Априорные оценки решения однородной краевой задачи для уравнений параболического типа методом Галеркина с разрывными базисными функциями на разнесенных сетках Текст научной статьи по специальности «Математика»

http://vestnik.mrsu.ru

ISSN Print 0236-2910 ISSN Online 2313-0636

УДК 517.93

DOI: 10.15507/0236-2910.027.201704.490-503

Априорные оценки решения однородной краевой задачи для уравнений параболического типа методом Галеркина с разрывными базисными функциями на разнесенных сетках

Р. В. Жалнин*, В. Ф. Масягин, Е. Е. Пескова

ФГБОУ ВО «МГУ им. Н. П. Огарёва» (г. Саранск, Россия) *[email protected]

Введение. В работе представлены априорные оценки точности решения однородной краевой задачи для параболического уравнения методом Галеркина с разрывными базисными функциями на разнесенных сетках.

Материалы и методы. Для решения поставленной задачи применяется унифицированный подход по исследованию ошибок аппроксимации уравнений диффузионного типа с помощью метода Галеркина с разрывными базисными функциями, предложенный в 2002 г. P. Castillo, B. Cockbum и др.

Результаты исследования. В статье приводятся ошибки аппроксимации, зависящие от характеристического размера ячеек и степени используемых в базисных функциях полиномов; формулируются необходимые для решения задачи леммы; проводится полное доказательство сформулированных лемм. В результате исследования была сформулирована и доказана теорема, в которой приводятся априорные оценки для решения параболических уравнений с помощью метода Галеркина на разнесенных сетках.

Обсуждение и заключения. Полученные результаты согласуются с аналогичными исследованиями других авторов и дополняют их. Дальнейшая работа по данной тематике предполагает исследование уравнений диффузионного типа порядка выше единицы и получение апостериорных оценок погрешности.

Ключевые слова: априорная оценка погрешности, конечный элемент, метод Галер-кина, разрывные базисные функции, параболическая задача

Для цитирования: Жалнин Р. В., Масягин В. Ф., Пескова Е. Е. Априорные оценки решения однородной краевой задачи для уравнений параболического типа методом Галеркина с разрывными базисными функциями на разнесенных сетках // Вестник Мордовского университета. 2017. Т. 27, № 4. С. 490-503. DOI: 10.15507/02362910.027.201704.490-503

Благодарности: Авторы выражают признательность и благодарность члену-корреспонденту РАН В. Ф. Тишкину, чьи рекомендации помогли улучшить статью. Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ; базовая часть государственного задания 1.6958.2017/8.9.

© Жалнин Р. В., Масягин В. Ф., Пескова Е. Е., 2017

A Priori Estimates of Solution of a Homogeneous Boundary Value Problem for Parabolic Type Equations by the Discontinuous Galerkin Method on Staggered Grids

R. V. Zhalnin*, V. F. Masyagin, Ye. Ye. Peskova

National Research Mordovia State University (Saransk, Russia)

*[email protected]

Introduction. In this paper, we present a priori error analysis of the solution of a homogeneous boundary value problem for a second-order differential equation by the discontinuous Galerkin method on staggered grids.

Materials and Methods. This study is based on the unified hp-version error analysis of local discontinuous Galerkin method proposed by Castillo et al. [Optimal a priori error estimates for the hp-version of the local discontinuous Galerkin method for convection-diffusion problems, 2002]. The purpose of this paper is to present a new approach to the error analysis of the solution of parabolic equations by the discontinuous Galerkin method on staggered grids.

Results. We suggest that approximation errors depend on the characteristic size of the cells and the degree of polynomials used in the basis functions. The necessary lemmas are formulated for the problem solution. The complete proof of the lemmas formulated is carried out. We formulated and proved a theorem, in which a priori error estimates are given for solving parabolic equations using the discontinuous Galerkin method on staggered grids. Discussion and Conclusions. The obtained results are consistent with similar studies of other authors and complement them. Further work on this topic involves the study of diffusion-type equations of order higher than the first and the production of a posteriori error estimates.

Keywords: a priori error analysis, finite elements, discontinuous Galerkin methods, discontinuous basis functions, parabolic problems

For citation: Zhalnin R. V., Masyagin V. F., Peskova Ye. Ye. A Priori Estimates of Solution of a Homogeneous Boundary Value Problem for Parabolic Type Equations by the Discontinuous Galerkin Method on Staggered Grids. Vestnik Mordovskogo universiteta = Mordovia University Bulletin. 2017: 27(4):490-503. DOI: 10.15507/0236-2910.027.201704.490503

Acknowledgements: The authors express their appreciation and gratitude to Corresponding Member of Russian Academy of Sciences V. F. Tishkin, whose detailed comments and recommendations helped to improve the article. The work was supported by the Ministry of Education and Science of the Russian Federation: basic part of the State Task 1.6958.2017 / 8.9.

Введение

В работах [1-5] предложен метод на основе метода Галеркина с разрывными базисными функциями на разнесенных сетках для уравнений параболического типа. Отличительной особенностью метода является то, что аппроксимация градиента искомой функции производится на двойственной сетке, состоящей из медианных контрольных объемов, связанных с узлами основной сетки.

