CC BY
43
2. 3 о мм е р ф е л ь д А. Электродинамика.-М., 1958. - 501 с.
3.Рыков А. В. Структура вакуума и единство взаимодействий // Фундаментальные проблемы естествознания и техники: Материалы Междунар. конгресса. - СПб.: СПбГУ, 2000.-Т. 1,№ 1.- С. 214-224.
4. Д и р а к П. Принципы квантовой механики: Пер. с англ. / Под ред. В. А. Фока. - М.: Физматгиз, 1979.
5. Ацюковский В. А. Общая эфиродинамика. - М.: Энергоатомиздат, 1990. -280 с.
6. В о р о н к о в С. С. Электродинамика Максвелла как единая теория поля. - Псков: Псковский политехи, ин-т, 1999. - 100 с.
7. JI е о н о в В. С. Четыре доклада по теории упругой квантованной среды // Современные проблемы естествознания: Материалы 6-й Междунар. науч. конф. - СПб., 2000. -65 с.
8. Коз ыр ев H.A. Избр. труды.-Л.: ЛГУ, 1991.-Ч. 3.
9. ДАН СССР / M. М. Лаврентьев, И. А. Еганова, М. Л. Луцет и др. - 1990. - Т. 314, №2. -С. 352-355.
10. ДАН СССР / M. М. Лаврентьев, В. А. Гусев, И. А. Еганова и др. - 1990. - Т. 315, № 2. - С. 368-370.
11.Аверьянов В. Я. Электродипольная теория гравитации. - Мн.: Бестпринт, 2004. - 68 с.
12. Б и л а н В. Н. Взгляд в беспредельность. - Мн.: Изд-во «ПолиБиг», 1999. - 84 с.
13. Д р о з д о в В. В. Приложение к новому закону галактического тяготения: Новый закон. - Подольск: Изд-во «Сатурн-С», 2000. - 16 с.
14.Ванярхо В. Г. Структура электрического тока как сверхчувствительный детектор гравитационных волн и параметров структуры пространственно-временного континуума единого поля // Фундаментальные проблемы естествознания и техники: Материалы Междунар. конгресса. - СПб.: СПбГУ, 2000. - Т. 1, № 1. - С. 46-57.
Поступила 15.04.2005
УДК 621.311
О ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА ДВУХИАРАМЕТРИЧЕСКОЙ МИНИМИЗАЦИИ К РЕШЕНИЮ ПЛОХО ОБУСЛОВЛЕННЫХ ЗАДАЧ РАСЧЕТА УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ СЛОЖНЫХ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Инж. ЗОЛОТОЙ А. А.
Белорусский национальный технический университет
Режимным службам электросетевых предприятий энергосистем часто приходится выполнять расчеты и анализ послеаварийных установившихся режимов основных (сложнозамкнутых) электрических сетей. Для этого требуется решать систему нелинейных уравнений установившегося режима [1]
\¥(Х) = 0 (1)
одним из итерационных методов, наиболее распространенным из которых является метод Ньютона, реализующий вычислительный процесс по схеме
= + ¿ = 0,1,2,..., (2)
где - векторы переменных на (к + 1)-м и к-м шагах итерацион-
ного процесса (2); АХ^ - вектор поправок к Х^, вычисленный из системы линейных уравнений
= (3)
- якобиан уравнений (1) в точке Х^ .
Якобиан системы (1) в послеаварийных режимах нередко бывает плохо обусловлен. Отыскать решение плохо обусловленной системы обычным методом Ньютона в большинстве случаев затруднительно из-за утраты практической сходимости. Для решения таких задач в практике электрических расчетов широкое применение получили методы минимизации функции [1-3]
и
||2
ф(Х)=5Х(Х)=их)Г
(4)
¿-1
по ньютоновскому направлению или методы Ньютона по параметру, реализующие вычислительный процесс по следующей схеме:
Х^'ЬхМ + ^хМ
V '
(5)
где - коэффициент релаксации или параметр, определяющий величину шага вдоль направления спуска к нулевому минимуму (4), задаваемому вектором АХ^, который определяется на каждом шаге из (3).
