Вычисление переменной эластичности замещения для однородных многофакторных производственных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычисление переменной эластичности замещения для однородных многофакторных производственных функций

Calculation of variable elasticity of substitution for homogeneous multifactor

production functions

Крылов Владимир Павлович

Аспирант

Ульяновский государственный университет

[email protected] Krylov Vladimir Pavlovich

Postgraduate Student Ulyanovsk State University

Аннотация: Данная статья является развитием работ, посвященных анализу и построению многофакторных производственных функций с постоянной и переменной эластичностью замещения. В этой работе предлагается облегчить вычислительный алгоритм оценки переменных эластичностей для однородных многофакторных производственных функций за счет упрощенного представления эластичности замещения. Сравниваются два метода вычисления переменной эластичности замещения на тестовом примере.

Abstract: This article is the development of works devoted to the analysis and construction of multifactor production function with constant and variable elasticity of substitution. In this paper we propose a computational algorithm to estimate variable elasticity for homogeneous multifactor production functions due

to the simplified presentation of elasticity of substitution. Compared two methods of calculating the variable elasticity of substitution on the test.

Ключевые слова: Производственные функции, однородные функции, предельная норма замещения, эластичность замещения, переменная эластичность замещения

Keywords: Production functions, homogeneous functions, the marginal rate of substitution, the elasticity of substitution, the variable elasticity of substitution

В рамках теории производства одной из основных проблем связанной с эластичностью замещения производственных факторов является определение переменной эластичности замещения для многофакторных производственных функций (три и более фактора). В статьях [11,12] предложены производственные функции (ПФ), позволяющие определять пременную эластичность замещения для двухфакторного случая.

Результатом решения данной проблемы стали работы [2, 3, 4, 5], в которых приводится алгоритм и результаты тестовых вычислений переменных эластичностей замещения для нового класса положительно однородных вогнутых многофакторных производственных функций, предложенного Горбуновым В.К. в книге [1]. Новый класс имеет следующий вид:

f ( х) = <*> и X/< х)), (1)

где и(у), у е - некоторая вогнутая и неотрицательная на симплексе функция. Будем использовать однородную п - факторную ПФ /(Х,х2'".'хп) степени №.

Являясь продолжением указаных выше работ [2, 3, 4, 5], в данной статье предлагается уменьшить количество вычислительных операций для предложенного алгоритма определения переменной эластичности замещения,

используя упрощенное представление классической формулы эластичности замещения

а « ) = ^ « = ЭЩ^ (2)

} «.. д5 д 1п5.. ' (2)

5 _ дf (х) дf (х) —

где 5-ч _ 1п= -1,' +1 -,п}' (3)

Ч

- предельная норма замещения (ПНЗ) фактора х фактором х., зависящая от отношения факторов _х,/ х --, х - фиксированная величина, а х, -переменная величина, -ф., ч _ 1 п

Равенства (3) определяют функцию 5, _S.(х). Здесь для каждого выделенного фактора - имеется п-1 значение (х) от п переменных х _(x1,..., хп). Ниже эта система рассматривается также с точки зрения обращения этой функции относительно п-1 переменной {х.} для Ч _ 1, п д , ф ¡.

В работах [2, 3, 4, 5] вводятся вспомогательные функции, зависящие от пропорции факторов:

г \

f(х)= X?f

х1 х'-1 1 х;+1 хп

кх- х- х- х- у

, ф(« ) = f («-, -, «-М ,1, «+м,—, «-),

(4)

где « =(«-> — > %1-и> «+и>■■■ > «-) вектор, состоящий из (п -1) переменной. ПНЗ определяется через функцию Ф(«) и вектор «

?ф«-) ф«-)) . 5-Ч _ эф«-)/« «^ ©

Введем обозначение для вектора ПНЗ 5' _ ^¡^ • • >---^-+1,—, 5-п).

Определение Дж. Хикса и Р. Аллена эластичности замещения [9,10] для двух факторов является распространением понятия Маршала эластичности функций на зависимость пропорций от ПНЗ. Для распространения этого

определения на многофакторный случай требуется ввести обратные функции ^ =^ (5'). В нашем случае эта функция определяется как неявная функция системой уравнений

' (*' ) = ,

(6)

где Би являются независимыми переменными.

Решение этой задачи можно избежать переходом от системы (6) к решению новой системы из п(п -1)2 линейных уравнений относительно п(п -1) переменных /^ [4, 5]:

ДО ^ .111

{

-,гМ= , '1, = 1, п, I *'.

