CC BY
29
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XVIII 1987
№ 5
УДК 533.6.011.5
О ПРОФИЛИРОВАНИИ СВЕРХЗВУКОВЫХ плоских И ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ КАНАЛОВ СЕТОЧНО-ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И ИНТЕГРАЛЬНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
И. Э. Иванов, В, И. Киреев
Применительно к профилированию сверхзвуковых плоских или осесимметричных каналов, исходя из характеристических свойств гиперболической системы уравнений Эйлера и условий разрешимости уравнений на частично определенных границах, в системе координат х, у сформулированы параметрические смешанные краевые задачи с граничными условиями, заданными в виде функций. На основе сеточно-характеристи-ческого метода по слоям лг=сопз1 построена устойчивая схема решения этих задач с граничным условием в виде уравнения движения в проекции на нормаль к искомой линии тока и показана возможность применения граничного условия в виде интеграла сил давления вдоль стенки.
С использованием указанного дифференциального соотношения проведено исследование влияния разрыва кривизны в конических соплах на характер течения в них.
При решении прямых задач газовой динамики в идеальной постановке в настоящее время широко используются смешанные краевые задачи с данными Коши, определяющими полностью сверхзвуковое течение на границе П, являющейся некоторым сечением или характеристикой первого С+ или второго С- семейства и граничными условиями по давлению р или углу наклона скорости потока 0 на некоторой кривой Г2, являющейся линией тока (стенкой сопла, границей струи) [1, 2\. Граница Г4 будет называться полностью определенной границей, а Гг — частично определенной границей. В работах [3, 4] применительно к обратной задаче численного профилирования переходных частей сверхзвуковых каналов отмеченные смешанные краевые задачи обобщены для произвольной ориентации границы Г2, задаваемой как вдоль, так и поперек потока. В данной статье, исходя из характеристических свойств гиперболической системы уравнений Эйлера, описаны параметрические смешанные краевые задачи с граничными условиями в виде дифференциальных и интегральных связей. Приведены конкретные результаты, свидетельствующие о приемлемости указанных гранич-
ных условий и о их некоторых возможностях. Для линейной гиперболической системы данное обобщение смешанных краевых задач разработано в работе [5].
1. В декартовой или цилиндрической системе координат х, у для неизоэнтропического плоского осесимметричного сверхзвукового течения рассматривается класс смешанных краевых задач с двумя границами Г( и Г2, связанными в точке К (рис. 1). Предполагается, что течение идеальное, газ совершенный, характеризующийся некоторым постоянным показателем адиабаты х = Ср/с„.
Пусть на границе Г4 заданы все параметры р, 0, W, р, определяющие сверхзвуковое течение (W—модуль вектора скорости, р—плотность). Выбор данных функций обусловлен применением для расчета профилей сверхзвуковых каналов сеточно-характеристического метода по слоям х = const [6].
Количество граничных условий на границе Г2, которые могут быть выбраны в виде приведенных ниже функциональных, дифференциальных и интегральных соотношений, соответствует степени параметрич-ности задачи, отвечающей, в свою очередь, количеству отдельных характеристических областей влияния данных на границе Ti, которым принадлежит граница Г2. Для их определения из концов границ Гь Г2 проводятся характеристики С+, С~, С0. Характеристики С+, С~ определяют четыре отдельные характеристические области влияния: C+(ri), C“(ri), С+(Г2), С~(Г2)—по две области на границу, а С0—две области С°(Г1), С°(Г2)—по одной (вырожденной) области на границу (см. рис. 1). В приведенных обозначениях верхний индекс « + », или «—», или 0 — указывает на семейство характеристик, а в скобках указана граница, порождающая данную область. Области С±(Гг)(г=1, 2^ образуют четыре угловые характеристические области Сг (7=1, 2, 3, 4), из которых каждая пара смешанных областей являются сильно связанными (или зависимыми по характеристикам С+, С~), а каждая пара противоположно расположенных — слабо связанными по С+, СХарактеристика С° разбивает угловые области Ci и С3 на две: С+о,
Сз+о; С -о, ¿*3-0, имеющие непустые и пустые пересечения с областью влияния C°(ri). Указанные области С{ и С.±о (¿=1, 3) введены для удобства дальнейшего рассмотрения задачи. Число граничных
(краевых) соотношений на частично определенной границе устанавливается не по числу отходящих от нее характеристик, выделение которых не дает полного представления о характере смешанной краевой задачи, а по числу отдельных характеристических областей влияния границы Г!, в которых ориентируется граница Гг.
