CC BY
4
АСТРОФИЗИЧЕСКИЙ БЮЛЛЕТЕНЬ, 2023, том 78, № 1, с. 65-84
УДК 524.38:524.45-32
О ПРИЛИВНЫХ РАССТОЯНИЯХ МЕЖДУ КОМПОНЕНТАМИ ШИРОКИХ ДВОЙНЫХ ЗВЕЗД В ПЛЕЯДАХ
© 2023 В. М. Данилов1*
'Коуровская астрономическая обсерватория им. К. А. Бархатовой Уральского федерального университета им. первого Президента России Б. Н. Ельцина, Екатеринбург, 620000 Россия Поступила в редакцию 5 мая 2022 года; после доработки 17 ноября 2022 года; принята к публикации 29 ноября 2022 года
В работе выполнены оценки приливных расстояний |£сд,2| между компонентами широких двойных звезд (ДЗ) в Плеядах. Использовались данные о параметрах скопления Плеяды и широких ДЗ в Плеядах, полученные ранее по данным Оа1а Рассмотрены две модели скопления в виде
однородного и неоднородного по плотности гравитирующего шара. С помощью интегралов углового момента и энергии движения центров масс ДЗ построены две эллиптические орбиты и две незамкнутые «розеточного вида» траектории центров масс ДЗ относительно центра масс системы трех тел (компоненты ДЗ и скопление). Для трех тел в неравномерно вращающейся относительно их центра масс системе координат с началом в центре масс ДЗ записаны уравнения движения. Для модели однородного скопления получена формула для величины |£сд,21 для ДЗ, движущейся по эллиптической орбите. Получены интегралы углового момента и энергии движения компонентов ДЗ и трех тел системы. Проведены оценки размеров области под поверхностью нулевых скоростей (ПНС) компонентов ДЗ вдоль осей системы координат с началом в центре масс ДЗ. Показано, что в модели однородного скопления размеры области под ПНС компонентов ДЗ в перицентрах рассмотренных орбит меньше, чем в апоцентрах, а на внутренней и внешней частях орбит ДЗ существуют разные по числу и величине ограничения на размеры области под ПНС компонентов ДЗ. Для модели неоднородного скопления получено уравнение для величины |£сд,2| для ДЗ, движущейся по «розеточной» траектории относительно центра масс трех тел. Численно определены величины |£сд,2| для ДЗ в разных точках двух таких траекторий. С помощью интеграла энергии Е12,з движения трех тел определены размеры области под ПНС компонентов ДЗ. При увеличении расстояния центра масс ДЗ от центра масс трех тел в модели неоднородного скопления отмечено увеличение размеров области под ПНС компонентов ДЗ, а также существование более сложных, чем в однородном скоплении, ограничений на размеры этой области. Взаимные расстояния г^- между компонентами широких ДЗ в Плеядах заключены между максимальными и минимальными величинами |£сд,2| для ДЗ на «розеточных» траекториях. Увеличение г^- с расстояниями г компонентов ДЗ от центра скопления обусловлено в основном движением ДЗ вдоль своих траекторий в Плеядах. Рассмотрены и другие приложения интеграла Е12,з для оценки параметров ДЗ в Плеядах.
Ключевые слова: звезды: кинематика и динамика — рассеянные скопления и ассоциации: отдельные: Плеяды
1. ВВЕДЕНИЕ
В последние годы в ряде работ (Caballero et al. 2018, Danilov 2021a, De Furio et al. 2022, Deacon and Kraus 2020, Hillenbrand et al. 2018, Jerabkova et al. 2019) по данным наземных и спутниковых наблюдений были выделены десятки широких двойных звезд (ДЗ) — членов каждого из рассмотренных в этих статьях рассеянных звездных скоплений (РЗС), близких к Солнцу. В перечисленных работах обсуждаются параметры таких ДЗ,
E-mail: Vladimir.Danilov@urfu.ru
их зависимости от параметров РЗС, а также зависимости параметров двойных звезд от расстояний до центров скоплений и от ориентации в скоплении векторов Г1,2 взаимных расстояний между компонентами ДЗ. Многие (или все в работе Danilov (2021а)) широкие ДЗ, обнаруженные в указанных выше работах, не являются динамически активными парами звезд. Их модули энергии связи больше средней кинетической энергии одиночных звезд в скоплении (ДагэеШ 1971, Heggie 1975).
Исследование широких ДЗ в РЗС позволяет сделать важные выводы о механизмах формирования таких двойных звезд как на стадии формиро-
вания рассеянных скоплений в ядрах молекулярных облаков (Bate et al. 2002, Bodenheimer 2001, Bodenheimer and Burkert 2001, Offner et al. 2016, Raju et al. 2021), так и в процессе последующей динамической эволюции РЗС (Danilov 2021a; b, Heggie 1975, Reipurth et al. 2010). В работах Christian et al. (2022), Pearce et al. (2020) данные каталогов Gaia и миссии TESS используются для обсуждения ограничений на некоторые орбитальные элементы звезд-компонентов широких ДЗ и планет (или протопланетных дисков) с известными наклонами плоскостей орбит (Pearce et al. 2020), делаются выводы об избытке планет, у которых плоскости орбит почти совпадают с плоскостями орбит компонентов широких ДЗ, а также выводы о механизмах формирования орбит компонентов ДЗ и планет с близкими между собой плоскостями (Christian et al. 2022).
