Об одном методе выявления свойства подобия налоговых временных рядов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.86

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ВЫЯВЛЕНИЯ СВОЙСТВА ПОДОБИЯ НАЛОГОВЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

© 2007 г. В.А. Перепелица, Д.А. Тамбиева, М.М. Шидакова

The paper deals with the problem of efficiency increase of fiscal policy management and improvement quality of verity control of tax-payers information. To solve the problem the authors offer to use models, tools and methods of fractal analysis.

В работе налоговых органов часто приходится принимать решения в условиях неполной информации о фактической обстановке. Неполнота и неопределенность могут возникнуть из-за действий двух сторон с несовпадающими интересами. Одной стороной является налоговый орган (на местном, региональном или федеральном уровне), другой - налогоплательщики (организации или физические лица). Этим во многом объясняется заинтересованность налоговых органов в создании программных продуктов, способных обеспечить количественный и качественный анализ представляемых налогоплательщиками деклараций на предмет выявления сомнительных для их дополнительной проверки [1].

Практика создания подобных программ на сегодняшний день существует [1]. В их основе - экспертные рекомендации опытных специалистов, умеющих по нескольким специфическим признакам определить подозрительность той или иной декларации. В настоящей работе в дополнение к указанному подходу и применительно к исходной информации в виде временных рядов [2] предлагается использовать методы нелинейной динамики [3 - 5], на базе которых теоретически возможно построение модели, позволяющей спрогнозировать размер налогового платежа на конец отчетного периода. В случае значительного несоответствия между спрогнозированной величиной и фактическим размером выплаты налогов предприятием (в сторону уменьшения второго) предприятие должно быть подвергнуто дополнительной проверке на факт достоверности представляемой в налоговые органы информации. Такой подход возможен только при условии адекватности построенной прогнозной модели и достоверности ранее представляемых в налоговые органы сведений.

Построение адекватной прогнозной модели, как правило, требует глубокого предварительного (пред-прогнозного) анализа исследуемой системы. В качестве объекта исследования системы выступают временные ряды (ВР) наблюдений [2] за достаточно продолжительный период времени (порядка 100 и более). В нашем случае предпрогнозный анализ подразумевает исследование динамики соответствующего ВР, что сводится обычно к поиску ответа на вопрос: присутствуют ли в исследуемом ВР тренд и циклическая компонента [6], имеет ли место в нем детерминированный хаос [7] или скрытая дробная квазипериодичность [8] и т.д.

В качестве инструментария нелинейной динамики предлагается использовать алгоритм последовательного К/8-анализа, а также фазовый анализ. В случае выявления в исследуемой системе цикличности (ус-

тойчивого совпадения длин квазициклов, периодичности, оценок долговременной памяти и ее глубины [5, 9] и т.д., возможен переход ко второму этапу -прогнозированию. Последнее может быть осуществлено, например, на базе алгоритма клеточного автомата [10].

Предпрогнозный анализ является одним из важнейших этапов на пути построения адекватной прогнозной модели. На его основе делается вывод о возможности построения прогноза для исследуемой системы вообще и получения ожидаемых оценок точности этого прогноза.

Цель экспериментального исследования - сравнительный предпрогнозный анализ динамики двух эволюционных процессов: базовых ВР (объемов) отгруженной продукции (ОП) и ВР налоговых платежей. Проводится иллюстрация на примере конкретных статистических данных одного из промышленных предприятий КЧР. Реальная статистика дает информацию для трех соответствующих им показателей, представляемых следующими обозначениями:

ВР отгруженной продукции (ОП)

21 = ^ I = 1,2,..., п1, п1 = 234; (1)

ВР налога на добавленную стоимость (НДС)

22 = ^ г2У } = 1,2,..., п2, п2 = 94; (2)

ВР налога прибыль (НП)

23 = ^ к = 1,2,..., п3, п3 = 80; (3)

где 2Гу -й по порядку уровень, т.е. числовое значение результата V -го по порядку наблюдения для г -го ВР,

т.е. ВР 2Г. Все ВР представляются в рублевом эквиваленте.

