О проблеме нечеткости оценки длины циклов временных рядов в случае использования фрактального анализа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.86

О ПРОБЛЕМЕ НЕЧЕТКОСТИ ОЦЕНКИ ДЛИНЫ ЦИКЛОВ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ В СЛУЧАЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА

© 2007 г. В.А. Перепелица, Д.А. Тамбиева, Д.Б. Айбазов

The paper is dedicated to time sets dynamic analysis. Method of applying usual graphic representation of time sets levels has been considered from the reason of meaning accuracy increasing on the instrumental based and fractal analysis methods of memory depth val-

Настоящая работа является продолжением исследований, начатых в [1, 2] и посвященных развитию техники R/S-анализа временных рядов (ВР) [3, 4] в целях выявления и структурирования их циклической компоненты.

Предметом исследования являются как естественные ВР, посвященные объемам регионального импорта, так и искусственные «идеальные», построенные с конкретной целью выявления и более четкого определения некоторых «тонкостей» фрактального анализа этих рядов. Природа этих «тонкостей» обусловлена тем, что ряд показателей или результатов R/S-анализа этих рядов определяется зачастую визуально недостаточно четко. К числу таких показателей относится один из основных, а именно определение точки смены тренда R/S-траектории в контексте того, что номер этой точки определяет прямо или косвенно оценки глубины памяти ВР и длины квазициклов.

Для определения вышеуказанных оценок для исследуемых ВР авторами настоящей работы используются такие методы нелинейной динамики, как метод визуализации графического представления уровней ВР [4], а также последовательный R/S-анализ и фазовый анализ ВР [3, 5].

Под визуализацией ВР будем понимать построение столбчатой диаграммы ВР (рис. 1) и анализ ее структуры (локальные максимумы, минимумы, наличие циклов, периодичности в динамике ВР и др.).

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 S2 *

а

б

Рис. 1. Пример графического изображения двух квазициклов

Мы не приводим изложение методики проведения последовательного R/S-анализа и фазового анализа, поскольку она достаточно подробно представлена в [3, 5, 6]. Вместе с тем отметим принципиально важное отличие используемого нами последовательного R/S-анализа от R/S-анализа Херста, изложенного в [1, 2] и представляющего средние оценки, т.е. среднее значение таких характеристик, как длина циклов ВР, глубина его памяти, величина показателя Херста Н. Алгоритм последовательного R/S-анализа позволяет нам выявить и оценить значения этих характеристик дифференцированно вдоль всей протяженности ВР.

Все рассматриваемые в настоящей работе подходы к исследованию динамики ВР так или иначе оперируют понятиями «цикличность», «квазицикличность», «скрытая дробная квазипериодичность» [5] и т.д. При этом термины «цикл» и «квазицикл» анализируются нами применительно к эволюционным, т.е. к динами-

ue.

8

7

0

ческим процессам, что потребовало использовать специальные методы и подходы. Напомним, что в толковых словарях циклом принято называть совокупность взаимосвязанных явлений, процессов, работ, образующих законченный круг развития в течение какого-либо промежутка времени.

Пусть дан BP II - nj, 1- 2.....п.

Приведём более узкое и более конкретное определение, подразумевая под термином «цикл» при визуализации ВР многократно повторяющуюся однотипную последовательность уровней (наблюдений). При этом подразумевается, что следующие друг за другом последовательности имеют один из двух видов: либо «возрастаяние + убывание», либо «убывание + возрастание». Иными словами, в числовом ВР цикл представляет собой такую последовательность, каждый элемент которой состоит из двух частей: первая часть - возрастающая (убывающая) подпоследовательность; вторая часть - убывающая (возрастающая) подпоследовательность (рис. 1а, б). При этом подразумевается, что на смену второй части приходит подпоследовательность, подобная первой, причем длины, т.е. количество уровней, составляющих первые части, в циклах совпадают, как и длины вторых частей.

Термин «квазицикл» используем при отсутствии как строгого совпадения длин частей циклов, так и равенства числовых значений уровней. Иными словами, в определение «квазицикла» требуется лишь наличие подобия вида «возрастающая часть» - «убывающая часть» или, наоборот, «убывающая часть» -«возрастающая часть». На рис. 1а, б представленные фрагменты а и б соотносятся как квазициклы в силу того, что различны длины их частей и числовые значения уровней.

