CC BY
32
ЖАЛНИН Р. В., ЛАДОНКИНА М. Е., МАСЯГИН В. Ф., ТИШКИН В. Ф.
О ПРИМЕНЕНИИ РАЗРЫВНОГО МЕТОДА ГАЛЁРКИНА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОДНОФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ1 Аннотация. В статье описана численная методика для решения однофазной задачи нестационарной фильтрации жидкости в анизотропной среде на основе метода Галёркина с разрывными базисными функциями на неструктурированной сетке. Численная схема рассматривается на примере начально-краевой задачи для двумерной задачи однофазной фильтрации. Результаты расчетов тестовых задач показывают хорошую точность предлагаемого метода.
Ключевые слова: нестационарная фильтрация, уравнения параболического типа, треугольные сетки, разрывный метод Галёркина.
ZHALNIN R. V., LADONKINA M. E., MASYAGIN V. F., TISHKIN V. F.
APPLICATION OF DISCONTINUOUS GALERKIN METHOD FOR SOLVING ONE-PHASE FILTRATION PROBLEM IN ANISOTROPIC MEDIA
Abstract. The article considers the application of discontinuous Galerkin method for one-phase filtration problem in anisotropic media. For the numerical experiment the initial-boundary problem for two-dimensional one-phase filtration is chosen. Calculations of the modeling problems demonstrate a high degree accuracy of the offered method.
Keywords: unsteady filtration, parabolic equations, triangle grid, discontinuous Galerkin method.
1. Постановка задачи
Рассмотрим в общем случае фильтрацию жидкости в анизотропной среде. В работе [4] было показано, что абсолютную проницаемость можно представить как тензор второго ранга, его свертка с градиентом давления - есть скорость фильтрации, с точностью до множителя (вязкость жидкости):
k'j дР п\
^ CXj
где - тензор проницаемости.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 14-01-31260 мол_а).
Учитывая уравнение неразрывности для жидкости в пористой среде [2; 5] и (1) получим:
д(рш) d | kij dp
dt dx,
Л dxj
= w, (2)
где p - давление, m = m(p) - пористость, р = р(p) - плотность жидкости, w -распределенный источник массы. Пусть плотность жидкости и пористость связаны с
1 др dm
давлением следующими соотношениями:--= const = C f, — = const = Cm, где Cf, Cm -
р dp dp f
коэффициенты изотермической фильтрации. Тогда уравнение (1) можно переписать относительно давлений [6]:
и(сш + mCf )— ——
m f' dt dx,
V j dXjу
= w. (3)
Уравнение (3) является в общем случае нелинейным в связи с зависимостью пористости от давления, однако в [6] показано, что если в качестве пористости рассматривать пористость при начальном пластовом давлении ш0, которая не зависит от давления, то это не внесет больших погрешностей, а уравнение (3) становится линейным.
¡¡Cm + mo Cf )dp
dt dx,.
j dx
= ч>. (4)
V ""} J
Данное уравнение принято называть уравнением пьезопроводности. Оно описывает изотермическую фильтрацию однофазной жидкости на упругом режиме. Уравнение, впервые полученное для однородного случая в [6] по виду совпадает с уравнением, описывающим распространение тепла. Классические модели интерпретации гидродинамических исследований скважины [7] связаны с решением именно этого уравнения.
2. Описание численного алгоритма на основе разрывного метода Галёркина Зададим множество точек ®р = {Р = (х-,У-,V = 1,2,....Д} в области расчета,
которое содержит внутренние и граничные точки области. Для ф произведем
триангуляцию Делоне: Т(фр) = {Тк = Г(Т1,Гк2,Т3к)ЛТ2 Т ефр,к = \2,...Щ.
В треугольнике Тк с вершинами в точках Т/ : , у1}, Тк : {х2, у2}, Т^ : {х3, у3} определим
/ \ х + X + X У + У-> + У?
центр (хс, ус): хс = -1-±-^ Ус = „2 .
Производные второго порядка не могут быть согласованы напрямую в слабой вариационной формулировке, используя пространство разрывных функций. Следовательно, для решения уравнения (4) с помощью разрывного метода Галёркина [3] введем
вспомогательные переменные [9]:
ф фЛ
кхх — + к —
дх ху ду
С = —
, др др кух — + к —
V УХ дх уу ду у
И
Тогда уравнение (4) можно переписать в виде: (Ст + т0С, )дР + +д
сх + — соУ = ч>. дг дх у
ду
сх =-
Су = —
ух
дР + К дР Л
дх ху ду у
дР + кт, дР Л
дх уу ду у
(5)
В каждом треугольнике Тк е Т(ср) приближенное решение (5) будем искать в виде проекции р и вспомогательных переменных на пространство полиномов Рх(х, у) первой
степени в базисе {< }е Р1, г = 0,2, <р0 = 1, р1 =
у—у ( \ <2 = , где 1хс, ус) - центр
Ах Ду
треугольника Тк, Дх, Ду - проекции треугольника на оси координат.
В каждой ячейке линейная комбинация базисных функций будет определять решение:
(х — хс V (у — ус)
Рк = Рок + Рц-
Схк = Сх0к + Сх1к
Сук = Су0к + Су1к
Дх
(х — хс )
Ах
(х — хс )
+ Р2к-
+ с.