В зависимости от способа определения коэффициента X методы Ньютона по параметру достаточно эффективны. При решении плохо обусловленных задач (1) они обеспечивают вполне надежную монотонную сходимость итерационного процесса и часто позволяют получать решение даже в случаях расхождения итерационного процесса классического метода Ньютона.
Очень эффективным оказался способ определения X на интервале О < X < 1, предложенный В. А. Матвеевым в 1964 г. [4] и получивший широкое распространение на практике [1, 2]. Согласно [4] величина X на к-я итерации определяется по выражению
Л<*> =
1
УК(к) > 1;
К(*>'
1, уа:(А;)<1.
(6)
Значение А'и1 в (6) на к-я итерации выбирается из условий К(к} > в[к- и К{к) > 1, где
1
В\к)=-
V V с'"Р[|6(х(/, >) {к) (к)
¿^Ь-дхдхГ > '
: 1 J
<в;
(7)
и- порядок системы (1); = 1... и ; АХ(к',АХ1к) - компоненты вектора
АХ(*>; кбМ - т-норма вектора узловых небалансов; г) - ш-норма обратной матрицы Якоби; С - т -норма матрицы вторых производных (матрицы Гессе).
В [4] приведены доказательства сходимости итерационного процесса (5) при определении параметра X из (6). Там же показано, что при вычислении X из (6) с помощью итерационного процесса (5) иногда удается получить решение (1), даже если оно находится на «дне ямы» (4).
Наряду с предложенным в [4] методом (6) широкое распространение получил также метод определения X из условия достижения функцией (4) глобального минимума в направлении АХ7 на каждом шаге (5) [1].
Сходимость итерационного процесса (5) обеспечивается при ограниченности коэффициентов В\к) на каждом шаге. При практических расчетах утяжеленных режимов схем реальных энергосистем это условие выполняется не всегда. Итерационный процесс (5) в таких случаях при любом алгоритме выбора X по ньютоновскому направлению АХ^ минимизации (4) «скатывается» к нестационарным точкам на поверхности { «7(х)= 0 } [3].
На основе [5, 6] российским ученым В. И. Тарасовым в 1997 г. разработан и адаптирован к решению задач расчета установившихся режимов электрических сетей двухпараметрический метод минимизации, сочетающий основные достоинства методов Ньютона, минимизации ньютоновского типа и наискорейшего спуска [3]. Итерационный процесс предложенного метода минимизации строится в плоскости, порожденной векторами АХ7 и АХН, по следующей вычислительной схеме [3]:
^ = ^ + (9)
Вектор АХ[,' на каждом шаге (9) определяется из системы линейных уравнений
1(х«)дх£> * --^(Н(Х^)ах^, АХ^). (10)
Коэффициенты релаксации Х^, у(к) > определяющие длины шагов по
принятым направлениям минимизации АХ7 и АХН, вычисляются из условия достижения глобального минимума функции (4) на каждом шаге (9). Для вычисления Х^, у^ в [3] предложен алгоритм с очень высокими вычислительными характеристиками, основанный на решении задачи «точного двумерного поиска» минимума функции (4) на шаге (9). Там же исследована сходимость двухпараметрического метода минимизации при решении квадратичных уравнений установившегося режима, записанных в форме баланса узловых мощностей в декартовой системе координат переменных, и показано, что метод нечувствителен к виду овражности линий уровня функции (4) и обладает «иммунитетом» против «скатывания» итерационного процесса (9) к нестационарным точкам на поверхности
{<1еи(х) = 0 }.
Практическое применение двухпараметрического метода минимизации с итерационным процессом (9) и алгоритмом определения параметров X, у,
предложенным [7], к расчетам установившихся режимов электрических сетей Белорусской энергосистемы показало, что учет статических характеристик нагрузки и потерь на корону в линиях 330-750 кВ полиномами четвертой степени при фиксации фаз напряжений отдельных узлов схем приводили к расходимости расчетов некоторых послеаварийных режимов. Использование метода Ньютона по параметру с итерационным процессом (5) и определением коэффициента X одним из названных выше способов для расчета указанных режимов с теми же исходными условиями приводило к технически приемлемым решениям.
