О применении производственных функций вида VES-функция для моделирования функционирования экономических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Управление в социально-экономических системах

УДК 330.46 DOI: 10.14529/ctcr170106

О ПРИМЕНЕНИИ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ВИДА VES-ФУНКЦИЯ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

А.В. Кутышкин, Г.А. Сокол

Югорский государственный университет, г. Ханты-Мансийск

Представлены результаты моделирования функционирования экономических систем с использованием производственных функций с переменной эластичностью замещения труда капиталом (VES-функции). В настоящее время известные аналитические зависимости для VES-функций построены на основе предположений о существовании связей определенного вида между показателем фондовооруженности экономической системы и предельной нормой замещения фактора труда фактором капитала. Однако данные предположения, с одной стороны, в определенной степени ограничивают возможности построения производственных функций типа VES-функция, а с другой стороны, требуют предварительной проверки выполнения этих предположений на ретроспективных данных о функционировании рассматриваемой экономической системы. Предложенный в статье алгоритм построения производственной функции типа VES-функция не имеет указанных ограничений. Сравнительный анализ результатов моделирования функционирования экономических систем, полученных с использованием уже известных аналитических зависимостей для VES-функций и предложенного авторами алгоритма построения производственных функций этого вида, показал целесообразность использования данного алгоритма для решения задач подобного вида. При моделировании использовались статистические данные о функционировании экономических систем, опубликованные в открытой печати.

Ключевые слова: производственная функция, замещение труда капиталом, эластичность замещения труда капиталом, переменная эластичность.

Введение

Определение основных показателей как функционирования экономических систем, так и производственной деятельности предприятий достаточно часто осуществляется с использованием производственных функций (ПФ). Последние являются одним из инструментов экономико-математического моделирования процесса производства, если его рассматривать как открытую систему, входами которой являются затраты ресурсов (материальных и людских), а выходы представляют собой производимую продукцию. Производственные функции также используются для анализа влияния ряда ключевых факторов (входов) на результаты процесса производства (выходы), поскольку ПФ в целом отражают достаточно устойчивые количественные соотношения между его входами и выходами.

Производственные функции по своей структуре условно можно разделить на линейные, линейно-однородные и однородные. Наибольшее распространение при решении различного рода задач анализа функционирования экономических систем получили производственные функции двух последних видов, известные также как неоклассические производственные функции. Это обусловлено, во-первых, тем, что они оперируют, как правило, только двумя факторами затрат производства - агрегированными факторами затрат труда L и капитала K, оказывающими наиболее существенное влияние на результирующий параметр функционирования данных систем -агрегированный показатель объема выпуска конечной продукции Y, а, во-вторых, для определенного вида этих функций - CES-функций (constant elasticity substitution production function) полу-

чены аналитические выражения с учетом ключевых свойств неоклассических производственных функций.

Вместе с тем, сложность экономических систем, для описания функционирования которых применяются неоклассические производственные функции вида CES-функции, не всегда позволяет утверждать, что значения эластичности замещения труда капиталом о в рассматриваемых системах постоянны, так как данная ситуация является не такой распространенной для реальных экономических систем. Необходимо также принятие дополнительных допущений, обосновывающих возможность использования производственных функций этих видов, описывающих частные случаи функционирования этих систем, для моделирования их функционирования, что, в конечном итоге, снижает точность получаемых прогнозных оценок.

Видом неоклассических производственных функций, учитывающим изменения значений эластичности замещения труда капиталом о в экономических системах, являются VES-функции (variable elasticity substitution production function). В настоящее время известны следующие варианты аналитического представления производственной функции вида VES-функция.

Реванкар [1] и ряд других авторов [2] принимали, что предельная норма замещения труда капиталом у характеризуется следующей зависимостью от фондовооруженности k рассматриваемой экономической системы:

у = a + pk,

[Р> 0,

h/P< k.

с(

Тогда о определяется зависимостью:

с( k )< 1, c(k )> 1, г(k) = 1 + (о£)k-1, da(k) < 1, dajk) > 1 dk dk а VES-функция имеет вид:

1

>, a < 0, a > 0,

Y = Ле

xt

(1 + p) KLP+aL1+P

(1)

Фергюсон [3], в свою очередь, предложил величину у оценивать выражением:

( 1 ^ Г0 <a< 1.

у = k--1

|a + pk

0 <а + р^ < 1.

На основании этого им были получены следующие зависимости для о и VES-функции:

с( k )< 1, с( k )> 1,

da(k)<l da(k) Р<0,Р>0.

