CC BY
31
СОКОЛ Глеб Андреевич
Аспирант кафедры компьютерного моделирования и информационных технологий
Югорский государственный университет
628012, РФ, г. Ханты-Мансийск, ул. Чехова, 16 Контактные телефоны: (3467) 35-77-15, 35-75-38 e-mail: sokolgleb@gmail.com
Доктор технических наук, профессор кафедры компьютерного моделирования и информационных технологий
Югорский государственный университет
628012, РФ, г. Ханты-Мансийск, ул. Чехова, 16 Контактные телефоны: (3467) 35-77-15, 35-75-38 e-mail: avk_200761@mail.ru
КУТЫШКИН Андрей Валентинович
Использование производственных VES-функций для моделирования функционирования экономических систем
Представлены результаты моделирования функционирования экономических систем с использованием производственных функций с переменной эластичностью замещения труда капиталом (УББ-функции). Сравнительный анализ результатов моделирования, полученных с применением уже известных аналитических зависимостей для УББ-функций, и предложенного авторами алгоритма построения производственных функций этого вида показал целесообразность данного алгоритма для решения аналогичных задач. Для апробации авторского алгоритма построения производственных функций вида УББ-функций использовались статистические данные, опубликованные в открытой печати.
JEL classification: С15, С67, Э24
Ключевые слова: производственная функция; замещение труда капиталом; эластичность замещения труда капиталом; переменная эластичность.
Определение основных показателей функционирования экономических систем и производственной деятельности предприятий достаточно часто осуществляется с использованием производственных функций (ПФ). Последние являются одним из инструментов экономико-математического моделирования процесса производства, если его рассматривать как открытую систему, входы которой - затраты ресурсов (материаль- 3 ных и людских), а выходы - производимая продукция. Производственные функции яг используются также для анализа влияния ряда ключевых факторов (входов) на резуль- < таты процесса производства (выхода). Это обусловлено тем, что ПФ в целом отража- § ют достаточно устойчивые количественные соотношения между входами и выходами | экономических и производственных систем.
Производственные функции по своей структуре условно можно разделить на ли- < нейные, линейно-однородные и однородные. Наибольшее распространение при ре- « шении различного рода задач анализа функционирования экономических систем получили производственные функции двух последних видов, известные также как
Введение
2 (64) 2016
неоклассические производственные функции. Это обусловлено, во-первых, тем, что они оперируют, как правило, только двумя факторами затрат производства - агрегированными факторами затрат труда L и капитала K, оказывающими наиболее существенное влияние на результирующий параметр функционирования данных систем - агрегированный показатель объема выпуска конечной продукции Y; во-вторых, тем, что для определенного вида этих функций - CES-функций (constant elasticity substitution production function) получены аналитические выражения с учетом ключевых свойств неоклассических производственных функций.
Сложность экономических систем, для описания функционирования которых применяются неоклассические производственные функции вида CES-функции, не всегда позволяет утверждать, что значения эластичности замещения труда капиталом о в рассматриваемых системах постоянны, поскольку данная ситуация является не такой распространенной в реальных условиях функционирования экономических систем. Наряду с этим не всегда возможно достаточно корректное обоснование использования количественных оценок основных параметров ПФ этих видов, полученных в результате статистического анализа ретроспективных данных, при прогнозировании объемов производства продукции при выбранном горизонте планирования. Необходимо также принятие дополнительных допущений, обосновывающих возможность использования производственных функций этих видов, описывающих частные случаи функционирования экономической системы, для ее моделирования, что снижает точность прогнозных оценок.
Видом неоклассических производственных функций, учитывающим изменения значений эластичности замещения труда капиталом о в экономических системах, являются VES-функции (variable elasticity substitution production function). В настоящее время известны различные варианты аналитического представления производственной функции вида VES-функция.
Ряд авторов [5. P. 2; 7. P. 2; 8. P. 678; 9. P. 64] принимали, что предельная норма замещения труда капиталом у характеризуется следующей зависимостью от фондовооруженности k рассматриваемой экономической системы:
Тогда о определяется зависимостью
ст( k )< 1, ст( k )> 1,
ст( k ) = 1 +
> 1
>,а <0,а > 0,
а VES-функция имеет вид
(1)
В работе [6] предложено величину у оценивать выражением
На основании этого были получены зависимости для о и VES-функции:
ст( k )< 1, ст( k )> 1,
У = Ае МК а1}-аввк.
