CC BY
74
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
МЕТОД РАСЧЕТА ПРОПОРЦИЙ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ В ИНОСТРАННЫХ ВАЛЮТАХ1
Семенов Владимир Петрович
доктор экономических наук, профессор кафедры высшей математики РЭУ им. Г. В. Плеханова, e-mail: kafedra_vm@mail.r
Рябикин Вадим Иванович
доктор экономических наук, профессор кафедры страхования РЭУ им. Г. В. Плеханова, e-mail: ff@rea.ru
Горшкова Евгения Владимировна
кандидат экономических наук, старший преподаватель кафедры страхования РЭУ им. Г. В. Плеханова, e-mail: gorshkowa.lena2011@yandex.ru
В статье представлен метод расчета пропорций и параметров валютного портфеля, основанный на стратегии диверсификации Г. Марковица. Компоненты диверсифицируемого портфеля рассматриваются как разновидности ценных бумаг, вращающихся на финансовом рынке. Метод позволяет рассчитывать доходности и инвестиционные риски любого эффективного портфеля с позиций национальной валюты.
Ключевые слова: доходность, риски, котировки, валюты, валютный депозит, случайные величины, статистический анализ, инфляция.
THE METHOD OF CALCULATING PROPORTIOUS OF THE INVESTMENT PORTFOLIO IN FOREIGN CURRENCIES
Semenov, Vladimir P.
Doctor of Economics, Professor of the Department for Higher Mathematics of the Plekhanov Russian University of Economics, e-mail: kafedra_vm@mail.ru
Ryabikin, Vadim I.
Doctor of Economics, Professor of the Department for Insurance of the Plekhanov Russian University of Economics, e-mail: ff@rea.ru
Gorshkova, Evgeniya V.
PhD, Senior Lecturer of the of the Department for Insurance of the Plekhanov Russian University of Economics,
e-mail: gorshkowa.lena2011@yandex.ru
The method of calculating proportious and parameters of currency portfolion, based on markovic diversification strategy is represented in this article. The components of diversified portfolio are treated as the variety of securities floating on the financial market. This method allows to calculate income (profit) and investment risks of any effective portfolio, including minimal risk portfolio, according to national currency.
Keywords: income (profit); risks; quotation; currency deposit; stochastic variable; statistical analysis, inflation.
1 Статья подготовлена по результатам исследования, проведенного при финансовой поддержке Российского гуманитарного научного фонда, проект № 13-02-00289.
Как сохранить, а в идеале даже реально нарастить свои сбережения? Этот вопрос задают множество лиц, как физических, так и юридических, по всему миру, в том числе и в России. Ответ на него желает услышать и российский пенсионер, и владелец фирмы во Франции, и государственный служащий в Казахстане, и миллиардер в Америке. Найти верный ответ - это главная задача центральных банков государств и министерств финансов. Но ответ хочет найти и замученный инфляцией российский обыватель, с трудом накопивший немного «лишних денег», которые собирается отнести в банк.
В какой валюте открыть депозит: в рублях, долларах, евро, а может быть, в швейцарских франках? На этот вопрос на разных теле- и радиоканалах, в газетах и журналах отвечают комментаторы, приглашенные специалисты и даже суперпрофессионалы. Один из авторов слышал, как на эту тему на радиостанции «Бизнес FM» размышлял А. Кудрин. Вкратце его рассуждения сводились к следующему. Сбережения следует диверсифицировать. Часть денег, скажем одну треть, следует вложить в рубли, еще одну треть положить на депозит в евро и на оставшуюся треть открыть счет в долларах США. Безукоризненным следует признать только первое утверждение бывшего министра финансов: сбережения действительно необходимо диверсифицировать. Что касается второго утверждения, то здесь сразу возникают вопросы. Наличие рублевой компоненты в составе портфеля инвестора - это понятно. Рубли, положенные на депозит в надежном российском банке, являются безрисковым активом, его наличие в составе портфеля при заданной доходности снижает портфельный риск1. Под риском мы понимаем главным образом валютный риск (риск обменных курсов). Ведь большинство владельцев валютных депозитов в России отдают себе отчет, что впоследствии большую часть расчетов они все равно будут осуществлять в рублях. И хотя небезызвестный поэт, выступающий под псевдонимом Орлуша, писал: «В жизни есть приятные сюрпризы, а не только курс рубля», - многие жители России слушают сообщения об установленных ЦБ курсах доллара и евро с неменьшим интересом, чем прогноз погоды.
Так вот, по поводу сказанного Кудриным. Конечно, в составе валютного портфеля инвестора помимо рублей должны присутствовать и депозиты в иностранной валюте. Но почему именно в долларах США и евро? Почему, скажем, не в швейцарских франках, японских йенах или австралийских долларах? И главное, в каких пропорциях валюты
должны входить в состав портфеля? Почему именно — : — : —, а может
3 3 3
1 cm.: Sharp W. F. Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk // Journal of Finance. - 1964. - Vol. 19 (September). - P. 425-442.
лучше их распределить в других пропорциях? А если в других, то какими критериями следует руководствоваться? На все поставленные вопросы авторы отвечают в предлагаемой статье. Причем ответ будет дан в рамках строгой математической формулировки проблемы. Он будет верен в той мере, в какой верны использованные авторами статистические данные и инструментальные методы.