Число последних соответствует числу уравнений совместности, выполняющихся вдоль С+, С~, С0, отходящих от Г4. Тогда число граничных условий на фиксированной (т. е. заданной до расчета) частично определенной границе Г2 принимается равным разности п2 = п—пь где п — общее число параметров, полностью характеризующих течение, а щ — число характеристических соотношений или отдельных характеристических областей влияния, соответствующих характеристикам С+, С~, С0, приходящим от Г4 на Г2. Для характеристик С+, С~ п± = 1, а для характеристик С0 п\ = 2. В отличие от фиксированных свободные поперечно-ориентированные границы Г2, пересекающие поток, могут в процессе решения смешанной краевой задачи варьироваться по определенному направлению 7 внутри угловых характеристических областей, образующихся характеристиками, составляющими отдельные характеристические области влияния. Это позволяет путем возможного изменения положения Г2 по направлению I изменять один дополнительный параметр или вводить в рассмотрение одно дополнительное соотношение. В связи с этим количество условий (параметров) на свободной границе Г2 возрастает на единицу. Возможны разные сочетания размещения границ П и Г2 в различных угловых характеристических областях.
Для иллюстрации формулировок параметрических смешанных краевых задач рассмотрим случай, когда Г! £ С^+о, а граница Г2
Л Л Л Л
ориентирована в угловых областях С2, С3+о, Сз_о5 С4 (двойные сплош-
ные линии на рис. 1):
Л
а) Г2£С2 (линия 1). Если Г2£С+(Г,) и Г^С0^) (участок КВ), то пх*= л+ + п\ — 3; п2= 1. Задача с фиксированным участком КВ однопараметрическая и двухпараметрическая — со свободным участком. Для участка ВС, выходящего из С0^), степень параметричности возрастает на 2;
б) Г2^Сз+0 (линия 2). Тогда, если Г2£С°(Г,) (участок КВУ)
п1 = п01 = 2, и смешанная краевая задача с фиксированным участком
двухпараметрическая, а со свободным — трехпараметрическая. Участок В1С1 не принадлежит ни одной отдельной характеристической области влияния и потому он является полностью определенным (задача четырехпараметрическая) ;
Л
в) Г2^С4 (линия 3). Тогда Г2£С_(Г,); пх = гг= 1; п2 = 3 — трехпараметрическая (четырехпараметрическая) задача с фиксированной (свободной) границей Г2 (Г2);
Л
г) Г2£ Сд_о (линия 4). Граница Г2 не принадлежит ни одной области влияния и потому она является полностью определенной. Смешанная краевая задача сводится к однограничной задаче Коши.
Аналогично может быть рассмотрен случай ориентации границы
Л
Г! в угловой характеристической области С2. Тогда при Го_£Сг+о — линии тока, реализуется однопараметрическая смешанная краевая за-
дача, соответствующая прямым задачам о внутреннем струйном течениях или течении около боковой поверхности тела.
Перейдем теперь к описанию граничных условий в рассматриваемых смешанных краевых задачах.