Представленная выше пара налогов НДС, НП выбрана из всего перечня выплачиваемых данным предприятием налогов не случайно. Эти налоги, наряду с налогами на доход с физических лиц (НДФЛ) и единый социальный (ЕСН), обязаны выплачивать все без исключения предприятия, подпадающие под общий режим налогообложения Российской Федерации (РФ).

Каждый из представленных выше налогов исчисляется по фиксированным процентным ставкам в налоговые органы РФ, что в идеале, учитывая взаимосвязь между рассматриваемыми рядами (1) - (3), предполагает наличие общих тенденций и подобия в динамике всех этих ВР. Однако на практике ОП - это не всегда выручка, ибо иногда партнеры по бизнесу оказываются не в состоянии выплатить долг в срок. К тому же случаются ситуации, при которых сумма к уплате за ОП (так называемая дебиторская задолжен-

ность) зависает на счетах предприятия на длительный срок, а иногда и не погашается вовсе.

Риски [11], связанные с реализацией продукции и погашением дебиторской задолженности, сегодня являются наиболее часто встречающимися в реальном секторе экономики. Они оказывают существенное влияние на динамику развития всего предприятия, что находит свое отражение и во ВР, рассматриваемых в

2 500 000,00

2 000 000,00 1 500 000,00 1 000 000,00 500 000,00 0,00

■

, 11

ihl h ггт ,И Ш t

ШГГПРННТПН 1I|I Ц

настоящей работе. Анализ представленных выше рисков, их прогнозирование и управление [11] являются ключевыми как в управлении современным предприятием, так и в эффективном планировании работы налоговых органов.

На рис. 1 изображены столбчатые диаграммы отрезков ВР ОП и ВР НДС соответственно.

300 000,00 250 000,00 200 000,00 150 000,00 100 000,00 50 000,00 0,00

Ю О) со

Рис. 1. Столбчатые диаграммы ВР ОП г1 (а) и ВР НДС г 2 (б)

В результате проведенного статистического анализа исследуемых ВР построены графики эмпирических функций распределения случайной величины уровней ВР (пример эмпирической функции ВР ОП, рис. 2),

0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0

■

СП

сч

i-L Ч со ^ Т- см о О со S8 с» <5 сч ю

сч ^

° S

CD S °> £ Ю

■ 1А1

S °

О СЧ ^ СП

ОЭ ^ СО

ю со

° Я

сч ° 2

ю СЧ iijj CD СО о Э О С°

сч О)

сч"й

СО Я О О

§ £ СО й О

т- сч

со со сп о

со ^ ю Ж

о СО

сч сч

СО СО

°> Я

о СЧ СЧ

с° Ж

СО СО

сч сч

Рис. 2. Гистограмма эмпирической функции распределения

вр оп г1 (1)

получены числовые значения математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения (СКО), коэффициентов вариации, асимметрии и эксцесса (табл. 1).

Из графических изображений эмпирических функ-1 3

ций распределения ВР г + г (пример на рис. 2), а также полученных величин статистических показателей (табл. 1) стало очевидным, что рассматриваемые ВР не подчиняются нормальному закону распределения, что является причиной низкой информативности полученных статистических оценок, а также низкой прогнозируемости рассматриваемых ВР классическими методами [6].

С целью восполнения этого недостатка (в смысле выбора более адекватного метода прогнозирования) осуществим предпрогнозный анализ одной пары вре-

12 менных рядов ОП г (1) и НДС г (2) (рис. 1), используя новые информационные технологии из арсенала методов нелинейной динамики (последовательный И^-анализ и фазовый анализ). Отметим также, что НДС считается налогом с наиболее стабильной налогооблагаемой базой [1], причем налогом, наиболее пропорциональным этой базе, а ВР ОП является ключевым в налогооблагаемой базе для исчисления НДС [1].