Ранее нами был представлен метод расчета эквивалентной доходности (в национальной валюте) вложений в иностранную валюту1. Он позволяет не только определить эквивалентную доходность, но и рассчитать ценовой (рыночный) риск с позиций национальной валюты. Идея метода состоит в том, что наращенная за п периодов сумма валютного депозита А = А (1+ Ч)" (здесь ¡1 - ставка валютного депозита) эквивалентна рублевой сумме (или сумме в любой национальной валюте), наращенной за то же количество периодов на депозите, номинированном, например, в рублях со ставкой I* с точностью до изменения валютных курсов: А ~ АпКп; А ~ А0К0. То есть имеют место паритеты начальной и конечной сумм депозитов. Отсюда следует:
КпА0(1 + ¡!) = К0А0(1 + Г2)п,
где К ; К - курсы валют соответственно на моменты открытия и закрытия депозитов;
Ао - сумма, внесенная на валютный депозит.
Из приведенного равенства вытекает соотношение
12 = пК (1 + Ч) - 1 . (1)
V К0
Оно позволяет определить эквивалентную (в национальной валюте) доходность безрисковых (открытие депозита) вложений в иностранную валюту. Однако формула (1) не является максимально точной. Дело в том, что, предполагая паритеты только начальной и конечной сумм, мы пренебрегаем тем, что в процессе наращения валютный курс перманентно меняется по отношению к начальному курсу. То есть мы не учитываем всего профиля изменений курсов валюты на интервале (0; п). С учетом данного обстоятельства метод должен быть скорректирован, и эквивалентный процесс наращения в национальной валюте можно представить в следующем виде:
1 См.: Рябикин В. И., Семенов В. П. Доходность денежных сбережений в инфляционной экономике / / Финансы. - 1996. - № 10, 11; Семенов В. П., Рябикин В. И. Методы расчета эквивалентной доходности (в национальной валюте) вложений в иностранную валюту / / Финансы. - 2013. - № 4.
и = Кг Л0г1(1 + i2)n-1 + K 2 Лог1(1 + 12Г2 +...+ Ka Лог1(1 + i2ra +
+ Kn-1 Aoi1(1 + i2 ) + KnA0i1 + KnA0 /
где Ka (a = 1/2,..., n -1) - курсы валют на начало каждого периода.
Нетрудно видеть, что наращенная сумма в рублях (S„) есть результат совместного действия двух источников накопления: переменной1, к примеру годовой, ренты со сроком n лет (периодов), где ежегодные поступления ... ^Ah • • • реинвестируются и наращиваются по ставке ii, и выплаты выкупной цены KnA0. То есть открытие валютного
депозита при условии конвертации денег в национальную валюту и их дальнейшей реинвестиции можно трактовать как приобретение номинированной, например, в рублях виртуальной облигации, владелец которой получает купонный доход в виде плавающего процента Ca = AKaii и в момент закрытия депозита выкупную цену KnA. Виртуальной, потому что облигацию никто не эмитировал и она существует только в воображении лица, инвестирующего в иностранную валюту, в частности, в воображении владельцев валютных счетов. Однако подобный виртуальный дериватив (производный инструмент от валютного депозита) отнюдь не бесполезен, ибо a posteriori, когда валютные курсы на момент окончания срока депозита уже известны, мы с помощью выражения (2) можем определить доходность (ii) в национальной валюте инвестиций в иностранную валюту. В частности, определим эквивалентную рублевую доходность вложений в доллар США, или в евро, или в любую другую валюту, котируемую на FOREX. Формула (2), в принципе, позволяет определить эквивалентную доходность с любой точностью, ибо точность зависит от длительности выбираемого периода. Чем он короче, тем точнее результат.
Поделив обе части равенства (2) на A0 (1 + i2 )n, приходим к выражению
K1i1 K2i1 Kai1 Kn-1i1 Kni1 Kn
-+-^-Чт + ... +-—-+ ... +-n , +-—— +-n—
(1 + i2) (1 + i2 )2 (1 + i2 )a (1 + i2 )n-1 (1 + i2 )n (1 + i2 )n
т. е. 12 - это средняя за период доходность, при которой рублевая текущая цена облигации, к примеру доллара США, равна сумме дисконтированных рублевых купонных выплат и ее (опять же рублевой) выкупной стоимости.
Настоящая статья посвящена проблеме формирования валютного портфеля, обладающего наименьшим риском. Риск, а также порт-
1 Поскольку валютные курсы ... К ... есть значения случайной величины, то сумма
рентных выплат в рублях меняется во времени.
фельная доходность рассматриваются с точки зрения эквивалентных вложений в национальную валюту. Для решения данной проблемы авторы привлекают теорию выбора эффективного портфеля, разработанную Г. Марковицем1, которая является основополагающим принципом инвестиционного планирования в условиях неопределенности и риска (Нобелевская премия по экономике 1990 г.). Компоненты диверсифицируемого портфеля рассматриваются как разновидности ценных бумаг (облигаций), вращающихся на российском финансовом рынке.
В центре внимания стратегии диверсификации Марковица находится уровень корреляций доходностей активов портфеля. Данная стратегия, стремясь к максимально возможному снижению риска при сохранении требуемого уровня доходности, состоит в выборе таких активов, доходности которых имели бы возможно меньшую положительную (а в идеале отрицательную) корреляцию.
Каково должно быть соотношение между евро и долларом США в составе валютного портфеля российского инвестора? Для сравнения рассмотрим также валютный портфель, включающий в себя швейцарский франк (CHF) и австралийский доллар (ЛИЭ). Выбор именно этих валютных активов предопределен, в частности, сроком инвестирования: 2008-2009 гг. - начало и разгар мирового финансового кризиса; 2010 - весна 2011 г. - период выхода из него; 2011-2012 гг. - стагнация на финансовых рынках. Курсовая динамика по отношению к рублю для первых двух валют была в 2008-2011 гг. не очень благоприятной для российских вкладчиков, зато CHF и ЛИЭ показали и в рублевом эквиваленте хорошие результаты.