с

( k ) = 1 -

Pk

(a + pk)2 -

a

dk dk

У = Лех'Ка&аеР. (2)

Сато и Хоффман [4], предложив непосредственно эластичность замещения труда капиталом о представлять в виде: с(k) = а + bk , получили общий вид модифицированной VES-функции для данного случая взаимосвязи о и ^

* = ^ [ К .1] = Л ехр |-^-^ . (3)

V ! X1/ k + ck/a (a + bk ya

Полученная зависимость в дальнейшем была приведена к виду:

Y = ЛК

a+c

L +

b

1 + c

К

1+c

(4)

Все параметры А, а, Ь, с, а, в, X представленных выше зависимостей, определяющих VES-функцию, оценивались на основании статистического анализа ретроспективных данных, характеризующих функционирование экономической системы.

Сделанные упомянутыми выше авторами допущения относительно характера взаимосвязей между у, о и k, обеспечивают изменения значений о в зависимости от величины k, а также выполнение требований, предъявляемых в целом к неоклассическим производственным функциям. Применение же приведенных выше вариантов VES-функций предполагает дополнительное обоснование возможности описания изменений величин у и о принятыми зависимостями.

В работе [5] предложена более общая методика построения неоклассических производственных функций вида VES-функции и представлены результаты реализации этой методики применительно к данным о функционировании экономики СССР в период с 1947 по 1966 г. [6]. Сравнительный анализ полученных расчетных значений Y и значений этого показателя, полученных с использованием производственных функций вида CES-функции [6], показывает более высокую точность оценок рассматриваемого показателя, получаемых по методике работы [5].

В данной статье представлены результаты использования приведенных выше производственных функций вида VES-функции и CES-функции, методика построения которых приведена в работе [5], для оценки значений Y и значений модифицированной производственной функции g(k) для данных, характеризующих функционирование экономик США и Японии [2, 4].

1. Построение 8-однородных производственных функций типа VES-функция

Идентификация структуры производственной функции осуществляется в результате решения следующей системы дифференциальных уравнений [7]: g '(k)_ 5

g(k) у(k)+k' (5)

у'(k) _ 1 ( )

у( к ) кс( к )'

Здесь 5 - показатель однородности производственной функции; к - фондовооруженность: к = КХ; g(к) - модифицированная производственная функция: г У

У = / (К, Х ) = Х5/ (1, к = >> = / (1, к ) = g (к ); (6)

у(к) - предельная норма замещения труда капиталом:

Т( к ; (7)

о(к) - эластичность замещения труда капиталом для 5 -однородной производственной функции:

с(k>=k

1 d у( k )У*

dk

(8)

Величина о(к) задается некоторой функцией, а у(к) и g(к) определяются из решения системы (5). Непосредственно / К,Х) определяется по функции g(k) согласно (6).

В работе [5] доказано существование и единственность решения системы (5), что позволяет осуществить построение 5 -однородной производственной функции типа VES-функция в следующей последовательности.

При заданном значении 5 (предполагается, что выбор значения 5е( 0,1] осуществляется согласно предварительно сформулированному оптимизационному критерию) достаточно построить функцию g(k), которую можно определить следующими выражениями с учетом структуры функции о(к):

fк ,, Л

у( k ) = b • exp j

с

V a

(t)

(к , ,, Л

g (k ) = с • exp j

y(t)+1

Va

где a, b, с - некоторые положительные постоянные.

(9)

(10)

В качестве а(к) можно выбрать, например, некоторую непрерывную, в том числе, и кусочно-линейную функцию.

При построении функции g(k) необходимо обеспечить выполнение основных свойств неоклассических производственных функций, в том числе:

dgíkl > 0 ^8 (к)- к^8^ > 0; (11) dk dk

^ < 0 ^8(8-1) g (к) + 2k (1 -8) ^ + к2 ^ < 0. (12) dk dk dk Исходными данными для построения неоклассической 8 -однородной производственной функции типа VES-функция являются множества значений объемов выпуска продукции Y = Д£,К) - Y = (/ = 1, ..., п) и соответствующие значения К = {Кг-}, £ = {Ц} в стоимостном

или индексном исчислении, характеризующие функционирование рассматриваемой экономической системы в каждый момент времени Т в течение определенного интервала времени [Ть Тп]. Также задаются значения показателя однородности 8у : 8у е ]0,1]. По этим данным определяются

значения фондовооруженности рассматриваемой экономической системы: к = Ki|Li и значения

функции g8 (к1) при фиксированном значении 8 у:

g 5' ()= ^ •

V

Далее выполняются следующие процедуры.

1. Значения функции g8 (к1) упорядочиваются по возрастанию значений к, формируя ряд

gl] (I = 1, ..., п; п = п).