Таблица 1

Рисковые статистические показатели для ВР (1) - (3)

б

а

ВР Математическое ожидание СКО Коэффициент вариации Коэффициент асимметрии Коэффициент эксцесса

ОП Z1 (1) 551855,3125 613372,4375 1,111473 1,183048 0,430439

НДС Z 2 (2) 82254,73438 53852,33594 0,654702 2,034386 5,153335

НП Z3 (3) 44247,93359 36681,02344 0,828988 1,515809 3,262901

В результате применения метода фазового анализа [3, 4] для рассматриваемых ВР ОП (1) и ВР НДС (2) построены фазовые траектории, для которых осуществлено разложение каждой из них на квазициклы. В фазовых траекториях ВР ОП и ВР НДС были выделе-

ны 46 и 19 квазициклов соответственно. Пример типичных квазициклов в этом разложении представлен на рис. 3б. К этим же ВР применен алгоритм последовательного И/8-анализа [3, 4], на выходе которого получены последовательности так называемых Н- и

R/S-траекторий. Номер точки смены тренда конкретной R/S-траектории определяет собой исчерпание квазицикла в соответствующем ВР (рис. 3а). Особо отметим, что длины практически всех квазициклов,

полученных с помощью фазового анализа, в точности совпали с длинами соответствующих квазициклов, полученных с помощью последовательного И/Б-анализа (рис. 3).

1,2 1

0,8 0,6 0,4 0,2

1600000 1400000 1200000 1000000 800000 600000 400000 200000 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

200000 0_500000 1000000 1500000 2000000

Рис. 3. Пример квазицикла временного ряда ОП 21 (1), полученного на основе последовательного ШБ-анализа (а) и фазового анализа (б); начало этого квазицикла соответствует одному и тому же уровню 2^6 е 21

Для дальнейшего изложения сравнительного фрактального анализа ВР ОП (1) и ВР НДС (2) введем

следующие обозначения: р - длина квазицикла; кгр -частота появления квазициклов длины р в ряде 2Г, г = 1,3 (в процентном выражении) для проведенного последовательного И/Б-анализа; дГр - частота

появления квазициклов длины р в ряде 2Г, г = 1,3 (в процентном выражении) для проведенного фазового анализа.

Для ВР ОП (1) и ВР НДС (2) рассмотрим статистику пар (р, Н1р) и (р, кр), полученных по результатам

И/Б-анализа, а также пар (р, д1р) и (р, др), полученных

по результатам фазового анализа. Сводное представление этих пар дано в табл. 2, а также на рис. 4.

На рис. 4 видно, что в результате параллельного применения И/Б-анализа и фазового анализа наибольшее число квазициклов для ВР ОП соответствует квазициклам длины 6, а для ВР НДС - 4.

Представленные графики демонстрируют значительные расхождения между динамическими свойствами рассматриваемых рядов. Объясняется это следующим образом. Длина рассматриваемых ВР различна. Согласно (1) и (2), ВР ОП содержит 234 значения, а ВР НДС - только 94, так как на данном предприятии отчисления НДС за ОП осуществляются суммарно за некоторый период времени и соответст-

вуют нескольким «отгрузкам». С целью устранения этого несоответствия авторами настоящей работы

проведено агрегирование всех значений 21, соответствующих сумме начисленного НДС 2]- за определенный период времени. В итоге получен производный от ВР ОП - ВР ОП-агрегированный по НДС (ВР ОП - НДС), обозначим его через

z ■ = (?■).

i = 1, 2,..., w1, w1 = 94.