В работе Danilov (2021b) выполнен краткий обзор теоретических оценок влияния регулярного поля скопления на параметры ДЗ, рассмотрены широкие ДЗ, центры масс которых движутся ради-ально в модели скопления Плеяды. При обсуждении баланса сил, действующих на каждую звезду-компонент ДЗ, и вычислении приливных расстояний rc, 1,2 между ними, выполнен учет различий силового поля скопления в точках расположения звезд-компонентов широких ДЗ. Согласно Danilov (2021b), использование интегралов движения ДЗ в скоплении позволяет избежать предположений о форме траекторий движения звезд-компонентов ДЗ в скоплении.
В работе Danilov (2022) рассмотрены приливные ограничения на широкие ДЗ в зависимости от пространственной ориентации векторов r1j2 расстояний между компонентами ДЗ в скоплении. Разработана методика оценок параметров ориентации векторов r1,2 для широких ДЗ в РЗС по данным наблюдений. Рассмотрены оценки величин rc,i,2 для широких ДЗ с круговыми орбитами их центров масс относительно центра масс системы ДЗ—скопление.
Представляет интерес разработка методов проведения оценок приливных расстояний между компонентами широких ДЗ в случае эллиптических орбит и незамкнутых траекторий движения центров масс ДЗ относительно общего центра масс системы ДЗ—скопление и применение таких оценок для изучения двойных звезд в ближайших РЗС. Согласно Danilov (2021b), оценки параметров и механизмы формирования широких ДЗ могут быть использованы для анализа динамического состояния РЗС (Danilov 2005; 2021b). Сравнение приливных расстояний гсд,2 с наблюдательными данными о расстояниях ri,2 между компонентами ДЗ позволяет:
Рис. 1. Расположение векторов гъ, гз,г и гъ,г в системе гравитирующих тел.
1) объявить наличие большого числа широких ДЗ, обнаруженных в ближайших РЗС в ряде работ в последние годы (очень большими приливными расстояниями, обусловленными влиянием на широкие ДЗ силового поля скопления);
2) обосновать вывод о нестационарности РЗС (т.к. все широкие ДЗ имеют взаимные расстояния, превышающие приливные расстояния, обусловленные гравитационной связанностью ДЗ за счет взаимного притяжения между ее компонентами, что возможно лишь при колебаниях размеров и плотности скопления в настоящее время).
Цели и задачи данной работы — построение методики оценки приливных расстояний между компонентами широких ДЗ в РЗС в случае эллиптических орбит и незамкнутых траекторий движения центров масс ДЗ относительно общего центра масс системы ДЗ—скопление, исследование приливных ограничений на широкие ДЗ в Плеядах и обсуждение роли регулярного поля скопления в формировании широких ДЗ в Плеядах. Результаты исследования позволят уточнить особенности строения и формирования подсистемы широких ДЗ в скоплении Плеяды.
2. ДВОЙНЫЕ ЗВЕЗДЫ В МОДЕЛИ ОДНОРОДНОГО СКОПЛЕНИЯ
Следуя работе Danilov (2021Ь), рассмотрим модель гравитирующей системы (см. рис. 1), состоящей из двух звезд в виде точечных масс т\ и т2, образующих широкую ДЗ, движущихся в поле сил однородного по плотности гравитирующего шара с массой т3, имитирующего звездное скопление. На рис. 1 положения звезд и центра масс шара-скопления показаны точками. Пусть т\ > т2. Обозначим г^- = г — г, где г = (xj ,yj ) — радиус-векторы центров масс mj с началом
координат x,y,z в общем центре масс системы (j = 1,2,3) (на рис. 1 обозначен буквой C). Пусть ri,j = |ri;j| — модули векторов ri;j; rb — радиус-вектор центра масс ДЗ; rb,i — радиус-векторы звезд mi в неравномерно вращающейся системе координат n, Z с началом в центре масс ДЗ (буква . . d6 ■
В на рис. 1); oj(t) = — = 9 — угловая скорость
вращения центра масс ДЗ относительно центра масс системы трех тел, t — время. Координаты x, y, z образуют неподвижную инерциальную систему отсчета. Траектории движения центров масс всех трех тел системы лежат в плоскости (x, y). Оси z и Z перпендикулярны плоскости(x,y).