2. Значения glJ■ апроксимируются функциями 8,у , удовлетворяющими требованию

ni

=Ё(glJ -8у) ^т1п. (13)

I=1

С учетом неравенства 0<о< 1 и следующих ограничений, включая ограничения (11), (12), в которых дифференциальные неравенства заменяются на их разностные аналоги:

88 - к1 81:1 -8 > 0; (14)

к1+1 к1

81+1у -8 > 0; (15)

к - к К1+1 К1

81+2 ] - 81+1 ] - 81+1 ] - 8У

к?, о - кт.л к]. л - к?

8У (5У -1) Zj + (1 - 5j) g^lT + 1+2 " , , " l < 0; (16)

ft;, 1 ft; ft; м ft;

gl + 2 j Si+1 j gl+1 j glj

где

kl+2 kl+1-kl+1 kl < 0; (17)

kl+1 - kl

n (kl+1j-klj )(Tl+1j + YjL.. (18)

alj = 7-\f.-ГТ- 1; (18)

(Yl+1j - Yj )( kl+u + kj )

|Yl+1|-1 Yl | > 0, (19)

Yj =5 j • glJk.l+1j~k! —kj . (20) gi+1 j- gj-

3. На основании значений в соответствии с (18), (20) определяются значения величин у у и оу.

4. Полученные значения оу при допущении а = сп-1 = сп-2 апроксимируются кусочно-линейными функциями с параметрами:

= , а =СТу •к1+1 -а+1у •к1 , (I = 1, . щ). (21)

¡к - к к - к К1+1 К1 к1+1 К1

При этом полагается, что

• для участка [0, к^ оу(к) = оу

• для участка [ки_2, <»] о/к) = о„_2у.

5. Согласно (9) с учетом (21) рассчитываются значения у у (I = 1, ..., п ¡):

у у =у-1 у ■ ехР

i

V ki

(е1 •t+¿1)t

у

Для I = 1 значение уу определяется выражением (18).

6. Полученные значения уу по аналогии с (21) апроксимируются кусочно-линейными функциями вида VI • t + .

7. На основании (10) при допущении, что для I = 1 значение gj = , рассчитываются значения функции glj :

gj = gl_ j • exP

r klf 5 ,dt Л i

slj=

(22)

k (vi •t + wi) +t

где vl, wl - параметры кусочно-линейных функций, используемых для аппроксимаций уу . 8. Определяется относительная погрешности sj

SijZlL gj

характеризующая степень расхождения между значениями gj и gj , и соответствующая величина среднеквадратического отклонения ss .

j

Из всех вариантов построенных функций gj выбирается тот, который обеспечивает наименьшее значение среднеквадратического отклонения ss величин Sj и представляющий собой в

j

конечном итоге неоклассическую 5 -однородную производственную функцию типа VES-функция, описывающую функционирование рассматриваемой экономической системы в течение определенного интервала времени [Tb Т„].

Совокупность, приведенных выше процедур п. 1-8, в целом формирует алгоритм построения 5 -однородной производственной функции типа VES-функция. Этот алгоритм был реализован с помощью пакета MATLAB 7.0. Минимизация функции Fj (13) при ограничениях (14)-(19) осуществлялась с использованием модуля Optimization Toolbox 2.2 данного пакета, предназначенного для поиска экстремумов функций нескольких переменных при наличии ограничений. Поскольку в этом модуле используются ограничения нестрогого вида (< 0), то правая часть ограничений (14), (15), (20) была заменена на положительную константу а. Величина а принималось равной значению параметра TolFun данного модуля, который обеспечивает прекращение итераций поиска экстремума функции при достижении точности по ее значению: а = TolFun = 10-6.

2. Апробация алгоритма построения 8-однородной производственной функции типа VES-функция

Апробация данного алгоритма была осуществлена при построении 5 -однородных производственных функций типа VES-функция по данным, характеризующим функционирования эконо-

мики США в периоды с 1947 по 1968 г. [2] и с 1909 по 1960 г. [4], а также по данным, характеризующим функционирование экономики Японии в период с 1930 по 1960 г [4].

В табл. 1 приведены:

• производственные функции вида VES-функция ПФ1 (1) и ПФ2 (2) (здесь и далее обозначения авторов);

• регрессионные зависимости оценки значений о для VES-функций ПФ1 (1) и ПФ2 (2).

В табл. 2 совместно приведены следующие данные:

• значения Y - реальный национальный доход экономики США в млн долларов 1958 г., значение которого получено делением величины национального дохода в текущих ценах каждого года на индекс-дефлятор валовой продукции (real income originating in millions of 1958 dollars, derived by dividing real income originating in current dollars by Implicit Price Deflator for Goods Output) [2, c. 687];

• значения Y, рассчитанные с использованием производственной функции вида VES-функция - ПФ1 (см. табл. 1) и по предложенному в данной статье алгоритму построения неоклассической 5 -однородной (при 5 = 1) производственной функции типа VES-функция, обозначенная авторами, как функция ПФ3;

• значения эластичности замещения фактора труда фактором капитала для функции ПФ1 -On®i (см. табл. 1) и рассчитанные по предложенному алгоритму при определении величины ПФ3 - опфз;

• величины относительной погрешности аппроксимации Sj (22) исходных данных Y, среднего значения относительной ошибки s, и ее среднеквадратическое отклонение sS для функций

ПФ1 и ПФ3.