Ду
(у—ус ) Ду
2к
Рк = Ргк(г), (x, у) е Тк, г = 0,2,
(г), (х, у) е Тк, г = 0,2,
Схгк = Схгк '
^ + сг,(y-yc^, Сук =Сук(г), (х,у)еТк, г = 0,2,
Дх у2к Ду
Определим коэффициенты разложения Рк ,юхк,юук из условия ортогональности невязки пробным функциям рi на каждом треугольнике Тк [10]:
2 дРк Г „ ,0 . Л - ^ . Г- Л _ ^ г д<т
[и^Ст + m0Cf )]к Е \pPmdS + |ПхСхРтМ + |ПуСу<тМ — |с
г=0 д Тк дТк дТк Тк
— ¡Сук = \т = 0,2.
Тк
—
Т * ду
хх
Т
к
X f^9mdS =- f nxkxxp9mdl - f nykxypVmdl + f pk ^^^^ dS + f pk ^^^ dS ,
i=0 T 3Т4 3Т4 T 8x r 8
m = 0,2, (7)
8(k ухФ m ) г 3(kyy^m )
Z-yik f ^mdS = - f nxkyxPPmdl - f nykyyPPmdl + f Pk -dS + f Pk -dS
i=o r 3^ 3r r 3X T 3y
т = 0,2, (8)
Потоковые значения величин на границе ячейки предлагается вычислять аналогично тому, как это сделано для уравнения теплопроводности [8], используя стабилизирующие добавки. Для вычисления потоковых значений внутри расчетной области имеем:
Фх (р + ,фх + , Р " ,фх " , С1 (р + - р 'Ух ,
ф+ + ф-
®y (р + ,фу + , P " ,фу^ , п) = Фу 0 ^ - C1 (p + - P "К
+
р=р - р, 2
на границе расчетной области брались следующие значения: ß)x(р + ,ах +,п)=а+х -Ci(р + -g)пх,
®у(р + ,фу +,п)=^+у -Ci(P + -gК, р) = g,
где р ,о>- ,о>- - значения величин из ячейки, для которой нормаль п является
внутренней, р+- значения величин из ячейки, для которой нормаль п является
внешней, g - граничное условие Дирихле, С брали порядка 0(1/ h), где h - диаметр ячейки.
3. Примеры расчетов Была рассмотрена первая краевая задача: 8u
— + divW = 0, r е D, 8t
W = -K)Vu,
wLo = sin(^x)sin(^y), U 8D = 0,
где область D представляет собой единичный квадрат на плоскости OXY с координатами вершин (0;0), (0;l), (l;0), (l;l). Матрица тензора проницаемости симметричная
- (a 0 ^
положительно-определенная. Тензор проницаемости имеет диагональный вид К =
^ 0 Ъ
где a и Ь постоянны на всей области D. Методом разделения переменных можно найти точное решение задачи: U = $т(ях )вт (пу )ехр [— ^ + Ь)л2 г ]. В первом случае коэффициент
проницаемости брали K =
Г1 0^ , (2 0Л
V0 1У
во втором равным K =
V0 1У
. На рисунках показан
модуль разности между численным и точным решением в центре ячеек расчетной области.
Рис. 1. Случай 1, г = 0.1
5,136е-11
4,5е-11
3,6е-11
2.7^11
1,8е-11
9 ©-12
1 .030е-14
Рис. 2. Случай 1, I = 1.0
Error _2,157&-04 ^0.0002
I 7 ДЧК 1 н Е0.00016 =0.00012 = 8е-5
^V / ; =4е-5 =4.392е-08
Рис. 3. Случай 2, t = 0.1
Error
=3.700е-15
- Е3.2е-15
1 Е2.4е-15
Е1 .бе-15
1 V-^B : —
ЕВе-16
-0.000е+00
Рис. 4. Случай 2, t = 1.0
Выводы
Результаты расчетов показали возможность применения описанного в данной работе численного алгоритма для решения задач однофазной фильтрации в анизотропных средах разрывным методом Галёркина.
ЛИТЕРАТУРА
1. Масягин В. Ф., Жалнин Р. В., Тишкин В. Ф. О применении разрывного конечно-элементного метода Галёркина для решения двумерных уравнений диффузионного типа на неструктурированных сетках // Журнал Средневолжского математического общества. - 2013. - Т. 15, № 2. - C. 59-65.
2. Кондауров В. И. Механика и термодинамика насыщенной пористой среды: Учебное пособие. - М.: МФТИ, 2007. - 310 с.
3. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина / Пер. с английского. -М.: Мир, 1988. - 352 с.
4. Хасанов М. М., Мукминов И. Р., Бачин С. И. К расчету притока жидкости к скважинам, работающим в условиях локального разгазирования // Нефтепромысловое дело. - 2000. - № 8-9. - С. 2-9.
5. Чарный И. А. Подземная гидромеханика. - М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2006. - 436 с.
6. Щелкачев В. Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Монография: В 2 ч. - Ч. 1. - М.: Нефть и газ, 1995. - 586 c.
7. Эрлагер Р. Гидродинамические исследования скважин. - М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2006. - 512 с.
8. Arnold D. N., Brezzi F., Cockburn B., Marini L. D. Unified analysis of discontinuous Galerkin methods for elliptic problems // SIAM Journal on Numerical Analysis. - 2002. -Vol. 29. - pp. 1749-1779.
9. Bassi F., Rebay S. A High-Order Accurate Discontinuous Finite Element Method for the Numerical Solution of the Compressible Navier-Stokes Equations // J. Comput. Phys. -1997. - Vol. 131. - pp. 267-279.
10. Cockburn B., Shu C.-W. Runge-Kutta Discontinuous Galerkin Methods for Convection-Dominated Problems // J. Sci. Comp. - 2001. - Vol. 3. - pp. 173-261.