В данной работе оценивается ошибка аппроксимации решения сле-Physics and mathematics

дующей краевой задачи для параболического уравнения с помощью ранее предложенного метода:

дм д2м

И "аё=1 (х)'х е (а Ь)> (1)

и (а) = и(Ь) = 0. (2)

Обзор литературы

Исследование локального метода Галеркина с разрывными базисными функциями применительно к зависящим от времени задачам конвекции-

491

диффузии было выполнено в работах B. Cockburn и C. W. Shu [6], B. Cockburn и C. Dawson [7], P. Castillo, B. Cockburn, D. Schötzau и Ch. Schwab [8].

Применительно к чисто эллиптическим задачам локальный метод Галеркина с разрывными базисными функциями тесно связан с т. н. методами внутреннего штрафа (interior penalty methods), исследованными в работах I. Babuska и M. Zlaman [9], J. Douglas и T. Dupont [10], G. A. Baker [11], M. F. Wheeler [12], T. Rusten, P. S. Vassilevski и R. Winther [1З], R. Becker и P. Hansbo [14]. В данных исследованиях приводится т. н. обобщенный анализ погрешности представленных выше методов.

В России оценки погрешности аппроксимации задач эллиптического типа с помощью т. н. гибридизирован-ного варианта схемы разрывного метода Галеркина представлены в работе Р. З. Даутова и Е. М. Федотова [15]. Данная работа продолжает эту череду работ и представляет анализ априорных оценок решения параболических уравнений с помощью метода Галер-кина с разрывными базисными функциями на разнесенных сетках [1-5]. Материалы и методы Накроем отрезок [a, b] равномерной сеткой TV

a = Х1/2 < Х3/2 < ... < Xi-1/2 <

< Xi+1/2 < ... < XN-1/2 < XN+1/2 = b.

Обозначим ячейки сетки T за

— 1. Ячей-

1/2 _ ( Х1/2 , Xl),

1i _ ( X/-l/2> xi+1/2)» ' = N ки сетки TW обозначим I1/2 = ( ., _

IN+1/2 ~{XN , XN+1/0 ' 1+1/2 _ ((i ,

i = 1,..., N-1.

Для удобства дальнейших рассуждений введем в рассмотрение сетку TQ

а = Хт < Х1 < Хз/2 < ... < XN-1/2 < XN < XN+1/2 = b,

ячейки которой обозначим за T; ={x,_m,x), x; = (,xi+m), i = W,N.

В случае, когда это не влияет на ход рассуждений, верхние и нижние индексы будем опускать. Размер ячеек сетки TQ обозначим hr = 0.5h.

Значения «слева» и «справа» от узлов сетки обозначим следующим образом:

ui = limu(xi -s), u* = limu(xi + s),

«Z+1/2 = Hm u( Xi+1/2 -i), u++m = lim и (X+I/2 + £).

s —>0 s—0

Введем следующие обозначения: [[u, ]] = (u+- u;),

Wßi+1/2 ]] = (+1/2 — Ui+1/2 ) ,

[["l/2]] = ( 2) , [[UN+1/2 ]] = (U-+1/2 )

Обозначим INI , и l-l норму

II Ilm,!,- I im,lj

и полунорму в пространстве Hm (Ii),

которые стандартным образом определяются как:

Размер ячейки обозначим

h = Х1+1/2 — Х1 -1/2, ' _ 0,..., N.

Также введем в рассмотрение двойственную сетку Т№

a\<m

Si,

dav

дха dav

,\1/2

dxa

У

2 l/2

a = x1/2 < x1 <... < xi_1 < xi <

< Xi+1 < ... < XN < XN +1/2 = Ь,

где x¡ = 2(X-1/2 +xi+1/2),i = 1,...,N

Обозначение ||-1|0/ будем использовать для нормы в пространстве £2 (I).

Справедливы следующие две леммы, доказанные в работе Ф. Сьярле1.

v

a =m

1 Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М. : Мир, 1980. 512 с. 492 Физико-математические науки

Лемма 1

Пусть п> е Нг+1 (I), при этом г > 0, ¡1 = (12, 12). Пусть П - линейный непрерывный оператор из Нг+1 (I) в Рк , причем П^ = w, Vw е Рк (II). Тогда для целых m , 0 < т < г + 1, справедливы оценки:

|w-nWmL < ChT{r■k]+1-m ||-

(J * chr{r ,k}+1/2|

w

w

Лемма 2

Существуют положительные Сш. к такие, что для всех е Рк (I). справедливы оценки:

\Щ-т\ < СыЛт IН|0,1

lw+ш| ^ OA"2 HI 0L

где = (x-1/2,x+m), h =

+1/2 -1/2 '

dv

то — = 0 в I., i = 1,...,N .

dx 1

Перепишем (1-2) в виде

д(х)= 0 , хе (а,Ь) , (4)

дх

| = /(х) , X е (»,4), (5)

u(a) = u(b) = 0 .