Таблица 1

Зависимости для VES-функций

ПФ Интервал Вид производственной функции [2] Интервал Значения о

ПФ1 1943-1968 Y - 6,2705e0'0183t (7,7501£I6'7501 _... _0,3025L7,7501 )°Д29 1947-1963 1 - 0,0448k"1

ПФ2 1943-1968 Y - 21 5091e0'0181t^0'4657^0,5343e-2,5361k 1947-1963 ak 1+ 2 [b _ ak ]2 _ b a = 2,5361; b = 0,4657

Для указанных величин ву, в у и 5в были приняты следующие обозначения: ПФ1 - Епфь

ь

впф1, 5вПФ1 ; ПФ3 - ЕПФ3, впф3, 5вПФ3 .

Таблица 2

Значения производственных функций ПФ1 и ПФ3, рассчитанные за период с 1947 по 1968 г. для экономики США

Год Y ПФ1 °ПФ1 £ПФ1 ПФ3 °ПФ3 £пфз

1947 77 657 80 706 0,6450 0,0393 79 790 0,1303 0,0275*

1948 83 484 84 846 0,6503 0,0163 85 049 0,1303 0,0187

1949 79 274 82 733 0,6524 0,0436 83 339 0,1303 0,0513

1950 91 946 88 320 0,6549 0,0394 89 332 0,0188 0,0284

1951 101 840 96 303 0,6564 0,0544 97 694 0,1477 0,0407

1952 102 199 100 519 0,6578 0,0164 102 117 0,0003 0,0008

1953 109 438 107 124 0,6593 0,0211 109 033 0,0303 0,0037

1954 102 252 104 651 0,6559 0,0235 106 043 0,0565 0,0371

1955 116 237 110 348 0,6572 0,0507 112 000 0,0028 0,0365

1956 119 274 115 481 0,6570 0,0318 117 214 0,0428 0,0173

1957 118 988 118 442 0,6551 0,0046 119 921 0,0393 0,0078

1958 107 741 113 938 0,6527 0,0575 114 810 0,0158 0,0656

Окончание табл.2

Год Y ПФ1 ОПФ1 £ПФ1 ПФ3 ОПФ3 £пф3

1959 122 448 120 550 0,6549 0,0155 122 076 0,0112 0,0030

1960 122 276 123 970 0,6559 0,0139 125 692 0,0469 0,0279

1961 120 357 124 050 0,6570 0,0307 125 902 0,0659 0,0461

1962 130 589 130 202 0,6583 0,0030 132 401 0,0833 0,0139

1963 135 569 133 921 0,6598 0,0122 136 341 0,0612 0,0057

1964 144 393 139 093 0,6611 0,0367 141 943 0,1527 0,0170

1965 156 481 148 015 0,6624 0,0541 151 161 0,1381 0,0340

1966 172 171 160 303 0,6637 0,0689 163 861 0,1404 0,0483

1967 172 015 166 292 0,6654 0,0333 170 307 0,1973 0,0099

1968 181 604 173 278 0,6674 0,0458 177 808 0,1623 0,0209

Среднее значение еПФ1 0,0324 Среднее значение еПФ3 0,0255

Среднеквадратическое отклонение 0,0184 Среднеквадратическое отклонение еПФ3 0,0178

Здесь и далее выделены значения относительной погрешности еу, характеризующие лучшее приближение исходных значений Y расчетными, полученными с использованием предлагаемой 5 -однородной производственной типа \Г^-функция по отношению к ПФ1, ПФ2 (см. табл. 1).

В табл. 3, аналогичной по своей структуре табл. 2, представлены данные для функций ПФ2 (см. табл. 1) и ПФ3.

Таблица 3

Значения производственных функций ПФ2 и ПФ3, рассчитанные за период с 1947 по 1968 г. для экономики США