На произвольно ориентированных частично определенных границах в качестве граничных условий могут быть приняты функциональные, дифференциальные или интегральные соотношения:
/»2 = /».(«); (1)
е2 = М*); (2)
и
-j-dp — dh{s) = 0\ ^—cpdT = oy, (4)
Xi
Рг №) = J pyJ tg 8 dx = j Fp, (p, 0, yi) dx; (5)
и о
y' r*1
h {S%) = j (p + pW2 cos 0) yi dy = j Fi, (p, 0, yi) dy. (6)
о 0
Уравнения (3) — (4) представляют различные формы уравнения движения вдоль линии тока: уравнение (3) —проекция уравнения движения на нормаль к контуру выражает связь сил давления с кривизной линии тока; соотношение (4) есть разновидность уравнения движения. Соотношения (5) и (6) — выражения для интеграла сил давления вдоль искомого контура сопла и для импульса в его выходном сечении. В данных уравнениях h — энтальпия; Т — температура; / = 0 ДЛЯ ПЛОСКОГО и /=1 ДЛЯ осесимметричного течений; Ср — теплоемкость при постоянном давлении; s — берется по направлению границы Г2. Нижний индекс в формулах соответствует индексу границы; хи г/i — соответствуют координатам кромки профилированного сопла.
Уравнения (1) — (4) могут быть заданы как вдоль поперечно-ориентированных границ (не линий тока), так и вдоль линий тока, условия (5)—только вдоль линии тока, а (6)—только вдоль поперечноориентированной границы Г2. Возможность задания дифференциальных и интегральных соотношений обусловлена их характером и разрешимостью этих условий совместно с характеристическими соотношениями. Подчеркнем, что соотношения (3), (5) и (6) связывают, также как и характеристические соотношения [6], р и 0, а (4) — р и h. Последние указывают на возможность задания в качестве граничных условий h(s2) или Т (s2) в случае совершенного газа. Условия (3) и (5) предполагают задание вдоль Г2, являющейся линией тока, рпг\х), Р2(х) (или Fp,(x) ), а условие (6) —h(y)—вдоль поперечно-ориентированной границы Г2. Отметим, что граничное условие в виде дифференциального уравнения в частных производных применительно к смешанной задаче для нестационарного волнового уравнения использовалось в [7].
2. Рассмотрим особенности построения алгоритма профилирования сверхзвуковых каналов на основе однопараметрических внутренних (и
Л Л
струйных) задач с Г, £ С2, Г2 £ С3+о с условиями (1), (3), (5) и (6). Условия (1) и (2) используются для решения прямых внутренних и струйных задач, из которых вычисляются функции рп2(х), Р2(х) или Fp/(x). Как прямые задачи, так и задачи профилирования решаются сеточно-характеристическим методом по слоям х = const [8]. Основные
расчетные формулы приведены в [6]. Отметим только основные особенности универсальной программы, составленной на языке Фортран-1У. Программа позволяет решить смешанные краевые задачи как в гладких плоских и осесимметричных соплах, так и в соплах с угловой точкой, которая рассчитывается с использованием течения Прандтля— Мейера. В программе предусмотрена возможность расчета однослойных и двухслойных течений в кольцевых каналах при различных спо-
собах задания данных Коши на границе rt^C2. Граница Г4 может быть сечением х = const, либо характеристикой С~, либо другой кривой, не совпадающей с характеристикой С~. Предусматриваются различные способы аппроксимации таблично задаваемых стенок сопл (контуров). При отработке программы показано, что наибольшая точность в прямых задачах с заданными х{, г/, в узлах достигается заданием граничных условий (2) в виде таблицы значений Xu i»(*)=tg 0tM> использованием' квадратичной интерполяции для вычисления в текущей точке и определением t/i по gi с помощью решения задачи Коши
~~dx ?(л:о)=Ео по формуле Эйлера с пересчетом. Алгоритм ре-
шения прямой задачи апробирован на тестовых расчетах путем сравнения результатов расчета течений в соплах с равномерной характеристикой Н2 выходе, спрофилированных Л. В. Пчелкиной классическим методом характеристик [9]. Сравнение показывает, что локальные параметры на контуре совпадают с точностью 0,1%, интегральные характеристики: интеграл Р, коэффициент трения и рассеивания — 0,08;%. Получаемые в расчете координаты узловых точек контура отличаются от заданных на величину, не превышающую 0,01 %, что находится в пределах ошибки измерений контура.