(6)

Согласно методу Галеркина с разрывными базисными функциями [6], приближенное решение (,ик) е х¥к задачи (4-6) будем искать как решение следующей системы уравнений:

jT- qhwdx +jT+ qwdx - uhw IXL +

+Jt_ uhwdx - uhw +Jt+ uhw dx = 0,

r duh r duh „ x I —-vdx + 1 —-vdx - qhv X +

Jr, dt dt i1/2

+{r q-v'dx -qhv IX:"2 +|r+ q-v'dx = I

(7)

(8)

Определим следующие пространства:

V = {и еП (а,Ь):м|Л.е Н*+2 (11), V/ = 1,...,N,s > 0}, Ж = {д еI (а,Ь):д\1>меН+1 (1,+112), V/ = 0,..., N, 5 > 0} Г, = { еII (I):4,€Рк(I),V/ = 1,...,N

= {д еII (I,+112): д\1ыае Рк (I,+1/2), V , = 0,..., N}.

Дополнительно будем предполагать, что для элементов пространств Vh и Wh справедливо утверждение:

х'+1/2 ду

если VеУ , \ —wdx = 0, VwеWh, дх

где i = 1,..., N, (V, w) XV,,, щ , qh - численные потоки, зависящие от значений «слева» и «справа» от узлов сетки. Для численных потоков выполняется условие согласования:

uh (q¡, u¡; q, ut ) = u,

uh +1/2, Ui+1/2' qi+1/2,u+1/2 ) = M;+1/2,

(qi, ; 4i, ) = q,

qh ( qi+1/2 , «i +1/2 ; qi+1/2 , Ui+1/2 ) = qi+1/2 .

(9) (10)

Суммируем выражения (7-8) по всем ячейкам сетки, получим:

= 0,

(3)

JN

J qhwdx + £ ühi [[W¡ ]] +

a i=1

N Г

+Z I Jr- uhw'dx + JT+ Uhwdx

i=1 L ' '

b Qu N

\—hvdx + ^ qh,+i/2[[v,+m]] +

adt ¡=0

N Г 1 Ь

Z ÍT7 qhv>dx+JT+ qhvdx =Jfvdx.

(11)

(12)

x

Потоки будем вычислять следующим образом:

иы = «и , I = 1,...,N ; (13)

^+1/2 = ?й+1/2 + СП[К+1/2 ]] I = ^^ N; (14)

(15)

Здесь

икИ2 Мй«+1/2 0 .

Сц ,

(16)

и N

| д^Жс + ^ иы ]] +

а ¡=1

^ | _ и^'Жх + | + и^'Жх

= 0,

1 Уй?х + Х Чы+У2 [[у'+112 ]]"

дг

N Г

+Х }Т7 Ах + |т+

N и

1-Х си[[и Ы+1/2 ]][[ V+1/2 ]] = }

± Г/^« - Щ + (19)

+ | + ( - йк

= 0, V™/ еЖ,

Е(+1/2 - Чм+1/2 )/+1/2]] +

I=0

N Г "

Е 1Т- ( - Чм ) ) ^ + |т+ ( - Чм ) ) (1х

!=1 Ь 1 1 J

N

+Е С11[[М/+1/2 - йМ+1/2 +1/2 ]] = 0

Уу е Wh.

Обозначим за П1 и П2 }2 - проекторы на пространства Vh и Wh соответственно. Получим:

и -йк =(и-пи)-(йк-п1и) = ©„ ,

Ч - Ъ = (ч-п2 Ч)-(Чм-п2 ч ) = ©,,

Несложно показать, что

где £ > 0, -1 <а< 0 , которые не зависят от размера сетки.

Результаты исследования Подставив (13-15) в систему (11-12), получим:

и™, ]]+1П"

+

-| N

+|т+ иУ(х + £ ™,+т[[им+1/2]] + (21)

N г

,=1 ^ ■ ■

= 0

(17)

(18)

Определим следующую проекцию: найти (й, дк): [0, Т] — Ук х Wh, удовлетворяющие условию:

Ь N

- Чм + Х(М -й>и)[К]] +

(20)

для (н, щ ) хУк .

Сложим (19) и (20) и получим в компактном виде

А( - ,и - йк;и, у) = 0 , (22)

где форма А определена следующим образом:

Ь N

А (, им;^ у) = | Чм^х +Х им[[ ^]] +

а ¡=1

м Гг г "

Г _ и^^х + Г + и^^х

¡=1 I- т т -

N

+ Х ЧАг+1/2[[У/+1/2]] + (23)

¡=0

N1-

+Е 1т_ чку' ^+|т+ чУ^

¡=1 ^ ' ' J

Ы+1/2 ]][[v¡+1/2 ]] = 0.

i=0

Введем в рассмотрение двойственную задачу:

-ф" = Х в (а, Ь), (24)

ф(а) = ф(Ь) = 0 . (25)

Аналогично работе [16] докажем следующие леммы.

+

I=0

Лемма 3

Пусть (q,u )e Hs+(a,b) Hs+2(a, b), s > 0 является точным решением (4-6) и пусть ф е H'+2 (a,b), i > 0 является решением двойственной задачи (24-25), а Ф = -ф' . Также полагаем, что константа C11 удовлетворяет (16). Тогда существует константа C такая, что справедлива следующая оценка:

A(q -П 2 q, u-П1и; Ф-П 2Ф,ф-Пф)<

<Ch 114+2 И,+2,

где P1 = min {min {s, k} +1 + min {t +1, k}, min{ +1,k} +1 + min{t,k + a}| .