Рассмотрим вложения рублей в резервные мировые валюты: доллар США, евро, швейцарский франк, а также австралийский доллар. Курсы этих валют приведены в табл. 12.
По каждой из этих валют открываются депозиты. Срок каждого из них - с 1 января 2008 по 31 декабря 2012. Проценты на вклады начисляются ежеквартально, квартальные ставки по всем вкладам предполагаются равными 0,01 (1%). Таким образом, депозиты действуют в течение 20 периодов (п = 20). В качестве первой части задачи, решив уравнение (3), определяем квартальные доходности (¡2) депозитов в пересчете на рубли. Как будет показано далее, они практически совпадают с математическими ожиданиями доходностей (с точностью до четвертого порядка после запятой).
1 См.: Markowitz H. W. Portfolio Selection: Efficient. Diversification of Investments. - New York : Wiley, 1959.
2 При расчетах мы использовали валютную котировку, когда указывается количество рублей в единице иностранной валюты.
Т а б л и ц а 1
Валютные курсы (01.01.2008-31.12.2012)
Дата Курс ЦБ Дата Курс ЦБ Дата Курс ЦБ Дата Курс ЦБ
1 2 3 4 5 6 7 8
Евро Доллар США
09.01.2008 35,9332 01.07.2010 38,2097 09.01.2008 24,5462 01.07.2010 31,2554
29.03.2008 37,0676 30.09.2010 41,3481 29.03.2008 23,5156 30.09.2010 30,4030
01.04.2008 37,0873 01.10.2010 41,4392 01.04.2008 23,5027 01.10.2010 30,5126
28.06.2008 36,9077 31.12.2010 40,3331 28.06.2008 23,4573 31.12.2010 30,4769
01.07.2008 36,9710 01.01.2011 40,4876 01.07.2008 23,4068 01.01.2011 30,3505
30.09.2008 36,3700 31.03.2011 40,0223 30.09.2008 25,2464 31.03.2011 28,4290
01.10.2008 36,4999 01.04.2011 40,3875 01.10.2008 25,3718 01.04.2011 28,5162
31.12.2008 41,4411 30.06.2011 40,3870 31.12.2008 29,3804 30.06.2011 28,0758
01.01.2009 41,4275 01.07.2011 40,4153 01.01.2009 29,3916 01.07.2011 27,8726
31.03.2009 44,9419 30.09.2011 43,3979 31.03.2009 34,0134 30.09.2011 31,8751
01.04.2009 44,8946 01.10.2011 43,4191 01.04.2009 33,9032 01.10.2011 32,1100
30.06.2009 43,8191 31.12.2011 41,6714 30.06.2009 31,2904 31.12.2011 32,1961
01.07.2009 43,8512 11.01.2012 40,7591 01.07.2009 31,0385 11.01.2012 31,8729
30.09.2009 44,0068 31.03.2012 39,1707 30.09.2009 30,0922 31.03.2012 29,3282
01.10.2009 43,8877 03.04.2012 39,1677 01.10.2009 30,0087 03.04.2012 29,3479
31.12.2009 43,3883 30.06.2012 41,3230 31.12.2009 30,2442 30.06.2012 32,8169
01.01.2010 43,4605 03.07.2012 41,0642 01.01.2010 30,1851 03.07.2012 32,5287
31.03.2010 39,7028 29.09.2012 39,9786 31.03.2010 29,3638 29.09.2012 30,9169
01.04.2010 39,5713 02.10.2012 40,1455 01.04.2010 29,4956 02.10.2012 31,2538
30.06.2010 38,1863 31.12.2012 40,2286 30.06.2010 31,1954 31.12.2012 30,3727
Швейцарский франк Австралийский доллар
09.01.2008 21,7879 01.07.2010 28,8334 09.01.2008 21,5246 01.07.2010 26,7359
29.03.2008 23,6100 30.09.2010 31,2274 29.03.2008 21,6626 30.09.2010 29,5730
01.04.2008 23,5545 01.10.2010 31,1926 01.04.2008 21,5379 01.10.2010 29,5423
28.06.2008 22,9098 31.12.2010 32,4084 28.06.2008 22,5190 31.12.2010 31,0102
01.07.2008 23,0042 01.01.2011 32,3877 01.07.2008 22,5384 01.01.2011 30,8938
30.09.2008 22,8041 31.03.2011 30,7840 30.09.2008 20,6541 31.03.2011 29,3131
01.10.2008 23,1642 01.04.2011 31,0905 01.10.2008 20,4776 01.04.2011 29,4515
31.12.2008 27,8329 30.06.2011 33,7815 31.12.2008 20,3165 30.06.2011 29,7210
01.01.2009 27,8752 01.07.2011 33,4485 01.01.2009 20,3743 01.07.2011 29,9463
31.03.2009 29,6026 30.09.2011 35,5352 31.03.2009 23,1019 30.09.2011 31,2758
01.04.2009 29,5762 01.10.2011 35,5908 01.04.2009 23,3051 01.10.2011 31,2880
30.06.2009 28,7648 31.12.2011 34,2366 30.06.2009 25,1012 31.12.2011 32,7209
01.07.2009 28,7234 11.01.2012 33,6141 01.07.2009 25,2219 11.01.2012 32,8641
О к о н ч а н и е т а б л. 1
1 2 3 4 5 6 7 8
30.09.2009 29,1112 31.03.2012 32,5255 30.09.2009 26,3216 31.03.2012 30,5307
01.10.2009 29,0135 03.04.2012 32,5257 01.10.2009 26,3776 03.04.2012 30,5629
31.12.2009 29,1370 30.06.2012 34,3848 31.12.2009 27,0020 30.06.2012 33,3945
01.01.2010 29,2548 03.07.2012 34,2191 01.01.2010 27,1304 03.07.2012 33,2996
31.03.2010 27,6939 29.09.2012 33,0344 31.03.2010 27,0030 29.09.2012 32,3298
01.04.2010 27,6461 02.10.2012 33,2523 01.04.2010 26,9914 02.10.2012 32,4133
30.06.2010 28,6775 31.12.2012 33,2888 30.06.2010 26,9310 31.12.2012 31,5481
Подставляя в выражение (3) значения валютных курсов из табл. 1, получаем, например, для евро уравнение
0,3709 0,3697 0,3650 0,4143 0,4489 0,4385 0,4389 35,9332=-+ —— + —+ —^ + —+ —g- + —389 +
x x x x x x
0,4346 0,3957 0,3821 0,4144 0,4049 0,4039 0,4041 0,4342
+ 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + x x x x x x x
0,4076 0,3917 0,4106 0,4014 0,4023 40,2286
+ r16 + „17 + r18 + 19 + 20 + ~20 , x x x x x x
(4)
где x = 1 + г2.
