CC BY
30
Оригинальная статья / Original article УДК 519.855: 336
DOI: 10.21285/1814-3520-2017-3-73-80
О ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДОВ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СТРУКТУРЫ ЛИЗИНГОВЫХ ПЛАТЕЖЕЙ
© Т.С. Бузина1, А.Э. Бузин2, Р.В. Романов3
13Иркутский государственный аграрный университет им. А.А. Ежевского, Российская Федерация, 664038, г. Иркутск, пос. Молодежный, 1. 2Санкт-Петербургский государственный университет,
Российская Федерация, 199034, г. Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9.
РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬ. В задачах оптимизации структуры лизинговых платежей необходимо учитывать динамику некоторых параметров ограничений и особенности их изменения под влиянием различных факторов. В данной работе для моделирования структуры лизинговых платежей предложены оптимизационные задачи с изменяемыми параметрами, характеризующими сумму, выплаченную лизингодателю за предыдущий период, и остаточную стоимость предмета лизинга с учетом экономических интересов лизингодателя и лизингополучателя. МЕТОДЫ. В статье рассмотрены случаи, когда ограничения в левых и правых частях математической модели зависят от параметров, описывающих изменяемые ставки по кредиту и НДС, а также сумму, выплаченную лизингодателю за предыдущий период. Подобные задачи решаются методами параметрического программирования, которые позволяют изучать поведение оптимальных планов при изменении параметров4. РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ. Реализация первой модели с изменяемым параметром в правой части ограничения, описывающего ранее выплаченную лизингодателю сумму, позволила получить множество оптимальных решений с убывающей целе-
0 014х
вой функцией, динамику которой можно описать экспоненциальным уравнением вида у = 45758е", . Оптимизация структуры лизинговых платежей позволяет существенно снизить ежемесячный платеж к концу расчетного периода, за счет чего достигается экономия суммарного платежа по сравнению с усредненными расчетами на 7%. В результате решения второй задачи с учетом дополнительных ограничений, учитывающих коэффициенты понижения по ставкам НДС и кредиту, наблюдается более спокойное снижение лизинговых платежей в течение расчетного периода. В то же время существенно сокращается нагрузка на лизингополучателя по ежемесячным платежам, что в конечном итоге позволяет получить экономию суммарного лизингового платежа на 31% по сравнению с усредненными расчетами. ВЫВОДЫ. Рассмотренные в статье модели позволяют оптимизировать структуру ежемесячных лизинговых платежей с учетом изменения параметров, характеризующих сумму, выплаченную лизингодателю за предыдущий период, и остаточную стоимость предмета лизинга. В результате решения задачи параметрического программирования значительно снижается нагрузка на лизингополучателя по ежемесячным выплатам, а суммарные платежи по кредиту по сравнению с усредненными расчетами сокращаются на 38%. Практическая значимость предложенных параметрических моделей заключается в возможности их применения при выборе экономически обоснованной модели лизинга, обеспечивающей соблюдение интересов всех его участников.
Ключевые слова: лизинговые платежи, модели оптимизации, задача параметрического программирования, изменяемые параметры.
Формат цитирования: Бузина Т.С., Бузин А.Э., Романов Р.В. О применении методов параметрического программирования для моделирования структуры лизинговых платежей // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2017. Т. 21. № 3. С. 73-80. DOI: 10.21285/1814-3520-2017-3-73-80
1
Бузина Татьяна Сергеевна, кандидат технических наук, доцент кафедры информатики и математического моделирования, e-mail: buzinats@mail.ru
Tatiana S. Buzina, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Informatics
and Mathematical Modeling, e-mail: buzinats@mail.ru
2Бузин Андрей Эдуардович, студент, e-mail: andrew.buzin.gm@gmail.com
Andrei E. Buzin, Student, e-mail: andrew.buzin.gm@gmail.com
3Романов Роман Владимирович, аспирант, e-mail: romka-00@mail.ru
Roman V. Romanov, Postgraduate, e-mail: romka-00@mail.ru
4Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. Высшая математика. Математическое программирование: учебник. 4-е изд., стер. СПб.: ИД «Лань», 2013. 352 с. / Kuznetsov A.V., Sakovich V.A., Kholod N.I. Highe r Mathematics. Mathematical programming. Saint Petersburg, Publishing house "Lan", 2013. 352 p.
ON PARAMETRIC PROGRAMMING METHODS APPLICATION FOR LEASE PAYMENTS STRUCTURE MODELING T.S. Buzina, A.E. Buzin, R.V. Romanov
Irkutsk State Agricultural University named after A.A. Ezhevsky, 1 Molodezhnyi settlement, Irkutsk, 664038, Russian Federation. Saint-Petersburg State University,
7-9, Universitetskaya naberezhnaya, Saint-Petersburg, 199034, Russian Federation.