Доказательство

Предположим £q = q - П2 q, £u = u - П {и,

= Ф - П2Ф, = ф - Пф . Следовательно:

А( ¿u dx

a

tt L ]]+it I" JT- LL dx+íT+ LL dx

i=1 L ' i

N N г

i qi+1/2 [[L i+1/2 ]]+Ц(ЛФх+

Интегрируя по частям и применяя последовательно неравенство Ко-ши-Буняковского и лемму 1, получим оценку:

+íT+ÍL'dx

t Cii[L »i+1/2 ]][[L+1/2]]

— + А2 + -А3 + -А 4.

Оценим отдельно каждое слагаемое. Из неравенства Коши-Буняков-ского получим:

А1 - Z dX\ -

ш

||2

'И 1о,т

W \V1

Е

vlelß У

ф 11о,т VIelß У

Далее из оценок леммы 1 следует:

А, < Ci

I t

Г Л1/2

j

f Л1/2

у ^,*}+2|ф||2 ^

¿—I Т II Н(+1,Т

'еТе

Physics and mathematics

Л2 =

ZUfo ]] + ZUT-fofo dx

\ N N

dx ) = E fofo-E fofo i +

+E (fofo-fo ^-1/2-j;fofo dx+ -fofo,.dx)

N

Oí+1/2

[[fo+1/2]] -

í=0

-E (JT_fo fo dx+jT+z; fo dx

A2 <Z I«. ll,T IIS® II0,T +

( (

feф 12,,.+

\ TEÍe v

TZ((0,T+ IdT12)

f

Z (chT

minjíII2

FU+2,T '

VTeTs

+c2 —hTmin{+u!+4 .1 г 2 ht T 11 lls+

\Л

Z(c3 h2min{' д!+2| |ф| L,T +

+С 4|hT hr (

2min{í ,*}+1 |ф| I2

№ И <

Iii+1,T ¡

< c

Z hT

fsTg

Z hT

2min{+1,*! II ||2

IrIL+2,T

/ Y'2

2min{í,*}+2 |Ф||2

+

i=0

А3 =

Аналогично получим:

N

qi+1/2 [[^ф/+1/2 ]] +

i=1

N I

X 2|1С

< с

и+1,Т

у/2 )

А4 =

Е «/+1/2 ]]Кл+1/2 ]] — /=0

и/+1/2 ф/+1/2]] —

/=0

/ N-1 2 N

— I Е С11 |^ш+1/2 | + Е С11 |^ш+1/2

V /=0 / =1

/ N-1 2 N

' Е С11 |^ф<+1/2 | + Е С11 |^ф<+1/2 |

у/2

Е С5Спкт Е C6C11h^шiní,+и!+11

/=0

(

г 2шт{+1,£}+1 || ||2

hT ГИ+2,Т

/

У/2

11/+2,Т

V 'а (

— (С,

Е АТ

2шт{+1Д}+1+П II ||2

1гИ,+2,Т

Е

у

У/2

2шт{+1Д}+1+П ||ф||2

а( ^ ¿ф)< с (ит^ит^д}+1+

Ит1п{'к}+1 + И т1п{5, к}"1"^ т1п {+1,к} .^И^5 ■к}+1 +1Д} +

т1п{+1,к} 1+а ^

2

14+2 \\Ф\\,+2 <

< С ( й7П{5'к}+1 (('к}+1 + Й™П{'+1'к} ) +

+к

п{+1,к}+1

((

{+1,к}+

<

Применяя правило Коши-Буняков-ского и лемму 1, получим:

< СИ

II 1Ь+ 2 Иг II?+2

т1п{т1п{5,к }+1+т1п{?+1,к},т1п{5+1,к}+1+тт{?,&+а}}

II4+2 N1,+2.

Доказательство завершено.

Лемма 4

Пусть П1 и П2 обозначают Ь2(а, Ь) -проекции на Ук или Wh соответственно. Пусть (Щ V) еШк х Vh,

(д, и) е Н+1 (а, Ь) х Н+2 (а, Ь), 5 > 0. Полагаем, что коэффициент С11 удовлетворяет (16). Тогда существует константа С такая, что справедлива оценка

|А(и>,V;q-П2q,и-П1и) <

(26)

< С^г А1'2 V; w, V)||и

где Р2 = тт|я +1 (1 -а),к + 2(1 + а) .

Доказательство Из (21) следует, что

N

(А^V;w,V)| = 1\Ц2 +ЕСп[[^.+1/2]]2 .

1=0

Возьмем = д -П 2 д и £,и = и -И1м , тогда

Сложив полученные неравенства и проведя несложные алгебраические операции, получим:

Ъ[[^]] + Е|Х у^Х + | У^Х

1=1 1=1 L ' '

чТеТа

N N г

Z W+1/2 Ku+1/2 ]] + Z i L Wdx + L ^dx

i=a ¡=1 L ' i

Z +1/2 ]][[^ш+1/2 ]]

Используя тот факт, что П2 есть оператор II (а, Ь) -проекции для любых w е , получим:

D D

J wE,qdx = J w (q -П 2 q ~)dx

= 0 .

