О профилировании сверхзвуковых частей гофрированных пространственных сопл Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м XX

19 89

№ 5

УДК 533.6.071,1 : 62 — 225

О ПРОФИЛИРОВАНИИ СВЕРХЗВУКОВЫХ ЧАСТЕЙ ГОФРИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СОПЛ

М. П. Левин

Рассматривается задача профилирования сверхзвуковых частей пространственных сопл, реализующих на выходе равномерный поток с заданным числом Маха. Приведены примеры расчета формы таких сопл, являющихся поверхностями тока в пространственном течении и имеющих выходное сечение заданной формы. Показано, что длина таких сопл может быть меньше длины аналогичных сопл, являющихся поверхностями тока в осесимметричном течении.

С помощью пространственных сопл в рабочих частях аэробаллистических стендов, установок с МГД-разгоном, газодинамических лазеров и т. п. можно создавать равномерный сверхзвуковой поток с заданным числом М. Поперечное сечение рабочей части, как правило, считается заданным. Формы таких пространственных сопл могут быть получены в результате расчета осесимметричного течения, реализующего выход на равномерный поток, и последующей вырезки поверхности тока, имеющей заданное выходное сечение [1]. В пространственных течениях, в отличие от осесимметричных, замыкающие характеристические поверхности, отделяющие область равномерного сверхзвукового потока с заданным числом Ма, могут быть выбраны не единственным способом. Вопросы, связанные с выбором таких поверхностей обсуждаются в работе [2].

1. Будем рассматривать стационарные безвихревые течения невязкого нетеплопроводного газа. Для таких течений векторное поле скоростей V(г), где г—радиус-вектор, удовлетворяет уравнениям

где = — ра 2(К-^У), й2= (%—1) [(и + 1)/(х— 1) — уз]/2. Здесь р— плотность газа, а —скорость звука, % — показатель адиабаты.

Первое уравнение системы (1) позволяет ввести в рассмотрение пространственные функции тока ^ и % такие, что

При М=|К/а|>1 уравнения (1) имеют гиперболический тип и через любую гладкую пространственную кривую, удовлетворяющую условию сверхзвуковой кромки, проходят волновые характеристические поверхности первого и второго семейств. Единичные векторы п, направленные по нормали к этим поверхностям, удовлетворяют условию направлений

(Ну (рУ) = 0, го! V = О,

(1)

рК= дф X Дх-

V •п = а.

Рассмотрим задачу профилирования сверхзвуковой части пространственного сопла, реализующего на выходе равномерный поток с числом Ма =3,179 и показателем адиабаты х= 1,4. Пусть ось х совпадает с направлением равномерного потока. Начальные данные зададим на осесимметричной характеристической поверхности из работы [3], проходящей через окружность единичного радиуса в сечении х=0 и точку А на оси х (хА = 2,808), в которой число М=Ма.

В качестве замыкающей характеристической поверхности (поверхности первого семейства), рассмотрим поверхность следующего вида. Поместим в плоскости х=хА+гв (М|-1)1/2 правильный звездообразный (/-угольник. Здесь г в — радиус вписанной в этот многоугольник окружности. Из вершин этого многоугольника, лежащих на вписанной окружности, выпустим полубесконечные конуса с полууглом раствора а=агс5Ш (1/МА). Оси этих конусов параллельны оси х и направлены в сторону, противоположную направлению оси х. Боковая поверхность пирамидообразного тела, получающегося в результате пересечения конусов, представляет собой первую часть замыкающей характеристической поверхности. Вторая часть замыкающей характеристической поверхности является частью боковой поверхности пирамиды с плоскими гранями. Грани этой пирамиды проходят через стороны рассматриваемого многоугольника и принадлежат плоскостям, касающимся конуса с полууглом раствора а, вершина которого совпадает с вершиной пирамиды и расположена на оси х в точке х=хА. Направление оси этого конуса совпадает с направлением оси х. Типичная форма замыкающей пространственной характеристической поверхности изображена на рис. 1.

Для решения задач определения пространственных течений с такими замыкающими характеристическими поверхностями использовался подход, разработанный в работах [4, 5]. В соответствии с ним исходная некорректная задача с данными на характеристических поверхностях первого и второго семейств заменялась рядом последовательных задач обтекания параметризованной стенки, решавшихся с помощью развитого в работах [6, 7] варианта численного метода пространственных характеристик. Параметры, определяющие форму стенки, находились в процессе минимизации невязок условий совместности в точках замыкающей характеристической поверхности, принадлежащей первому семейству. Условия совместности рассматривались на характеристических поверхностях второго семейства.