Отсюда z2 = 0,0164(1,64% в квартал). Это соответствует годовой доходности ¿2год = (1 + 0,0164/ -1 = 0,0672, т. е. 6,72% годовых.
Для депозитов в долларах США, швейцарских франках и австралийских долларах, воспользовавшись данными табл. 1 и проведя аналогичные вычисления, находим соответственно:
(EUR) ¿2квар = 0,0164 (1,64%); ^ = 0,0672 (6,72%);
(USD) ¿2квар = 0,0216 (2,16%); ¿2год = 0,0892 (8,92%); (5)
(CHF) ¿2квар = 0,0326 (3,26%); ¿2год = 0,1369 (13,69%);
(AUD) ¿2квар = 0,0297 (2,97%); ¿2год = 0,1242 (12,42%).
Очевидно, что найденные ставки (¿2) представляют собой значения случайных величин. В самом деле, в уравнении (3), из которого они определяются, присутствуют курсы валют Kj. Они круглосуточно формируются на международном валютном рынке FOREX. Центральный банк РФ курсы RUR/USD и RUR/EUR устанавливает, практически ориентируясь на соотношение, формируемое на FOREX по паре EUR/USD. Эпизодические интервенции имеют цель сглаживать валютные курсы RUR/USD и RUR/EUR на ММВБ, с тем чтобы соотношение, сформировавшееся по паре на FOREX с учетом данных российских валютных торгов, не нарушалось.
FOREX среди всех финансовых рынков наиболее близок к эффективному (по определению П. Самуэльсона). Этот рынок никем не регулируется. Цены валют определяются лишь спросом и предложением.
Приращения в = lnKj - lnKj - 1 = ln (Kj/Kj - 1 ) логарифмов курсов валют на нем являются независимыми случайными величинами (СВ), а
n
их сумма Sn = 2 в есть СВ, распределенная по нормальному закону,
j=i j
функция плотности вероятности (ФПВ) которого графически отображается известной колоколообразной кривой. Сами же валютные курсы представляют собой значения СВ, имеющей логарифмически нормальное распределение.
Из соотношения (1) при n = 1 следует: 1 + i * =—L(1 + ^). Для j-го
K0
, Kj
периода это равносильно условию 1 + i *. =-(1 + ). А с учетом ко-
Kj-i
нечности временного отрезка работы биржи это соотношение следует уточнить:
1 + i*j = -Kz-1(1 + ¿1), (6)
Kj-1
где i* - эквивалентная доходность (в национальной валюте), реализованная в j-м периоде наращения валютного депозита;
K - курс открытия, зафиксированный на валютной бирже (скажем, на ММВБ) в 1-й торговый день (j - 1)-го периода;
Kj 1 - курс закрытия в последний торговый день (j - 1)-го периода;
ii - ставка валютного депозита.
Уравнение (6), которое можно переписать в виде
Kj-1 Aj-1 (1 + ¿2;) = Kj-1 Aj-1(1 + ¿1),
где - сумма на валютном депозите к началу (j - 1)-го периода,
j = 1, 2, ..., n, представляет собой необходимое и достаточное условие того, чтобы паритет между суммами, накопленными на депозите в иностранной валюте, и гипотетической облигации (она существует только как метод расчета) в национальной валюте сохранялся на каждом этапе (периоде) наращения.
Отсюда следует, что наращенную сумму в национальной валюте можно представить в виде
Sn = A0K0(1 + i2)n = A0K0(1 + ¿21 )(1 + ¿22)- (1 + ¿2j)-(1 + i2n) = A0K0 -n(1 + ¿2j) ■ (7)
' j=1 '
1
n
Отсюда ц +1 = (П(1 + i2i))n . Логарифмируя левую и правую час-
j=i j
ти данного равенства по основанию e, получаем равносильное соотношение
n
Е ln(1 + i2 j)
1 * * * * j=1
ln(1 + i2) = - (ln(1 + i 21) + ln(1 + i 22) +...+ ln(1 + i * ■) +... + ln(1 + i 2n)) = i-. (8)
2 n 21 22 2j 2n n
Таким образом, распределенная по нормальному закону случай-
K j -1
ная величина Y, значение которой ln(1 + i*.) = ln(-(1 + it)), где
Kj-1
j = 1, 2, ..., n, имеет статистическую оценку математического ожидания (МО), определяемую формулой (8).