Количество наблюдений, т.е. уровней, составляющих квазицикл, называем его длиной. Длину называем периодом, если рассматриваемый квазицикл является циклом. Данным определением термина «квазицикл» будем оперировать при визуальном исследовании структуры ВР, представленной в виде столбчатой диаграммы.

Для последовательного R/S-анализа понятия «квазицикл» и «глубина памяти» тесно связаны. Глубина памяти определяется с помощью алгоритма R/S-анализа, на выходе которого для данного BP U - 4 •

/' = 1 ,п получаем его R/S- и Н-траектории [5, 6].

Основанием для утверждения о том, что некоторый ВР обладает долговременной памятью, является выполнение следующих условий [5, 6].

1. H-траектория исходного ВР U через несколько своих начальных точек оказывается в области черного шума [1, 5], а для его R/S-траектории указанные точки вхождения в область черного шума (интервал [h0; 1], где «нечеткое число» h0 >0,5 [3 - 5]) демонстрируют наличие тренда. Глубину памяти определяет такой первый по порядку (в области черного шума) номер l, для которого выполняется следующее условие: в точке l H-траектория получает отрицательное приращение, а R/S-траектория демонстрирует так называемый «срыв с тренда» [1], т.е. резкое изменение линейного тренда предшествующих точек R/S- траектории.

2. Факт наличия долговременной памяти в рассматриваемом ВР можно обосновать с помощью процедуры перемешивания его элементов [1]. Если в данном ВР случайным образом перетасовать его элементы и полученный ряд представить на вход алгоритма Л/Х-анализа, то на выходе максимальные значения показателя Херста и Н-траектории окажутся явно меньше по сравнению со значениями Н для исходного ВР в случае, если он обладает долговременной памятью (рис. 2).

1од(номер наблюдения t)

При этом указанная выше точка смены тренда чаще всего представляет собой окончание квазицикла.

Определим термин «квазицикл» для фазового анализа. Здесь целесообразным является описание вида фазового пространства, в котором данный анализ осуществляется. При исследовании ВР и достаточно информативным и целесообразным является построение фазовых траекторий ВР в фазовом пространстве фк С/ , размерности К = 2 [3] следующего вида: ф2 <0= И', = им^ / 1. 2.....п -1 (рис. 3).

Рассматривая ВР С/ длиныи, будем говорить, что подпоследовательность точек {¡¡,11^ 1..... !/,,к __ последовательности {¡ъи2,..., ^ф2(/ _ в фазовом пространстве фК(/ ^ размерности К = 2 ( </„ и,+и1+кУ: </ъ и2,..„ и„) образует собой квазицикл, если выполняется одно из двух условий:

1) на интервале [/,. !/пк _ отрезки Ч_ и (/, к |. и1+к ^ пересекаются, образуя тем самым первое на этом интервале самопересечение фазовой траектории (рис. 3а);

квазицикла.

Рис. 2. R/S- и Н - траектории отрезка ВР U

80 70 60 50 40 30 20 10

60 58 56 54 52 50 48

-w-

-»y» Wi+k

Ui

20

40 а

60

80

W+k

45

50

55

-Ui 60

б

Рис. 3. Примеры квазициклов в фазовом пространстве: а - Квазицикл с точкой самопересечения; б - Квазицикл без точки самопересечения

70 60 50 40 30 20 10 0

U+1

_Wi+k+1 Wj

Sp

20

40

60

-Ui 80

Рис. 4. Пример части фазовой траектории, не достигшей самопересечения

Фазовая траектория данного ВР разбивается на последовательность квазициклов, для каждого из которых определяем две характеристики, первая из которых является количественной и представляет собой длину квазицикла, вторая - качественной и отражает структуру его конфигурации (в том числе наличие или отсутствие в этой конфигурации так называемого «следа джокера» [5]). Сформулированная для множества всех квазициклов вышеуказанного разбиения совокупность значений этих двух показателей (т.е. характеристик длины квазициклов и их конфигураций) определяет одно из важнейших свойств ВР -«трендоустойчивость» [1]. Представляет интерес анализ разнообразия комбинаций значений показателей трендоустойчивости, полученных для достаточно представительного перечня ВР, рассмотренных авторами. Эти результаты продемонстрируем на примере ВР, отражающего динамику импорта товаров одного из субъектов Южного федерального округа (согласно данным Управления Таможенной службы). Условно назовем его таможенным ВР (ТВР).