Год Y ПФ2 ОПФ2 £ПФ2 ПФ3 ОПФ3 £пф3

1947 77657 80832 0,2799 0,0409 79790 0,1303 0,0275

1948 83484 84914 0,2714 0,0171 85049 0,1303 0,0187

1949 79274 83780 0,2677 0,0568 83339 0,1303 0,0513

1950 91946 88342 0,2637 0,0392 89332 0,0188 0,0284

1951 101840 96306 0,2610 0,0543 97694 0,1477 0,0407

1952 102199 100502 0,2587 0,0166 102117 0,0003 0,0008

1953 109438 107087 0,2560 0,0215 109033 0,0303 0,0037

1954 102252 104664 0,2619 0,0236 106043 0,0565 0,0371

1955 116237 110343 0,2596 0,0507 112000 0,0028 0,0365

1956 119274 115482 0,2600 0,0318 117214 0,0428 0,0173

1957 118988 118473 0,2632 0,0043 119921 0,0393 0,0078

1958 107741 114007 0,2673 0,0582 114810 0,0158 0,0656

1959 122448 120589 0,2637 0,0152 122076 0,0112 0,0030

1960 122276 123991 0,2619 0,0140 125692 0,0469 0,0279

1961 120357 124050 0,2600 0,0307 125902 0,0659 0,0461

1962 130589 130179 0,2578 0,0031 132401 0,0833 0,0139

1963 135569 133870 0,2550 0,0125 136341 0,0612 0,0057

1964 144393 139011 0,2528 0,0373 141943 0,1527 0,0170

1965 156481 147901 0,2505 0,0548 151161 0,1381 0,0340

1966 172171 160151 0,2482 0,0698 163861 0,1404 0,0483

1967 172015 166090 0,2450 0,0344 170307 0,1973 0,0099

1968 181604 173010 0,2414 0,0473 177808 0,1623 0,0209

Среднее значение еПФ2 0,0334 Среднее значение еПФ3 0,0255

Среднеквадратическое отклонение 0,0191 Среднеквадратическое отклонение еПФ3 0,0178

Оценка точности аппроксимации исходных данных У производственными функциями ПФ1, ПФ2 (см. табл. 1) и построенной по предложенному в данной статье алгоритму 5 -однородной производственной функции типа VES-функция (ПФ3) осуществлялась сопоставлением соответствующих значений величин Епф1, Епф2, Епф3, Впф1, впф2 , впф3, %Ф1, %Ф2, %Ф3.

В табл. 4 совместно приведены:

• значения величины величин г = У^ (в обозначениях данной статьи г по сути является модифицированной производственной функцией g (6) при 5 = 1), которые были рассчитаны авторами работы [4, с. 459], по ретроспективным данным У, К, L выраженных в долларах США 1929 г. для экономики США;

• расчетные значения величины g из работы [4, с. 459] (обозначенные здесь и далее авторами данной статьи, как gПФ4) и полученные на основе предложенного в данной статье алгоритма построения неоклассической 5 -однородной (при 5 = 1) производственной функции типа VES-функция - gпфз;

• значения эластичности замещения фактора труда фактором капитала для функции gПФ4 -оПФ4 [4, с. 459] и рассчитанные по предложенному алгоритму при определении величин gПФ3 и ПФ3 - Опф3;

• величины относительной погрешности аппроксимации ву (22) исходных данных g, среднего значения относительной ошибки в у и ее среднеквадратическое отклонение sв¡. для функций gПФ4 и gПФ3.

Для указанных величин ву, в у и sв были приняты следующие обозначения: gПФ4 - епф4,

¡1

впф4 , -вПФ4 ; &Ф3 - ЕПФ3, впф3 , —вПФ3 .

Таблица 4

Значения модифицированных производственных функций ПФ4 и ПФ3, рассчитанные за период с 1909 по 1960 г. для экономики США