ABSTRACT. PURPOSE. The problems of leasing payments structure optimization must take into account the dynamics of some limitation parameters and their variation features under the influence of different factors. This paper proposes to simulate the structure of lease payments on the base of the optimization problems with variable parameters characterizing the amount paid to the lessor for the previous period and the residual value of the leased asset taking into account the economic interests of the lessor and lessee. METHODS. The article deals with the cases where restrictions on the left and right sides of the mathematical model depend on the parameters describing the variable rates on the loan and VAT, as well as the amount paid to the lessor for the previous period. Such problems are solved by the methods of parametric programming, which allow to study the behavior of optimal plans under parameter variation4. RESULTS AND THEIR DISCUSSION. Implementation of the first model with a varied parameter in the right side of the constraint descri b-ing the amount previously paid to the lessor allows to receive a plenty of optimal solutions with a decreasing objective
0 014*
function, the dynamics of which can be described by the following exponential equation у = 45758e" . Optimization of the lease payments structure can significantly reduce a monthly payment by the end of the settling period and provide a 7% saving of the total payment in comparison with the average estimates. Solution of the second problem with regard to the additional restrictions taking into account the reduction coefficients of VAT rates and loan leads to a more peaceful reduction of lease payments during the settling period. It also significantly reduces the lessee's monthly burden of pa y-ments which eventually allows a 31% saving of the total lease payment as compared with the average calculations. CONCLUSIONS. The models described in the article allow to optimize the structure of monthly lease payments considering the variation of parameters characterizing the amount paid to the lessor for the previous period and the residual value of the leased asset. The solution of parametric programming problem significantly reduces the load of monthly payments on the lessee, while total payments on the loan will be reduced by 38% as compared with the average calculations. The practical significance of the proposed parametric models is in the possibility to use them in choosing an economically sound leasing model ensuring the care agreement for all its participants.
Keywords: lease payments, optimization models, problem of parametric programming, variable parameters
For citation: Buzina T.S., Buzin A.E., Romanov R.V. On parametric programming methods application for lease payments structure modeling. Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2017, vol. 21, no. 3, pp. 73-80. (In Russian) DOI: 10.21285/1814-3520-2017-3-73-80
Введение
Для повышения конкурентоспособности продукции в нашей стране необходимы инвестиции, способствующие подъему производства и формированию оптимальной отраслевой структуры. В последние годы в России особое внимание уделяется такому виду рыночных отношений, как лизинг, который можно охарактеризовать как комплекс имущественных отношений, связанных с приобретением в собственность лизингодателем указанного лизингополучателем имущества у определенного им продавца и передачей этого имущества лизингополучателю во временное пользо-
^ 5
вание для предпринимательских целей5.
Под лизинговыми платежами понимается общая сумма платежей по договору лизинга за весь срок его действия [1]. При оценке экономической целесообразности применения той или иной модели лизинга существенным является оптимизация структуры лизинговых платежей, обеспечивающей погашение стоимости объекта. При этом лизинговые платежи не могут быть меньше возвратной стоимости имущества лизинга, иначе не будет обеспечено его простое воспроизводство [2].
В результате анализа проблем, связанных с планированием лизинговых отношений, выявлено, что повысить их эффек-
5Боровская М.А Банковские услуги предприятиям: учеб. пособие. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 1999. 169 с. / Borovskaya M.A. Banking services to enterprises. Taganrog: TRTU Publ., 1999, 169 p.
тивность можно путем оптимизации структуры ежемесячных лизинговых платежей, обеспечивающей погашение стоимости объекта лизинга при минимальной сумме выплат. В этом случае применимы методы математического программирования. Следует отметить, что в модели необходимо учитывать экономические интересы обеих сторон данной финансовой сделки - лизингодателя и лизингополучателя.
Кроме того, в ограничениях модели
необходимо учесть особенности изменения ежемесячных лизинговых платежей, процентных ставок по кредиту и вознаграждения лизингодателю. Подобная проблема может быть решена с помощью задачи параметрического программирования, где в качестве изменяемых параметров выступают коэффициенты, описывающие сумму, выплаченную лизингодателю за предыдущий период, и остаточную стоимость предмета лизинга.
Применение параметрических моделей для оптимизации структуры
лизинговых платежей
Построение и реализацию параметрической модели оптимизации структуры лизинговых платежей рассмотрим на следующем примере.