Для оценки приливных расстояний между компонентами ДЗ в работе Danilov (2021b) в качестве первого приближения рассмотрена модель однородного по плотности скопления, аппроксимирующая центральные области Плеяд. Масса m3 и радиус a такого шара-скопления были приняты равными m3 ~ 411Mq и a = 3.5 пк (Danilov 2021a; b, Danilov and Seleznev 2020). Масса m3 соответствует общей массе 395 звезд Плеяд с величинами mc < 15m (в случае выборки II звезд-членов скопления Плеяды, расположенных на угловых расстояниях d от центра скопления d < 2◦5, которая была получена и исследована в работе Danilov and Seleznev (2020) при использовании данных GaiaDR2 (Brown et al. 2018, Prusti et al. 2016)). Для этой выборки звезд Плеяд средняя масса одиночной звезды в работе Danilov and Seleznev (2020) была получена равной Ш = 1.04 ±0.21 Mq. Как и в работе Danilov (2021b), рассмотрим ДЗ с mi = 1.246Mq , m2 = О.834М0, mb = rrii + m2 = 2m = 2.08Mq, где m2/m1 ~ 0.67. Движение центра масс ДЗ и однородного шара-скопления определяется системой уравнений (5) из работы Danilov (2021b). Интеграл энергии Еь движения центра масс ДЗ с использованием этой системы уравнений получен в работе Danilov (2021b). В полярных координатах (гь, в) он принимает вид:
Eb = mb [r2 + rW + Y(M/m3)r2]/2 = const > 0,
(1)
где y = Gm3/a3, M = mb + m3, G — гравитационная постоянная. Интеграл углового момента Lb движения центра масс ДЗ в этих координатах для системы (5) из Danilov (2021b) принимает стандартный вид: Lb = mbr^e = const (см., например, уравнение (14.2) из работы Landau and Lifshits (1988)). Согласно уравнению (5) из статьи Danilov (2021b),
гь - Г3 = (M/m3)rb = r3,b.
Для учета вклада потенциала в центре однородного шара-скопления в Eb и в потенциальную энергию U(r3,b) системы двух тел m3 и mb, необходимо добавить к Eb величину во = —1.5ya2mb = const < 0 (в этом случае интересующие нас орбиты центра масс ДЗ в системе формируются при отрицательных значениях Еь, а при Еь — в0 = const и фиксированном значении Lb такая добавка во к Eb влияет лишь на соотношение между Eb и Lb, но не на орбиту центра масс ДЗ в системе (см. ниже)). Следуя Landau and Lifshits (1988), подставим в = Lb/(mbr2) и e0 в (1), получим уравнение для Гь:
Гь = ±
L2 Lb
M
2„2 - + 3 V
mb rb
m3
(2)
Подставляя rb = 0 в (2), получим уравнение для нахождения расстояний rb от центра масс системы трех тел в точках перицентра (rm;n) и апоцентра (rmax) орбиты центра масс ДЗ. Выполняя преобразования уравнения (2), аналогичные указанным в (14.6), (14.7) Landau and Lifshits (1988), получим формулы для вычисления орбиты центра масс ДЗ в системе:
rb
t=
dr
F(r)'
rb
в=
Lbdr r2F (r)
+ n / 4,
(3)
(4)
где F(r) =
l2Eb mb
L2 Lb
m|r2
M Y—r m3
+ 3Ya2, а по-
стоянное слагаемое п/4 в правой части (4) используется для получения орбиты центра масс ДЗ в виде, указанном на рис. 2a. Каноническая форма уравнений эллипсов орбит, указанных на рис. 2a, может быть получена из аналитического решения уравнения (4) (см., например, интеграл 380.119 в работе Dwight (1961), а также Landau and Lifshits (1988)). Периоды обеих орбит на рис. 2a равны Porb ~ 30.06 млн лет, т.к. используется потенциал однородного шара-скопления (см. Binney and Tremaine (2008), с. 147)). Оценки угловых моментов движения центра масс ДЗ Lb = mbrbVt получены согласно данным о тангенциальных скоростях V = гьш движения звезд скопления Плеяды в его картинной плоскости на расстоянии d = rb от центра скопления (см. рис. 9a, Danilov and Seleznev (2020)). Для орбиты с Lb = 1.56 M0 пк2 млн лет-1 и Еь = —1.3 Mq пк2 млн лет-2 использовались значения d = 3 пк, V = 0.25 пк млн лет-1
r
r
(в этом случае, согласно (2), при rb = 0 находим rm¡n — 1.503 пк и rmax — 2.387 пк). Для орбиты с Lb = 0.936 Mq пк2 млн лет-1 и Eb = -1.1 Mq пк2 млн лет-2 использовались значения d = 1.8пк, V = 0.25пкмлнлет-1 (в этом случае rm¡n — 0.622 пк и rmax — 3.460 пк).