( N Y'2 ( N 1

c11[[v,.+1/2]]21 z—к

'Ci

И0 +Z Cll[[v,-+1/2]]2

Z ml+1,X

l h^my11 mi i 2

YeT„ C11

1/2

V Q

= A1/2 (w, v; w, v)

(

Z с -1 Гп{ д!+1| MI2+

V^eTg Cu

Аналогично вычислим оценку:

N

Z W/+1/2[[^M/+1/2]] + i=0

hZ IX w^údx+ L w%udx i=1 L ' '

< A1/2 (w,v; w,v)•

Ztt Ch

2min{+1,k}+1 1^12

VÍeT^ Сц

И наконец,

Аналогично, дополнительно интегрируя по частям, получим

Í^]] + ¿[j + jí+ v^x

i=1 i=1 L ' '

N

Vi+l/2]]^q¿+1/2

Умножим и разделим на С^2, применим неравенство Коши-Буняковско-го, леммы 1 и 2. Получим:

+ Z|Х v^dx + j v^x i=1 i=1 L ' '

Z cii[[v i+1/2

ZciilKu i=0

HI 2+ZCn[[v+1/2]]

N-1 I |2 N i

У C11 +У C11 k-

11 r ui+1/2 ^ 11 Г ui+

i=0 i=1

< A1/2 (w,v; w,v)•

^^ Ce h2™in{s+1Y+1

<| Z Cll[[Vi+i/2]]2

< 1/2

2

s+2,T

Сложив полученные неравенства и проведя некоторые алгебраические операции, получим требуемое неравенство:

А(\>;%дА1'2 (v;v)•

IL+1,T

£ c-L htmiR{,kXi+i 1 C11

? , л1'2

Z TL chT"+u!+1| MLx

VYeTe Cii (

H+2,T

< Ch

A1/2 (w,v; w,v

min J s+1(1-a);k+Yl+a) Yl

' / ' 2Уд 1/2

+

0

a

a

2

0

U

+

+

где Pp = mmj? +l (l-a),k +l (l + a)j>.

Учитывая (29) и то, что П2qh = qh, П^ = üh, получим:

Доказательство завершено.

Ошибку аппроксимации проекции (19-20) обозначим (,е„) = (-Ян,"-, где (д,м) и (ак,йк) - решения задач (4-6) и (19-20) соответственно.

Далее, следуя методу Обэна-Нитше [16], рассмотрим следующую задачу: а(е ,^е ;^е ,п[е ) =

V;Ф,ф) = А(у), (27) = а(п2д -^,п,« - е«;пл,п1еи ) =

где ф - искомое слабое решение =а(п2д -п2дк - д + дк, п,и -

задачи (24)-(25), Ф = -^' ; V), -п« -«+« ;пп,е ) = (31)

(Ф,ф) е Н +1 ((а, Ь)) х Н + 2 ((а, Ь)) , * > 0, 14 2 д' 1 Л(у) = (v,X). = а(п2д - д,п,« -«;п2бд,п^« ) =

Тогда }2 -норму ошибки аппроксимации можно определить следующим образом:

= а(-п2ез,Пе; q -n2q, ци -u) < < chP а1/2 (п 2ßq, nie; п 2ßq, nie )inl 2

IM lo = suP

|Л(е,

(28) где P2 = mini s +1 (l-a),k +1 (l + a).

A.C (a,V) P||0 l 2 2

Пусть (w, v) = (e , eu), тогда (27) за-

Тогда из (30-31) и леммы 3 получим:

пишем в виде: |Л(еа) < Ch+P2 |H|i+2 \\ф\12 + ch \\u\\s+2 \\ф\[+2,

л(еи ) = A{e„, eu; ф,ф) . где P = min {min {s, k} +1 + min {t +1, k},

T-, min{s +1,k} +1 + min{t,k + a}} .

Далее, учитывая условие согласованности потоков (9)-(10), легко пока- Далее, учитывая, что ф является резать, что шением задачи (24)-(25), можем считать,

что для ф справедливо свойство эллип-A(eq,eu;w,v) = 0, V(w,v) e Wh xVh. (29) тической регулярности \\ф\\2 < C|||0.

Следовательно, приняв t = 0, из (28)

Следовательно, A(eq,eu;П2Ф,П^) = 0 , где П1, П2 - получим оценку: проекторы на пространства Vh, Wh со- .. .. D|| ..

ответственно. Из этого следует: IIм - |0 - INI+2, (32)

Л(ви) = А(ед,ви;Ф-П2Ф,ф-П ф) = где г , 1 1 ,

, ч D = min «¡min <s + — (1 -а), k + — (1 + а)^ +

= А(П2ед,П1еи ;Ф-П2Ф,ф-П ф) + [I 2 2 'J

+A(q-п2q,и -niu;Ф-П2ф,ф-п 1ф). +min|i(l-а),k +1(1 + а)|,min(min(s,k} +

Поскольку (п 2 e ne) eWh x Vh, t^ 1 + min {1, k],mrn {5 + 1,k} + 1 + min {0,k + a}}}, „„ua. (4), получим следу- _1 <а< Q "

■ Далее продифференцируем (19-20)

A(n2e,,nie»;ф-П2фф-П 1ф)|< по времени t. Путем аналогичных

рассуждений получим следующую оценку:

применяя лемму (4), получим следующее неравенство:

1ФФ-ПФ)1<

(30)

< ChPpAm (U2eq,nieu;n2eq,П1еи

Ik -k*lL * Ch° (||4+2 +|HI2), (33) l^lf + 2}(}U2d* + +1/2]]2}ds <

где

D = min jmin |s +1(1 - a), k +1(1 + a)| +

+ min 11(1 -a), k +1(1 + a) j ,min {min {s, k} +

1 + min {1, k}, min { + 1, k} +1 + min {0,k + a}}}, -1 <a< 0 .