Год g ,?ПФ4 оПФ4 8ПФ4 ^ПФЗ оПФ3 £пфз

1909 0,6710 0,6673 1,0000 0,0056 0,6729 0,0016 0,0028

1910 0,6525 0,6553 1,0000 0,0042 0,6549 0,0207 0,0037

1911 0,6732 0,6732 0,9978 0,0001 0,6816 0,0277 0,0125

1912 0,6626 0,6687 0,9951 0,0093 0,6639 0,0117 0,0020

1913 0,7034 0,7062 0,9923 0,0039 0,7094 0,0191 0,0085

1914 0,6444 0,6582 0,9896 0,0215 0,6553 0,0064 0,0169

1915 0,6587 0,6553 0,9868 0,0052 0,6764 0,0618 0,0268

1916 0,7216 0,7031 0,9841 0,0256 0,7264 0,0363 0,0066

1917 0,6632 0,6374 0,9813 0,0390 0,6813 0,2229 0,0273

1918 0,7200 0,7225 0,9786 0,0035 0,7501 0,0643 0,0418

1919 0,7821 0,7702 0,9758 0,0152 0,7855 0,0514 0,0044

1920 0,7825 0,8132 0,9731 0,0393 0,8088 0,0358 0,0336

1921 0,8611 0,8295 0,9703 0,0367 0,8659 0,0084 0,0056

1922 0,8359 0,8457 0,9676 0,0117 0,8417 0,0231 0,0069

1923 0,8694 0,8810 0,9649 0,0134 0,8730 0,0188 0,0042

1924 0,9380 0,9589 0,9621 0,0222 0,9641 0,0369 0,0278

1925 0,9157 0,9307 0,9594 0,0164 0,9283 0,1504 0,0137

1926 0,9447 0,9730 0,9566 0,0300 0,9466 0,1450 0,0020

1927 0,9460 0,9801 0,9539 0,0360 0,9463 0,1180 0,0003

1928 0,9542 0,9696 0,9511 0,0161 0,9691 0,3676 0,0157

1929 0,9899 1,0130 0,9484 0,0234 0,9938 0,0292 0,0040

1930 0,9751 0,9793 0,9456 0,0043 1,0129 0,0388 0,0388

1931 1,0088 1,0443 0,9429 0,0352 1,0088 0,0142 0,0000

1932 0,9774 0,9120 0,9401 0,0669 0,9892 0,0035 0,0121

1933 0,9432 0,9323 0,9374 0,0116 0,9641 0,3452 0,0221

1934 1,0429 1,0361 0,9346 0,0065 1,0526 0,2258 0,0093

Окончание табл. 4

Год g ^Ф4 оПФ4 8ПФ4 £пф3 °ПФ3 8ПФ3

1935 1,1242 1,1188 0,9319 0,0048 1,1437 0,1411 0,0173

1936 1,1342 1,1184 0,9291 0,0139 1,1349 0,0198 0,0006

1937 1,1717 1,1818 0,9264 0,0086 1,1812 0,1927 0,0081

1938 1,1885 1,2137 0,9236 0,0212 1,1983 0,0998 0,0082

1939 1,2183 1,2159 0,9209 0,0020 1,2260 0,0747 0,0063

1940 1,2713 1,2461 0,9181 0,0198 1,2772 0,5147 0,0046

1941 1,3040 1,2398 0,9154 0,0492 1,3186 0,0064 0,0112

1942 1,3130 1,2878 0,9126 0,0192 1,3200 0,3741 0,0053

1943 1,3408 1,3382 0,9099 0,0019 1,3428 0,0010 0,0015

1944 1,4629 1,4688 0,9071 0,0040 1,4639 0,1345 0,0007

1945 1,5282 1,5651 0,9044 0,0242 1,5324 0,0401 0,0028

1946 1,4512 1,4975 0,9016 0,0319 1,4526 0,0099 0,0010

1947 1,4192 1,4393 0,8989 0,0142 1,4261 0,1009 0,0049

1948 1,4797 1,4840 0,8961 0,0029 1,4973 0,2221 0,0119

1949 1,5201 1,5336 0,8934 0,0089 1,5223 0,0743 0,0015

1950 1,6269 1,5482 0,8906 0,0484 1,6439 0,0073 0,0105

1951 1,6545 1,6115 0,8879 0,0260 1,6545 0,0002 0,0000

1952 1,6847 1,6990 0,8851 0,0085 1,6905 0,0043 0,0035

1953 1,7058 1,7296 0,8824 0,0139 1,8057 0,0626 0,0585

1954 1,7820 1,8101 0,8797 0,0158 1,7994 0,0124 0,0097

1955 1,8618 1,8231 0,8769 0,0208 1,9434 0,0299 0,0438

1956 1,6546 1,6654 0,8742 0,0065 1,6546 0,4203 0,0000

1957 1,8912 1,8893 0,8714 0,0010 1,8912 0,0292 0,0000

1958 1,9360 1,9507 0,8687 0,0076 1,9360 0,0037 0,0000

1959 1,9993 1,9678 0,8659 0,0158 1,9993 0,0064 0,0000

1960 2,0342 2,0131 0,8632 0,0104 0,6444 0,0064 0,6832

Среднее значение еПФ4 0,0175 Среднее значение еПФ3 0,0110

Среднеквадратическое отклонение 0,0144 Среднеквадратическое отклонение еПФ3 0,0132

При формировании табл. 5, аналогичной по своей структуре предыдущей табл. 4, использовались ретроспективные данные о функционировании экономики Японии в период с 1930 по 1960 г., которые были выражены в иенах 1930 г. [4, с. 459]. В табл. 5 совместно приведены значения модифицированной производственной функции g из работы [4, с. 459], обозначенные gПФ5, и значения этой функции, рассчитанные авторами данной статьи - gПФ3. Здесь же приведены значения о для функций gПФ5 - оПФ5 [4, с. 459] и для gПФ3 - оПФ3, рассчитанные при определении gПФ3, а также значения величин еу, г у и я , обозначенные следующим образом: gПФ5 - 8ПФ5, еПФ5,

.епФ5 ' ^Ф3 - 8пф3, ёпф3 , 58пф3 .