Банк предоставил лизингодателю кредит в размере 2300000 руб. На сумму кредита лизингодатель приобретает у поставщика оборудование. Лизингодатель передает предмет лизинга в пользование лизингополучателю на срок 24 месяца. Лизингополучатель выплачивает лизингодателю лизинговые платежи раз в месяц, а по завершении лизингового договора приобретает предмет лизинга по остаточной стоимости. Лизингодатель рассчитывается по кредиту с банком и платит налоги.
Предположим, что все финансовые операции, связанные с рассматриваемым лизинговым договором, происходят в заданные моменты И (первое число каждого месяца), указывающие срок окончания /-го периода (месяца) от начала действия договора [3]. Лизингополучатель в момент И уплачивает лизингодателю очередной лизинговый платеж, а лизингодатель возвращает банку заранее оговоренную часть кредита с соответствующими процентами и платит налоги государству. Годовая процентная ставка за кредит, полученный лизинговой компанией на приобретение предмета лизинга, - 20%.
За первый год использования лизингового имущества были погашены средства, инвестированные в предмет лизинга, в сумме 1150000 руб.
Предполагается, что в каждый период лизингодатель получает определенную сумму из поступающих лизинговых платежей в качестве вознаграждения за услуги лизингополучателю. Ставка вознаграждения лизингодателя установлена в размере 10% от балансовой стоимости лизингового имущества.
Величина налога на добавленную стоимость, а также уплачиваемых процентов по кредиту зависит от производимых лизинговых платежей, которые и являются управляющими параметрами рассматриваемого процесса [3]. При этом необоснованный выбор лизинговых платежей способствует увеличению налоговых отчислений и суммы процентов, выплачиваемых по кредиту.
Возникает необходимость в оптимизации структуры лизинговых платежей с целью минимизации суммарных расходов лизингополучателя. При построении модели должны учитываться следующие условия:
- все требуемые выплаты лизингодателя в каждый момент И ( = 1, . . ., п) должны быть выполнены лизингополучателем;
- обеспечивается заданный уровень V приведенной стоимости суммарного вознаграждения лизингодателя;
- сумма приведенных лизинговых платежей минимизируется.
Для построения математической модели введем следующие обозначения
переменных. Пусть х,■ - лизинговый платеж в /-й период (1 раз в месяц); а/ - плата за кредитные ресурсы, используемые лизингодателем на приобретение имущества; б - амортизационные отчисления, начисленные лизингодателем в расчетном году; ЬI - сумма, выплаченная лизингодателю за предыдущий период, в том числе ранее погашенные лизингополучателем средства; РI - прибыль за /-й период; у - доход лизингодателя за /-й период; В - балансовая стоимость предмета лизинга; Кп - остаточная стоимость предмета лизинга; ^ - ставка НДС (0<М) за ¡-й период, п - количество / периодов, равное 12 месяцам (один календарный год).
Учитывая, что норма амортизации в процентах к первоначальной (восстановительной) стоимости объекта амортизируемого имущества равна 2,7%, а ставка за кредит составила 20% годовых, ограничения модели по расчету амортизационных отчислений и платежам по кредиту в принятых обозначениях имеют вид:
^ = 0,027 • В; (1)
а,= 0,2 • ((В + Кп )/2). (2)
Вознаграждение лизингодателя за предоставление имущества по договору лизинга с учетом ставки комиссионного вознаграждения, устанавливаемой в процентах от среднегодовой остаточной стоимости имущества (предмета договора) -10%, запишется выражением
V = 0,1 • ((В + Кп)/ 2). (3)
Расчет прибыли за /-й период осуществляется по формуле
р = х _ а^ _ . (4)
Доход лизингодателя в /-й период у будет задаваться выражением
у = х, _ а _ г • р. (5)
Кроме того, должны соблюдаться условия:
- суммарный доход лизингодателя за весь период времени должен быть больше выплаченного ему вознаграждения за предоставление имущества по договору лизинга:
n
£ y ^; (6)
i=i
- суммарный доход лизингодателя больше 0:
n
£ У * 0. (7)
i=i
Для моделирования лизинговых платежей в нашем случае можно использовать задачу параметрического программирования [4]. Это обусловлено тем, что параметр b - сумма, выплаченная лизингодателю за предыдущий период (в том числе ранее погашенные лизингополучателем средства), увеличивается каждый месяц на сумму выплаченного ежемесячного платежа x,-. Другими словами,
bi+1 = bi + b'(Xi) , (8)
0<b <в , (9)
где в - максимально возможная сумма выплаченных лизингодателю платежей, оговариваемая в договоре лизинга.