Предлагается ВР вида U i. Их можно разбить на два класса: с четко и нечетко выраженными квазициклами.

Первый класс: ВР с четко выраженными квазициклами

Для ВР этого класса характерны четко выраженные квазициклы, длины которых в точности совпадают по всем трем методам: визуализации графического представления уровней ВР (визуальному анализу ВР), последовательному R/S- и фазовому анализам. Доля таких ВР (исследованных авторами настоящей работы) составляет не менее 70 %.

Среди ВР 1-го класса выделим два подкласса, у 1-го (2-го) из которых длина первого квазицикла равна 3 (больше 3) (рис. 5, 6). Ui

100 т-

80 U 60 40 20

Ml

11 13 15

1,2 1

I 0,8

0,5

1

1,5

1од(номер наблюдения t)

б

80 60 40 20 0

'i+1

20

40

60

80

Рис. 5. Иллюстрация ВР, имеющего 1-й квазицикл длины 3, выявленный визуально, с помощью R/S-анализа и фазового

анализа: а - отрезок столбчатой диаграммы ТВР U8,

имеющий 1-й квазицикл длины 3; б - R/S- и H-траектории

ТВР U^; в - график фазовой траектории ТВР U 8

U

0

0

U

0

1

3

5

7

9

а

0

0

0

в

Отметим одну особенность, присущую всякому ВР из 1-го подкласса: его Н-траектория в своей 3-й точке имеет срыв из области черного шума в область белого шума, а К/8-траектория демонстрирует смену тренда также в 3-й точке (рис. 5б). Если использовать графическое представление, то всякий такой ВР имеет следующее чередование знаков своих первых трех приращений: либо +, -, + (рис. 5), либо -, +, -. В этом случае соответствующая фазовая траектория демонстрирует резкую смену направления вращения звеньев относительно центра. Такой отрезок фазовой траектории условимся называть «зигзаг» (рис. 5в).

На рис. 6 в качестве иллюстративного примера представлен ВР и78, 1-й квазицикл которого выявляется однозначно, четко, и значение длины, равное 4, совпадает по всем трем методам: визуальному анализу ВР, последовательному К/8-анализу и фазовому анализу.

100

80 60 40 20

3

1 23456789 10 11

0,4 0,2 0

0,5 1

1од(номер наблюдения t)

1,5

Рис. 6. Иллюстрация ВР, имеющего 1-й квазицикл длины 4, выявленный визуально, с помощью R/S-анализа и фазового

анализа: а - отрезок столбчатой диаграммы ТВР U78, имеющий первый квазицикл длины 4; б - R/S- и H-траектории ТВР U78; в - график фазовой траектории ТВР U78

Второй класс: ВР с нечетко выраженными квазициклами

Среди ВР 2-го класса с нечетко выраженными квазициклами выделим два подкласса:

а) «короткие» нечеткие квазициклы (рис. 7);

б) «длинные» нечеткие квазициклы (рис. 8).

Пример «короткого» нечеткого квазицикла представлен на рис. 7, на котором изображен отрезок столбчатой диаграммы ТВР и71, не позволяющий однозначно определить длину квазицикла. Её можно оценивать как равную 4, так и равную 6. Последовательный К/8-анализ также демонстрирует неопределенность в выборе точки потери памяти.

и,

90 ^-

80 70 60 50 40 30 20

10 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1

ч

10

20

30 в

40

50

Ui

60

Рис. 7. Иллюстрация ВР, имеющего неоднозначности в определении длины первого квазицикла, с помощью R/S-анализа и фазового анализа: а - отрезок столбчатой диаграммы ТВР U71 ; б - R/S- и H-траектории ТВР U71 ;

в - график фазовой траектории ТВР U71

H-траектория постепенно «сползает» из области черного шума в область белого, а R/S-траектория трендоустойчива до 6-й точки (рис. 7б). Можно было