Используя определенную ранее проекцию, запишем:

и - uh =( - uh )-(щ - uh )=Пы ,

q - q = (q - q„ )~(чн- q„ )=\■

Используя неравенство треугольника для искомой оценки, запишем утверждение

IIм - uh 11о - IIм - Üh\ lo -1\uh - uh\ lo ■ (34)

Используя проекцию (19-20), перепишем систему (17-18) в следующем виде:

Ь N

\^kwdx + [[w ]] +

N Гг г

b N

I bul

qi+1/2 [Vi+1/2 ]]

a i=0

+Е {[jv'dx + ¡rJqV'dx

i=1 L i i

ui+1/2

]][[Vi

+1/2 ]] = ¡Vulvdx

<C

U (0)1 + }|ЫI2 ds

(37)

Доказательство Подставим w = Eqq в (35), v = в (36) и сложим. Получим:

1 d_ 2 dt

llfol Г +l£dx + Z CiiK ш+1/2]] ^

a i=0

b

(38)

Применяя неравенство Коши-Буня-ковского, получим:

d_ dt

||fo| I2 + dx + 2^ Cn№ ш+1/2]] <

(39)

<\\n\ I2 + lld I2.

Далее проинтегрируем от 0 до t и получим:

t\b N

(35)

ни2+2jrn?2dxCM ui+1/2]] (ds ^

0La i=0

t t

(40)

= ll4(0)| + J|kt| Г ds + J||4| Г ds.

(36)

Лемма 5

Существует константа С, не зависящая от h и к, - такая, что справедлива следующая оценка:

Используем лемму Гронуолла, получим искомую оценку.

Доказательство завершено.

Таким образом, из (32), (33), (34) и(37) следует

Теорема 1

Пусть (д, и) е Н+1 х Н+2, 5 > 0 является решением задачи (4-6) и (дк, ик) е Шк х¥к является решением задачи (17-18). Пусть выполнены предположения из лемм 3 и 4. Тогда справедлива оценка:

0

0

Г - иЛ о <

<ChL

INL+ilM s+2+lN Т s

(41)

где

D = min jmin |i +1(1 - a), k +1(1 + a)| +

+ min 11(1 -a), k +1(1 + a) j ,min {min {5, k} +

1 + min {l, к}, min {s +1, к} +1 + min {0, к + a}}}, -1 <a< 0 .

Обсуждение и заключения

В работе приводятся оценки погрешности для решения одномерной краевой задачи для параболического уравнения, полученного методом Галеркина с разрывными базисными функциями на разнесенных равномерных сетках. При этом предполагалось, что узлы двойственной сетки являются центрами ячеек основной сетки.

Ниже приведена таблица, в которой представлены порядки сходимости по h с различным выбором стабилизирующего параметра С11. Эти порядки легко получаются из (41).

Т а б л и ц а T a b l e

Порядки сходимости решения u е Hs+2 для s > 0 и k > 1 Order of convergence of the solution u е Hs+2 for s > 0 and k > 1

с„ D

а= 0 0(1) min {s, k} +1

а = -1 O (1/ h) min { +1, k} +1

Как видно из таблицы, получаются порядки сходимости k +1 для исследуемого метода, где k - максимальный порядок используемых полиномов в базисных функциях. При этом в данном под-

ходе, в отличие от традиционного подхода с использованием одной сетки, проще и нагляднее вычисляются численные потоки на границе элементов за счет использования разнесенных сеток.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Масягин В. Ф., Жалнин Е В., Тишкин В. Ф. О применении разрывного конечно-элементного метода Галеркина для решения двумерных уравнений диффузионного типа на неструктурированных сетках // Журнал Средневолжского математического общества. 2013. Т. 15, № 2. С. 59-65. URL: https://eHbrary.ru/item.asp?id=19832783

2. Об одном способе решения уравнений диффузионного типа с помощью разрывного метода Галеркина на неструктурированной сетке / Р. В. Жалнин [и др.] // Журнал Средневолжского математического общества. 2014. Т. 16, № 2. С. 7-13. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=23570368

3. Решение трехмерных уравнений теплопроводности с помощью разрывного метода Галеркина на неструктурированных сетках / Р. В. Жалнин [и др.] // Вестник Самарского государственного технического университета (Сер. «Физико-математические науки»). 2015. Т. 19, № 3. С. 523-533. DOI: 10.14498/vsgtu1351

4. Решение задач о нестационарной фильтрации вещества с помощью разрывного метода Галеркина на неструктурированных сетках / Р. В. Жалнин [и др.] // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2016. Т. 56, № 6. С. 989-998. DOI: 10.7868/S0044466916060247