(4)

Таблица 2

Процентное соотношение длин выделенных квазициклов ВР ОП (1) и ВР НДС (2), полученных с помощью Я/З-анализа (числитель) и фазового анализа (знаменатель)

l ВР ОП hlp / q\ ВР НДС h2p/ q 2

1 0/0 0/0

2 0/0 0/0

3 12/17 21/26

4 17/15 39/37

5 25/20 18/11

6 28/41 5/0

7 14/2 7/11

8 3/4 4/11

9 0/0 5/5

10 0/0 1/0

3

б

а

hp, N %

h„, N, %

50 49 30 20 10 0

1 23456789 10 1 1

70 60 50 40 30 20 10 0

1 2 3 4 5 6 7

б

9 10

Рис. 4. Графическое изображение процентного соотношения длин квазициклов для ВР НДС и ВР ОП, полученных с помощью последовательного И/Б-анализа (а) и фазового анализа (б)

К ВР ОП-НДС также применены И/Б-анализ и фазовый анализ.

Полученные результаты сопоставлены с представленными выше по ВР НДС (рис. 5). Максимальное число квазициклов ВР НДС и ВР ОП-НДС соответствует квазициклам длины 4 для обоих рядов. Графическое изображение процентного соотношения длин квазициклов для ВР НДС и ВР ОП-НДС демонстрирует подобие динамических свойств рассматриваемых рядов, полученных с помощью И/Б-анализа и фазового анализа.

45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

hp, %

Примечание 1. Для более строгого определения термина «подобие», необходимо выбрать и представить критерии степени подобия. В качестве таких критериев предлагаются следующие динамические характеристики ВР: цикличность (устойчивое совпадения длин квазициклов [4, 9]), периодичность, а также локальные максимумы и минимумы рассматриваемых графиков процентных соотношений длин квазициклов.

Под степенью подобия двух ВР 2Г1, 2Г2 будем понимать вектор

ц(2г\2Г2 )=(дк (2\2Г2 ) Мд (2\2Г2 )), (5)

где

IV %

70 60 50 40 30 20 10 0

б

Рис. 5. Графическое изображение процентного соотношения длин квазициклов для ВР НДС (2) и ВР ОП-НДС (4), полученных с помощью И/Б-анализа (а) и фазового анализа (б)

И

И

min(V ьГ2)

z

p=1

hri -hP pp

100%

l(bT br2 )

z

p=1

qp -qp

100%

(6)

br1 = max(p(zr1)), br2 = max(p(zr2)).

hp - hP

На рис. 4, 5 представленные в (6) разности

др - др отражают собой расстояния между точками р на соответствующих графиках (а и б).

Определение 1. Два ВР 2Г1,2Гг будем считать подобными, если вычисленная, согласно (5), (6), сте-

пень подобия этих рядов (2Г1,2Г2 ) й е {к, д}

не

превосходит 13 : И (zr', Zr2)

< V^ , d e {h, q}.

Для рассматриваемых конкретных ВР ОП 2 1 (1) и

2

ВР НДС 2 (2) на основании (5) и (6) вычисляем степень их подобия

М(21,22)=(/(21,22}Мд (21,22))=(0,75;1,02), (7) где значения каждого из двух показателей получены на основании следующих вычислений:

Р

Р

а

¡лк (г \ г 2 )= (|0-0|+|0-0|+|12-21|+|17-39|+|25-18|+|28--5|+|14-7|+|3-4|+|0—5|+|0—1|)/100 =(0+0+9++22+7+23+7+ +1+5+1) / 100 =75 /100 =0,75>>1/3.

(г\ г 2 )= (|0-0|+|0-0|+|17-26|+|15-37|+|20-11|+ +|41—0|+|2—11|+|4—11|+|0—5|+|0—0|)/100=(0+0+9+22+9+ +41+9+7+5+0 /100=102 /100 =1,02>>1/3.