(2)
В работе [10. Р. 453-455] было предложено эластичность замещения труда капиталом а представлять в виде а(к) = а + Ьк. В результате был получен общий вид УБ8-функ-ции для данного случая взаимосвязи а и к:
Все параметры представленных выше зависимостей, определяющих УБ8-функцию, оценивались на основании статистического анализа исходных ретроспективных данных, характеризующих функционирование экономической системы.
Сделанные указанными авторами допущения относительно характера взаимосвязей между у, а и к, обеспечивают изменения значений а в зависимости от величины к, а также выполнение требований, предъявляемых к неоклассическим производственным функциям [4. С. 91]. Возможность использования приведенных выше вариантов УБ8-функций предполагает также необходимость дополнительного обоснования возможности описания изменений величин у и а принятыми зависимостями.
В работе [3. С. 35-38] предложена более общая методика построения неоклассических производственных функций вида УБ8-функции и представлены результаты реализации этой методики применительно к данным о функционировании экономики СССР в период 1947-1966 гг. [3. С. 89]. Сравнительный анализ расчетных значений У и значений этого показателя, полученных с использованием производственных функций вида СБ8-функции [2. С. 93], выявил более высокую точность оценок рассматриваемого показателя по методике работы [3. С. 43].
В настоящей статье представлены результаты сравнительного анализа оценок значений У, полученных с использованием производственных функций вида СБ8-функ-ции и вида УБ8-функции (1), (2), приведенных в работе [8. Р. 677-686], и построенной по методике работы [3. С. 35-38] по данным экономики США, представленным в работе [8. Р. 687].
Построение б-однородных производственных функций типа УББ-функция
Идентификация структуры производственной функции осуществляется в результате решения следующей системы дифференциальных уравнений [4]:
Здесь 5 - показатель однородности производственной функции; к - фондовооруженность: к = К/Ь; 8(к) - модифицированная производственная функция:
Полученная зависимость в дальнейшем была приведена к следующему виду:
8 '(к) = 5
Я(к) у( к) + к У'( к) =
(3)
у( к) кст(к)
У = / (К, Ь ) = Ь5 / (1, к) ^ - = У = / (1, к) = 8 (к);
У
(4)
у(к) - предельная норма замещения труда капиталом:
у( к ) =
8? (к)- kg'(к) Я'(к) '
(5)
а(к) - эластичность замещения труда капиталом для 5-однородной производственной функции:
Кк )=к
й у(к )'
йк
V У
(6)
Величина а(к) задается некоторой функцией, а у(к) и я(к) определяются из решения системы (3). Непосредственно/(К,Ь) определяется по функции я(к) согласно (4).
В работе [3. С. 35-38] доказано существование и единственность решения системы (3), что позволяет построить 5-однородную производственную функцию типа УБ8-функция.
При заданном значении 5 (предполагается, что выбор значения 5е( 0,1] осуществляется согласно предварительно сформулированному оптимизационному критерию) достаточно построить функцию я(к), которую можно определить следующими выражениями с учетом структуры функции а(к) [3. С. 35-38]:
у( к ) = ь • ехр| | щ
(7)
Я (к ) = с • ехР |
5йг
(8)
где а, Ь, с - некоторые постоянные.
В качестве а(к) можно выбрать, например, некоторую непрерывную, в том числе кусочно-линейную, функцию.
При построении функции я(к) необходимо обеспечить выполнение основных свойств неоклассических производственных функций [3. С. 35-38], в том числе:
й(к) >0 ^ 8?(к) -кйЯ(к) > 0;
йк
йк
й2Я (к)
йЯ(к) 12 й2(к)
йк2
<0 ^ 5(5-1) я (к ) + 2к (1 -5)^^ + к
йк
йк2
<0.