5. Применение разрывного метода Галеркина для решения параболических задач в анизотропных средах на треугольных сетках / Р. В. Жалнин [и др.] // Вестник Южно-Уральского государственного университета. (Сер. «Математическое моделирование и программирование»). 2016. Т. 9, № 3. С. 144-151. DOI: 10.14529/mmp160313

6. Cockburn B., Shu C. W. The local discontinuous Galerkin finite element method for convection-diffusion systems // SIAM Journal on Numerical Analysis. 1998. Vol. 35, no. 6. P. 2440-2463. DOI: 10.1137/ S0036142997316712

7. Cockburn B., Dawson C. Some extensions of the local discontinuous Galerkin method for convection-diffusion equations in multidimensions // Tech. Report 99-27. Texas Institute for Computational and Applied Mathematics. 1999. DOI: 10.1.1.26.7688

8. An optimal a priory error estimate for the hp-version of the local discontinuous Galerkin method for convection-diffusion problems / P. Castillo [et al.] // IMA Research Report 1689. University of Minnesota, 2000. URL: https://www.ima.umn.edu/sites/default/files/1689.pdf

9. Babuska 1, Zlaman M. Nonconforming elements in the finite element method with penalty // SIAM Journal on Numerical Analysis. 1973. Vol. 10, no. 5. P. 863-875. DOI: 10.1137/0710071

10. Douglas J., Dupont T. Interior penalty procedures for elliptic and parabolic Galerkin methods // Lecture Notes in Physics. 1976. Vol. 58. URL: https://link.springer.com/chapter/10.1007/BFb0120591

11. Baker G. A. Finite element methods for elliptic equations using nonconforming elements // Math. Comp. 1977. Vol. 31. P. 45-59. DOI: 10.1090/S0025-5718-1977-0431742-5

12. Wheeler M. F. An elliptic collocation-finite element method with interior penalties // SIAM Journal on Numerical Analysis. 1978. Vol 15, no. 1. P. 152-161. DOI: 10.1137/0715010

13. Rusten T., Vassilevski P. S., Winther R. Interior penalty preconditioners for mixed finite element approximations of elliptic problems // Math. Comp. 1996. Vol. 65. P. 447-466. DOI: 10.1090/S0025-5718-96-00720-X

14. Becker R., Hansbo P. A finite element method for domain decomposition with non-matching grids // Tech. Report 3613, INRIA. 1999. URL: https://hal.inria.fr/inria-00073065/document

15. Даутов Р. З., Федотов Е. М. Абстрактная теория HDG-схем для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2014. Т. 54, № 3. С. 463-480. DOI: 10.7868/S0044466914030041

16. An a priory error analysis of the local discontinuous Galerkin method for elliptic problems / P. Castillo [et al.] // SIAM Journal on Numerical Analysis. 2003. Vol. 38, no. 5. P. 1676-1706. DOI: 10.1137/ S0036142900371003

Поступила 24.08.2017; принята к публикации 28.09.2017; опубликована онлайн 19.12.2017

Об авторах:

Жалнин Руслан Викторович, заведующий кафедрой прикладной математики, дифференциальных уравнений и теоретической механики, ведущий научный сотрудник, факультет математики и информационных технологий, ФГБОУ ВО «МГУ им. Н. П. Огарёва» (430005, Россия, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 68), кандидат физико-математических наук, ORCID: http://orcid.org/0000-0002-1103-3321, [email protected]

Масягин Виктор Федорович, старший научный сотрудник, доцент кафедры прикладной математики, дифференциальных уравнений и теоретической механики, факультет математики и информационных технологий, ФГБОУ ВО «МГУ им. Н. П. Огарёва» (430005, Россия, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 68), кандидат физико-математических наук, ORCID: http://orcid.org/0000-0001-6738-8183, [email protected]

Пескова Елизавета Евгеньевна, младший научный сотрудник, старший преподаватель кафедры прикладной математики, дифференциальных уравнений и теоретической механики, факультет математики и информационных технологий, ФГБОУ ВО «МГУ им. Н. П. Огарёва» (430005, Россия, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 68), [email protected]

Вклад соавторов:

Р. В. Жалнин: формулировка и постановка задачи, формулировка и доказательство Леммы 3 и Теоремы 1; В. Ф. Масягин: формулировка и доказательство Леммы 4 и 5; Е. Е. Пескова: обзор литературы по зарубежным источникам.

Все авторы прочитали и одобрили окончательный вариант рукописи.

REFERENCES

1. Zhalnin R. V., Masyagin V. F., Tishkin V. F. Discontinuous finite-element Galerkin method for numerical solution of two-dimensional diffusion problems on unstructured grids. Zhurnal Srenevolzhskogo matematicheskogo obshchestva = Journal of Middle-Volga Mathematical Society. 2013; 2(15):59-65. Available at: https://elibrary.ru/item.asp?id=19832783 (In Russ.)

2. Zhalnin R. V. , Ladonkina M. E., Masyagin V. F., Tishkin V. F. Discontinuous finite-element Galer-kin method for numerical solution of two-dimensional diffusion problems on unstructured grids. Zhurnal Srenevolzhskogo matematicheskogo obshchestva = Journal of Middle-Volga Mathematical Society. 2014; 2(16):7-13. Available at: https://elibrary.ru/item.asp?id=23570368 (In Russ.)