E(Y) = ln(1 + ¿2). (9)
Найденные по формуле (9) статистические оценки МО (а = E(Y)) составляют: (EUR) а = 1,0159; (USD) а = 1,0219; (CHF) а = 1,0309; (AUD) а = 1,0283.
Статистическую оценку дисперсии D(Y) = o2(Y) находим в соответствии с определением
9 1 П — -
D(Y) = о (Y) = -— Е(yrY)2, (10)
n -1 j=1
где yi = ln(1 + i2j); Y = E(Y); о = лДу).
Определенные в соответствии с (10) статистические оценки дисперсии равны: (EUR) о2 = 0,0021; (USD) o2 = 0,0052; (CHF) o2 = 0,0012; (AUD) о2 = 0,0010. Находим оценки для стандартных отклонений o(Y): (EUR) о = 0,0458; (USD) о = 0,0721; (CHF) о = 0,0346; (AUD) о = 0,0316.
Положительная случайная величина ^ является логарифмически нормально распределенной, если ее логарифм Y = ln^ подчинен нормальному закону распределения. Из определения вытекает, что если ^ имеет логнормальное распределение, то она может быть представлена в виде ^ = eY, где Y е Ы(а; о2), т. е. имеет нормальное распределение, МО и дисперсия которого равны соответственно а и о2.
ФПВ логнормального распределения имеет следующий вид:
1
(Lnx- я)2
р (х) = е 25 , (11)
5 л/2 лБх
где а = Е(К); 5 = о(Ю; п « 3,14; е « 2,71.
Логнормальное распределение обладает правосторонней асимметрией, а при малых Э = о(1п^) близко к нормальному распределению. Если СВ ^ распределена логнормально с параметрами а и Э, то
1 2
а+7s с2 E(Q = е 2 ; D(Q = е2a+S (eS -1). (12)
Подставляя в (12) найденные значения параметров а и о2, получаем: (EUR) E(Q = 1,0179, D(Q = 0,0022; (USD) E(Q = 1,0248, D(Q = 0,0055; (CHF) E(Q = 1,0320, D(Q = 0,0013; (AUD) E(Q = 1,0292, D(Q = 0,0011.
Поскольку ^ = 1 + i2, то E(i2) = E(§) - 1; D(i2) = D(Q и мы получаем необходимые для решения поставленной задачи статистические оценки случайной величины i'2:
(EUR) E(i2) = 0,0179; D(i2) = о 2(i2) = 0,0022; о (i'2) = 0,0469;
(USD) E(i2) = 0,0248; D&) = о 2(ii) = 0,0055; о (i2) = 0,0742; (13)
(CHF) E(i2) = 0,0320; D(i2) = о 2(i2) = 0,0013; о (¿2) = 0,0360;
(AUD) E(i2) = 0,0292; D(i2) = о 2(i2) = 0,0011; о fc) = 0,0332.
Видно, что математические ожидания E(i2) слегка отличаются от значений i2, найденных как решения уравнения (3), представленные формулой (5). Впрочем, различие невелико (в четвертом знаке после запятой). Совпадение (с точностью до погрешности вычислений) имело бы место при S ^ 0 в формуле (12). То есть, решая уравнение (3), мы фактически находим математическое ожидание эквивалентной доходности (в национальной валюте) вложений в иностранную валюту, но при условии, что по нормальному закону распределены не прираще-
Г К, ^
, а приращения самих валют-
ния логарифмов курсов валют ln
К -1J
ных курсов AK = K - K -1. Это условие выполняется в случае, если курсовые отклонения от среднего значения E(X) (стандартные отклонения) малы (S ^ 0). В противном случае пренебрегать логарифмично-стью распределения валютных курсов некорректно, что мы и учитываем в данной статье, выбирая в качестве статистических оценок СВ (i2) значения формулы (13).
Итак, первый вывод, следующий из представленных результатов: использование нормального закона распределения при ретроспективном анализе курсовой динамики валют и краткосрочном прогнозировании на рынке FOREX и, следовательно, динамики курсов резервных валют по отношению к рублю на ММВБ является корректным только при отсутствии резких курсовых колебаний. В противном случае следует ожидать случайных искажений истинного среднего значения (математического ожидания нормального распределения), т. е. использовать логарифмически нормальное распределение. Это обстоятельство особенно важно учитывать в моменты кризисов, происходящих на финансовых рынках.
Далее рассмотрим проблему формирования валютного портфеля, обладающего наименьшим риском. Под риском мы понимаем меру
рассеяния доходности около среднего значения, т. е. дисперсию, а точнее корень из нее - стандартное отклонение. Теоретическая база для этого заключена в знаменитом неравенстве П. Л. Чебышева:
Р|Х-Е(Х)|> е}< . (14)
£
Вероятность того, что СВ (X) отклонится от своего математического ожидания больше, чем на заданный допуск е, не превосходит ее дисперсии, деленной на е2. Задание дисперсии достаточно адекватно характеризует такие категории рисков, как ценовой (рыночный), кредитный, валютный и реинвестиционный, риск ликвидности и даже политический - риск снижения прибыли или убытков вследствие изменений в государственной политике. В меньшей мере это относится к инфляционному риску - риску снижения покупательной способности национальной валюты.