(7)

0, I *

Система (7) получена путем дифференцирования каждого из уравнений системы (6) по переменным , к *', к = 1, п, предполагая что

, 5'+1,' Б'п). Для двух факторов решением системы (7)

будет

= 1 д5и (£„)/Э£„'

а в случае трех факторов

(?)

где Г *',

Рассмотрим систему (3) как систему, определяющую неявно п-1 функций хз от переменных ^ , } = 1, п д } *' и переменной х . Запишем ее в виде

^ (х) (х). д- (х) = 5 . — . .

(х) = _эХГ' "эХТ " ' 1 =1,п д1 *', (8)

считая независимыми переменными х, 5и с указанными значениями 1, а новыми функциями - функции

х1 = х: (5' X), 1 = Ш Д1 *'.

Будем считать, что условия теоремы о неявных функциях для системы (8) выполнены. Определим эластичности (по Маршалу) этих функций относительно переменных 5'

* = ^ ' X: д5:: '

* з = —(9)

Математическому доказательству совпадения эластичностей (2) и (9) будет посвящена отдельная статья. Для вычисления этих величин (9) не требуется составление системы (5). Вместо такой системы здесь следует использовать систему (8). Как и в предыдущем случае, достаточно решить

дх:

систему в вариациях относительно производных • Такая система имеет вид

<Т ^(х) дхг - {1, к = j, . . . —

- = £—^' где -к = 1о.I*1., '*1 "3 =11 п' (10)

Это система линейных уравнений с матрицей коэффициентов

д 5: =дг -'л -"-' -'-"

дхг дхг

V '

с II с / - с ! с !

_ I 'Г I 1 I ' I 1Г

=

Построение ПФ с переменной эластичность замещения продемонстрируем на примере работы некоторого производственного объекта из книги [7, с. 172]. Исходные данные представлены в таблице 1, где q обозначает валовой выпуск, XI - основные средства, х2 - оборотные средства, х3 - численность персонала.

Таблица 1. Исходные данные

год q Х1 Х2 Хз

1972 38,2 15,3 11,2 3,9

1973 43,5 15,9 12,1 4,2

1974 44,5 17,1 12,8 4,4

1975 47,8 18,8 13,3 4,6

1976 52,0 19,9 14,1 4,7

1977 54,6 21,2 14,9 4,9

1978 57,8 23,6 15,7 5,1

1979 60,4 25,3 16,8 5,2

1980 66,1 27,2 18,1 5,4

1981 70,7 30,6 19,1 5,5

1982 76,7 33,5 21,5 5,7

1983 80,2 35,8 22,3 5,7

1984 84,7 37,0 24,7 5,8

1985 87,0 39,2 25,6 6,0

1986 92,2 42,0 27,0 6,0

Критериями качества построения ПФ были приняты: 1. Скорректированный коэффициент детерминации:

я2 _ 1 —

п -1

I1 - я2), где п - число наблюдений, р - число регрессоров, а Я2

п - р -1

обычный коэффициент детерминации;

2. Тест Голдфелда-Квандта. Для построеной модели должно выполняться равенство дисперсий ошибок регресии. Данное условие можно порверить, использовав тест на гетероскедостичность - тест Голдфела-Квандта [6, 8]. Упорядочим п наблюдений в порядке возрастания значений регрессора х и выберем т первых и т последних наблюдений. В таком случае существующая вероятность отвергнуть гипотезу об отсутствии гетероскедостичности, когда ее действительно нет, оказывается максимально

п ^

возможной, если задать т _ 3. Гипотеза об отсутствии гетероскедостичности принимается, если

п

е2

£

Р = i=n-т+1 < р

-*- ____^ -*- Г/'

а;т—р;т—р

е2

i =1

Тест применяется при выполнении условия, что ошибки регрессии можно считать подчиненными нормальному закону распределенния случайных величин;

3. Тест серий Бреуша-Годфри. Пространственная выборка предъевляет требовние о получении наблюдений приблизительно в неизменных условиях, т. е. представляют собой набор независимых выборочных данных из некоторой генеральной совокупности. Отсюда следует необходимость проводения тестов на наличие или отсутствие автокорреляции. В качестве такого теста используем тест серий (Бреуша-Годфри) [6, 8]. Тест основан на следующей идее, что при наличии корреляции между соседними наблюдениями вероятно выполнение следующего условия, что в уравнении

еИ = Ь1еИ—1 + Ь2еИ—2 +..., и = 17П

(где е - остатки регрессии, полученные обычным МНК), коэффициенты Ь будут значимо отличающимся от нуля. Вывод следующий, коэффициенты регрессии должны быть незначимы, чтобы выполнялось условие независимости между остатками регрессии, т. е.