Эффективность способа (6) определения параметра X при минимизации функции (4) по ньютоновскому направлению ДХ^' итерационным процессом (5) продемонстрирована на примере решения системы двух нелинейных уравнений [4]:
[/1(х) = х12+^-1 = 0;
|/2 (X) = 0,75л,3 - х2 + 0,9 = 0,
которая имеет два вещественных решения Х1 = = (-0,9817; 0,1904), Х2 = = (0,3570; 0,9341) и характерна тем (рис. 1), что поверхность линий уровня функции (4) ф(хь х2) =
г2 г2
= л +Л представляет собой вид длинного «оврага» с пологим «дном», которое в точке X = = (-0,5369; 0,8278) име-
(Н)
к».
0,75^ -л2 Ю5 = 0 / X /
10
X? + X1 1 2 -1 = 0 \
-1.6
-1.0 -0.5 0 0,5 1.0 1,5
Рис. 1. Линии уровня функций /¡(х) и/г(х)
ет «яму» (определитель матрицы Якоби в этой точке обращается в нуль).
Сравним вычислительную эффективность итерационных процессов метода Ньютона по параметру (5) и двухпараметрического метода минимизации (9) на решении системы уравнений (11), используя для вычислений пакет математического моделирования МАТЪАВ. Ухудшения обусловленности системы (11) добьемся заданием точки начального приближения
вблизи «ямы» на поверхности функции (4): = -0,4; х^' - 0,8 .
Сначала решение (11) выполним методом Ньютона по параметру с определением коэффициента Х^ исходя из достижения функцией (4) глобального минимума в направлении АХ^.
Разложим (11) в точке Х^ в ряд Тейлора по ДХУ. Отбросив все члены разложения старше первых трех, умножим вектор АХу на X. В результате система (11) приобретает вид:
|л> х1)+2х1ХАХ1 + 2х2ХАХ2 + X2АХ2 + X2АХ2г = 0; 1л(*1> х2)+2,25х2Х^Хх -ХАХ1+1,25х,Х2^Х2 =0.
Уравнения (12) можно представить как:
(12)
где
+ А6, + А.2с, - 0; | а2 + ХЪ2 + А2с2 = 0,
31 ~ /1 (Х1' Х2 ) > а2 ~ /2 (Л ' Ж2 ) '
= 2;с1ДХ1 + 1х2ЬХ2; 62 = 2,25л;2 Д^ - ДХ, ; ^ = ДХ2 + ДХ2; с2 = 2,25л;, ДХ2.
Величина коэффициента релаксации А. на каждом шаге (5) определяется из условия глобального минимума функции (4) в направлении АХ/
гпш ср(Х + АДХ7)« гшп ^ (а,- + ХЪ{ + А2с^ .
(14)
На основании метода наименьших квадратов можно записать условие минимума (14) по А,
— = /с3А? + к2Х2 + к{Х + к0 дХ
■ 0.
(15)
где
к0 = 2{а1Ь1 +а2Ь2); к2— б(Ь1с1 + Ъ2с2); к, - 2(¿,2 + 2а,с, + Ъ\ + 2а2с2); £3 = 4(с,2 + с2).
Кубическое уравнение (15) решается методом Кордано. Из трех корней (15) в качестве X принимается действительный корень, доставляющий (4) глобальный минимум в направлении АХУ .
Вектор небалансов (11) в точке начального приближения равен
»-И-
Матрица Якоби и вектор АХУ
"Ж
1(Х<°>)=
(-0,4)2+(0,8)2-1 0,75 • (~0,4)3 +0,8 + 0,9
-0,200 0,052
'Ж. Ж."
дх1 дх2 2 -Л | 2 -0,800 1,600 "
Ж. Ж. 2,25х,2 -1 х(°) 0,360 -1,000
дх1 дх2 х(о>
ДХ\
(о).
-0,521 -0,136
Результаты вычислений представлены в табл. 1.
Из табл. 1 видно, что уже, начиная с первой итерации, X стремится к нулю, а значения вектора искомых параметров X - к координатам обозначенной выше «ямы». Якобиан системы (11) на первой итерации меняет знак, а на последующих итерациях монотонно стремится к нулю. Функция (4) в точке X приближается к некоторому отличному от нуля значению. В итоге отчетливо наблюдается «скатывание» процесса решения (11) в «яму» на поверхности (4). Данный способ решения нелинейных систем алгебраи-
ческих уравнений гораздо менее чувствителен к неудачному выбору начального приближения и более надежен, чем классический метод Ньютона.