Для оценки приливных расстояний между компонентами ДЗ, движущейся в поле однородного по плотности скопления, рассмотрим уравнения движения звезд с массами m1 и m2 в суммарном поле сил трех гравитирующих тел mj (j = 1,2,3) в системе координат n,Z. Координаты ж,y,z и n, Z связаны между собой известными соотношениями (5.502) из (Chandrasekhar 1942), в которых R0 нужно заменить на r¿, а начало координат системы (ж, y, z) перенести в центр масс системы трех тел для вычислений в рамках рассматриваемой здесь задачи. Повторяя указанные в (5.507)—(5.511) (Chandrasekhar 1942) вычисления при Ш = 0 для движения звезд-компонентов ДЗ в системе координат (£, n, Z), находим:
+ rb - 2wñ - шщ - w2(rb + )) Gm—fó - Cj) ~ 7~ b),
1,2
< (r?i + 2ш(Гь + ¿i) - w2^ + ш(гь + {i)) -[Vi ~ Vj) ~ 7mi(í?i - r?3),
1,2
. Gmim2
mi(i =--3-(Ci - 0) - 7niíiCí ~ Сз),
1,2
где г,^ = 1,2, совпадающие с ^^ в Danilov (2022) для случая круговых орбит центра масс ДЗ в однородном по плотности сферическом скоплении при
ш = const и ш2 - y > 0. Отметим, что
m1 m-2'
а приливное расстояние |£сд,2| вдоль оси £ между компонентами ДЗ |1,21 = |£м| + = |£м|/^2. Подставляя ш = ¿ь/(тьг2) в |£сд,2|, находим:
|{c,i,21 = mbr6
Grb
|l2 - Ym2 г41
1/3
(7)
(5)
Учитывая
• • 1 О • -I ■ 6 ^ V
Е2=1 т^ & = X] 2=1 т^ п = 0 и полагая
& = п = & = п* = 0 (г = 1,2) в (5) для движения звезд в плоскости (£,п), находим:
-6 =-= Г3,Ь = (М/т3)гь, (6)
7
где последнее (из трех) равенство получено из уравнений (5) в (Danilov 2021Ь), описывающих в системе координат (х,у, г) (см. рис. 1) движение центра масс ДЗ в силовом поле шара-скопления, а г3,ь — расстояние центра шара-скопления от центра масс ДЗ в момент времени 1
Обозначим ^ = т^/ть, г = 1,2. Полагая & = П = & = П = 0 (г = 1,2) и учитывая (6), из уравнений системы (5) находим соотношения для приливных расстояний |£^4| звезд от центра масс ДЗ вдоль оси £:
з Ст j = 1 о Г)
|ш2 — 7|
На рис. 2Ь показаны зависимости от гь приливных расстояний |£с,1)2| между компонентами ДЗ, полученные согласно (7) для орбит центров масс ДЗ, приведенных на рис. 2a. В точках орбит с гь = (¿2/(7т|))1/4 величины |£сд,2| = что показано на рис. 2Ь вертикальными стрелками. В этих точках ш2 = 7. При движении ДЗ по орбите окрестности этих точек, в которых |£с,1)2| > а, проходятся центром масс ДЗ достаточно быстро (время такого прохождения т ~ 0.026 млн лет для траектории с Еь = —1.3 М0 пк2 млн лет-2 и т ~ 0.006 млн лет в случае = —1.1 пк2 млн лет-2; т ^ Рогь). Влияние таких прохождений на устойчивость ДЗ в поле скопления достаточно мало, и вероятность наблюдения ДЗ в такой окрестности тоже мала.
Обозначим ¿1,2 = ^ 2=1 тДп^ — Со-
гласно рис. 1, г^ = (£^ Пг, Ci). Вычисляя интегралы углового момента и энергии Е1>2 движения звезд в системе координат (£, п,С), используя систему уравнений (5), а также учитывая соотношения т^ = 0, находим:
'¿1,2 - ш £2=1 mi({2 + n2) = const,
Gm1 m2
2
= const,
(8)
где ^г2 = 42 + п2 + С2> = £г2 + П2 + С Подставляя V2 = 0 в Е1)2 и учитывая ^2=1 т^г^ = 0, можно получить уравнение поверхности нулевых скоростей для компонентов ДЗ. Подставим V2 = 0, & = п = Ci = 0 (г = 1,2) в £1,2 (в этом случае каждая звезда-компонент ДЗ находится на поверхности нулевых скоростей в ^ответствующей ей особой точке равновесия на оси £). После использования условия Е2=1 т^ = 0 и несложных
Рис. 2. (a) — две орбиты движущегося в однородном
__2________-2 Т 1 ГЛ 71 Ж ___2________-1
Eb = — 1.3Mq пк2 млн лет Lb = 0.936 Mq пк2 млн лет-
плотности скоплении центра масс
2
ДЗ с
-2
по
Ьъ = 1.56 М0 пк2 млнлет-1 (штриховая линия) и Еъ = -1.1 пк^ млнлет (сплошная линия). (Ь) — зависимости от гъ приливных расстояний |£С)1)21 между компонентами ДЗ. Две кривые с вертикальными стрелками, показанные штриховой и сплошной линиями, соответствуют штриховой и сплошной линиям орбит центра масс ДЗ на рис. 2а. Штрих-пунктирная кривая и кривая с длинными штрихами соответствует центру масс ДЗ, движущемуся по незамкнутой траектории в неоднородном по плотности скоплении. (с) — зависимости от гъ приливных расстояний |См,21 между компонентами ДЗ. Кривые, показанные штриховой и сплошной линиями, соответствуют штриховой и сплошной линиям орбит центра масс ДЗ на рис. 2а. (ё) — траектория движущегося в неоднородном по плотности скоплении центра масс ДЗ с Еъ = 2.ОМ0 пк2 млнлет-2, Ьъ = 4.368 М0 пк2 млнлет-1.
