CC BY
48
УДК 629.3.017,3
О ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА ДАЛАМБЕРА К СОСТАВЛЕНИЮ УРАВНЕНИЙ КРИВОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ ТРАНСПОРТНЫХ МАШИН
Б.М. Позин, И.П. Трояновская
В статье на основе общей теории движения плоского тела определяются границы применимости метода Даламбера к составлению уравнений криволинейного движения транспортных машин и других средств.
При описании движения транспортной машины в режиме поворота на первом месте стоит задача составления уравнений её движения. Уравнения движения составляются с использованием различных методов механики: в виде уравнений Даламбера [1, 4, 5, 9], Лагранжа 1 и 2 рода [5, 8, 9] или Аппеля [3]. Если описание движения в форме уравнений Лагранжа и Аппеля возражений не вызывает, то применение уравнений в форме Даламбера требует некоторой осторожности. Дело в том, что в методе Даламбера центральное место занимает определение сил инерции, для вычисления которых требуется знание ускорения центра масс машины а . Модуль нормальной ап и тангенциальной ат составляющих обычно вычисляются по формулам ,2
2 V'
ап =со Я =-------, ат =8Я,
Я
(1)
где со, в - угловая скорость и угловое ускорение машины соответственно; И. - радиус поворота (расстояние от центра масс до мгновенного центра скоростей); V - модуль скорости центра масс.
Использование этих формул правомерно лишь в том случае, когда мгновенные центры скоростей и ускорений совпадают, и тогда здесь же находится центр кривизны траекторий точек тела. Верно и обратное утверждение: если мгновенный центр скоростей совпадает с центром кривизны какой-либо точки, то здесь же находится и мгновенный центр ускорений.
Однако в общем случае плоского движения тела его точки движутся по различным траекториям, имеющим переменные радиусы кривизны, центры которых не совпадают. Не совпадают они также с мгновенными центрами скоростей и ускорений тела.
Рассмотрим для примера движение колеса, катящегося с постоянной скоростью по прямой линии (рис. 1). Здесь центр скоростей колеса находится в точке Ру , мгновенный центр ускорений - в точке Ра, а центры кривизны траекторий соответствующих точек - 05, , Ос [2]. Естест-
венно, что радиус кривизны траектории центра масс не равен его расстоянию до мгновенного центра скоростей и использование формул (1) для определения составляющих Даламберовых сил инерции неправомерно. Точно также не всегда оправдано применение этих формул при описании криволинейного движения транспортных машин.
У транспортных машин существует класс движений, допускающий применение формул (1) при использовании метода метода Даламбера. Однако существует также класс движений, когда такой подход не применим и, более того, существуют транспортные средства, движение которых не описывается уравнениями Даламбера, по крайней мере, в той форме в которой они применяются в теории транспортных машин.
Рассмотрим этот вопрос подробнее.
Пусть в данный момент времени тележка забегающей гусеницы (колесо) транспортной машины в режиме криволинейного движения имеет теоретическую скорость V,. При наличии буксования 5 её действительная скорость равна У4 - У§, а центр скольжения опорной площадки гусеницы
Рис. 1
Серйя «Машиностроение», выпуск 8
37
Расчет и конструирование
находится в точке С (рис. 2), Согласно теореме ортогональности точка С и центр поворота машины О лежат на общем перпендикуляре к плоскости качения гусеницы [7]. Пусть плоскость качения гусеницы пересекается с перпендикуляром ОС в точке А], лежащей на средней линии опорной площадки гусеницы. Перемещение точки корпуса А, совпадающей в данный момент с точкой Аь за элементарный промежуток времени А равно
= Ра^Ф ’
где Рд - радиус кривизны траектории точки А; скр - элементарный угол поворота касательной к траектории точки.
С другой стороны, точка А с учетом буксования гусеницы по грунту проходит элементарный путь
¿зА=(У, -У5)Л.
Поскольку [6] У§ = со,(СА), где со, - угловая скорость поворота корпуса машины, то рАёф = со,(ОА)ск.
При обкатывании средней линии опорной площадки по кривой угол поворота машины равен углу поворота гусеницы и, следовательно, углу поворота касательной к траектории точки касания:
= скр.
Отсюда рА = О А .
Результат можно сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема 1. Центр кривизны траектории точки пересечения центральной плоскости качения гусеницы (колеса) и перпендикуляра из центра поворота машины на эту плоскость совпадает с центром поворота машины.
Покажем, что таким свойством обладают все точки корпуса указанного перпендикуляра.