Таблица 1
Результаты решения системы уравнений (11) методом Ньютона по параметру с определением Хщ из условия достижения функцией (4) глобального минимума
в направлении АХ^
Номер итерации 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Ф(Х)Ю° 42,704 3,222 3,014 2,916 2,875 2,858 2,852 2,850 2,850
Х1 -0,4 -0,665 -0,585 -0,564 -0,549 -0,540 -0,536 -0,532 -0,531
х2 0,8 0,731 0,801 0,817 0,827 0,833 0,836 0,838 0,839
X - 0,509 0,059 0,033 0,014 0,006 0,002 7-Ю*4 з-ю-4
г(х) 0,224 -0,126 -0,096 -0,065 -0,042 -0,025 -0,014 -0,009 -0,005
Второе решение (11) выполним методом Ньютона по параметру с определением коэффициента способом (6), предложенным в [4].
Матрица вторых производных (И) в точке начального приближения равна
нИ=
Величина В{ составляет В\"> =
2 0 0 2
4,5х1(0) ООО
и
2 0 0 2 -1,8 ООО
'(0) _ 1 ЪЩ.
/ I 1 1
1
-шах1
(2(ДЛЛ2 + 2(Д*Г)2; 4,5<>(Д^0))2)=
1
= 1,452.
2 • (-0,2)
- 2 И2)-шах(2-(-0,521)Р + 2-(-0,13б)2; 4,5 ■ (-0,4)-(-0,52!?)-
В выражении (6) на каждом шаге принимаем К{к) -1,1 В^. Результаты вычислений приведены в табл. 2.
Таблица 2
Результаты решения системы уравнений (11) методом Ньютона по параметру с определением коэффициента способом (6)
Номер итерации 0 1 2 3 4 5 6 7 8
ф(х)-10~3 42,704 12,073 11,986 12,022 12,017 12,017 12,017 12,017 12,017
-0,4 -0,615 -0,521 -0,496 -0,493 -0,492 -0,492 -0,492 -0,492
х2 0,8 0,821 0,887 0,901 0,903 0,903 0,904 0,904 0,904
В\ — 1,452 3,582 5,987 96,518 4,2-103 1,6-105 6,2-106 2,3-Ю8
К — 1,597 3,940 6,586 106,170 4,6-103 1,8-105 6,8-Ю6 2,6-108
X _ 0,626 0,254 0,152 9,4-Ю'3 2,2-10"4 5,6-10^ 1,5-Ю-7 3,9-10"9
0,224 -0,245 -0,168 -0,041 -6-Ю-3 -1-10'3 -2-10"4 -3-Ю^5 —4-Ю-6
Анализ данных табл. 2 показывает, что якобиан (11) на первой итерации меняет знак, а на последующих - монотонно стремится к нулю. Коэффициент А, также стремится к нулю, а вектор X - к координатам «ямы» на
поверхности (4). Аналогичные расчеты выполнялись автором при выборе К= (1 ...20)в\к^, но достигнуть решения (11) не удалось.
Третье решение (11) выполнено двухпараметрическим методом минимизации, реализующим итерационный процесс (9). Вектор-столбец гессеа-новской составляющей разложения (11) в ряд Тейлора в точке начального приближения равен
_ 2,25^>(д^
(- 0,521/ + (-0,1347 2,25 ■ (- 0,4) ■ (- 0,521)2
0,290 - 0,245
J
Вектор АХ^, определяющий гессеановское направление минимизации (4), вычисленный из системы уравнений (10) в точке начального приближения, равен
0,452" -0,407
Дх£> =
Применим к системе уравнений (11) в точке X"' трехчленную формулу Тейлора по АХ = АДХ7 + уАХн. В результате получим систему вида:
х2)+2х1{кАХд1} + уАХн(1))+ 2х2(АДХ/(2) + уЛХН(2))+
(аАХ/(1) + уЛХвд)1 + (АДХ^ + уАХЩ2)} = 0;
+
(16)
/2<Л, *г) + 2,25х^{кАХА1) + уАХн(1))- (ХАХД2) + уДХН(2))-
+ 2,25х1(хАХЯ1) + уАХщ) =0.