Таблица 5

Значения модифицированных производственных функций ПФ5 и ПФ3, рассчитанные за период с 1930 по 1960 г. для экономики Японии

Год g gПФ5 оПФ5 8ПФ5 gПФ3 °ПФ3 8ПФ3

1930 0,200 0,2099 0,8051 0,0494 0,2000 0,0078 0,0001

1931 0,206 0,2235 0,8093 0,0850 0,2057 0,0329 0,0015

1932 0,198 0,2081 0,8135 0,0512 0,1980 0,0642 0,0001

1933 0,195 0,2022 0,8176 0,0371 0,1950 0,0881 0,0000

1934 0,206 0,2078 0,8218 0,0087 0,1980 0,0439 0,0386

1935 0,201 0,1937 0,8260 0,0363 0,2010 0,0829 0,0000

Окончание табл. 5

Год g ,ПФ5 оПФ5 £ПФ5 ,ПФЗ °ПФ3 £пфз

1936 0,203 0,1955 0,8302 0,0370 0,2030 0,0087 0,0000

1937 0,216 0,1904 0,8343 0,1184 0,2160 0,0228 0,0000

1938 0,210 0,1960 0,8385 0,0667 0,2099 0,0386 0,0003

1939 0,204 0,1930 0,8427 0,0537 0,2038 0,0513 0,0008

1940 0,196 0,1800 0,8468 0,0815 0,1959 0,0198 0,0003

1941 0,207 0,1913 0,8510 0,0760 0,2067 0,1023 0,0013

1942 0,196 0,1794 0,8552 0,0849 0,1946 0,1683 0,0070

1943 0,192 0,1747 0,8593 0,0902 0,1994 0,2146 0,0388

1944 0,179 0,1644 0,8635 0,0818 0,2210 0,3083 0,2348

1945 0,192 0,1742 0,8677 0,0928 0,2033 0,0700 0,0589

1946 0,123 0,1596 0,8718 0,2979 0,1252 0,0432 0,0176

1947 0,160 0,2069 0,8760 0,2929 0,1609 0,0409 0,0054

1948 0,195 0,2419 0,8802 0,2406 0,1971 0,0439 0,0107

1949 0,230 0,2540 0,8843 0,1044 0,2060 0,0439 0,1043

1950 0,266 0,2757 0,8885 0,0363 0,2749 0,2247 0,0335

1951 0,247 0,2515 0,8927 0,0183 0,2866 0,6354 0,1602

1952 0,261 0,2731 0,8969 0,0464 0,2613 0,0611 0,0011

1953 0,267 0,2709 0,9010 0,0144 0,2709 0,0305 0,0146

1954 0,256 0,2642 0,9052 0,0322 0,2674 0,0226 0,0444

1955 0,271 0,2738 0,9094 0,0103 0,2737 0,0052 0,0099

1956 0,293 0,2821 0,9135 0,0372 0,2945 0,0563 0,0052

1957 0,291 0,2978 0,9177 0,0233 0,2993 0,1185 0,0287

1958 0,294 0,2793 0,9219 0,0500 0,2970 0,0125 0,0102

1959 0,342 0,3026 0,9260 0,1153 0,3436 0,1041 0,0048

1960 0,380 0,3209 0,9302 0,1554 0,3878 0,1774 0,0206

Среднее значение sM5 0,0815 Среднее значение sM3 0,0275

Среднеквадратическое отклонение Ssn4)5 0,0731 Среднеквадратическое отклонение ss 0,0508

Заключение и выводы

Сравнение значений епфь епФ2, епФ4, епФ5 из табл. 2-5 и соответствующих значений епФ3 позволяют сделать вывод о том, что построенная авторами производственная функция типа VES-функция позволяет получить более точное приближение от 65 до 80 % значений величины конечного продукта экономической системы У и модифицированной производственной функции g(k) к соответствующим исходным данным. В остальных точках ошибка приближения не превышает 6,5 %.

Значения средней ошибки аппроксимации исходных данных и ее среднеквадратического отклонения (табл. 3-5) для построенной авторами производственная функция типа VES-функция (ПФ3) меньше, чем для ранее разработанных VES-функций (1)-(3). Это позволяет сделать вывод о том, что предлагаемый в данной статье алгоритм построения производственных функций типа VES-функция дает более «устойчивое» приближение расчетных значений величины У и модифицированной производственной функции g(k) к их исходным значениям.

Таким образом, можно отметить, что предложенный и реализованный алгоритм построения 5 -однородной производственной функции типа VES-функция, отвечающей требованиям предъявляемым к неоклассическим производственным функциям, позволяет обеспечить построение указанной функцией с достаточно высокой точностью аппроксимации данных, характеризующих функционирование экономической системы.