Одновременно с определением пространственного течения с заданной замыкающей характеристической поверхностью решалась задача определения пространственных функций тока г|) и % на замыкающей характеристической поверхности и в самом пространственном течении. При этом использовались конечно-разностные аппроксимации следующих соотношений из работы [8]

= — (т/г) [и — (ни/г) (йлг/Л?)]-1,

(г = 1; 2; 0, = ф, 02 = х)>

справедливых вдоль проекций линий тока на меридиональные плоскости йг/бЬе = [и — (т/г) (йг/йср)] [и —(т/г) (йг/й<?)]-1.

Здесь х, г, ф — цилиндрические координаты, и, V, т —- компоненты вектора скорости в цилиндрической системе координат. Полные производные по х вычисляются вдоль проекций линий тока, а полные производные по ф — вдоль линий пересечения характеристических поверхностей первого и второго семейств. .

На начальной осесимметричной характеристической поверхности функции тока ф и х задавались так, что ^=1 и лг=0 и г= 1 и г|з=0,5 прй х—хА, г=0, а %—ф на всей поверхности.

2. Задавая зависимость ■ф=ф(х) на выходном контуре сопла, в области рассчитанного пространственного течения можно выделить поверхность тока, проходящую через указанный контур.

Расчеты проводились для случая <7=16. На рис. 2, а представлены образующие поверхности тока пространственного течения с замыкающей характеристической поверхностью, изображенной на рис. 1. На этой поверхности зависимость г|)=1|э(х) имела следующий вид

На рис. 3, а представлены аналогичные образующие для случая зависимости ■ф=г|)(Х) следующего вида

Пунктиром на рис. 2, а и 3, о изображены продолжения образующих выделенных поверхностей тока до плоской переходной поверхности и до поперечного сечения x=L ma х где Lmax — длина максимальной образующей. Продолжение образующих до поперечного сечения х= Lmах осуществлялось прямыми, параллельными оси х. Поперечные сечения продолженных поверхностей тока плоскостями х=const изображены на рис. 2, б и 3, б соответственно.

Отметим, что поскольку рассмотренная замыкающая характеристическая поверхность в пространственном случае в целом расположена выше по потоку по отношению к аналогичной осесимметричной поверхности, начинающейся в той же точке оси х, то длина сопл, имеющих заданное некруглое выходное сечение и являющихся по-

ф = 0,617 + sin х , 0 <х<"/9-

ф = cos 2х — 0,0001, 0 < 1 лjq .

2

г

I

0

г

в

1

ф=тс /8

--5-п./48 :~ъ/12

-2

Рис. 2

Рис. 3

верхностями тока в пространственном течении, может быть меньше длины аналогичных сопл, являющихся поверхностями тока в осесимметричном течении. Сопоставление длин сопл для двух рассмотренных примеров представлено в следующей таблице:

Пример 1 2

гшах 2,192 2,208

^•тах 8,450 9,440

9,423 9,471

Здесь /"шах —максимальное значение координаты г на выходной кромке, /.щах — длина максимальной образующей сверхзвуковой части пространственного сопла, I.$ — длина аналогичного сопла, являющегося поверхностью тока в осесимметричном течении

= ХА Г щах (М|д — О*2)-

Как видно из этой таблицы, в первом примере длина сверхзвуковой части сопла, являющегося поверхностью тока в пространственном течении, оказалась на 10% меньше длины аналогичного сопла, являющегося поверхностью тока в осесимметричном течении.

ЛИТЕРАТУРА

1. Верховский В. П. Численный расчет сверхзвуковых профилированных пирамидальных сопл (осесимметричное течение). — «Ученые записки ЦАГИ», 1979, т. 10, № 3.

2. Б о р и с о в В. М. О структуре решений при оптимизации формы сверхзвуковых пространственных каналов. — М.: ВЦ АН СССР, 1987.

3. К а ц к о в а О. Н., Ш м ы г л е в с к и й Ю. Д. Таблицы параметров осесимметричного течения свободно расширяющегося газа с плоской переходной поверхностью. — М.: Изд-во АН СССР, 1962.

4. Л е в и н М. П. Об оптимальных поверхностях тока в сверхзвуковых пространственных течениях. — Ж. вычисл. матем. и матем. физ.,

1982, т. 22, № 4.

5. Левин М. П. Метод контрольной поверхности в пространственных вариационных задачах газовой динамики.— М.: ВЦ АН СССР, 1983.

6. Л е в и н М. П. Схема метода пространственных характеристик с использованием бихарактеристических соотношений. — М.: ВЦ АН СССР»

1985.

7. Борисов В. М., Михайлов И. Е. К расчету сверхзвуковых пространственных течений в каналах, имеющих излом в поперечном сечении.— Численные методы механ. сплошной среды, Новосибирск, 1986, т. 17, № 2.

8. Борисов В. М., Михайлов И. Е. Метод характеристик для расчета пространственных сверхзвуковых безвихревых течений. — Ж. вычислит. матем. и матем. физ., 1978, т. 18, № 5.

Рукопись поступила 20/VII 1988 г.