(9) (10)
Исходными данными для построения неоклассической 5-однородной производственной функции типа УБ8-функция являются множества значений объемов выпуска продукции У = /(Ь, К) - У = {У}, (г = 1, ..., п) и соответствующие значения К = {К}, Ь = {Ь.} в стоимостном или индексном выражении. Они характеризуют функционирование рассматриваемой экономической системы в каждый момент времени Т. в течение определенного интервала времени [Т1, Тп]. Так же задаются значения показателя однородности 5.: 5 е ]0,1]. По этим данным определяются значения фондовооруженности
рассматриваемой экономической системы к = КуЬ и значения функции я5 (к ) при фиксированном значении 5.: ' '
Я "'№) = У-
Далее выполняются следующие процедуры.
1. Значения функции g(ki) упорядочиваются по возрастанию значений к., формируя ряд g (l = 1, ..., n; n = n).
2. Значения gr. аппроксимируются функциями g}j, удовлетворяющими требованию
Fj =£ (gj - gj )2 ^ min (11)
1=1
с учетом неравенства 0 < а < 1 и следующих ограничений, включая ограничения (9), (10), в которых дифференциальные неравенства заменяются на их разностные аналоги:
si Zj - к> 0; (12)
kl+l kl
g l+1 j- gj
> 0; (13)
ki+i ki
g l+2 j — g l+1 j g l+1 j — g ij
8j(Sj-1)+ 2kl(1 -5j)gjf- + k2 kl+2 -kk+1 kkl+1 -kl <0; (14)
kl+i kl kl+1 kl
g l+2 j <?l+1j <?l+1j glj
k - k k - k
kl+2 kl+1 kl+1 < 0. (15)
kl+i kl
(kl+ij -klj )(Yl+1j +Ylj) _ (Yl+1j - Ylj)(kl+1j +klj)
= , -1j j j < 1; (16)
к,«I —к ¡1 > о, (17)
где У, =8; • -к,. (18)
1 1 1 д — д 1
¿¡+1, &у
Минимизация Б. (11) при ограничениях (12)-(17) осуществлялась методом Гаусса -Ньютона с использованием пакета МаЙаЬ 7.0 [1. С. 718-746].
3. На основании значений д, в соответствии с (16), (18) определяются значения у, и а,
4. Полученные значения а, при допущении ап = ап —1 = ап —2 аппроксимируются кусочно-линейными функциями с параметрами
а,,..— а,. о,.-к,, —а,,,.-к,
= -., , =-, ( I = 1, п). (19)
¡к — к к — к
k¡+l к1 k¡+l к
При этом полагается:
• для участка [0, к1] а. (к) = а;
• для участка [кп 2, Н а.(к) = ап-2..
5. Согласно (7) с учетом (19) рассчитываются значения у,( I = 1, ..., п ¡):
Л Л
_ _ г at
Y • =Y» j *ч
Для I = 1 значение у, определяется выражением (18).
6. Полученные значения у, по аналогии с (19) аппроксимируются кусочно-линейными функциями вида + м,.
7. На основании (8) при допущении, что для I = 1 значение я , = я,, рассчитываются значения функции я ,
(к1+1 я ^ Л 1
8,, = я 1-1, • еХР
5 .Л
(у; • г + ) + г
где V ,, - параметры кусочно-линейных функций, используемых для аппроксимаций у,. 8. Определяется относительная величина погрешности
Я,, - Я,
еч =
Я,
(20)
характеризующая степень расхождения между значениями я, и я,, и соответствующая величина среднеквадратического отклонения ^.
Из всех вариантов построенных функций я,, выбирается тот, который обеспечивает наименьшее значение среднеквадратического отклонения величин и представляет собой в конечном счете неоклассическую 5-однородную производственную функцию типа УБ8-функция, описывающую функционирование рассматриваемой экономической системы в течение определенного интервала времени [Г1, Г].
Совокупность процедур (1)-(8) в целом формирует алгоритм построения
5-однородной производственной функции типа УБ8-функция.
Апробация алгоритма построения б-однородной производственной функции
типа УББ-функция
Апробация описанного выше алгоритма была осуществлена при построении
6-однородных производственных функций типа УБ8-функция по данным, характеризующим функционирование экономики США в период 1947-1968 гг. (табл. 1) [8. Р. 687].