Приведем краткое описание алгоритма решения задачи. Доходность портфеля, состоящего из двух активов Rp, за фиксированный период определяется соотношением Rp = ^1X1 + ^2X2, где X!, X2 - доходности 1-го и 2-го активов за период; Ц1, Ц2 - доли активов в стоимости всего портфеля, т. е. Ц1 + Ц2 = 1. Очевидно, портфельная доходность является случайной величиной. Ожидаемая доходность портфеля - это взвешенная сумма математических ожиданий доходно-стей активов, составляющих портфель:
Ер = V1Е1 + Ь Е2 , (15)
где Е = Е(К ); Ег = Е(Хг); Е2 = Е(Х2) - соответственно математические
ожидания доходностей портфеля, а также 1-го и 2-го активов.
По определению, дисперсия портфеля задается соотношением ) = е{(Я -Е )2}, что для портфеля из двух активов составит
) = 0р = V202 + 2 + ^2р12° 1°2 , (16)
где о2 = 0(Х); о2 = В(Х2); о(X) = Л/5(Х);
р12 е [-1; 1] - коэффициент корреляции между доходностями 1-го и 2-го активов.
Комбинируя выражение (15) с условием V + V = 1, получаем
Е Еп Еп Е1
; V2 =; Е1 <ЕР <Е2. (17)
С учетом (17) уравнение (16) можно представить в виде
£• ор = АЕ2р-2БЕр + С; Е <Ер <Е2, (18)
где А
= о 2 + О 2 — 2р12° 1° Б = О 2Е2 + О 2 Е1 — Р1201° 2 (Е1 + Е2);
С = о^Е^ + о2Е2 - 2р12о1о2ЕЕ; ^ = Е - Е )2 - числовые коэффициенты.
Уравнение (18) выражает зависимость между основными переменными задачи: ожидаемой доходностью портфеля (Ер) и портфельным риском (Ор). Графически эта зависимость представляется кривыми второго порядка (гиперболами), точнее их дугами, заключенными между точками (01; Е1) и (02; Е2). Множество точек (Ор; Ер), составляющих эти дуги, геометрически отображают все множество допустимых инвестиционных портфелей (рисунок).
Ep
p
Рис. Графики комбинации «риск - доходность» при систематическом изменении структуры портфеля и при альтернативных коэффициентах корреляции
В предельных случаях pi2 = 1; pi2 = -1 дуги вырождаются в отрезки прямых. На рисунке видно, что можно так подобрать пару ценных бумаг, что даже при большом риске каждой из них риск портфеля будет не очень велик (например, точка M на кривой инвестиционных возможностей). Комбинируя виды активов, можно уменьшить корреляцию от 1 до 0 и даже до -1. При pi2 = -1 можно добиться того, что стандартное отклонение от ожидаемой доходности портфеля окажется равным нулю, т. е. достичь полностью безрисковой комбинации активов, и это при том, что риски каждого из них могут быть значительными (magic of diversification - чудо диверсификации).
К сожалению, отрицательная корреляция между доходностями -достаточно редкое явление, а найти пару с pi2 = -1 не удалось еще, ка-
жется, никому. Отрезок дуги от точки М (точки минимального риска) до точки верхней границы называется эффективным множеством всех допустимых портфелей. Нижняя часть дуги, от точки М до нижней граничной точки, для инвестора интереса не представляет, ибо при одном и том же риске все портфели имеют меньшую доходность, чем соответствующие портфели эффективного инвестиционного множества.
Структуру портфеля минимального риска теперь легко определить, используя стандартные методы дифференциального исчисления. Обозначим долю 1-го актива через тогда вес 2-го актива равен (1 -Соотношения (15) и (16) теперь представляются в виде
\Ер = + (1 - ^)Е2
— . (19)
о =7 V2 о2 + (1 - v)2 о2 + 2V (1 - V)p
Формула (19) представляет собой параметрическое задание (в зависимости от основных переменных задачи - портфельной доходности и портфельного риска. Для минимизации риска вычисляем производную Аор/ А^ и, приравняв ее к нулю, находим
2 „ _ _ „2
V = V 02 - Pl20102 . V = . V 01 - Pl20102 (20)
Vi = V = —-2—~-; ^2 = 1 - V = —-2—~-. (20)
0\ + 02 - 2.р120\02 0Х + 02 - 2p120x02
Подставляя в (19) значения ^ е [0; 1], мы можем найти параметры любого портфеля (ор; Ep), принадлежащего границе эффективных инвестиционных возможностей, в том числе и параметры портфеля наименьшего риска (0p(min); Е^^) (для этого в (19) следует подставить задаваемое формулами (20)). При этом автоматически определяются пропорции (доли) V = V; V2 = 1 - V каждого из активов в составе портфеля.
Расчет выборочных коэффициентов корреляции при условии, что приращения логарифмов курсов валют на FOREX распределены по нормальному закону, дает следующие результаты:
Р12 = P(yi Y) = p(EUR; USD) = 0,6387; p(CHF; AUD) = 0,2998.
Случайные величины Y определены формулой (8).
Расчет коэффициентов корреляции между эквивалентными ставками доходности ^ = eY, значения которых имеют логнормальное распределение, приводит к значениям p(EUR;USD) = 0,6319; p(CHF; AUD) = 0,2975.
Необходимые оценки математических ожиданий и стандартных отклонений приведены в табл. 2.
Т а б л и ц а 2
Статистические оценки математических ожиданий и стандартных отклонений эмпирического распределения доходностей (в %)
EUR USD CHF AUD
Евро Доллар США Швейцарский франк Австралийский доллар
Математическое ожидание 1,79 2,48 3,20 2,92
Стандартное отклонение 4,69 7,42 3,60 3,32
(21)
Воспользовавшись данными табл. 2 и приведенными выше значениями коэффициента корреляции р , на основании (19) запишем параметрические уравнения кривых «риск - доходность» для портфелей EUR - USD и CHF - AUD.