И = ^ < Г

II е 1—а;п—р—1 ,

где И - критерий Стьюдента, Ь] - j-ый коэффициент регрессии, Бь] - среднее квадратическое отклонение коэффициента регрессии Ь].

Поскольку тест Голдфелда-Квандта применим в случае нормального распределения ошибок регрессии, то построим график плотности распределения (рис. 1).

Плотность распределения ошибок регрессии

0,025 0,02 0,015 0,01 0,005 0

—Плотность распределения ошибок регрессии

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Рис. 1.

Таким образом, будем считать, что ошибки регрессии имеют нормальное распределение.

Расчеты критериев качества производились с помощью пакета «MS EXCEL», а символьные вычисления эластичностей рассчитывались с использованием программного пакета «Mathematica 7.0». В результате вычислительного эксперимента по статистике таблицы 1 были построены оценки следующих нелинейных положительно однородных ПФ:

В качестве исходной производственной функции будем использовать

функцию Солоу: f (x) = (a1x? + a2 x2'2 + a3x,3)k, ai > 0, 0 < r < l, 0 < к < 1, - = 13. Но поскольку эта функция неоднородна, приведем ее к виду (1):

f( x) = (xy

Е a,-

С \

, M> 0

(12)

Применим к новой функции (12), критерии качества определенные в

разделе 2: f( x) = (x)11

0,00001

f Л1

x1

+ 0,16985

f л1 x2

+1,74641

s 0,50775 Л1

x,

<x>

R2 = 0,9974, F = 0,5314 <19, т. е. гипотеза об отсутствии гетероскедостичности принимается, тест Бреуша-Годфри:

r лк

i=1

ег = -0,425ег_1 - 0,639ег-2 - 0,634ег-3 - 0,282et-4 - 0,407ег-5, R2 = 0,5059 = (1,01; 1,5; 1,13; 0,73; 1,14) , Г0>95;5 = 2,57,

т. е. ошибки регрессии до 5 лага оказались независимы друг от друга.

Результаты вычислений эластичностей замещения факторов функции (1.43) представлены в таблице 2. Они получены с помощью формул: (5), (2), (6), (7) - 1 метод; (3), (9), (8), (10) - 2 метод. Оба метода дают одинаковый результат.

Таблица 2. Значения эластичностей замещения ^ )

а )\( м, # 1974 1977 1980 1983 1986

^12 (^21,а31) 446,00 419,63 378,81 325,22 291,99

^13 (^21, ^31 ) -28,95 -26,51 -23,53 -19,91 -18,55

^21 (<?12 , "т 32 ) 371,98 348,90 313,37 266,80 238,31

^23 (^12 ' ^32 ) 45,08 44,22 41,91 38,50 35,13

^31 (^13 , "т 23 ) 153,75 138,74 120,29 97,96 89,06

^32 (^13 ' ^23 ) 263,31 254,38 234,98 207,34 184,37

Сравним два метода.

1 метод 2 метод

Однородная трехфакторная ПФ f (х)

1 шаг. Построение новых функций, зависящих от отношения факторов.

Ф^1), фа2), Ф(а3). Формула (4). Для п факторов п функций -

2 шаг. Вычисление частных производных необходимых для нахождения ПНЗ.

дфа1) дфа1) эф(^2) эф(^2) д^21 ' д^31 ' ^12' д£в2 ' дф(а3) дф(а3) Ф д£3 , д^23 . Формула (5). Для п факторов находятся п(п-1) частных производных. дГ(X) дГ( X) дГ(X) дх1 , дх 2 , дх3 . Формула (3). Для п факторов находятся п частных производных.

3 шаг. Вычисление частных производных необходимых для нахождения эластичностей замещения факторов.

Э^12 Э^12 д^13 д^13 Э^21 Э^12 Э^12 д^13 д^13 Э^21 Эх2 ' Эх3 ' дх2 ' дх3 ' Эх1 '

Э^21 Э^23 Э^23 Э^31 Э^32 дщ21 д^23 д^23 д^31 д¥31 д^32

дх3 ' дх1 ' дх3 ' Эх1 ' дх2 ' Эх1

Э^32 Э^32

' д^23 ' ' дх 2 '

Формулы (6), (7). Для п факторов Формулы (8), (10). Для п факторов

находятся п(п-1)2 частных находятся п(п-1)2 частных

производных. производных.

Полученные результаты подтверждают возможность определения переменной эластичности замещения для однородных многофакторных производственных функций нового класса (1) с использованием упрощенного представления эластичности замещения.

Автор благодарит научного руководителя В.К. Горбунова за внимание и помощь в работе.