Уравнения (16) можно переписать следующим образом:
[я, + Щ + у с, + А2^ + А,уе, + у2/, = 0; | а2 + \Ъ2 + ус2 + А2 й2 + Ауе2 + у2/2 = 0,
(17)
где
а1 ~~ > х2 )' а2 — /г (Х1' х2 ) >
= 2х1АХ^1) + 2х2АХт); Ъ2 = 2,25х{ А
-АХ
/(2)
= + ; = 2,25х1АХ}(1); % = 2{АХЩАХЩ1) + ДХ/(2)ДХН(2)); е, - 4,5АХД1)АХН(1);
Л = + ; /2 = 2,25х1ДХн(1).
Коэффициенты А, и у на каждом шаге итерационного процесса (9) определяются из условия доставления глобального минимума (4) на плоскости, порожденной векторами АХ7, АХН :
гшп ср(Х + X + уАХн)»
Ку
I , ^ (18)
11™п X! г; + + + ^ + + У2^)-
Ку
9ф(х) 9ф(х)
В точках минимума (18) производные-- и-- равны нулю:
дк ду
^ = Л,0Х3 + к11у3 + ¿^у + к,3Ху2 + ^Х2 + к,5у2 + ^
+ + + + Кэ ~ О'
^ = ^ + А21у3 + ¿22А,2у + *23^2 + Л^2 + ^у2 + + /Ь,6А.у + + Л^у + ¿29 = О,
где
*10 =2(й?2+^,2); к20=ки/3-
кп = е\Л + егЛ; = 2{л2 + Л2);
к12 = З^!^ + (12е2); к22 = &13;
= е2 + + е2 + 2й?2/2 , к2Ъ -ки/3; к1А=3{Ь1(11+Ь2((2); к24 =*16/2;
= ^ + ¿1/1 + с2е2 + ¿>2/2; к25 = ъ(с\1\ + с2/2);
= 2(й1е1 + с^, + 62е2 + с2й?2 ); к26=к15/ 2;
Агп = ¿>2 + 2а,<^ + ¿2 + 2а2</2; &27 = ;
= Я]б] + Ь1с1 + а2е2 + ¿2с2 ; &28 = с2 + 2ах/х + с2 + 2а2/2;
= ¿(,6, + а2Ь2 ; к29 = с^с, + а2с2.
Из множества пар у*), удовлетворяющих (19) и (20), в качестве решения (18) принимается пара, доставляющая функции (4) глобальный минимум.
Результаты вычислений сведены в табл. 3.
Таблица 3
Результаты решения системы уравнений (11) д вух параметрическим методом минимизации
Номер итерации 0 1 2 3 4 5 6 7 8
ф(х)-1(Г3 42,704 1,884 8,8-1
Х1 -0,4 -0,960 -0,982
х2 0,8 0,280 0,190 - - - - - 0
X - -0,046 1,049 -
У - 1,293 0,765 -
1(х) 0,224 0,760 1,140 -
Из табл. 3 видно, что итерационный процесс (9), «обогнув» «яму» на поверхности (4), уверенно сошелся к решению (11), расположенному в области, где рельеф функции (4) имеет наиболее сложный характер.
Табл. 1-3 в целом подтверждают высокую эффективность итерационного процесса (9) при использовании предложенного в [3] алгоритма определения параметров А. и у. Определим, насколько близко к координатам «ямы» можно задавать начальное приближение, чтобы итерационный процесс сходился к одному из решений (1). Для этого численно построим примерные границы «скатывания» итерационных процессов (5) и (9) к координатам «ямы» на поверхности (4)
Х = (- 0,5369; 0,8278) при решении системы уравнений (И). В результате расчетов итерационным процессом (5) с определением А, из условия достижения функцией (4) глобального минимума в направлении ЛХ7 определены следующие координаты граничных точек области «скатывания» (рис. 2):
Хл = (-1Д63; 0,8278); Хп = (0,001; 0,8278);
Хн = (-0,5369, 0,643); Х„ = (-0,5369; 1,28).