Таблица 1
Данные о < функционировании экономики США в 1947-1968 гг.
Год У Ь К к = К/Ь я = У/Ь
1947 77657,00 13547,930 1709,340 0,1262 5,7320
1948 83484,00 14226,426 1822,025 0,1281 5,8682
1949 79274,00 13856,344 1785,398 0,1289 5,7211
1950 91946,00 14773,088 1917,069 0,1298 6,2239
1951 101840,00 16094,142 2098,780 0,1304 6,3278
1952 102199,00 16787,144 2197,133 0,1309 6,0879
1953 109438,00 17876,633 2349,975 0,1315 6,1218
1954 102252,00 17494,428 2277,973 0,1302 5,8448
1955 116237,00 18434,472 2409,267 0,1307 6,3054
1956 119274,00 19295,276 2519,575 0,1306 6,1815
1957 118988,00 19808,577 2573,560 0,1299 6,0069
1958 107741,00 19081,420 2460,661 0,1290 5,6464
1959 122448,00 20165,664 2616,817 0,1298 6,0721
1960 122276,00 20725,194 2698,380 0,1302 5,8999
1961 120357,00 20725,417 2707,722 0,1306 5,8072
1962 130589,00 21738,491 2850,761 0,1311 6,0073
Окончание табл. 1
Год Y L K k = K/L g = Y/L
1963 135569,00 22342,636 2942,102 0,1317 6,0677
1964 144393,00 23187,973 3066,187 0,1322 6,2271
1965 156481,00 24659,124 3272,727 0,1327 6,3458
1966 172171,00 26689,048 3555,051 0,1332 6,4510
1967 172015,00 27661,258 3702,961 0,1339 6,2186
1968 181604,00 28792,002 3877,643 0,1347 6,3074
Источник: [8. P. 687].
Эти данные представляют собой временные ряды следующих величин за указанный период времени:
• Y - реальный национальный доход в млн дол. 1958 г., значение которого получено делением величины национального дохода в текущих ценах каждого года на индекс-дефлятор валовой продукции (real income originating in millions of 1958 dollars, derived by dividing real income originating in current dollars by Implicit Price Deflator for Goods Output);
• L - круглогодовые работники (fulltime equivalent employees), тыс. чел.;
• K - валовое накопление основных фондов (здания и оборудование) за вычетом нематериальных активов (gross stocks of structures and equipment) в сотнях млн дол. 1958 г.
Алгоритм был реализован с помощью пакета MatLab 7.0. Минимизация функции F (11) осуществлялась с использованием модуля Optimization Toolbox 2.2 данного пакета [1. С. 718-746], предназначенного для поиска экстремумов функций нескольких переменных при наличии ограничений. Поскольку в этом модуле используются ограничения нестрогого вида (< 0), то правая часть ограничений (12), (13), (18) была заменена на положительную константу а. Величина а принималось равной значению параметра TolFun данного модуля, который обеспечивает прекращение итераций поиска экстремума функции при достижении точности по ее значению: а = TolFun = 10-6.
В табл. 2 приведены:
• производственные функции вида CES-функция (ПФ1 - здесь и далее обозначения авторов) и VES-функция (ПФ2 (1), ПФ3 (2)), идентифицированные методами регрессионного анализа данных табл. 1;
• значения о для CES-функции и регрессионные зависимости оценки значений данной величины для VES-функций ПФ2 (1) и ПФ3 (2).
В табл. 3 представлены:
• значения Y из табл. 1;
• значения Y, рассчитанные с использованием производственной функции вида CES-функция ПФ1 (табл. 2) и по предложенному в данной статье алгоритму построения неоклассической 5-однородной (при 5 = 1) производственной функции типа VES-функция - функция ПФ4, обозначенные как ПФ1 и ПФ4 соответственно;
• значения эластичности замещения фактора труда фактором капитала для функции ПФ1 - оПф1 (табл. 2) и рассчитанные по предложенному алгоритму при определении величины ПФ4 - о ;
ПФ4
• величины относительной погрешности аппроксимации е.. (20) исходных данных Y, среднего значения относительной ошибки е. и ее среднеквадратическое отклонение s для функций ПФ1 и ПФ4; для величин е., е. и sS| были приняты следующие обозначения: ПФ1 - £„,, е„,, s ; ПФ4 - £„,, е„., s .
