CC BY
28
ЖАЛНИН Р. В., МАСЯГИН В. Ф., САЛЬНИКОВ В. Д. НЕЯВНАЯ СХЕМА, ОСНОВАННАЯ НА РАЗРЫВНОМ МЕТОДЕ ГАЛЁРКИНА, ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕЧЕНИЙ СЖИМАЕМОГО ГАЗА В ТРЕХМЕРНОМ СЛУЧАЕ1 Аннотация. В статье описана неявная противопоточная схема, основанная на разрывном методе Галёркина для моделирования течений идеального сжимаемого газа в трехмерном случае. Сеточные уравнения записаны относительно приращения для удобства их решения с помощью подпрограмм библиотеки HYPRE.
Ключевые слова: газовая динамика, численное моделирование, уравнение Эйлера.
ZHALNIN R. V., MASYAGIN V. F., SALNIKOV V. D.
IMPLICIT SCHEME BASED ON DISCONTINUOUS GALERKIN METHOD FOR COMPRESSIBLE GAS FLOWS 3D SIMULATION Abstact. The article describes the implicit upwind scheme based on discontinuous Galerkin method for compressible gas flows 3D simulation. The scheme is written relative increment to simplify the solution by using of the HYPRE modules.
Keywords: gas dynamics, numerical simulation, Euler equation.
В настоящее время для решения задач моделирования течений сжимаемого газа используются или конечно-объемные вычислительные алгоритмы высокого порядка точности [4], или конечно-элементные методы, основанные на методе Галеркина с разрывными базисными функциями [1], который также характеризуется высоким порядком точности получаемого решения и обладает меньшими требованиями к качеству сетки. В статье [5] описывается неявная схема, основанная на разрывном методе Галеркина для решения задач газовой динамики в общем виде. В этой статье подробно расписана разностная схема для трехмерного случая.
1. Основные уравнения
В основе математической модели теории движения газа и жидкости лежат законы сохранения массы, импульса и энергии. В трехмерной декартовой системе координат течение сжимаемого идеального невязкого газа описывает уравнение Эйлера:
д_и + ^ + ^ + (1.1)
д t дх ду dz v у
уравнение состояния представлено в форме:
р = ер(у-1), (1.2)
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 14-01-31260 мол_а).
где
U =
/Р\
ри pv pw \РЕ/
FX(U) =
p и ри2 + р p и v puw \(рЕ + р)и/
, Fy(U) =
p v p и v pv2 + р p и w \(РЕ + P)v/
\ ( Л( U) =
p w p и w p v w pw2 + р
(1.3)
\(рЕ + р~)™)
Здесь I - время; р - плотность; р - давление; (и, V,- составляющие скорости в координатных направлениях (х, у, г); е - внутренняя энергия единицы массы;
Е = +
u2+v2+w2
2 - полная энергия единицы массы; у = - показатель адиабаты; Ср -
теплоемкость при постоянном давлении; Cv - теплоемкость при постоянном объеме.
2. Численный метод
В основу численного алгоритма положен разрывный метод Галеркина. Для применения разрывного метода Галеркина покроем область Q, на которой ищется решение, тетраэдральной сеткой Th. На каждом элементе Tmприближенное решение системы уравнений (1.1-2) будем искать в виде полиномов P(x) степени р с зависящими от времени коэффициентами:
ищт(Х, 0 = Шо Ui\m (t)Pi\m(X), X = (х, у, z), (2.1)
где st - размерность пространства полиномов, а Рцт(х) - соответствующая базисная функция на m-ой ячейки.
Приближенное решение системы (1.1-2) в разрывном методе Галеркина ищется как решение следующей системы [1]:
>h\m j j j | f (Px(uh\m) , Py(uh\m) , Fz(uh\m)^
fTm-^pklmdXdydz + fTm{- дх
Преобразовав (2.2) получим:
+ -y^h\,m + -«^..J) pk\mdxdydz = 0,k = 0,st
-y
-z
(2.2)
X ( д\т S Pi\mPk\mdxdydz ) + j (FxUx + FyUy + FzUz) Pk\mdS
Tm - Tm
Теперь можно записать неявную схему по времени 1 в полу дискретном виде:
Д и™+1\ г
ФцтФщтйхйуйг—^ ) + Ф (Р^1+1пх + Р^Пу + Р^1+1п2) фцтйБ
1 = 0 Тт 1 дТт
- ¡Тт (рхп+1 + РУ^+1 ^ + Р2п+1 д-^т) йхйуйг = 0,к = 0Уг
(2.3)
где
-Uj\m _ ui\mi-ui\m _ лицтг
-t X X '
(2.4)
(2.5)
п = (пХ, пу, пг) - вектор единичной нормали по границе дТт.
