуток времени.
большую доходность. При движении вдоль этой границы от Мтіп к ЕУ доля долларового актива постепенно снижается, увеличивается доля иены и значительно быстрее евро. Например, портфели С(2,0777; 0,8500); Б(2,0930; 0,8000); ^(2,7261; 0,3000); 0(2,9270; 0,2000) имеют соответственно следующие валютные пропорции: (ц1 = 0,7700; ц2 = 0,0914;
ц3 = 0,1386); (0,7115; 0,0990; 0,1895); (0,1257; 0,1751; 0,6992); (0,0086; 0,1903; 0,8011).
Точка К представляет собой последний портфель, которого можно достичь, двигаясь вдоль неэффективной границы, в предположении, что продажи валюты без покрытия недопустимы. Доля долларового актива в портфеле К равна 0. Если допустить продажи без покрытия, то на участке КК (пунктирная линия) компонента ц1 становится отрицательной (инвестор начинает занимать доллары, тут же продавать их и вкладывать рубли в покупку иен и в основном в евро). При этом доходность портфеля перманентно снижается и теоретически может достичь как угодно большой по модулю отрицательной величины. Риск также становится бесконечно большим. Ясно, что подобная инвестиционная стратегия, мягко говоря, неразумна.
Главным выводом из проведенного выше анализа является следующее утверждение: если в валютный портфель включено более двух активов, то варьируя составляющие портфеля, можно снижать его риск без уменьшения его доходности. Например, перемещаясь от портфеля Є к портфелю Мтіп вдоль отрезка [С; Мтіп], инвестор, сохраняя неизменной портфельную доходность, снижает риск до абсолютного минимума.
Найдем параметры портфеля Б - портфеля наименьшего возможного риска при доходности Е0 = Ер = 0,8. Подставляя это в выражение
ср = ^8,7629Ер2 - 15,7406Ер +11,3650 , (26)
где Ер є [0,1927; 0,9860]; ср є [2,0730; 2,9423], имеем ср = 2,0930; ц = ц2 = 0,0990; ц1 = 0,7115; ц3 = 0,1895. Иными словами, портфель Б должен на 71,15% состоять из долларов, доля иен должна составлять 9,9%, доля евро - 18,95%.
Естественно, любой разумный инвестор портфелю Б предпочтет портфель S, имеющий при том же самом риске значительно более высокую доходность S(2,0890; 0,9860). Этот портфель на 92,93% должен состоять из долларов и на 7,07% - из иен, доля евро равна 0. Поскольку портфель S принадлежит эффективной границе множества допустимых портфелей, то в зависимости от своих рисковых предпочтений инвестор может считать его и оптимальным для себя. К той же пропорции валют в портфеле инвестор мог прийти, двигаясь не по контуру PLDS, а, например, по контуру -Р0М(х,гітіА т. е. постепенно увеличивая долю долларов в портфеле и снижая долю иен.
Таким образом, приведено решение задачи отыскания оптимального состава портфеля, включающего в себя доли 3-х основных мировых валют, по статистическим данным об их месячных доходностях при инвестировании в них рублевых средств за период с января 1999 г. по декабрь 2001 г. Найдено уравнение эффективной границы множества инвестиционных возможностей такого портфеля, что позволяет определять пропорции портфеля, обладающего наименьшим риском, при заданной в зависимости от предпочтений инвестора оптимальной доходности.
Прокомментируем полученные результаты. Очевидно, что доллар доминирует в составе любого портфеля, принадлежащего эффективной границе. Причем сказанное касается портфелей, не только включающих в себя 3 основные мировые валюты, но и содержащих только 2 актива, одним из которых являются доллары. Оптимальные портфели всегда состоят или только из долларов, или большей частью из долларов со сравнительно небольшой прослойкой евро, японских иен или золота. Введение в состав портфеля последних валютных активов, позволяя незначительно уменьшить портфельный риск, в то же время снижает портфельную доходность. Портфель,
обладающий абсолютно наименьшим риском Мтт (о(Яр) = 2,0730; Е(Яр) = 0,8980), должен на 82,62% состоять из долларов, на 8,95% - из евро и на 8,43% - из иены.