Возьмём на линии ОА точку М (рис. 3). Радиус кривизны траектории этой точки рм можно найти, зная её скорость
Ум и нормальное ускорение :
он
Рис. 2
Рм -
Ум
ам
(2)
С другой стороны, полное ускорение точки ам записывается как векторная сумма ускорения точки А, взятой в качестве полюса йА, и ускорения точки М во вращательном движении ее вокруг полюса 3МА:
Зх
1м
А аМА
3МА +аТ
МА>
где ад = со^ (ОА). ад = 5, (ОА) - модули нормальной и тангенциальной составляющих ускорения полюса А; а^А = со^(МА), а^1А =е,(МА) - модули составляющих ускорения в движении вокруг полюса; е( - угловое ускорение машины.
Нормальное ускорение точки М есть проекция Зм на направление ОА:
= оо, (ОА - МА) = со, (ОМ).
(3)
Из (2) и (3) получаем рм - ОМ . Таким образом, имеем следующую теорему.
Теорема 2. При повороте гусеничной (колесной) машины мгновенный центр скоростей машины О является центром кривизны траекторий всех точек корпуса, лежащих на перпендикуляре, опущенном из этого центра на плоскость качения гусеницы (колеса).
Найдём теперь радиус кривизны произвольной точки корпуса (рис. 4). Возьмем точку N на перпендикуляре к ОМ. Ее ускорение
= ам +аым = аМ + ЯМ +ЯЫМ (4)
38
Вестник ЮУрГУ, № 11, 2006
Позин Б.М., Трояновская И.П.
О применении метода Даламбера к составлению уравнений __________криволинейного движения транспортных машин
где а
п =оо, (ОМ), ах
lM aM -£t(OM), aNM
a^ = cosa + a^, sina + aJIjM sina-а Из треугольника AONM можно записать ОМ . NM
а мм = со2 (NM), ат
NM
е, (NM). Спроецируем (4) на ON:
NM
cosa.
cosa:
sin a =
ON ON
Подставим в (5) значения всех составляющих ускорения и (6):
(5)
(6)
‘N
= С0,
яч
“N
а к! —
со
(ОМ)"
ON
I
((ОМ)2
+ 8
ON
ON
-^(ON)2
ON
(NM)(OM) _ r 2 (NM) ON
(NM)2),
: CO, (ON) .
(NM)(OM)
ON
Поскольку
¿NM
N
где = ON - радиус кривизны траектории точки ^ то мгновенный центр скоростей О машины совпадает с центром кривизны траектории произвольной точки корпуса и мгновенным центром ускорений машины.
Теорема 3. Радиус кривизны траектории произвольной точки корпуса при криволинейном движении гусеничной ши колесной машины совпадает с центром её поворота.
Ввиду того, что существенным моментом в доказательстве теоремы является наличие опорного элемента, движущегося с обкаткой по произвольной кривой, она, как и теорема ортогональности [7], справедлива при наличии хотя бы одной катящейся гусеницы (колеса).
При всех заторможенных колесах, когда отсутствует движение с обкаткой, условия теоремы не выполнены и центр поворота машины, вообще говоря, не совпадает с ее центром ускорений и центрами траекторий ее точек. Следовательно, применение метода Даламбера в принятой для описания движения транспортных машин форме в этих случаях не оправдано, что подтверждается приведенным выше примером. Таким образом, движение машины при заносе с заторможенными колёсами не описывается общепринятыми уравнениями в форме Даламбера.
Более того, существует целый класс транспортных средств с неподвижными относительно корпуса опорными элементами, например сани, когда при использовании метода Даламбера необходимо искать другие формы записи сил инерции.
Литература
1. Благонравов A.A., Держанский В.Б. Динамика управляемого движения гусеничной машины. - Курган, 1995. - 162 с.
2. Веселовский ИН. Курс механики. - М.-Л.: Изд-во ГТТИ, 1951. - 611 с.
,3. Гуськов В.В., Опейко А.Ф. Теория поворота гусеничных машин. - М.: Машиностроение, 1984-166 с.
4. Забавников H.A. Основы теории транспортных гусеничных машин. - М.: Машиностроение, 1975. - 448 с.
5. Никитин А. О., Сергеев Л.В. Теория танка. - М.: Издание Академии бронетанковых войск, 1962. - 584 с.
6. Опейко Ф.А. Колёсный и гусеничный ход. - Минск, 1960. - 228 с.
7. Позин Б.М., Трояновская И.П. Кинематические соотношения при взаимодействии движителя с грунтом при повороте // Вестник ЮУрГУ. Серия «Машиностроение». - 2005. -Вып. 7. -№ 14(54). - С. 93 - 96.
8. Старцев A.B. Повышение эффективности использования полноприводных тракторных транспортных агрегатов путём улучшения устойчивости движения: Дис.... докт. техн. наук. -Челябинск, 1999. - 354 с.
9. Фаробин Я.Е. Теория поворота транспортных машин. - М.: Машиностроение, 1970. - 176 с.
Серия «Машиностроение», выпуск 8
39