преобразований, получим:
/ y — ^2 Gmb 1
#1,2 = m ^---£с,1,2 - j^—j I =бс,1,2 = const,
mim2 ,
где m =-— приведенная масса (см., напри-
m ь
мер, (13.4) в работе Landau and Lifshits (1988)). Определим размеры |nvд,21 и |Суд,21 области под поверхностью нулевых скоростей вдоль осей n и Z. Подставим Е1,2 = ес,1,2 и Vi = £i = Zi = 0 (i = 1, 2) в формулу для E1j2 из (8). Получим уравнение для
|nv,1,2 |:
7-CJ2 2 Gmb \
-.1.2 _ 1-Г I •
h. 1.2
Аналогично в случае Е1}2 = еСд,2 и vi = & = ni = 0 (i = 1, 2), находим:
бс,1,2 = Till -Cv.1.2 ~
7 2 _ Gmb
(10)
Уравнения (9) и (10) для величин |п^д,21 и |Суд,21 являются кубичными алгебраическими. Положительные действительные корни этих уравнений определяют размеры области под поверхностью нулевых скоростей компонентов ДЗ вдоль осей п и С. Так как выражение для есд,2 и уравнение (9) различаются лишь входящими в них величинами |£сд,21 и |пид,21 (см. выше), то один из корней уравнения (9) равен |п^д,211 = |£сд,21. Второй положительный корень уравнения (9) легко определяется из уравнения (9) и при рассмотренных здесь параметрах скопления, ДЗ и ее орбиты равен 1ПиД,212 — 1-5952|^с,1;21 (третий корень уравнения (9) отрицательный). Корень |п^д,212 — 1.5952|£сд,21 имеет место при и2 > 7 (в области значений ть е (гт1п; па), где ть,7 = /(7га2))1/4 соответствует условию и2 = 7. При и2 <7 положительный корень \пь,1,212 уравнения (9) отсутствует. Единственный положительный корень уравнения (10) удовлетворяет условию |£у 1 2\ < |£с 1 2|
при rb € [rmin; rb;7] и ограничен по величине при rb = rb>7 (см. рис. 2c). Величины |£сд,2| и |(v,l)2| в перицентрах рассмотренных орбит меньше, чем в их апоцентрах (см. рис. 2b, c).
Таким образом, размеры области под внутренней поверхностью нулевых скоростей компонентов ДЗ вдоль осей £ и п совпадают между собой, но при rb € [rmin,rb;7) для ДЗ существует еще одна (внешняя) поверхность нулевых скоростей с 1пм,2|2 — 1-5952 |£c,l)2|, незамкнутая и расширяющаяся при увеличении гь (см. рис. 2b). Согласно работам Angeletti et al. (1983), Angeletti and Giannone (1983), Jefferys (1976), Keenan (1981a; b), Keenan et al. (1973), во внешних областях скоплений, движущихся во внешнем силовом поле Галактики, в большей степени устойчивы траектории звезд с обратным движением в скоплении, движущемся в прямом направлении в Галактике. Поэтому во внешней области между двумя поверхностями нулевых скоростей компонентов ДЗ могут быть более устойчивы движения звезд, обратные в сравнении с прямым движением центра масс ДЗ. При наличии внешних возмущений ДЗ в результате колебаний регулярного поля скопления компоненты ДЗ могут выходить за пределы внутренней поверхности нулевых скоростей и временно удерживаться вблизи центра масс ДЗ до ее расстояний гь = гь,7 от центра скопления. Отметим, что в модели неоднородного по плотности скопления строение поверхностей нулевых скоростей звезд-компонентов ДЗ заметно усложняется (см. ниже).
Запишем величину L1>2 из (8) в полярных координатах А, 0. В этом случае £ = Acos(0), П = Asin(0)), а интеграл углового момента из (8) можно привести к виду:
2
(0 + mi(£2 + п2) = const. (11)
i=l
Полагая в (11) £2 = £2,t, п2 = Щр используя для |£i,t| и |ni,t| оценки, соответствующие расстояниям внутренней поверхности нулевых скоростей компонентов ДЗ от ее центра масс вдоль осей £ и п, находим:
1 >
^п| . шп , . ,
~Г.—Г < -, 0тг > Шъ
|0а|
|0а | > ша
Интегралы энергии Е1;2,3 и углового момента 1,2,3 движения относительно оси г С для рассматриваемой системы трех тел с массами шг в неподвижной системе координат (ж, у, г) известны и записаны в ЭапПоу (2021Ь). Интегралы Е1)2)3 и углового момента Е^,1)2)3 могут быть записаны и для движения масс шг (г = 1,2,3) в неравномерно вращающейся системе координат £, п, С (см. раздел 3). В данном случае к полученным согласно (7) решениям для величины |£с,1)2| могут быть добавлены еще две в несколько раз большие величины |£с,1,2| = |£м1/^2, полученные после добавления к уравнениям движения звезд уравнения движения центра скопления и записи этого уравнения для модели однородного шара-скопления. В этом случае сумма трех уравнений движения масс шг по £-координате с равными нулю ускорениями и скоростями движения масс шг приводит к соотношению —£3 = (гь — ш2гь)М/(ш3ш2), где —£3 = Мгь/ш3 (см. уравнение (6)), а равновесное решение £1 = £1,^ (и |£с,1,2|) может быть получено из уравнений:
£3 + t2rb(Mj/m3 -и2) ± Gm3ßj = Q
Y — ш
2
Y — ш
2
(13)
(12)
где индексами п и a помечены угловые скорости (0, w) в перицентре и апоцентре орбиты центра масс ДЗ соответственно, а знаки равенства соответствуют случаю const = 0 в (11). Соотношения (12) выполняются для каждой из орбит, приведенных на рис. 2a.