Библиографический список

1. Горбунов В.К. Математическая модель потребительского спроса:

Теория и прикладной потенциал. - М.: Экономика, 2004. - 174 с.

2. Горбунов В.К., Ледовских А.Г. Производственные функции многих

переменных с переменной эластичностью замещения // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование: Специальный выпуск.

Иркутск: ИрГУПС. 2008. - С. 134-138.

3. Горбунов В.К., Львов А.Г. Построение трёхфакторной

производственной функции с переменными эластичностями замещения // Труды Средневолжского математического общества. 2009. № 1. Т. 11.

- С. 90-100.

4. Горбунов В.К. Производственные функции: теория и построение :

учебное пособие / В. К. Горбунов. - Ульяновск : УлГУ, 2013. - 84 с.

5. Львов А.Г. Построение производственных функций с переменной

эластичностью замещения // Журнал экономической теории. 2010. №1.

- С. 166-169.

6. Карп Д.Б. Эконометрика: основные формулы с комментариями: учебно-методическое пособие. - Владивосток: Изд-во ДВГАЭУ, 2004. - 50с.

7. Клейнер Г.Б. Производственные функции: Теория, методы, применение.

М.: Финансы и статистика. 1986. 239 с.

8. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред.

проф. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. - 311 с.

9. Hicks J. R., Allen R. G. D. A Reconsideration of the Theory of Value. Part

I // Economica, New Series. 1934. V. 1. No 1, 52-76.

10.Hicks J. R., Allen R. G. D. A Reconsideration of the Theory of Value. Part II.

A Mathematical Theory of Individual Demand Functions // Economica, New

Series. 1934. V. 1. No 2, 196-219.

11.Revankar N.S. A Class of Variable Elasticity of Substitution Production

Functions // Econometrica. 1971. Vol. 39. No1. P. 61-71. 12.Sato R., Hoffman R.F. Production Functions with Variable Elasticity of

Factor Substitution: Some Analysis and Testing // The Review of Economics

and Statistics. 1968. Vol. 50. No. 4. P. 453-460.

References

1. Gorbunov V.K. Matematicheskaya model' potrebitel'skogo sprosa:

Teoriya i prikladnoy potentsial. - M.: Ekonomika, 2004. - 174 s.

2. Gorbunov V.K., Ledovskikh A.G. Proizvodstvennye funktsii mnogikh

peremennykh s peremennoy elastichnost'yu zameshcheniya // Sovremennye tekhnologii. Sistemnyy analiz. Modelirovanie: Spetsial'nyy vypusk. Irkutsk: IrGUPS. 2008. - S. 134-138.

3. Gorbunov V.K., L'vov A.G. Postroenie trekhfaktornoy proizvodstvennoy funktsii s peremennymi elastichnostyami zameshcheniya // Trudy Srednevolzhskogo matematicheskogo obshchestva. 2009. № 1. T. 11. - S. 90-100.

4. Gorbunov V.K. Proizvodstvennye funktsii: teoriya i postroenie :

uchebnoe posobie / V. K. Gorbunov. - Ul'yanovsk : UlGU, 2013. - 84 s.

5. L'vov A.G. Postroenie proizvodstvennykh funktsiy s peremennoy

elastichnost'yu zameshcheniya // Zhurnal ekonomicheskoy teorii. 2010. №1. - S. 166-169.

6. Karp D.B. Ekonometrika: osnovnye formuly s kommentariyami: uchebno-metodicheskoe posobie. - Vladivostok: Izd-vo DVGAEU, 2004. -50s.

7. Kleyner G.B. Proizvodstvennye funktsii: Teoriya, metody, primenenie. M.: Finansy i statistika. 1986. 239 s.

8. Kremer N.Sh., Putko B.A. Ekonometrika: Uchebnik dlya vuzov / Pod

red. prof. N.Sh. Kremera. - M.: YuNITI-DANA, 2004. - 311 s.

9. Hicks J. R., Allen R. G. D. A Reconsideration of the Theory of Value.

Part I // Economica, New Series. 1934. V. 1. No 1, 52-76.

10. Hicks J. R., Allen R. G. D. A Reconsideration of the Theory of Value.

Part II. A Mathematical Theory of Individual Demand Functions // Economica, New Series. 1934. V. 1. No 2, 196-219.

11. Revankar N.S. A Class of Variable Elasticity of Substitution

Production Functions // Econometrica. 1971. Vol. 39. No1. P. 61-71.

12. Sato R., Hoffman R.F. Production Functions with Variable Elasticity

of Factor Substitution: Some Analysis and Testing // The Review of Economics and Statistics.1968. Vol. 50. No. 4. P. 453-460.