При определении А из (6) координаты граничных точек оказались равными (рис. 3):
Хл = (- М49; 0,8278); Хп=(0,001; 0,8278); Хн = (-0,5369, 0,731); Х„=(- 0,5369; 1,0б).
—►
,5
Решение итерационным процессом (9) выявило две области, из которых процесс «скатывался» в «яму». Первая область ограничена точками с координатами:
Хл1 =(-1,874; 1,823); Хп1 =(-1,014; 1,823);
Рис. 3. Границы второй области «скатывания» итерационного процесса (5)
х„
:(-1,309; 0,801); Хв1 =(-1,309; 2,844)
и находится слева от координат «ямы». Вторая область, ограниченная точками с координатами:
Хл2 =(-1,081; 0,8278); Хп2=(0Д54; 0,8278); Хн2 =(-0,5369; 0,797); Хв2 = (-0,5369; 1,173),
находится непосредственно в области «ямы» (рис. 4).
-2 -1.5 -1,0 -0,5 0 0,5 1,0 1,5
Рис. 4. Границы области «скатывания» итерационного процесса (9)
В [3] показано, что эффективность итерационного процесса (9) и его вычислительные характеристики в основном определяются составом минимизирующей пары векторов и алгоритмом определения длины шагов X, у по принятым направлениям минимизации функции (4). Если пара векторов, порождающих плоскость минимизации в [3], выбрана эффективно, то чувствительность итерационного процесса (9) к виду овражности функции (4) может проявляться в результате неточностей прогноза поведения (4) в направлении спуска при определении параметров А. и у.
Критерием определения X и у на каждом шаге (9) должно быть условие достижения глобального минимума функции
тш ф(х^ + ХАХ® + уДХ«) = тт £ + ААХ^ + уАХ^). (21)
В [3] коэффициенты X, у находят из условия достижения глобального минимума функции
гшп
Ку
= гшп V
тф(хИ + АЛХ^ + уДхИ)= (а{ + Щ + ус,- + + Хуе{ + у2/.],
(22)
которая получается применением к компонентам (21) (уравнениям системы (11)) трехчленной формулы Тейлора. Если бы уравнения (11), как в [4], были квадратичными, то функция (21), составленная из квадратичных
уравнений, строго выражалась бы трехчленной формулой Тейлора, так как уже вторые частные производные квадратичных уравнений не зависят от значений вектора X, а третьи - тождественно равны нулю. В таком случае функции (21) и (22) были бы идентичны. Параметры А, и у, определенные из условия достижения глобального минимума функции (22), доставили бы глобальный минимум и функции (21). Однако второе уравнение системы (11) кубическое. Поэтому третьи частные производные этого уравнения не будут равны нулю и функция (21) не будет строго представляться трехчленной формулой Тейлора и не окажется идентичной функции (22). Нелинейность функции (21) больше нелинейности функции (22), поэтому и количество локальных минимумов у нее может быть больше. Следовательно, X и у, определенные из условия достижения глобального минимума функции (22), могут не соответствовать глобальному минимуму (21).
Подтвердим сказанное численно. Для этого рассмотрим вычисление коэффициентов X, у на первом шаге итерационного процесса (9) с использованием методики [3]. Решение задачи начнем с точки начального приближения Х = (-1,5; 1,б), с которой итерационные процессы (5) при определении X по любому из указанных выше способов сходятся, но не сходится итерационный процесс (9) при определении X, у по методике [3]. Система двух кубических уравнений относительно переменных X, у, получающаяся при решении задачи (22), имеет 11 пар корней, часть которых может быть комплексной. Действительные решения (22) на первом шаге (9) представлены в табл. 4. Из
табл. 4 ВИДНО, ЧТО Действительные решения задачи (22)
глобальный минимум на первом шаге (9)
функции (22) доставляет восьмая пара корней X, у (выделена жирным шрифтом), которая и принимается алгоритмом [3] как решение задачи (21).
Для определения действительных минимумов функции (21) продолжим решение
итерационным уточнением каждой пары корней (22) (табл. 4) как «хорошего начального приближения» к минимумам функции (21), более нелинейной, чем (22). Для этого воспользуемся методом наименьших квадратов, не разлагая компоненты (21) в ряд Тейлора. Полученную систему уравнений
'дер.