Литература

1. Revankar, N.S. A Class of Variable Elasticity of Substitution Production Functions / N.S. Revan-kar //Econometrica. - 1971. - Vol. 39, no. 1. - P. 61-71.

2. Knox Lovell, C.A. Estimation and Prediction with CES and VES Production Functions / C.A. Knox Lovell //International Economic Review. - 1973. - Vol. 14, no. 3. - P. 676-692.

3. Ferguson, C. Substitution, Technical Progress and Return to Scale / C. Ferguson // American Economic Review. - 1965. - Vol. LV. - P. 296-305.

4. Sato, R. Production Function with Variable Elasticity of Factor Substitution: Some Analysis and Testing / R. Sato, R.F. Hoffman // The Review of Economics and Statistics. - 1968. - Vol. 50. - P. 453460.

5. Вольных, Е.В. Построение S-однородной производственной VES-функции / Е.В. Вольных, А.В. Кутышкин, Ю.Г. Никоноров // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2007. -Т. Х, № 2 (30). - С. 31-44.

6. Бессонов, В.А. Проблемы построения производственных функций в российской переходной экономике / В.А. Бессонов. - М. : Институт переходной экономики, 2002. - 95 с.

Кутышкин Андрей Валентинович, д-р техн. наук, профессор, Югорский государственный университет, г. Ханты-Мансийск; avk_200761@mail.ru.

Сокол Глеб Андреевич, инженер, Югорский государственный университет, г. Ханты-Мансийск; sokolgleb@gmail.com.

Поступила в редакцию 18 ноября 2016 г

DOI: 10.14529/ctcr170106

ON THE APPLICATION OF THE VES PRODUCTION FUNCTIONS TO SIMULATE THE FUNCTIONING OF ECONOMIC SYSTEMS

A.V. Kutyshkin, avk_200761@mail.ru,

G.A. Sokol, sokolgleb@gmail.com

Yugra State University, Khanty-Mansiysk, Russian Federation

The article presents the results of modeling the functioning of economic systems with the use of production functions with variable elasticity of substitution of capital for labor (VES-function). Currently known analytical dependences for the VES-functions are based on assumptions about the existence of links between certain types of assets-an indicator of the economic system and the marginal rate of substitution of labor factor capital. However, these assumptions on the one hand a certain extent, limit the possibility of building production functions such as VES-function, on the other hand require prior verification of these assumptions on historical data on the functioning of the economic system under consideration. The proposed article the algorithm for constructing the production function of type VES-function does not have these limitations. A comparative analysis of economic systems functioning of the simulation results obtained using the known analytical relationships for the VES-function and the authors proposed an algorithm for constructing this type of production functions showed the feasibility of using this algorithm for solving problems of this type. The simulation used the statistics on the functioning of economic systems, published in the open press.

Keywords: production function, substitution of labor by capital, the elasticity of substitution of capital for labor, variable elasticity.

References

1. Revankar N.S. A Class of Variable Elasticity of Substitution Production Functions. Econometri-ca, 1971, vol. 39, no. 1, pp. 61-71.

2. Knox Lovell C.A. Estimation and Prediction with CES and VES Production Functions. International Economic Review, 1973, vol. 14, no. 3, pp. 676-692.

3. Ferguson C. Substitution, Technical Progress and Return to Scale. American Economic Review, LV, May, 1965, pp. 296-305.

4. Sato R., Hoffman R.F. Production Function with Variable Elasticity of Factor Substitution: Some Analysis and Testing. Review of Economics and Statistics, 1968, vol. 50, pp. 453-460.

5. Volnih E.V. Kutyshkin A.V., Nikiforov Y.G. [Building S-One-Native Production VES-Function]. Siberian Journal of industrial mathematics, 2007, vol. X, no. 2 (30), pp. 31-44. (in Russ.)

6. Bessonov V.A. Problemy postroeniya proizvodstvennykh funktsiy v rossiyskoy perekhodnoy eko-nomike [Problems of Construction of Production Functions in the Russian Economy in Transition]. Moscow, Institute of Transition Economics, 2002. 95 p.

Received 18 November 2016

ОБРАЗЕЦ ЦИТИРОВАНИЯ

FOR CITATION

Кутышкин, А.В. О применении производственных функций вида VES-функция для моделирования функционирования экономических систем / А.В. Кутышкин, Г.А. Сокол // Вестник ЮУрГУ. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника». - 2017. - Т. 17, № 1. - С. 49-60. DOI: 10.14529Мсг170106

Kutyshkin A.V., Sokol G.A. On the Application of the VES Production Functions to Simulate the Functioning of Economic Systems. Bulletin of the South Ural State University. Ser. Computer Technologies, Automatic Control, Radio Electronics, 2017, vol. 17, no. 1, pp. 49-60. (in Russ.) DOI: 10.14529/ctcr170106