3. Zhalnin R. V., Ladonkina M. E., Masyagin V. F., Tishkin V. F. Solution of 3D heat conduction equations using the discontinuous Galerkin method on unstructured grids. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta: Fiziko-matematicheskiye nauki = Samara State Technical University Bulletin: Physics and Mathematics. 2015. 3(19):523-533. DOI: 10.14498/vsgtu1351 (In Russ.)

4. Zhalnin R. V., Ladonkina M. E., Masyagin V. F., et al. Solving the problem of non-stationary filtration of substance by the discontinuous Galerkin method on unstructured grids. Zhurnal vychislitelnoy matematiki i matematicheskoyfiziki = Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2016; 56(6):977-986. DOI:10.1134/S0965542516060245

5. Zhalnin R. V., Ladonkina M. E., Masyagin V. F., Tishkin V. F. Discontinuous Finite-Element Galerkin Method for Numerical Solution of Parabolic Problems in Anisotropic Media on Triangle Grids. Vestnik Yuzhno-Uralskogo gosudarstvennogo universiteta: Matematicheskoye modelirovaniye i program-mirovaniye = South Ural State University Bulletin: Mathematical Modelling, Programming and Computer Software. 2016; 9(3):144-151. DOI: 10.14529/mmp160313 (In Russ.)

6. Cockburn B., Shu C. W. The local discontinuous Galerkin finite element method for convection-diffusion systems. SIAM Journal on Numerical Analysis. 1998; 35(6):2440-2463. DOI: 10.1137/ S0036142997316712

7. Cockburn B., Dawson C. Some extensions of the local discontinuous Galerkin method for convection-diffusion equations in multidimensions. Tech. Report 99-27, Texas Institute for Computational and Applied Mathematics, 1999. DOI: 10.1.1.26.7688

8. Castillo P., Cockburn B., Schotzau D., Schwab Ch. An optimal a priory error estimate for the hp-version of the local discontinuous Galerkin method for convection-diffusion problems. IMA Research Report 1689. University of Minnesota, 2000. Available at: https://www.ima.umn.edu/sites/default/files/1689.pdf

9. Babuska I., Zlaman M. Nonconforming elements in the finite element method with penalty. SIAM Journal on Numerical Analysis. 1973; 10(5):863-875. DOI: 10.1137/0710071

10. Douglas J., Dupont T. Interior penalty procedures for elliptic and parabolic Galerkin methods. Lecture Notes in Physics. 1976; 58. Available at: https://link.springer.com/chapter/10.1007/BFb0120591

11. Baker GA. Finite element methods for elliptic equations using nonconforming elements. Math. Comp. 1977; 31:45-59. DOI: 10.1090/S0025-5718-1977-0431742-5

12. Wheeler M. F. An elliptic collocation-finite element method with interior penalties. SIAM Journal on Numerical Analysis. 1978; 15(1):152-161. DOI: 10.1137/0715010

13. Rusten T., Vassilevski P. S., Winther R. Interior penalty preconditioners for mixed finite element approximations of elliptic problems. Math. Comp. 1996; 65:447-466. DOI: 10.1090/S0025-5718-96-00720-X

14. Becker R., Hansbo P. A finite element method for domain decomposition with non-matching grids. Tech. Report 3613, INRIA. 1999. Available at: https://hal.inria.fr/inria-00073065/document

15. Dautov R. Z., Fedotov E. M. Abstract theory of hybridizable discontinuous Galerkin methods for second-order quasilinear elliptic problems. Zhurnal vychislitelnoy matematiki i matematicheskoy fiziki = Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2014; 54(3):474-490. DOI: 10.1134/ S096554251403004X

16. Castillo P., Cockburn B., Perugia I., Schotzau D. An a priory error analysis of the local discontinuous Galerkin method for elliptic problems. SIAM Journal on Numerical Analysis. 2003; 38(5):1676-1706. DOI: 10.1137/S0036142900371003

Submitted 24.08.2017; revised 28.09.2017; published online 19.12.2017

About the authors:

Ruslan V. Zhalnin, Head of Chair of Applied Mathematics, Differential Equations and Theoretical Mechanics, National Research Mordovia State University (68 Bolshevistskaya St., Saransk 430005, Russia), Ph.D. (Physics and Mathematics), ORCID: http://orcid.org/0000-0002-1103-3321, [email protected]

Viktor F. Masyagin, Associate Professor of Chair of Applied Mathematics, Differential Equations and Theoretical Mechanics, National Research Mordovia State University (68 Bolshevistskaya St., Saransk 430005, Russia), Ph.D. (Physics and Mathematics), ORCID: http://orcid.org/0000-0001-6738-8183, [email protected]

Yelizaveta Ye. Peskova, Senior Lecturer of Chair of Applied Mathematics, Differential Equations and Theoretical Mechanics, National Research Mordovia State University (68 Bolshevistskaya St., Saransk 430005, Russia), [email protected]

Contribution of the co-authors:

R. V. Zhalnin: formulated the problem, formulated and proved the Lemma 3 and Theorem 1; V. F. Masyagin formulated and proved the Lemma 4 and Lemma 5; Ye. Ye. Peskova reviewed the literature.

All authors have read and approved the final version of the manuscript.