При ш2 >y знак «+» перед последним слагаемым в левой части (13) соответствует величинам £1 > 0, а знак « —», — величинам £1 < 0. При ш2 <y знак «+» перед последним слагаемым в левой части (13) соответствует величинам £1 < 0, а знак «—» — величинам £1 > 0. Корни £1 = £1>t уравнений (13) при ш2 ^ 7 приводят к |£c,1,2| ^ те. При rb = rmin,rmax величины |£c,1,2|, полученные согласно (13), в 5.0—6.1 и в 11.7—16.2 раз больше, чем |£с,1)2|, полученные согласно (7) и приведенные на рис. 2b для двух орбит ДЗ в поле однородного по плотности скопления. Величины |£c,1)2|, полученные согласно (13), больше или значительно больше взаимных расстояний r1;2 между компонентами широких ДЗ в Плеядах (Danilov 2021a; 2022). Это может быть одной из причин достаточно большого числа широких ДЗ, наблюдающихся в скоплениях Плеяды, Ясли и а Персея (Danilov 2021a, Deacon and Kraus 2020).
3. ДВОЙНЫЕ ЗВЕЗДЫ В МОДЕЛИ НЕОДНОРОДНОГО СКОПЛЕНИЯ
Следуя работе Danilov (2021b), рассмотрим движение звезд в силовом поле неоднородного по плотности шара-скопления. В статье Danilov (2021b) была рассмотрена модель скопления с плотностью массы:
р(г) =
ipn(Rc/r)2, а > r > Rc 1 pn = const, r < Rc,
(14)
где т — расстояние от центра скопления, Кс — радиус однородной центральной части шара-скопления с плотностью рп, а = 3.5 пк — радиус однородного шара-скопления с плотностью
4
что
3
ро, такой, что тз = -ттроа", где тз = 411М0
3
(см. выше, а также статью ЭапПоу (2021Ь). Для описания этой модели скопления Плеяды в работах ЭапПоу (2021Ь; 2022) введены параметры д = ро/рп < 1, (с = ^с/а < 1. Следуя работам ЭапНоу (2021Ь; 2022), примем д = 0.7 и (с = 0.6367.
Движение центра масс ДЗ и неоднородного шара-скопления определяется системой уравнений (5) из работы Оап11оу (2021Ь), в которых ть = Ш1,2 и вместо постоянной величины 7 используется
, , а в 2(с3С
коэффициент тге(г) = — Н—^> гДе а =
Q
в = тз
ЗСе2С aQ
. С учетом принятых обозначений, со-
гласно уравнениям (5) из Оап11оу (2021Ь), интегралы углового момента и энергии движения центра масс ДЗ в полярных координатах (ть, 0) принимают вид:
Lb = = const,
Eb = ть
2
+
Г2 Lb
a
2m2 r2
ln(rb) - Ci
37a
тз M
+
(15)
= const,
где постоянная величина С равна отношению потенциала в центре неоднородного скопления с массой Мп(тС1) > т3 к потенциалу в центре однородного скопления с массой т3.
Пусть тС1 — радиус неоднородного скопления с распределением плотности (14), массой Мп(тс1) при тС1 > а > Ес. Как уже было отмечено в статье ЭапПоу (2022), после замены величины а в (14) на тС1, распределение плотности (14) может быть использовано для описания звездных скоплений больших масс и размеров, чем при тС1 = а. Для вычисления потенциала Ф3(т) в центре неоднородного скопления, следуя ЭапПоу (2021Ь; 2022), запишем:
¿Фз(г) _ GMra(r)
dr
4nGpnR3
при r € [Rc, rci],
(№3(г) dr
1 + 3(r - Rc)/R, 4np„r
3
при r € [0, Rc].
Интегрируя по r' величину
¿Фз(гО dr'
находим:
Гс1
¿Ф3(г')
dr'
dr' = Фз(гс1) - Фз(0), (16)
GMn(rd) В (16)
где Фз(гС1) =-• Вычисляя интеграл в (lb)
dФз(r')
rci
как сумму интегралов от r' € [0, Rc] и r' € [Rc, rcl], находим: 37a2
dr'
в интервалах
Фз(0) = C\-
2
z2
l + 21n( ^
aZc
(
7)
Для описания траектории движения центра масс ДЗ в интервале т е (Яс, тс1) в модели неоднородного скопления после преобразований, аналогичных выполненным в (2), согласно Еь из (14), получим:
Гь = ±
Г 2 ЬЪ
m2r2
+
2a
rb
тз М
+ Ub, (18)
где Ub = -2/3 J ln(rb) + С!37а2.
В соответствии с работой Danilov and Seleznev (2020), в случае выборки звезд-членов скопления с величинами тс < 18m, оценены величины радиуса rcl, радиуса ядра и массы тз для скопления Плеяды: 26.3 ± 0.7 пк, 6.24 ± 0.7 пк, 855 ± 104Mq соответственно. Масса ядра скопления для этой выборки звезд в Danilov and Seleznev (2020) получена равной 665 ± 71Mq. Согласно Danilov (2022), для модели скопления
(14), аппроксимирующей распределение плотности в скоплении Плеяды при Q = 0.7 и Zc — 0.6367, значения Mn (rci) = 665Mq достигаются при rcl = 4.745 пк, а значения Mn(rcl) = 855Mq, — при rci = 5.677 пк. Согласно (18), при указанных выше значениях Q и Zc, находим: C1 — 1.394 при rcl = 4.745 пк и C1 — 1.573 при rcl = 5.677 пк.