Портфель EUR - USD:
Ep = 1,79ц + 2,48(1- ц);
ор =д/21,9961ц2 + 55,0564(1- ц)2 + 43,971ф (1- ц)'
Портфель CHF - AUD:
Ep = 3,20ц + 2,92(1- ц);
Op = д/ 12,96ц2 +11,0224(1- ц)2 + 7,1114ц (1 - ц); (22)
ц е [0;1].
Придавая ц е [0;1] различные значения, определяем пропорции любого из допустимых портфелей EUR - USD, а также CHF - AUD, в том числе с учетом (20), пропорции и параметры портфелей, обладающих наименьшим риском.
Параметры портфеля, обладающего наименьшим риском, для пары EUR - USD: E = 1,7901%; п = 4,6901%; для пары CHF - AUD:
p min p min
E = 3,0439%; о = 2,7781% в квартал. Для 1-го портфеля это дости-
p min p min
гается при ц^ = 0,9998(99,98%) (т. е. 99,98% накоплений должно быть инвестировано в евро и только 0,02% - в доллары США), а для 2-го портфеля ц^ = 0,4426 (44,26%) (это означает, что 44,26% от инвестируемой суммы должны быть вложены в швейцарские франки, а 55,74% - в австралийские доллары).
ЦБ РФ считает оптимальным по бивалютной корзине соотношение, близкое к 45% EUR и 55% USD. Это в пересчете на национальную валюту соответствует следующим параметрам портфеля (табл. 3):
Е = 2,169%; ор = 5,656%в среднем за квартал, т. е. ЦБ допускает возможность увеличить по сравнению с портфелем наименьшего риска эквивалентную рублевую доходность на 0,379% за счет увеличения риска на 0,9660%. Это допущение, на наш взгляд, весьма разумно. В самом деле, годовая инфляция, по данным Росстата, составляла в 2008 г. 13,3%; 2009 г. - 8,8; 2010 г. - 8,8; 2011 г. - 6,1; 2012 г. - 6,6%. Отсюда среднегодовая инфляция
Н ср = 5/(1 + 0,133)(1+ 0,088X1+ 0,088X1+ 0,061)(1+ 0,066)-1 = 0,0869(8,69%).
Т а б л и ц а 3
Ожидаемые доходности и стандартные отклонения валютных портфелей при разных пропорциях валют
Портфель EUR - USD Доля евро Доля долларов США Ер, % Ор, %
Ц Ц, % Ц Ц, %
1 1,00 100 0,00 0 1,790 4,690
2 0,90 90 0,10 10 1,859 4,725
3 0,80 80 0,20 20 1,928 4,829
4 0,70 70 0,30 30 1,997 4,997
5 0,60 60 0,40 40 2,066 5,223
6 0,55 55 0,45 45 2,101 5,356
7 0,50 50 0,50 50 2,135 5,501
8 0,45 45 0,55 55 2,169 5,656
9 0,40 40 0,60 60 2,204 5,822
10 0,30 30 0,70 70 2,273 6,180
11 0,20 20 0,80 80 2,342 6,569
12 0,10 10 0,90 90 2,411 6,984
13 0,00 0 1,00 100 2,480 7,420
Портфель CHF-AUD Доля швейцарских франков Доля австралийских долларов Ер, % Ор, %
Ц Ц, % Ц Ц, %
1 1,00 100 0,00 0 3,200 3,600
2 0,90 90 0,10 10 3,172 3,354
3 0,80 80 0,20 20 3,144 3,142
4 0,70 70 0,30 30 3,116 2,972
5 0,60 60 0,40 40 3,088 2,852
6 0,55 55 0,45 45 3,074 2,813
7 0,50 50 0,50 50 3,060 2,788
8 0,45 45 0,55 55 3,046 2,778
9 0,40 40 0,60 60 3,032 2,784
10 0,30 30 0,70 70 3,004 2,839
11 0,20 20 0,80 80 2,976 2,951
12 0,10 10 0,90 90 2,948 3,1141
13 0,00 0 1,00 100 2,920 3,320
rro„ = " „ , = 0,0026- 0,26%.
rro„ = ——, = -0,012329- -1,23%.
Реальная годовая эквивалентная рублевая доходность по бива-лютному портфелю при соотношении 45% х 55%, рассчитанная по
i — h
формуле Фишера r =-, составит
1 + h
0,0897—0,0869
1 + 0,0869
Если же подобный расчет провести для ожидаемой доходности портфеля наименьшего риска, то получим
0,0735—0,0869
1 + 0,0869
Доходность оказалась отрицательной, т. е. если бы ЦБ РФ предпочел для валютной пары портфель минимального риска (фактически все в евро), то в рублевом эквиваленте деньги подвергались бы эрозии.
При соотношении 45% х 55% этого не происходит, деньги даже наращивались, но с доходностью всего 0,26% годовых. Правда, реальную доходность можно было значительно увеличить, если валютные запасы полностью перевести в доллары США. В этом случае параметры портфеля следующие (см. табл. 3): E = 2,48%; о = 7,42% в среднем за квартал.
Годовая номинальная ставка в рублевом эквиваленте составит £ртод = (1 + 0,0248/— 1 = 0,1029-10,29%. При этом реальная доходность
0,1029—0,0869
г =-= 0,0147- 1,47%. Однако ЦБ РФ счел этот вариант
д 1 + 0,0869
неприемлемым, ибо по сравнению с минимальным риском риск вложения увеличивается на 7,42 - 4,69 = 2,73% в квартал.