ПФ1' ПФР 5ПФ1> ПФ4 ПФ4> 5пф4
В табл. 4 и 5, аналогичных по структуре табл. 3, показаны данные для функций ПФ2, ПФ3 и ПФ4.
Оценка качества аппроксимации исходных данных Y производственными функциями ПФ1, ПФ2, ПФ3 (табл. 2) и предлагаемой 6-однородной производственной функции типа УЕ8-функция (ПФ4) осуществлялась сопоставлением соответствующих значений величин £„,, £„_„, £„„, £„,, е„,, е„., ,, ., s , s , s , s .
ПФ1 ПФ2' ПФ3' ПФ4' ПФР ПФ2> "ПФ^ "ПФ^ вПФ1> вПФ2> вПФз> вПФ4
Таблица 2
Зависимости для СББ- и УББ-« ункций
ПФ Интервал Вид производственной функции Интервал Значения а
ПФ1 1943-1968 У = 6,9061е°'0182' (0>0191К-1 1395 + - , 139; \-0,8776 +0,9809! 1,1395 ) 1947-1963 0,4674
ПФ2 1943-1968 У = 6,2705e0'0183t (7,750Ш№М - --0,3025!7'7501 )0Д29 1947-1963 1 - 0,0448к 1
ПФ3 1943-1968 У = 21,5091е 0'01ШК04657 Ь^е -2'5Шк 1947-1963 ак 1 +- [Ь - ак]2 - Ь а = 2,5361; Ь = 0,4657
Источник: [8. Р. 677-686].
Таблица 3
Значения производственных функций, рассчитанные за 1947-1968 гг.
Год У ПФ1 аПФ1 г ПФ1 ПФ4 аПФ4 г ПФ4
1947 77657 80959 0,4674 0,0425* 79790* 0,1303* 0,0275*
1948 83484 85071 0,0190* 85049* 0,1303* 0,0187*
1949 79274 82932 0,0461* 83339* 0,1303* 0,0513*
1950 91946 88519 0,0373* 89332* 0,0188* 0,0284*
1951 101840 96511 0,0523* 97694* 0,1477* 0,0407*
1952 102199 100724 0,0144* 102117* 0,0003* 0,0008*
1953 109438 107336 0,0192* 109033* 0,0303* 0,0037*
1954 102252 104886 0,0258* 106043* 0,0565* 0,0371*
1955 116237 110587 0,0486* 112000* 0,0028* 0,0365*
1956 119274 115738 0,0296* 117214* 0,0428* 0,0173*
1957 118988 118725 0,0022* 119921* 0,0393* 0,0078*
1958 107741 114239 0,0603* 114810* 0,0158* 0,0656*
1959 122448 120850 0,0131* 122076* 0,0112* 0,0030*
1960 122276 124270 0,0163* 125692* 0,0469* 0,0279*
1961 120357 124344 0,0331* 125902* 0,0659* 0,0461*
1962 130589 130497 0,0007* 132401* 0,0833* 0,0139*
1963 135569 134313 0,0093* 136341* 0,0612* 0,0057*
1964 144393 139383 0,0347* 141943* 0,1527* 0,0170*
1965 156481 148311 0,0522* 151161* 0,1381* 0,0340*
1966 172171 160609 0,0672* 163861* 0,1404* 0,0483*
1967 172015 166593 0,0315* 170307* 0,1973* 0,0099*
1968 181604 173369 0,0453* 177808* 0,1623* 0,0209*
Среднее значение в 1 0,0319* Среднее значение в 4 0,0255*
Среднеквадратическое отклонение 5в 0,0187* Среднеквадратическое 0,0178*
отклонение 5в
Примечание. * Рассчитано автором (здесь и далее). 2 (64) 2016
В табл. 3-5 полужирным шрифтом выделены значения относительной погрешности е1, характеризующие наибольшее приближение исходных значений У к расчетным, полученным с использованием предлагаемой 6-однородной производственной функции типа УБ8-функция по отношению к ПФ1, ПФ2, ПФ3 (см. табл. 2).