Рассмотрим теперь особенности расчета текущей точки 3 на границе Г2 (контуре сопла) с заданным вдоль нее рп2(х) [случай 1, граничное условие (3)] и Р2(х)(или Рр2(х)) [случай 2, граничное условие (5)]. Для расчета параметров в точке «3» используются два уравнения характеристик С+, С° и три соотношения вдоль них. Краевое, условие (3) или (5), записанное в характеристических переменных, замыкает задачу:
При построении численного решения на границе уравнение (7) преобразуется к разностной форме
где А — коэффициент при рп г, нижними индексами 0 и 3 обозначены параметры в предыдущей [известной точке 0 на контуре и в текущей (рассчитываемой) точке 3}. Уравнение (8) при задании />2(х) дифференцированием приводится к виду:
При задании Р2 (*,) уравнение связи Рг с р3Е3, у’ъ получается по квадратурной формуле. В нулевом приближении параметры рв, 83,
А
= — />»,(*/) (случай 1), (7)
ах
(8)
о
о
(9)
Р'ъ (*3) = ¿а (*■) = Ръ Уз-
(Ю)
W3, р3 принимаются равными их значениям в предыдущей точке 1
на характеристике С+. Определяя из уравнений характеристик С+, С0 координаты х3, у3 по интерполированным значениям (рп2)3, (^2)3 из (9) или (10) вычисляется £3 в первом приближении. Величина ръ после этого рассчитывается из разностного аналога характеристического соотношения. Значения W3 и р3 определяются, как обычно, из характеристических соотношений вдоль С0. Процесс повторяется до сходимости.
3. На основе сеточно-характеристического метода по слоям х = = const построены устойчивые схемы решения смешанных краевых задач с функциональными и дифференциальными граничными условиями на частично определенной границе Г2, являющейся искомой линией тока. Показана также возможность применения граничного условия в виде интеграла сил давления вдоль искомой стенки. Тестирование программы проводилось с помощью сравнений соответствующих численных решений, полученных на основе смешанных краевых задач с условиями (2) и (3), а также (2) и (5). В задачах с условиями (3) и (5) задавались функции pn2{Xi) и Fp2(Xi), рассчитанные при решении задачи с условием (2). В качестве объекта для сравнения результатов, полученных с использованием условия (5), выбрано коническое сопло с полууглом образующей конуса а=15° и радиусом закругления трансзвуковой части /?, =/?2/.У* = 0,5. Здесь у*—-радиус критического сечения, а в качестве границы Ti принята равномерная характеристика С~, соответствующая числу М=1,01 и углу 0 = 0. В таблице приведены результаты двух численных решений, полученных С УСЛОВИЯМИ ПО 02 (*г) [условие (2)] и Fp2(Xi) [условие (5)].
X У1 У2 Si £2 Л А
0 1,0000 1,0000 0 0 0 0
0,05 1,0025 1,0025 0,10050 0,10142 0,0086444 0,0086439
0,1 1,0101 1,0102 0,20412 0,20822 0,028551 0,028549
0,2 1,3060 1,3070 0,26801 0,27126 0,07743 0,077412
0,5 1,1164 1,1162 0,26801 0,26485 0,203611 0,20265
1.0 1,2504 1,2497 0,26801 0,26812 0,35425 0,353116
2,0 1,5184 1,5194 0,26801 0,27224 0,50993 0,509259
Параметры с нижним индексом 1 и 2 в таблице относятся к решениям с условиями (2) и (5) соответственно. Из таблицы видно, что различие в интегралах Р1 и Р2 при х = 2 достигает 0,1%. Аналогичное сравнение решений задач с условиями (2) и (3) указывает на хорошее их согласование.
На основе граничного условия (3) в работе проведено исследование влияния разрыва кривизны в конических соплах на характер течения в них с учетом криволинейности звуковой линии. Изучалось влияние различных непрерывных и разрывных распределений рп2(х) на формирование обратного градиента давления на стенке в окрестности стыка радиусной и конической частей сопла и на формирование ударной волны. Исследование проводилось для сопла с Я2=0,5 и а=15°. В качестве начальных данных принимались параметры на характеристике С", полученные в работе [9] для сопла с радиусом скругления докритического участка /?1 = 0,5.