Обозначим Fn(r) = |rb|, где величина rb определена в (18). Подставим Fn(r) вместо F(r) в (3) и (4), полагая равным нулю постоянное второе слагаемое в правой части (4). Полученные в результате таких преобразований уравнения позволяют вычислить траекторию движения центра масс ДЗ в рассматриваемой модели неоднородного скопления. На рис. 2d приведен фрагмент такой траектории с параметрами: Еь = 2.0 Mq пк2 млн лет-2, C1 = 1, Lb = 4.368 Mq пк2 млн лет-1. Отрицательные значения Еь для этой траектории достигаются при C1 > 2.2038 или rcl > 9.0606 пк (см.
(15), (17)); величина Гь — соответствует оценкам
2
2
2
b
2
2
r
тангенциальных скоростей Vt = 0.28 пк млн лет-1 движения звезд скопления Плеяды в его картинной плоскости на расстоянии d = 7.5 пк от центра скопления (см. рис. 9a, Danilov and Seleznev (2020)). В этом случае из уравнения (18) при Гь = 0 численным методом Ньютона находим: rmin — 2.3738 пк и rmax — 4.0797 пк. Траектория движения центра масс ДЗ не замкнута (см., рис. 2d). Пусть Tr — радиальный период траектории (промежуток времени между двумя последовательными прохождениями центром масс ДЗ расстояния между rmin и rmax). Для траектории, приведенной на рис. 2d, Tr — 17.1592 млн лет, в/(2п) — 0.5804 — l/n, где в (в радианах) — угол поворота вектора гь за время Tr относительно центра масс системы ДЗ-скопление (см. рис. 1), l и n — целые числа (в случае замкнутости траектории, (Landau and Lifshits (1988), с. 48). В случае траектории, приведенной на рис. 2d, через n = 100 периодов Tr после момента t = 0 вектор гь, сделав l = 58 полных оборотов, очень близко подойдет к своему первоначальному положению (Landau and Lifshits 1988), но не совпадет с ним. Отметим, что каноническая форма траекторий ДЗ в рассматриваемой модели неоднородного скопления при r € (Rc, rcl) — явление редкое, т.к. рациональных величин в/(2п) всегда намного меньше, чем иррациональных.
На рис. 3a приведен фрагмент траектории движения центра масс ДЗ с параметрами Eb = 2.75 Mq пк2 млн лет-2, C1 = 1, Lb = 5.98 Mq пк2 млн лет-1, rmin — 2.3360 пк, rmax — 7.6408 пк, Tr — 25.4863 млн лет, в/(2п) — 0.5996 — l/n, l = 6, n = 10 в рассматриваемой модели неоднородного скопления. Траектория центра масс ДЗ на рис. 3a так же, как и на рис. 2d, не замкнута, в случае большого числа оборотов имеет вид розетки и при увеличении t постепенно заполняет в плоскости (ж, у) кольцевую область между двумя окружностями с центром в точке ж = 0, у = 0 и радиусами rmin и rmax (Landau and Lifshits 1988).
Пусть Lz, 1,2,3 — интеграл углового момента движения рассматриваемой системы трех тел и ДЗ относительно оси Z. Для вычисления интегралов Lz,1,2,3 и энергии E1;2;3 системы трех тел с массами mi (i = 1,2,3), а также для оценки приливных расстояний между компонентами ДЗ, движущейся в поле неоднородного скопления, рассмотрим уравнения движения трех тел системы в неравномерно вращающейся системе координат ({, n, Z) (см. рис. 1). Повторяя выполненные в (5) вычисления,
для такой задачи, находим:
mi(& + rb - 2wr?i - wni - w2(r6 + &))
= _Gm3im2 _ _ jra(ri;3)mi({i - £3), r1,2
mi(ni + 2w(rb + - w2ni + w(rb + &))
3-(Vi ~ Vj) ~ ln{ri,z)mi{r)i - 773),
r
1,2
= ~Gm,^m2 (Ci-O) -7п(Гг,з)Шг(Сг - Сз),
1,2
тз(6 + С - 2шг?'з - - (Гь + {з))
= —7га(г1,з)т:({з - {1) - 7«(Г2,з)т2({з-{2),
тз(Пз + 2ш(Гь + {з) - + ¿(гь + {з))
= -7га(Г1,з)т1(пз -П1) -7га(Г2,з)т2(пз -П2),
тзСз = -7га(г1,з)т1 ((з - С1)
„ 7га(Г2,з)т2(Сз - С2),
(19)
где г,^ = 1,2, г = Уравнения движения центра скопления с массой тз имеют такой же вид, как при г = 1,2, но правые части уравнений учитывают силу притяжения каждой звезды скоплением.