Таблица 4
Значения производственных функций, рассчитанные за 1947-1968 гг.
Год У ПФ2 °ПФ2 г ПФ2 ПФ4 ^ПФ4 г ПФ4
1947 77657 80706 0,6450* 0,0393* 79790* 0,1303* 0,0275*
1948 83484 84846 0,6503* 0,0163* 85049* 0,1303* 0,0187*
1949 79274 82733 0,6524* 0,0436* 83339* 0,1303* 0,0513*
1950 91946 88320 0,6549* 0,0394* 89332* 0,0188* 0,0284*
1951 101840 96303 0,6564* 0,0544* 97694* 0,1477* 0,0407*
1952 102199 100519 0,6578* 0,0164* 102117* 0,0003* 0,0008*
1953 109438 107124 0,6593* 0,0211* 109033* 0,0303* 0,0037*
1954 102252 104651 0,6559* 0,0235* 106043* 0,0565* 0,0371*
1955 116237 110348 0,6572* 0,0507* 112000* 0,0028* 0,0365*
1956 119274 115481 0,6570* 0,0318* 117214* 0,0428* 0,0173*
1957 118988 118442 0,6551* 0,0046* 119921* 0,0393* 0,0078*
1958 107741 113938 0,6527* 0,0575* 114810* 0,0158* 0,0656*
1959 122448 120550 0,6549* 0,0155* 122076* 0,0112* 0,0030*
1960 122276 123970 0,6559* 0,0139* 125692* 0,0469* 0,0279*
1961 120357 124050 0,6570* 0,0307* 125902* 0,0659* 0,0461*
1962 130589 130202 0,6583* 0,0030* 132401* 0,0833* 0,0139*
1963 135569 133921 0,6598* 0,0122* 136341* 0,0612* 0,0057*
1964 144393 139093 0,6611* 0,0367* 141943* 0,1527* 0,0170*
1965 156481 148015 0,6624* 0,0541* 151161* 0,1381* 0,0340*
1966 172171 160303 0,6637* 0,0689* 163861* 0,1404* 0,0483*
1967 172015 166292 0,6654* 0,0333* 170307* 0,1973* 0,0099*
1968 181604 173278 0,6674* 0,0458* 177808* 0,1623* 0,0209*
Среднее значение впф2 0,0324* Среднее значение в 4 0,0255*
Среднеквадратическое отклонение 5в 0,0184* Среднеквадратическое отклонение 5 0,0178*
Таблица 5
Значения производственных функций, рассчитанные за 1947-1968 гг.
Год У ПФ3 аПФ3 г "пфэ ПФ4 ^ПФ4 г ПФ4
1947 77657 80832 0,2799* 0,0409* 79790* 0,1303* 0,0275*
1948 83484 84914 0,2714* 0,0171* 85049* 0,1303* 0,0187*
1949 79274 83780 0,2677* 0,0568* 83339* 0,1303* 0,0513*
1950 91946 88342 0,2637* 0,0392* 89332* 0,0188* 0,0284*
1951 101840 96306 0,2610* 0,0543* 97694* 0,1477* 0,0407*
1952 102199 100502 0,2587* 0,0166* 102117* 0,0003* 0,0008*
1953 109438 107087 0,2560* 0,0215* 109033* 0,0303* 0,0037*
1954 102252 104664 0,2619* 0,0236* 106043* 0,0565* 0,0371*
1955 116237 110343 0,2596* 0,0507* 112000* 0,0028* 0,0365*
1956 119274 115482 0,2600* 0,0318* 117214* 0,0428* 0,0173*
1957 118988 118473 0,2632* 0,0043* 119921* 0,0393* 0,0078*
1958 107741 114007 0,2673* 0,0582* 114810* 0,0158* 0,0656*
Окончание табл. 5
Год Y ПФ3 аПФ3 е "пфэ ПФ4 ^ПФ4 е ПФ4
1959 122448 120589 0,2637* 0,0152* 122076* 0,0112* 0,0030*
1960 122276 123991 0,2619* 0,0140* 125692* 0,0469* 0,0279*
1961 120357 124050 0,2600* 0,0307* 125902* 0,0659* 0,0461*
1962 130589 130179 0,2578* 0,0031* 132401* 0,0833* 0,0139*
1963 135569 133870 0,2550* 0,0125* 136341* 0,0612* 0,0057*
1964 144393 139011 0,2528* 0,0373* 141943* 0,1527* 0,0170*
1965 156481 147901 0,2505* 0,0548* 151161* 0,1381* 0,0340*
1966 172171 160151 0,2482* 0,0698* 163861* 0,1404* 0,0483*
1967 172015 166090 0,2450* 0,0344* 170307* 0,1973* 0,0099*
1968 181604 173010 0,2414* 0,0473* 177808* 0,1623* 0,0209*