На рис. 2, а кривыми 1, 2, 3, 4 и 5 обозначены выбранные для исследования зависимости Рпг(я). Соответствующие этим условиям стенки спрофилированных по ним каналов показаны на рис. 2, б. Кривые 1
отвечают исходному коническому соплу, кривые 2, 3 на рис. 2, а приняты в виде сглаженной кривой 1, у которой ликвидирован разрыв Рп2(х). [На коническом участке рпг{х)= 0]. Полуугол образующей конуса а для спрофилированных каналов 2 и 3 получается близким к его значению для сопла 1 (а2=14,7°, а3= 14,34°). Функции рпі{х) для случаев 4 и 5 выбраны таким образом, чтобы в закритической области
течения обеспечивался более интенсивный разгон потока. Данный характер зависимости рпг(х) в виде «ложки» реализуется в соплах, спрофилированных с помощью решения задачи Гурса с прямолинейной выходной характеристикой. Кривая 5 (рис. 2, а) выбрана непрерывной, а кривая 4 — разрывной. На рис. 3 приведены зависимости по х распределений давлений вдоль стенки (рис. 3, а) и оси (рис. 3, б) спрофилированных каналов.
Анализ рис. 2 и 3 показывает, что с помощью заглаживания разрыва кривизны контура можно уменьшить разрыв производной по х от давления вдоль стенки (кривые 2 и 3 на рис. 3, а), а также амплитуду возрастания давления в зоне положительного градиента давления (кривые 4, 2 и 3 на рис. 3, а).
Во всех каналах, спрофилированных по выбранным распределениям рпг(х), на стенках реализуются положительные градиенты давления, величины которых для всех случаев являются примерно одинаковыми (см. рис. 3, а), а также ударные волны (см. распределение давления по оси сопла, рис. 3,6). Это подтверждает результаты работ [10, 11], в которых указано на определяющее влияние неоднородности течения в критическом сечении сопла на характер течения в зоне сопряжения радиусного и конического участков сопла.
ЛИТЕРАТУРА
1. Мизес Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости.—М.: Изд. иностр. лит-ры, 1961.
2. К очи и Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика.— М.: Физматгиз, 1963.
3. К и р е е в В. И. Смешанные краевые задачи теории сверхзвуковых стационарных течений. — М.: ВИНИТИ, деп. рук. № 1216, 1986.
4. Войновский А. С., Киреев В. И. О смешанных краевых задачах профилирования сверхзвуковых сопел и каналов. — Изв. АН СССР, сер. механ. жидкости и газа, 1983, № 4.
5. Иванов И. Э., Киреев В. И. О смешанной краевой задаче для гиперболической системы. — Изв. ВУЗов, сер. Математика, 1986, № 5.
6. А ш р а т о в Э. А., Волков В. А., Киреев В. И., Овсянников А. М. Численный метод характеристик расчета неравновесных стационарных и нестационарных течений газа с учетом двухфазности и алгоритмы его реализации.— М.: МАИ, 1980.
7. Годунов С. К., Гордиенко В. М. Смешанная задача для волнового уравнения. — Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1977.
8. И в а н о в И. Э., Киреев В. И. Исследование двухслойных течений в сверхзвуковых соплах с разрывом кривизны и изломом контура.— М.: МАИ, Сб. тезисов VIII Всесоюзной конференции; по динамике разреженных газов, 1985.
9. П и р у м о в У. Г., Росляков Г. С., Маслов Г. Н., Пчелки на Л. В., Киреев В. И., Волков В. А., Прохоров М. Б., Б а-зарбаев А. А., Кувшинников Н. Д. Пакет прикладных программ по численному решению некоторого класса задач внутренней газовой динамики.— В кн.: Комплексы программ математической физики. — Новосибирск, 1980.
10. Пирумов У. Г., Росляков Г. С. Течение газа в соплах.—
М.: МГУ, 1978.
11. Дроздова Н. В., Пирумов У. Г., Росляков Г. С., Сухорукое В. П. Сверхзвуковые течения в конических соплах. — В кн.: Некоторые применения метода сеток в газовой динамике, вып. VI,
МГУ, 1974.
Рукопись поступила ЗОНУ 1986 г.