При этом параметр b, учитывается в условии модели, характеризующем остаточную стоимость предмета лизинга Kn, которая описывается выражением вида:
Kn=B-l^l=ibi + b'i(xi). (10)
Таким образом, сформулируем математическую модель оптимизации ежемесячных лизинговых платежей. Целевая функция - минимизировать суммарный лизинговый платеж:
n
£cixi ^ min, (11)
i=i
_ -vTi
где ci = e - коэффициент, учитывающий уменьшение суммы вознаграждения
x,., a, d,, v, > 0; (21)
0<b <0 . (22) Решение задачи параметрического программирования показывает, что при изменении параметра b,, характеризующего сумму, выплаченную лизингодателю за предыдущий период, в указанных пределах b е [0;0] ежемесячный лизинговый платеж уменьшится с 45145 руб. в начале периода до 38912 руб. в конце года. При соблюдении оптимального плана суммарный лизинговый платеж за год может сократиться на 38235 руб. (или на 7%), а платежи по процентам за кредит снизятся с 345000 до 321248 руб. (табл. 1).
Таблица 1
Результаты моделирования лизинговых платежей с учетом динамики суммы, выплаченной лизингодателю за предыдущий период, руб.
Table 1
Results of lease payments modeling based on the dynamics of the amount _paid to the lessor for the previous period, rub._
Период (номер месяца) / Period (month number) Лизинговый платеж / Lease payment Платеж по кредиту / Loan payment Амортизационные отчисления / Depreciation allowances
1 45 145 28 750 5 175
2 44 539 28 374 5 175
3 43 941 28 003 5 175
4 43 352 27 636 5 175
5 42 770 27 275 5 175
6 42 197 26 919 5 175
7 41 631 26 567 5 175
8 41 072 26 220 5 175
9 40 521 25 878 5 175
10 39 978 25 540 5 175
11 39 441 25 207 5 175
12 38 912 24 878 5 175
Сумма платежей за год по усредненным расчетам / Annual amount of payments by average estimates 541 734 345 000 62 100
Сумма платежей за год по оптимальному плану / Annual amount of payments by the optimal plan 503 499 321 248 62 100
лизингодателя в момент Т/ с учетом изменения остаточной стоимости предмета лизинга.
Условия модели, значение которых приведено выше, запишутся в виде:
р = ^ ; (12)
у = хг - а - х ■ р; (13)
Кп=В-^=1Ь1 + Ь'1(х1) (14)
Ь1+1 = Ь1 + Ь'(х1); (15)
^ = 0,027 ■ В; (16)
аг= 0,2 ■ ((В + Кп )/2); (17) V = 0,1 ■ ((В + Кп)/ 2); (18)
п
X у ^; (19)
¿=1
п
Xу * 0; (20)
Лизинговый платеж, руб. / Lease payment,
0 2 4 6 8 10 , 12 14 16
Периоды T / Periods T)
Динамика лизинговых платежей за год с учетом реализации параметрической модели Annual lease payment dynamics taking into account parametric model implementation
Модель (11)-(22) может быть модифицирована с учетом введения понижающих ставок по кредиту и НДС. Обозначим коэффициент понижения ставки по кредиту переменной к, тогда параметр модели (11)-(22) а,, учитывающий ежемесячный платеж по кредиту и соответствующее ограничение (17), запишется в виде:
4 = 0,2£ • ((В + Кп)/ 2). (23) Пусть а - коэффициент обновления
НДС за анализируемый период, тогда параметр ^ в модели (11)-(22) будет равен
г' = г - 0,18 а, (24)
а ограничение (13) примет вид
У, = X - 4 - г' • р. (25)
В табл. 2 представлены результаты моделирования лизинговых платежей с учетом введенных коэффициентов обновления.
Таблица 2
Результаты решения задачи оптимизации лизинговых платежей с учетом коэффициентов обновления ставки по кредиту и НДС, руб.
Results of solving the leasing payment optimization problem taking into account the coefficients of credit interest rate update and VAT, rub.
Table 2
Период (номер месяца) / Лизинговый платеж / Платеж по кредиту /
Period (month number) Lease payment Loan payment
1 32 981 18 882
2 32 616 18 679
3 32 255 18 477
4 31 898 18 279
5 31 545 18 082
6 31 196 17 887
7 30 850 17 695
8 30 509 17 505
9 30 171 17 317
10 29 837 17 131
11 29 507 16 947
12 29 180 16 765
Сумма платежей за год
до оптимизации / 541 734 345 000
Annual amount of payments before
the optimization
Сумма платежей за год
по оптимальному плану / 372 547 213 644
Annual amount of payments
by the optimal plan
Согласно полученным оптимальным планам, введение коэффициентов обновления позволит снизить суммарный платеж за год по сравнению с усредненными рас-
четами платежей на 31%, при этом платежи за кредит уменьшатся на 38% и составят 213644 руб. в год.