Среднее значение епф3 0,0334* Среднее значение епф4 0,0255*
Среднеквадратическое отклонение sc 0,0191* Среднеквадратическое отклонение se 0,0178*
Заключение и выводы
Сравнение значений е , еПф2, еПф3, £ПФ4 (см. табл. 3-5) показывает, что построенная авторами производственная функция типа VES-функция позволяет получить более точное приближение 65% значений величины конечного продукта экономической системы Y к исходным данным. В остальных точках ошибка приближения не превышает 6,5%.
Значения средней ошибки аппроксимации исходных данных и ее среднеквадра-тического отклонения (см. табл. 3-5) для построенной авторами производственной функции типа VES-функция (ПФ4) меньше, чем для CES-функции (ПФ1) и ранее разработанных VES-функций (ПФ2 и ПФ3). Следовательно, предлагаемый алгоритм построения производственных функций типа VES-функция дает более «устойчивое» приближение расчетных значений величины Y к ее исходным значениям.
Таким образом, можно отметить, что предложенный и реализованный алгоритм построения 5-однородной производственной функции типа VES-функция, отвечающей требованиям, предъявляемым к неоклассическим производственным функциям, способен обеспечить построение указанной функции с достаточно высокой точностью аппроксимации данных, характеризующих функционирование экономической системы.
Источники
1. Ануфриев И. Е., Смирнов А. Б., Смирнова Е. Н. МАТЛАБ 7. СПб. : БХВ-Петербург, 2004.
2. Бессонов В. А. Проблемы построения производственных функций в российской переходной экономике. М. : Ин-т переходной экономики, 2002.
3. Вольных Е. В., Кутышкин А. В., Никоноров Ю. Г. Построение 5-однородной производственной VES-функция // Сибирский журнал индустриальной математики. 2007. Т. 10. № 2 (30). С. 31-44.
4. Моделирование экономических процессов : учеб. для студентов вузов / под ред. М. В. Грачевой, Л. Н. Фадеевой, Ю. Н. Черемных. М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2005.
5. А1са1а L. A. A Generalized Variable Elasticity of Substitution Production Function with an Application to the Neoclassical Growth Model : conference paper for XLVIII Reunión Anual de la Asociacion Argentina de Economia Politica (November, 2013, Rosario, Santa Fe, Argentina). URL: https://www.researchgate.net/publication/259217948_A_Generalized_Vari-able_Elasticity_of_Substitution_Production_Function_with_an_Application_to_the_Neo-classical_Growth_Model.
6. Ferguson C. Capital-Labor Substitution and Technological Progress in the United States: Statistical Evidence from Transcendental Production Function. Mimeographed, 1965.
7. Karagiannis G., Palivos T., Papageorgiou C. Variable Elasticity of Substitution and Economic Growth: Theory and Evidence // New Trends in Macroeconomics / ed. by C. Diebolt, C. Kyrtsou. Heidelberg : Springer, 2005. P. 21-37.
8. Knox Lovell C. A. Estimation and Prediction with CES and VES Production Functions // International Economic Review. 1973. Vol. 14. Issue 3. P. 676-692.