Потоки через грань контрольного объема вычисляются на основе приближенного решения задачи Римана [3].
Рассмотрим линеаризацию потоковой функции:
^хщтр = Кх{иЩтр) = Рхщтр + (~ди)щтр (.^Щтр — Uh\тp), (26)
где иЦ\тр - осредненное по Роу [2] значение между иЩ\т иИ'Ц\тр; и'£\тр = иЦ\к- такое переобозначение, когда^-ая ячейка является соседней с т-ой ячейкой, и для них обоих р-ая граница т-ой ячейки является общей.
Матрица Якоби обладает набором действительных собственных значений и
векторов, и поэтому может быть представлена в виде:
А = ЯАЬ = Я(А+ + А-)Ь = А+ + А-, А+ = ЕА+Ь,
А- = ЕА-Ь, (2.7)
1 1 где А = й1ад{К} А+ = ^(А + \А\), А- = ¿(А- \Л\), \А\ = й1ад{\к]\}.
Опираясь на этот факт, для того чтобы сконструировать противопоточную разностную
схему в дельта-форме, представим разложение (2.6) в виде:
+-
ПП + 1 _ пп I /дрх\п дггП+1 , /дрх\п ЛТТП+1 /о 0\
гхщтр = гхщтр + \ди'Щтр^иЩт + \ ди /Щтр ЛиЩтр. (28)
Таким образом, поверхностный интеграл из (2.4) может быть записан следующим
образом:
£ {Р^П+1ПХ + ¥УП+1Пу + Р2п+1П2) фк^ =
<г *
^тр
дК
дК
(ПХтр ( Р?щтр + (ди*п\тр + (~ди^П\тр АиЩ+тр ) + ПУтр(. ) + П2тр(^)<Рк\
<Г *
^тр
д К
д Ку +
д и
д К
( ди^П\трП*тр + ( ди^П\трПУтр + ( ди^П\трП?тр )фк\т
дТт 4
I
р = 1 4
I
р=1 4
I
р=1 4
1 *тр * [{рХ1\тр + КУПЩтр + К1тр) <Рк\т] , к = Ш р=1
где знак * означает операцию численного интегрирования.
<Г *
^тр
д К
д Ку
д К
( ди^П\трПхтр + ( ди^п\трпутр + ( ди^п\трп?тр )фк\т
п+1 Л иЩт +
Л Т1П+1 +
Л иЩтр +
(2.9)
т
Объемный интеграл, так может быть расписан следующим образом:
[ (гпд(к\т | гпдрк\т | гп
J (х дх +Fy ду +Fz dz
y д y z д дРк\т п д(Рк\
dxdydz+
Тт
J (Fxr d(km + Fnnd(km + Fп дд(кт) dxdydz +
V f (дх\П д(к\т , (Щ^ д(Рк\т , (дЪ\Пд(Рк\т\^ ^
L J Pi\m([-w) -дГ+(-Ш) -дуТ + Кзи) —^OyteWr
п+1 \ т
,k = 0,st
(2.10)
Для решения линейной системы уравнений применяется один из методов решения СЛАУ библиотеки HYPRE [6].
т
т
т
т
ЛИТЕРАТУРА
1. Cockburn B. An Introduction to the Discontinuous Galerkin Method for Convection // Dominated Problems, Advanced Numerical Approximation of Nonlinear Hyperbolic Equations (Lecture Notes in Mathematics). - 1998. - Vol. 1697. - pp. 151-268.
2. Roe P. L. Approximate Rieman Solvers, Parameters Vectors and Difference Schemes // Journal of Computations Physics. - 1981. - Vol. 43. - pp. 357-378.
3. Toro E. F. Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics. - Verlag: Springer, 1999. - 624 p.
4. Жалнин Р. В. О построении параллельного вычислительного алгоритма для прямого численного моделирования сложных газодинамических течений // Журнал Средневолжского математического общества. - 2008. - № 10. - С. 137-146.
5. Жалнин Р. В., Масягин В. Ф., Сальников В. Д., Пескова Е. Е. Решение задач газовой динамики с использованием неявной схемы для метода Галеркина с разрывными базисными функциями // Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем: сб. ст. IX Междунар. науч.-техн. конф. (Россия, г. Пенза, 28-31 октября 2014 г.) / под ред. И. В. Бойкова. - Пенза: Изд- во ПГУ, 2014. - С. 100-104.
6. Chow E., Cleary A. J., Falgout R. D. Design of the HYPRE Preconditioner Library // Proc. of the SIAM Workshop on Object Oriented Methods for Inter-operable Scientific and Engineering Computing (Workshop held at the IBM T.J. Watson Research Center, Yorktown Heights, NY, October 21-23, 1998). - SIAM, Philadelphia, PA, 1998.