Любопытно, что подобные расчеты для бивалютного портфеля, правда, с меньшей точностью (без учета логнормальности распределения валютных курсов), приведенные одним из авторов данной работы для периода с 1 января 1999 по 31 декабря 2001 г., дали прямо противоположный результат1. Портфель наименьшего риска тогда на 88,95% должен был состоять из долларов США и только на 11,05% - из евро. При этом риск портфеля, включающего в себя только USD, был более чем в полтора раза меньше, чем риск портфеля, включающего в себя только EUR. Аналогичная картина высветилась в тот период и для би-валютного портфеля доллар США - японская йена. Портфель минимального риска должен был на 89,35% состоять из USD и только на 10,65% - из JPY. При этом риск вложения только в доллары был также почти в полтора раза ниже, чем только в йены, т. е. в 1999-2001 гг. дол-
1 Cm.: Semenov V. P. Proportion of Least Risk Currensy Portfolio // Studies on Russan Economic Development. - 2003. - Vol. 14. - N 6.
лар США был наименее рискованной валютой с точки зрения вложения в нее национальной российской валюты. И это при том, что по сравнению с другими резервными мировыми валютами вложения рублей именно в американские доллары давали в полтора-два раза большую доходность.
Другими словами, на рубеже столетия доллар как инвестиционная валюта не имел конкурентов. Как видно из приведенных здесь расчетов, за последнее десятилетие ситуация кардинально изменилась и доллар США стал наиболее рискованной и далеко не самой доходной валютой, по крайней мере с точки зрения вложений в него рублевых накоплений. Особенно ярко это иллюстрируется при анализе портфеля швейцарский франк - австралийский доллар. Портфель наименьшего риска здесь имеет параметры Е = 3,0439%; о = 2,7781% в
p min p min
среднем за квартал, что достигается при ^^ = 0,4426, т. е. 44,26% портфеля должны составлять CHF и 55,74% - AUD.
При этом годовая доходность портфеля составит
Е_ = (1 + 0,0304)4 » 0,1273~ 12,73%.
ггод = „ , = 0,0372~ 3,72%,
Реальная годовая доходность составляет 0,1273-0,0869
1 + 0,0869
что следует признать очень хорошим результатом.
В самом деле, бивалютный портфель СИБ - АИЭ, имеющий пропорции ~45% ^ 55%, с точки зрения вложения национальной российской валюты обладает большой инвестиционной привлекательностью, являясь в определенной степени оптимальным, т. е. он в значительной мере удовлетворяет пожеланиям инвестора в отношении доходности и риска. Конечно, это заключение относится только к временному отрезку 2008-2012 гг., ибо сделано на основании обработки статистических данных именно за этот период.
Как было ранее отмечено, 10-13 лет назад ситуация была иной. Какой она будет в мировой, американской, российской экономике, на валютном рынке в ближайшие 3-5 лет не может сказать никто. Однако один вывод представляется нам бесспорным. При разработке стратегии сохранения и наращения сбережений необходимо шире использовать диверсификацию вложений. Объектами валютных инвестиций должны быть не только доллар США и евро, но также и валюты, которые на деле доказали свою инвестиционную привлекательность, например, швейцарский франк или австралийский доллар. Этот вывод тем более актуален, ибо проводимая ФРС США политика финансового количественного смягчения имеет непредсказуемые последствия.
Список литературы
1. Звонова Е. А. Анализ сценариев развития мировой валютной системы в посткризисный период // Вестник Российского экономического университета имени Г. В. Плеханова. - 2012. - № 10 (52). -С.39-46.
2. Рябикин В. И., Семенов В. П. Доходность денежных сбережений в инфляционной экономике / / Финансы. - 1996. - № 10, 11.
3. Семенов В. П., Рябикин В. И. Методы расчета эквивалентной доходности (в национальной валюте) вложений в иностранную валюту // Финансы. - 2013. - № 4.
4. Энциклопедия финансового риск-менеджмента / ред. А. А. Лобанова, А. В. Чугунова. - М. : Альпина бизнес букс, 2009.
5. Markowitz H. W. Portfolio Selection: Efficient. Diversification of Investments. - New York : Wiley, 1959.
6. Semenov V. P. Proportion of Least Risk Currensy Portfolio / / Studies on Russan Economic Development. - 2003. - Vol. 14. - N 6.
7. Sharp W. F. Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk // Journal of Finance. - 1964. - Vol. 19 (September).
References
1. Zvonova E. A. Analiz szenariev razvitiya mirovoi valyutnoi sistemy v postkrizisnyi period / / Vestnik Rossiyskogo ekonomicheskogo universi-teta imeni G. V. Plechanova. - 2012. - N 10 (52). - S. 39-46.
2. Ryabikin V. I., Semenov V. P. Dohodnosf denezhnyh sberezheniy v inflyacionnoi economike // Finansy. - 1996. - N 10, 11.
3. Semenov V. P., Ryabikin V. I. Methody rascheta ekvivalentnoi do-hodnosti (v nacional'noy valyute) vlozheniy v inostrannuyu valyutu / / Fi-nansy. - 2013. - N 4.
4. Enciclopedia finansovogo risk-menedzhmenta / red. A. A. Lobanova, A. V. Chugunova. - M. : AFpina biznes books, 2009.
5. Markowitz H. W. Portfolio Selection: Efficient. Diversification of Investments. - New York : Wiley, 1959/
6. Semenov V. P. Proportion of Least Risk Currensy Portfolio // Studies on Russan Economic Development. - 2003. - Vol. 14. - N 6.
7. Sharp W. F. Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk // Journal of Finance. - 1964. - Vol. 19 (September).