9. Revankar N. S. A Class of Variable Elasticity of Substitution Production Functions // Econometrica. 1971. Vol. 39. Issue 1. P. 61-71.
10. Sato R., Hoffman R. F. Production Function with Variable Elasticity of Factor Substitution: Some Analysis and Testing // The Review of Economics and Statistics, 1968. Vol. 50. P. 453-460.
***
Using VES Production Functions for Modelling of Economic Systems' Functioning
by Gleb A. Sokol and Andrey V. Kutyshkin
The article presents the results of modelling of economic systems' functioning using production functions with variable elasticity of substitution of labour for capital (VES functions). Comparative analysis of the modelling results obtained using the already known analytical dependence for VES functions, with the algorithm proposed by the authors to construct production functions of this type showed the relevance of applying this algorithm to solve analogous problems. The suggested algorithm for constructing VES production functions was tested with the use of statistics published in the open sources.
Keywords: production function; substitution of labour for capital; elasticity of substitution of labour for capital; variable elasticity.
References:
1. Anufriev I. Ye., Smirnov A. B., Smirnova Ye. N. MATLAB 7 [MATLAB 7]. Saint Petersburg: BHV-Peterburg Publ., 2004.
2. Bessonov V. A. Problemy postroeniya proizvodstvennykh funktsiy v rossiyskoy perekhodnoy ekono-mike [Problems of constructing production functions in the Russian economy in transition]. Moscow: Gaidar Institute for Economic Policy, 2002.
3. Volnykh Ye. V., Kutyshkin A. V., Nikonorov Yu. G. Postroenie 5-odnorodnoy proizvodstvennoy VES-funktsiya [Building 5-homogeneous VES production function]. Sibirskii zhurnal industrial'noy matematiki - Journal of Applied and Industrial Mathematics, 2007, V. X, no. 2 (30), pp. 31-44.
4. Gracheva M. V., Fadeyeva L. N., Cheremnykh Yu. N. (eds.). Modelirovaniye ekonomicheskikh prot-sessov [Modeling of economic processes]. Moscow: YUNITY-DANA Publ., 2005.
5. Alcala L. A. A Generalized Variable Elasticity of Substitution Production Function with an Application to the Neoclassical Growth Model: Conference Paper for XLVIII Reunion Anual de la Asociacion Argentina de Economia Politica (November, 2013, Rosario, Santa Fe, Argentina). Available at: https://www. researchgate.net/publication/259217948_A_Generalized_Variable_Elasticity_of_Substitution_Produc-tion_Function_with_an_Application_to_the_Neoclassical_Growth_Model.
6. Ferguson C. Capital-Labour Substitution and Technological Progress in the United States: Statistical Evidence from Transcendental Production Function. Mimeographed, 1965.
7. Karagiannis G., Palivos T., Papageorgiou C. Variable Elasticity of Substitution and Economic Growth: Theory and Evidence in New Trends in Macroeconomics (eds. C. Diebolt, C. Kyrtsou). Heidelberg: Springer, 2005, pp. 21-37.
8. Knox Lovell C. A. Estimation and Prediction with CES and VES Production Functions. International Economic Review, 1973, Vol. 14, Issue 3, pp. 676-692.
9. Revankar N.S. A Class of Variable Elasticity of Substitution Production Functions. Econometrica, 1971, Vol. 39, Issue 1, pp. 61-71.
10. Sato R., Hoffman R. F. Production Function with Variable Elasticity of Factor Substitution: Some Analysis and Testing. The Review ofEconomics and Statistics, 1968, Vol. 50, pp. 453-460.
Contact Info:
Gleb A. Sokol, postgraduate of Computer Modeling & Information Technologies Dept. Phones: (3467) 357-715, 357-538 e-mail: sokolgleb@gmail.com Andrey V. Kutyshkin, Dr. Sc. (Eng.), Prof. of Computer Modeling & Information Technologies Dept.
Phones: (3467) 357-715, 357-538 e-mail: avk_200761@mail.ru
Yugra State University 16 Chekhova St., Khanty-Mansiysk, Russia 628012
Yugra State University 16 Chekhova St., Khanty-Mansiysk, Russia 628012