Приведем аналогичные результаты расчетов для

вр ндс г2 (2) и вр оп-НДС г?1 (4)

^(г2, г?1 (г2, г?1) (г2, г?1 ))=(0,31; 0,29). (8)

Заметим, что для сравнительного анализа различных ВР налоговых отчислений авторами настоящей работы проведено агрегирование ВР ОП г1 (1) не только по ВР НДС г2 (2), но также и по ВР НП г3 (3). Агрегирование ВР ОП по ВР НП осуществлялось аналогично агрегированию (4) ВР ОП по ВР НДС

(были просуммированы значения 21, соответствующие временному интервалу с к -го по (( +1) -й дни отчислений НП). В итоге получен (производный от ВР ОП) ВР ОП-агрегированный по НП (ВР ОП-НП) и обозначим его через

г1 I = 1,2,..., п1, п1 = 80. (9)

В результате применения И/8-анализа и фазового анализа к ВР НП и ВР ОП-НП получены результаты,

представленные на рис. 6. ВР НП г (3) и ВР ОП-НП

—1

г (9) продемонстрировали полное несоответствие характеристик динамики рассматриваемых рядов (на уровне визуализации рис. 6 демонстрирует низкую степень подобия в смысле примечания 1).

h„, %

35 30 25 20 15 10 5 0

70 60 50 40 30 20 10 0

1 2 3

4 5

б

6 7 8 9 Р

Рис. 6. Графическое изображение процентного соотношения длин квазициклов для ВР НП (3) и ВР ОП—НП (9), полученных с помощью ШБ-анализа (а) и фазового анализа (б)

h

Факт несоответствия динамических характеристик

ВР НП г3 (3) и ВР ОП-НП г1 (9) подтверждается вычисленными для них параметрами степени подобия:

м(г3, г1 )=(/ (г3, г1) ^ (г3, г1 ))=(о,45; 1,3).

Таким образом, ВР нДс (2) и ВР ОП-НДС (4) по выбранным критериям и введенному численному выражению степени подобия (примечание 1 и определение 1) можно квалифицировать как подобные, в то время как остальные пары ВР (ВР ОП (1) и ВР НДС (2), ВР НП (3) и ВР ОП-НП (9)) нельзя.

Последнее представляет собой косвенное основание для постановки вопроса о дополнительном анализе правильности начисления налоговых платежей.

Примечание 2. Согласно примечанию 1, оценки степени подобия базового ВР ОП г1 (1) и соответствующих агрегированных налоговых ВР ВР ОП -НДС (4), ВР ОП - НП (9) базируются только на характеристиках циклической компоненты этих ВР. Вместе с тем не менее важную информацию несет в себе трендовая компонента [6] этих ВР. Представить характеристики этой компоненты хотя бы для сравнительного анализа на уровне визуализации можно путем построения скользящих средних для сравниваемых между собой ВР.

Литература

1. Введение в экономико-математические модели налого-

обложения: Учеб. пособие / Под ред. Д.Г. Черника. М., 2000.

2. Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б.

Теория вероятностей и математическая статистика. М., 1991.

3. Перепелица В.А. и др. // Экологический вестн. науч. цен-

тров черноморского экологического сотрудничества (ЧЭС). 2005. № 1. С. 73 - 84.

4. Перепелица В.А., Тамбиева Д.А., Комиссарова К.А. //

Исследовано в России. 2004. Vol. 248. С. 2663 - 2672.

5. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый

аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. М., 2000.

6. Сигел Э. Практическая бизнес-статистика. М., 2002.

7. Сергеева Л.Н. Моделирование поведения экономиче-

ских систем методами нелинейной динамики (теории хаоса). Запорожье, 2002.

8. Яновский Л.П. Принципы, методология и научное обос-

нование прогнозов урожая по технологии «Зонт». Воронеж, 2000.

9. Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков:

Применение теории Хаоса в инвестициях и экономике.

М., 2004. винномысск, 30 мая 2003 г. 2003. С. 163-167.

10. Перепелица В.А. и др. // Новые технологии в управле- 11. Качалов Р.М. Управление хозяйственным риском. М., нии, бизнесе и праве: Тр. III междунар. конф., г. Не- 2002.

Карачаево-Черкесская государственная академия, г. Черкесск_23 июня 2006 г.