Иена и евро по своим инвестиционным свойствам очень сходны. Риски вложения в них практически одинаковы, правда доходность иены в России в течение рассмотренного периода оказалась существенно выше доходности евро. Комбинируя их в портфеле в соотношении 50:50 удается ощутимо снизить его риск (см. рис. 2б), ибо взаимная корреляция этих валют заметно ниже, чем корреляция каждой из них с долларом (см. табл. 3). Однако даже для такого портфеля риск вложения оказывается существенно выше, а доходность значительно ниже, чем для портфеля, состоящего преимущественно из долларов.
Как известно [11], основные валютные курсы евро и иены - это их котировки к американскому доллару, которые круглосуточно формируются на мировом валютном рынке. Курсовой механизм Банка России ориентируется на доллар, что отражает доминирующую роль последнего во внешнеэкономических расчетах. Как следствие курсы рубля к остальным валютам представляют кросс-курсы, рассчитываемые ЦБ РФ при установлении официальных курсов через долларовую котировку. Банк России сглаживает чрезмерные колебания именно курса доллара к рублю посредством валютных интервенций. Конечно, существует прямой рынок котировок евро/рубль; иена/рубль (в частности, в рамках Единой торговой сессии ММВБ). Однако, как правило, валютные дилеры, выставляя или реализуя эти котировки, ориентируются на курсовые значения, полученные арифметически из значений курсов евро/доллар; доллар/рубль; иена/доллар; доллар/рубль, и при любом отклонении выравнивают их, проводя арбитраж между парами.
Аналогичной тактики придерживаются и банки при поступлении валютной выручки клиентов в евро и иенах, часть которой в соответствии с требованиями валютного регулирования они обязаны продать на Единой торговой сессии межбанковских валютных бирж страны. При этом банки и их клиенты могут либо продать валюту за рубли, либо (что обычно и происходит) вначале конвертировать евро и иены в доллары, а затем осуществить обязательную продажу долларов за рубли.
Сами же курсы евро/доллар и иена/доллар обладают довольно высокими уровнями волатильности, обусловливающими значительные валютные риски даже в краткосрочные периоды. Соответственно кросс-курс, например, евро к рублю подвержен валютному риску в неменьшей степени, чем курс евро к доллару. Не только держать евро на счетах, но и ожидать оплаты за поставленные товары в евро, курс которого может неожиданно резко подскочить, воспринимается многими как неоправданный риск, и далеко не все экономические агенты к нему готовы.
Многосторонний характер экономического управления в ЕС, а также существующие политические, социальные и экономические различия между его членами, означают, что привязка к наднациональной валюте сообщества привносит большие риски, чем существующая привязка к национальной американской валюте.
Введение в оборот наличного евро не вызвало массового перевода населением активов из долларов в евро. В свое время население не спешило покупать немецкие марки2. Для валютных депозитов пропорции между евро и долларом, предполагающие наименьший риск, составляют 11:89 в пользу доллара. При увеличении долларовой компоненты риск незначительно повышается, но растет и портфельная доходность.
2 В России немецкие марки составляли лишь 5% имеющейся наличной иностранной валюты. В то же время из 460 млрд. выпущенных в США наличных долларов 20% «вращаются» в России [12]. К тому же немецкая марка была в России менее ликвидна, чем доллар.
Что касается золота, из приведенных в табл. 1 данных видно, что при средней доходности этого актива, практически не уступающей доллару, его риск (стандартное отклонение доходностей) в 2,31 раза выше риска долларового актива и, примерно, в
1,5 раза - евро и иены. Корреляции между доходностями золота и любой из 3-х основных мировых валют в России на протяжении 1999-2001 гг. были значительно ниже, чем взаимные корреляции между валютами.
Введение золотого актива в состав валютного портфеля в паре с любой из указанных валют, оказалось малоэффективным для пары «доллар - золото» и приносило определенные выгоды (заметное снижение портфельного риска) для пар «евро - золото» и «иена - золото». Однако если рассматривать период с июля 1999 по март 2000 г., когда цены на золото росли, а валютная доходность в России была невысокой, то золото тогда оказалось наиболее привлекательным объектом инвестирования рублевых средств по сравнению с 3-мя другими рассмотренными активами. Впрочем, использование золота в качестве объекта инвестиций лимитируется достаточно высоким риском вложений и невысокой ликвидностью (разница между ценами покупки и продажи золота значительно выше, чем для рассмотренных выше валютных активов).
