О проблеме выбора системы базисных функций при построении математической модели деформации кабеля Текст научной статьи по специальности «Математика»

международный научный журнал «инновационная наука» №1/2016 issn 2410-6070

ФИЗИКО- МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 519.62

Е.А.Алашеева

к.ф.-м.н., доцент, ПГУТИ, г.Самара А.С.Агаповичева Студентка, гр.ОИТ-31, ПГУТИ, г.Самара

О ПРОБЛЕМЕ ВЫБОРА СИСТЕМЫ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ ПРИ ПОСТРОЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДЕФОРМАЦИИ КАБЕЛЯ

Аннотация

При построении математической модели в прикладных исследованиях у студентов возникает необходимость аппроксимировать функцию по некоторым экспериментальным данным. При этом возникает проблема выбора системы базисных функций. От удачного выбора базиса зависит сходимость метода и точность полученной аппроксимации.

Ключевые слова

Кубические сплайны, базисные функции, метод наименьших квадратов, математическая модель.

Возникает проблема построить математическую модель следующей прикладной задачи: следует отыскать зависимость между деформацией модуля оптического кабеля и вероятностью увеличения потерь в нём.

Результаты эксперимента, по которым следует найти эмпирическую зависимость представим в таблице:

Таблица 1

8t 0.54 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 0.64 0.65 0.66 0.67 0.68 0.69

* Р 0.25 0.40 0.47 0.52 0.57 0.64 0.72 0.79 0.82 0.89 0.92 0.94 0.95 0.95 1 1

Здесь относительные деформации модуля 5. = А. /dnom, где ^ - внешний диаметр модуля до

деформации, А{ - деформация модуля. Среднее значение вероятности для каждой деформации для всех

к

опытов рассчитывалось по формуле: р* = ±=1_1, где к - число измерений, для каждого значения А..

И к 1 Для получения эмпирической функции для р' = f (х), воспользуемся методом наименьших квадратов [ 1,2]

Эффективность применения данного метода во многом зависит от удачного выбора базисных функций (эмпирической формулы). Выбора базисной функции экспериментальные данные необходимо представить графически (рис.1)

Рисунок 1 - Экспериментальная зависимость p от 8t

международный научный журнал «инновационная наука»

№1/2016

issn 2410-6070

Можно выбрать один из классических базисов полной области:

Разложение Фурье: А(у) « I СОЭ— + 12 COS3^У + 13 COS5^У + — 4/1 2 2 2 3 2

Разложение Чебышева: А(у) «11Т0 (у) + 12Т2 (у) + 13Т4 (у) Н----

Разложение Маклорена: А(у) « 11 +12у2 +13у4 Н----

Однако, если внимательно посмотреть на представленные на рисунке 1 точки, то можно сделать вывод, что искомая функция по форме не похожа ни на один из представленных базисов, следовательно, их использование не будет обеспечивать хорошую сходимость метода [3].

Поэтому лучше использовать один из базисов подобластей.

В отличие от рассмотренной выше системы базисных функций полной области иногда целесообразнее использовать базисные функции, определенные во всей области определения оператора Ь, но равные нулю в части этой области.

0, у < у,..

Базисные сплайны: - сплайн нулевой степени (импульс):

Г, =

yt ^ У < yi+i,

h

0, y > yi+i.

линейный сплайн:

f =

0 y < y,, 1 , y - y,

h h2 1 y - y,+1 h

У, y < y ,4

, y,41 ^ y < y,4

-кубический сплайн:

h 2 ' ^ '+1 _ J J '+2,

0, y > y,+2.

0, У < У,:

(У - ух y, ^ y < y,+

-1 + ттг (y - y.+1) + TTT (У - y.+1)2 - ^77 (y - y.+1 ^ y.+1 ^ y < у,+2, 6h 2h 2h 2h

6h + 2h2-y)+ 2h3(у-+з -y)2 - 2h4(y.+3-y)3,y+2 *y <y,+3,

6^T (У.+4 - У ^ y,+3 ^ У < Уi +4 ,

0, У > У,+4.

Кусочно-синусоидальные функции:

|7, sm k(y,+1 - y) +1+1 sm k(y - y,) sin kAy,

0, У г [у, , У,+11

У е[у, , У,+1J

Базис из сплайновых вейвлет:

=

0, y е^ y 2, ),

У - У2i h

, У e(У2,, У2,+1),

У2+2 - 7У + 6У-+1 , У ^ (У2,+1, У2, + 2 ), h

- 6 y2,+з + 16 y - 10 +2 , y ey +2, у2,+з ),

h

6 У2+3 - 16hy + 10 У-+4 , У ^(У^+3, У2,+4 ),

- У2,+4 + 7У - , y ey+4, у2,+5 ),

h

У 2,+6 - У h

У е

(y

2,+5' ^ 2,+6

),

0 у е(у2+6,+да).

Синусоидальная интерполяция: . |А + в sin к(у " у, ) + с cosк(у " у, ), у е (у, , у,+1)

' 1 о, у г (у,, у,+1).

Точки на рисунке 1 расположены так, что в качестве базисных функций лучше выбрать:

международный научный журнал «инновационная наука» №1/2016 issn 2410-6070 f (x)* y(x)= ± a.N» (x)

i=-3

где Ni 3 (x) - кубические 5-сплайны дефекта 1. Кубические 5-сплайны эффективно выбирать в качестве базисных функций, поскольку они обладают высокими аппроксимирующими свойствами. Номер

сплайна начинаем с -3, чтобы обеспечить покрытие всех точек эксперимента.

Рисунок 2 - Базис из кубических сплайнов

Рисунок 3 - Эмпирическая зависимость между деформацией модуля и вероятностью увеличения потерь

Для реализации алгоритма было выполнено программирование на языке C#. Список использованной литературы:

1. Турчак Л.И., Плотников П.В., «Основы численных методов»,-М.: ФИЗМАТЛИТ, 304с. (2003)

2. Вержбицкий В.М., «Основы численых методов», -М.: Высшая школа, 840с. (2005)

3. Алашеева, Е.А., Маслов М.Ю. Сравнительная характеристика различных систем базисных функций полной области применительно к решению интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Вестник СамГУ, 2012 ,№9, стр 14-20

© Алашеева Е.А., Агаповичева А.С., 2016

УДК 535

К.К. Алимов

К.ф-м.н., доцент Кафедра прикладной физики и нанотехнологий Чувашский государственный университет имени И.Н.Ульянова

Г.Чебоксары, Российская Федерация

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТИЦ АЭРОЗОЛЕЙ С ПОМОЩЬЮ

ИСКУССТВЕННЫХ НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ

Аннотация

Исследована возможность использования искусственных нейронных сетей для восстановления функции распределения частиц в оптической диагностике аэрозолей, основанной на обращении индикатрисы рассеяния монохроматического излучения. В качестве объекта рассмотрен аэразоль, состоящий из полидисперсных сферических частиц, функция распределения которых представляет гамма-распределение.