Таблица 4
№ п/п X У
1 3,3715 0,9454 3,5118
2 2,4446 0,1569 1,9578
3 1,8138 -0,2220 0,4167
4 1,3240 0,3283 0,0070
5 0,7304 14,2340 3,5581
6 0,5396 2,6157 0,6104
7 0,3358 10,6860 1,3701
8 0,1412 6,1463 0,0036
9 1,8138 -0,2220 0,4167
дХ
Эф
Эу
{Х,у) = 0
(23)
решим относительно X, у по вычислительной схеме метода Ньютона (2)
"аМ"
ум ум
Э2ф Э2ф
дХ'
дХду <Э2ф
дф _
дХ&у
Л
Таблица 5
Действительные решения задачи (22) на первом шаге (9)
№ п/п X У Ф^ + изф + гдхЮ)
1 -2,1891 20,7520 1,7378-10"13
2 0,0946 6,4680 0,0026
3 2,9150 -6,5205 5,7540-Ю"21
Результаты итерационного уточнения корней (22) для функции (21) приводятся в табл. 5.
Как видно из табл. 5, количество полученных таким образом пар корней, удовлетворяющих задаче (21), стало три вместо девяти для задачи (22), и они совершенно отличаются от корней (22). Так как задача (21) более нелинейная, возможно существование более девяти пар корней, удовлетворяющих ее решению. Следовательно, нет возможности выбора той пары X, у, которая доставила бы глобальный минимум функции (21).
Тем не менее, продолжим расчет, принимая в качестве решения задачи (21) пару X, у, доставляющую более глубокий минимум (21) на каждом шаге (9), т. е. третью пару корней в табл. 5. Результаты этого расчета (табл. 6) показывают, что при выборе параметров X, у по критерию достижения более глубокого минимума (21) на каждом шаге (9) позволяют уже на первой итерации достичь решения Х('} = (-0,9817; 0,1904) с точностью до
, причем выбранные на первом шаге (9) решения задач (22) и (21) существенно отличаются друг от друга.
Таблица 6
Результаты решения системы уравнений (11) итерационным процессом (9) при уточнении параметров Хш, у№, вычисленных способом [3]
Номер итерации 0 1 2 3 4 5 6 7 8
ф(х)-ю_3 42,704 5,8-ю"18 - - - _ _
-1,5 -0,9817 - - - - — _ _
х2 1,6 0,1904 - - - - — _
x - 2,9150 - - — _ __ _
у - -6,5205 - - — _ _ _
1(Х) -13,200 1,1376 - - - - - -
Применяя этот же подход к вычислению коэффициентов А, и у, численно определим насколько близко к координатам «ямы» можно задавать начальное приближение, для того чтобы итерационный процесс (9) сходился к одному из решений (1). Выполненные для системы уравнений (11) расчеты позволили определить координаты граничных точек области, из которой итерационный процесс (9) с вычислением А, у по критерию достижения функцией (21) более глубокого минимума «скатывается» в «яму»:
Хл = (- 0,801; 0,8278); Хп=(- 0,448; 0,8278);
Хв=(- 0,5369; 0,776); Х„=(-0,5369; 1,050).
Область, ограниченная вычисленными точками, показана на рис. 5.
Из рис. 5 можно видеть, что, во-первых, область осталась только одна -в зоне координат «ямы», а во-вторых, границы этой области существенно сузились по сравнению с итерационными процессами (5) и (9) при вычислении X и у способом [3] (рис. 2-4).
Рис. 5. Границы области «скатывания» модифицированного итерационного процесса (9)
Применение описанной выше модификации алгоритма вычисления коэффициентов А., у в практических расчетах послеаварийных режимов схем с использованием более нелинейных математических моделей восстанавливает высокие вычислительные характеристики итерационного процесса (9), которыми он обладает при решении систем квадратичных уравнений
установившихся режимов.
В табл. 7 показаны результаты численного сравнения сходимости методов Ньютона по параметру и двухпараметрической минимизации с основным и модифицированным алгоритмами определения коэффициентов релаксации А,, у на примерах расчетов утяжеленных режимов схем при увеличенной нелинейности задачи.