Из соотношений (4)-(5) следует, что ожидаемые доходность и риск инвестиционного валютного портфеля определяются ожидаемыми параметрами: доходностями вложения рублевых средств в каждую из 3-х основных мировых валют, дисперсиями доходности таких вложений, корреляциями между доходностями вложений.
Статистические оценки этих параметров определяются динамикой котировок валют по отношению к рублю.
Экономика США сейчас переживает трудности. Но тот уровень открытости, с которым американцы на глазах всего мира обсуждают возникшие проблемы, показывают, что США отдают себе отчет в существующих рисках, четко формулируют задачи и привлекают лучшие силы для их решения. Такая модель управления кризисом является залогом успешного преодоления рецессии. Именно этот вывод и позволяет говорить об отсутствии существенного риска мировых финансовых катаклизмов в ближайшем будущем. Процесс некоторого ослабления доллара по отношению к основным мировым валютам, по-видимому, будет иметь место вследствие естественных макроэкономических факторов (рецессия в экономике США), однако снижение доллара не будет резким (страны Европы также будут балансировать на грани рецессии, а Япония в ней уже находится).
Некоторое ослабление доллара сейчас необходимо американской экономике, в значительной мере уже исчерпавшей прочие механизмы стимулирования (реальные процентные ставки приблизились к нулевому уровню, дальнейшее снижение налогов ограничено риском бюджетного дефицита). Умеренное падение доллара на 8-10% поддержит текущий баланс и окажет стимулирующее влияние на промышленный сектор.
Что касается курсов евро и иены по отношению к рублю, то в номинальном выражении они будут расти, так как будет увеличиваться курс доллара к рублю. Доллар по отношению к рублю будет расти хотя бы потому, что темпы инфляции в США в ближайшие годы, безусловно, окажутся значительно ниже, чем в России [13].
Ожидаемые корреляции между доходностями вложений рублей в доллары, иены или евро в ближайшие 2-3 года, на наш взгляд, для пар «доллар - евро» и «доллар - иена» окажутся близкими к предыдущему уровню 0,52-0,54; и немного возрастут для пары «евро - иена» ~ 0,45-0,47 (в силу расширения географической сферы использования евро во внешнеторговых операциях).
Прогнозировать ожидаемые доходности инвестирования рублевых средств в 3 основные мировые валюты - значительно сложнее. Для оценки различных вариантов развития событий в ближайшие годы в работе [14] были
проанализированы 3 сценария, описывающие соотношение экспорта, предложения валюты, спроса на валюту и утечки капитала. Сценарии классифицируются по предположительному уровню мировых цен на основные товары российского экспорта на оптимистический, пессимистический и катастрофический.
Оптимистический предполагает сохранение среднегодовой экспортной выручки на уровне 2000 г. (105,170 млрд. долл.); пессимистический - ее сокращение на 30% (до уровня 1998 г.); катастрофический - сокращение на 50%. При этом импорт также изменяется от 55 млрд. долл. (среднее за 1994-2000 гг.) до 45 млрд. долл. при пессимистическом и 35 млрд. долл. при катастрофическом варианте. (Для сравнения: в 1999 г. импорт составил ~ 39 млрд. долл.) Из приведенных данных очевидно, что только при сохранении благоприятной ситуации на мировых рынках сырья и энергоносителей можно наращивать валютные резервы страны одновременно с обслуживанием и погашением внешнеэкономических долгов. Если же мировая конъюнктура сырья и энергоносителей ухудшается, то необходимо принимать меры: например,
понижать реальный курс рубля, единовременно ужесточая контроль за вывозом капитала.
При реализации оптимистического сценария курс рубля к доллару к концу 2004 г. плавно снизится до отметки ~ 36 руб. / долл.; рубля к евро до значения ~ 35-
35,5 руб./евро; рубля к иене - до отметки ~ 31-33 руб./100 иен. Среднегодовая инфляция, на наш взгляд, будет близка к 15%. Ожидаемые месячные доходности инвестирования рублей в доллары и иены окажутся близкими к предыдущему уровню: соответственно 1,0-1,1 и 0,6-0,7%. Доходность вложения в евро повысится до 1,0-1,1%. Риски (стандартные отклонения доходностей) останутся на прежнем уровне для доллара и иены соответственно 2,0-2,2% и 3,2-3,4% и снизятся для евро ~ 2,6-2,8%. Портфель, включающий в себя доллары, евро и иены, и обладающий наименьшим риском, должен, как представляется, на 70% состоять из долларов, 22-23% - это доля евро и 7-8% - иен. Если же портфель включает в себя только евро и доллары, то для создания наименьшего портфельного риска доля долларов должна составлять 76-77%, доля евро - 23-24%. Ожидаемые доходности и риски таких портфелей могут быть на уровне соответственно 1-1,05%; 1,95-2,05% - для портфеля, включающего в себя 3 основные валюты и 1-1,1%; 2,0-2,07% - для портфеля из долларов и евро.