Заключение
Сравнивая результаты моделирования по двум предложенным вариантам, можно сказать, что оптимизация лизинговых платежей на основе первой модели -(11)-(22), позволяет существенно снизить ежемесячный платеж к концу расчетного периода, за счет чего достигается экономия суммарного платежа по сравнению с усредненными расчетами на 7%.
В свою очередь, при реализации модели с учетом дополнительных ограничений - (23)-(25), наблюдается более спокойное снижение лизинговых платежей в течение расчетного периода. В то же время существенно сокращается нагрузка на лизингополучателя по ежемесячным платежам, что в конечном итоге позволяет получить экономию суммарного лизингового платежа на 31% по сравнению с усредненными расчетами. Кроме того, оптимизация лизинговых платежей позволяет сократить суммарные платежи по кредиту с 345000 до 321248 руб. в год при решении задачи с параметром Ь, или до 213643 руб. в год при реализации модели с учетом коэффициентов обновления.
Таким образом, для оптимизации лизинговых платежей предложено два варианта параметрической модели - с изме-
няемым параметром суммы, выплаченной лизингодателю за предыдущий период, и с учетом коэффициентов обновления ставки за кредит и налоговой ставки.
Реализация первой модели позволила получить множество оптимальных планов ежемесячных лизинговых платежей, согласно которым суммарный лизинговый платеж за год может сократиться на 7%. Решение задачи по второму варианту позволит сократить нагрузку по ежемесячным платежам на лизингополучателя и суммарные платежи по кредиту по сравнению с усредненными расчетами на 38%.
Практическая значимость предложенных параметрических моделей заключается в возможности применения их при выборе экономически обоснованной модели лизинга, обеспечивающей соблюдение интересов всех его участников. Кроме того, рассмотренные в статье задачи позволяют оптимизировать структуру ежемесячных лизинговых платежей на любом этапе планирования лизинговых операций с учетом изменения параметров, характеризующих сумму, выплаченную лизингодателю за предыдущий период, и остаточную стоимость предмета лизинга.
Библиографический список
1. Письмо Министерства финансов Российской Федерации от 7 декабря 2016 г. N 03-03-06/1/72853 [Электронный ресурс] // Контур. Норматив. Спра-вочно-правовая информация. URL: https://normativ.kontur.ru/document?moduleId=1&docu mentId=286501 (17.02.2017)
2. Гинзбург А.И. Прикладной экономический анализ. СПб.: Питер, 2005. 320 с.
3. Шмырев В.И., Осадчий М.С. Задача оптимизации лизинговых платежей // Сибирский журнал индустриальной математики. 2001. Т. 4. № 2 (8). С. 205-211.
4. Бузина Т.С., Иваньо Я.М. Оптимизация взаимодействия участников в региональных агропромышленных кластерах: монография. Иркутск: Изд-во ИрГАУ, 2015. 148 с.
References
1. Pis'mo Ministerstva finansov Rossiiskoi Federatsii ot 7 dekabrya 2016 g. N 03-03-06/1/72853 [Letter of the Ministry of Finance of the Russian Federation of De-
cember 7, 2016 no. 03-03-06/1/72853]. Available at: https://normativ.kontur.ru/document?moduleId=1&docu mentId=286501 (accessed 17 February 2017).
2. Ginzburg A.I. Prikladnoi ekonomicheskii analiz [Applied Economic Analysis]. Saint-Petersburg, Piter Publ., 2005, 320 p. (In Russian)
3. Shmyrev V.I., Osadchii M.S. Zadacha optimizatsii lizingovykh platezhei [The problem of leasing payment optimization]. Sibirskii zhurnal industrial'noi matematiki [Siberian Journal of Industrial Mathematics]. 2001,
Критерии авторства
Авторы заявляют о равном участии в получении и оформлении научных результатов и в равной мере несут ответственность за плагиат.
Конфликт интересов
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Статья поступила 28.02.2017 г.
vol. 4, no. 2 (8), pp. 205-211. (In Russian) 4. Buzina T.S., Ivan'o Ya.M. Optimizatsiya vzai-modeistviya uchastnikov v regional'nykh agro-promyshlennykh klasterakh: monografiya [Participant interaction optimization in regional agro-industrial clusters]. Irkutsk, IrGAU Publ., 2015, 148 p. (In Russian)
Authorship criteria
The authors declare equal participation in obtaining and formalization of scientific results and are equally responsible for plagiarism.
Conflict of interests
The authors declare that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.
The article was received 28 February 2017