и

2

0

а

0

0

бы считать глубину памяти для данного ВР равной 6, однако фазовая траектория (рис. 7в) для этого ВР с 4-й точки к 5-й демонстрирует резкую смену направления вращения относительно своего центра, что в фазовом анализе, как уже отмечалось выше, является признаком конца квазицикла в точке 4. Результаты проведенных авторами экспертных расчетов позволяют утверждать, что для ~98 % ВР является характерным постепенное «сползание» Н-траектории из области черного шума в область белого, сопровождающееся трендоустойчивостью R/S-траектории на этом же интервале. При этом, если значения ординат Н-траектории опускаются ниже точки, равной 0,7, то этому соответствует смена направления вращения звеньев в соответствующем отрезке фазовой траектории (рис. 7в). В фазовых траекториях реальных ВР такого вида смена направления вращения звеньев встречается довольно часто. Попытаемся проанализировать этот факт.

Визуализируя рис. 7, можно говорить о нечетко выраженной смене тренда R/S-траектории в точке 4 (рис. 7б). Однако отчетливо выраженная смена тренда Я^-траектории произошла в точке 6. На рис. 7а видно, что в этих точках исчерпываются квазициклы, причем при незначительном уменьшении уровня 4 первый из названных квазициклов исчезает. Таким образом, возникает вопрос о том, что возможно некоторые квазициклы, образно говоря, заслуживают того, чтобы быть поглощенными более длинными. К сказанному следует добавить, что неотчетливо выраженная смена тренда Я^-траектории означает лишь частичную, более того, весьма незначительную потерю памяти о начале ряда.

На рис. 8 представлены результаты фрактального и фазового анализа такого ВР, который содержит «длинный» нечеткий квазицикл. Его характерная особенность:

- точки Н-траектории устойчиво находятся в области черного шума, причем значения ординат этих точек близки к 0,9 (рис. 8б);

- Я^-траектория демонстрирует завершение первого квазицикла лишь незначительным отклонением точки смены тренда от линии тренда (точка 8 на рис. 8а, б). При этом последующие точки Я^-траектории по существу демонстрируют возвращение к линии первоначального тренда (точки 9, 16 на рис. 8а, б). Отчетливая смена тренда Я^-траектории происходит по завершении 2 -го квазицикла (точка 16 на рис. 8а, б).

Таким образом, получение достаточно точных оценок характеристик динамики рассматриваемого ВР требует использования каждого из трех названных выше методов: визуального, Я^-анализа и фазового анализа.

Авторами проводился анализ адекватности прогнозных моделей, построенных на базе алгоритма клеточного автомата, с учетом циклической компоненты, выявленной на базе только одного из методов (визуального, последовательного Я^-анализа или фазового анализа) и с одновременным использованием всех трех методов.

Ui

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

V

V

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 а

1

0,9 0

=> 0,7 ЗГ 0,6

0,2 0,1 0

0,5 1

1оа(номер наблюдения t)

б

1,5

100 80 60 40 20

Т-1-1-г

0 20 40 60 80 100

Рис. 8. Иллюстрация «длинного квазицикла», полученного в результате применения визуального, R/S-анализа и фазового анализа для ТВР Uj: а - отрезок столбчатой

диаграммы ТВР Uj; б - R/S - и H-траектории ТВР Uг;

в - график фазовой траектории ТВР U г

Применение всех трех методов существенно повысило точность прогноза. Выявленная величина глубины памяти с одновременным использованием визуального метода, последовательного R/S-анализа и фазового анализа является более точной.

0

7

0

0

в

Литература

1. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. М., 2000.

2. Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков: Применение теории Хаоса в инвестициях и экономике. М., 2004.

3. Перепелица В.А., Тамбиева Д.А., Комиссарова К.А. // Исследовано в России. 2004. № 248. С. 2663 - 2672. // http://zhumal.ape.relam.ru/articles/2004/248.pdf.

4. Перепелица В.А., Тамбиева ДА., Комиссарова К.А. // Научная мысль Кавказа. Приложение. 2005. № 12. С. 114122.

5. Перепелица В.А., Тебуева Ф.Б., Темирова Л.Г. Структурирование данных методами нелинейной динамики для двухуровневого моделирования. Ставрополь, 2005.

6. Перепелица В.А. и др. // Экологический вестник научных центров черноморского экологического сотрудничества (ЧЭС). 2005. № 1. С. 73 -84.

Карачаево-Черкесская государственная технологическая академия, г. Черкесск_24 ноября 2006 г.