В случае реализации пессимистического сценария заметное снижение предложения валюты на внутреннем рынке и рост девальвационных ожиданий, особенно если они получат реальное подтверждение в виде уменьшения золотовалютных резервов, приведут к резкому росту курса доллара. При этом негативные последствия в виде печально знаменитого «черного вторника» -неизбежны. Это может привести к возникновению девальвационно-инфляционной спирали, сопоставимой по своим масштабам с кризисом 1998 г. [14].
Если бы доллар, достигший отметки 19,8 руб./долл. в конце 1998 г., продолжал расти в соответствии с темпами рублевой инфляции, то к началу 2002 г. курс составил бы 39,18 руб./долл. При реализации пессимистического варианта доллар очень скоро поднялся бы до этой отметки, и на этом его рост не остановился бы.
Ожидаемая месячная доходность инвестирования в доллары (а именно в них в данной ситуации следует вкладывать рублевые средства) могла оказаться на уровне 3-4% и выше. Риск валютного портфеля, естественно, повысился бы (возможно, до уровня 3-4%). Включение в портфель небольших долей евро и иены (1-2% для каждого актива) уменьшило бы портфельный риск, но незначительно. Конечно, при резком ухудшении экономического положения в стране в целом обладатели американской валюты в данной ситуации выигрывают, хотя возросшая инфляция во многом скрадывает этот выигрыш [10].
И наконец, если события будут развиваться по катастрофическому варианту, то любое ответственное правительство должно ввести жесточайшие меры валютного регулирования, включая отмену свободного доступа населения на валютный рынок.
Поэтому будущее российской экономики будет определяться взвешенной и ответственной политикой, проводимой руководством страны, при условии, что мировой экономический климат будет этому благоприятствовать.
Литература
1. Markowitz H.M. Portfolio Selection // The Journal ofFinance. Vol. 7, 1952.
2. Markowitz H.M. Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments. N.Y.: Wiley, 1959.
3. Tobin J. The Theory of Portfolio Selection. The Theory of Interest Rates. Ed. by F.H. Hahn and F.P.R. Brechling. London, 1965.
4. Sharpe W.F. Portfolio Theory and Capital Markets. N.Y.: Mc Jraw — Hill, 1970.
5. Шарп У.Ф., Александер Г. Дж., Бейли Дж. В. Инвестиции. Пер. с англ. М.: Инфра — М, 1997.
6. Крушвиц Лутц. Инвестиционные расчеты. Пер. с нем. ПИТЕР, СПб, 2001.
7. Davis M.H.A., Duffie D., Fleming W.H., Shreve S.E. Mathematical Finance. N.Y.: Springer — Verlag, 1995.
8. Барбаумов В.Е., Гладких И.М., Чуйко А.С. Финансовые инвестиции. Ч. 2. (Портфели рискованных активов и инвестиций). М.: РЭА им. Г.В. Плеханова, 2001.
9. Alexander J., Francis J.C. Portfolio Analysis. 3 rd ed (Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall), 1986.
10. Семенов В.П. Доллар и доходность сбережений в инфляционной экономике // Проблемы прогнозирования. 2002. № 4.
11. Пискулов Д. Евро на российском валютном рынке //Вестник НАУФОР. 2001. № 4.
12. Макаревич Л. Россия и ЕВРО // Вестник НАУФОР. 2001. № 4.
13. Рябикин В.И., Семенов В.П. Доходность денежных сбережений и инфляция // Финансы. 1996. № 11.
14. Ивантер В.В., Панфилов В.С., Говтвань О.Дж., Кузнецов О.Е., Моисеев А.К. Валютный рынок России: оценка сценариев развития на кратко- и среднесрочную перспективу // Проблемы прогнозирования. 2001. № 6.