Таблица 7
Результаты численного сравнения сходимости
Схемы электру сетей с количест п и ветвей Сходимость (число итераций) алгоритмов
гаеских зом узлов т Ньютона По параметру Двухпараметрической минимизации с вычислением X, у способом [3] Двухпараметрической минимизации с модифицированным алгоритмом вычисления X, у
Схема 1 п 646 Расходится Расходится Расходится 16
т 905
Схема 2 п 1352 Расходится 19 14 14
т 1737
Схема 3 п 993 Расходится Расходится 17 16
т 1500
Схема 4 п 984 Расходится 18 15 15
т 1358
Схема 5 п 871 Расходится Расходится 12
т 1055
Схема 6 п 652 Расходится Расходится 16 15
Из табл. 7 видно, что при расчете режимов схем 1 и 5 с плохого начального приближения решение не удается получить ни методом Ньютона (2), ни по параметру (5), ни двухлараметрическим методом минимизации (9) с определением параметров А., у способом [3]. Модифицированный алгоритм
определения коэффициентов X, у более точно отслеживает изменение рельефа поверхности линий уровня (4) с учетом возросшей нелинейности модели и обеспечивает сходимость метода (9) к решению с требуемой точностью для схемы 1 за 16, а для схемы 5 - за 12 итераций.
ВЫВОДЫ
1. Исследована вычислительная эффективность итерационных процессов метода Ньютона по параметру и двухпараметрического метода минимизации с алгоритмом определения коэффициентов релаксации, предложенным в [3], при решении плохо обусловленных алгебраических систем кубических уравнений. Определены области «скатывания» исследуемых итерационных процессов к координатам «ямы» на поверхности функции (4) для системы двух кубических уравнений. Установлено, что причиной «скатывания» итерационного процесса двухпараметрического метода минимизации в «яму» являются неточности прогноза изменений рельефа поверхности (4) в направлении спуска при определении коэффициентов релаксации для системы кубических уравнений.
2. Предложен модифицированный алгоритм вычисления коэффициентов релаксации в двухпараметрическом методе минимизации, восстанавливающий его высокие вычислительные характеристики при решении плохо обусловленных алгебраических систем кубических и более высокого порядка нелинейных уравнений, основанный на уточнении предварительно найденных значений коэффициентов релаксации непосредственной минимизацией (4) методом наименьших квадратов без разложения компонентов функции в ряд Тейлора. Показано, что площадь области «скатывания» итерационного процесса (9) в «яму» на поверхности (4) существенно уменьшается с применением модифицированного алгоритма вычисления коэффициентов релаксации. На основе исследования сходимости двухпараметрического метода минимизации с модифицированным алгоритмом на утяжеленных режимах схем, описываемых уравнениями более нелинейными, чем квадратичные, показано, что предложенный алгоритм более точно отслеживает изменение рельефа поверхности (4).
ЛИТЕРАТУРА
1.Идельчик В. И. Расчеты установившихся режимов электрических систем / Под ред. В. А. Беликова. - М.: Энергия, 1977. - 192 с.
2. И д е л ь ч и к В. И., Тарасов В. И. Экспериментальное исследование сходимости методов Ньютона и по параметру при расчете установившихся режимов сложных электрических систем // Вопросы применения математических методов при управлении режимами и развитием электрических систем: Тр. / Иркутск, политехи, ин-т. - Иркутск, 1971. -Вып. 72.-С. 5-26.
3.Тарасов В. И. Об одном двухпараметрическом минимизационвом методе расчета установившихся режимов электроэнергетических систем // Изв. РАН. Энергетика. - 1997. -№ б. - С. 21-33.
4. М а т в е е в В. А. Метод приближенного решения систем нелинейных уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1964. - Т. 4, № 6. -С. 983-994.
5.Редковский Н. Н. Численный метод решения систем нелинейных уравнений при помощи криволинейного спуска // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1983. - Т. 23, № 2. - С. 261-266.
6. Третьяков А. А. Две схемы нелинейного метода оптимизации в экстремальных задачах // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1984. - Т. 24, № 7. - С. 966-992.
Представлена кафедрой электрических систем Поступила 6.03.2006