Сумма трех уравнений движения масс т^ системы (19) по {-координате с равными нулю ускорениями и скоростями движения масс т^ приводит к соотношению: Сь - ш2гь = ш2{зтз/М (как и для ~ однородного скопления при использовании трех уравнений движения тел системы по {-координате (см. выше)). Рассмотрим случай, при котором все три тела с массами т^ находятся на оси {. Пусть звезда с массой т1 на этой оси находится в особой точке равновесия. В этом случае {1 = = П1 = 0 и для приливного расстояния {1 = {1>4 этой звезды от центра масс ДЗ, согласно первому уравнению в (19), находим:
а
1,3
r1,3
+^ = 0,
(20)
где Г1,2 = | {11 / №2, {з = -Мгь/тз (см. (6), г1,з = |{1 - {з|, величины 7п(г), а, в определены выше. Умножая уравнение (20) на (г1,2г1,з^)з, получим уравнение /({1) = {1^({1) = 0 для нахождения величины {1 = {1>4, где ^({1) — многочлен шестой степени относительно {1. Решение уравнения (20) в данной работе получено численно
а а
6 4 2 О -2 -4
-6
-5-3-11357 х, рс
о а
(N . О
30 25 20 15 10 5 О
(Ь)
/
/
/ / / /
/X
/ / / / / /
С/
4 6
Гь. рс
Рис. 3. (а) — фрагмент траектории движения центра масс ДЗ с Еъ = 2.75 М0 пк2 млн лет 2, Ьъ = 5.98 М0 пк2 млн лет-1 в модели неоднородного скопления (14); (Ь) — зависимости от гъ приливных расстояний между компонентами ДЗ с траекторией движения центра масс, указанной на рис. 3а.
методом Ньютона. Для рассмотренных в данной работе траекторий центра масс ДЗ количество действительных ненулевых корней уравнения (20) возрастает от двух при ть = тть до шести при ть = ттах (наибольшие оценки величин | также возрастают с увеличением ть). Так как расстояния т1;2 между компонентами широких ДЗ, наблюдаемых в Плеядах, не превышают т1)2 — 1.8 пкфапПоу 2021а), представляет интерес рассматривать оценки величин |£сд,21 = |/^2, не превышающие т1?2 — 1.8 пк значительно.
На рис. 2Ь штрих-пунктирной кривой и кривой с длинными штрихами приведены зависимости от ть величин |£сд,21 для двух действительных ненулевых корней ^ уравнения (20), полученных для траектории движения центра масс ДЗ в неоднородном скоплении (см. рис. 2ё). Согласно рис. 2Ь и рис. 5а, учет неоднородности скопления приводит к отсутствию оценок |£сд,2| ^ го при и2 ^ 7, а наибольшие значения |£сд,2| — 6.517 пк для большего из приведенных на рис. 2Ь значений |£сд,2| достигаются в апоцентре траектории центра масс ДЗ при ть = ттах. В области значений ть > ть,7 (при и2 < 7) наблюдаются два решения для |£сд,2|, соответствующие значениям > 0 и ^ < 0 (см. две сплошные линии на рис. 5а). В точке ть = ть,7, при переходе от и2 >7 к и2 <7, формируется решение < 0 уравнения
(20), соответствующее противоположной ориентации вектора r1j2 по сравнению с его ориентацией до выше указанного перехода. Учитывая результаты работ Angeletti et al. (1983), Angeletti and Giannone (1983), Jefferys (1976), Keenan (1981a; b), Keenan et al. (1973), отметим, что при rb > rb,7 в окрестностях центра масс ДЗ в области значений |£1j2| < |£c,1j2|min возможно формирование области с прямым движением компонентов ДЗ, в которой ф > 0, где |£c,1j2|min — меньшее из двух рассмотренных на рис. 2b значений |£c1,2| для траектории центра масс ДЗ, приведенной на рис. 2d. Отметим, что наибольшие значения |£Сд,2| и размеры области значений |£Сд,2| (и ф < 0), расположенной между двумя решениями |£c1,2| при rb > гь,7, возрастают с увеличением rb и убывают с уменьшением rb при движении ДЗ по своей траектории (см. рис. 2b). Поэтому компоненты широких ДЗ удаляются друг от друга или сближаются между собой вдоль оси £ при соответствующем движении ДЗ по траектории. Это вполне согласуется с регрессионной зависимостью расстояний ri,j между компонентами широких ДЗ от их расстояний ri до центра скопления в Плеядах, полученной в работе Danilov (2021a) по данным Gaia DR2 (Brown et al. 2018, Prusti et al. 2016) (см. рис. 2b из Danilov (2021a)). Расположение точек, изображающих компоненты ДЗ в плоскости (ri, ri,j) вдоль этой зависимости, указывает на доминиру-
3.0
2.5
2.0
о
а
-L 1.5
1.0
0.5
0.0
2 3 4
Гъ, рс
Рис. 4. Зависимости величин |£1jt |
(при Lb = 4.368 Mq пк2 млн лет 1
6ЕЪ = -т +
где
= m
Lb |
о о ~Г о
m г6 г6
+
Р ( тз М
П
Варьируя величину Lb = mbгьVt по величинам гь и Vt, находим:
= (Vt + r6 )
и погрешности
^Eb = ±
\
величин Ьь и Е соответственно. Для указанной на рис. траектории центра масс ДЗ
,2 л/гтттт „^-1
находим: = ± 0.423 Mq пк2 млн лет
и
от Гь см.
сплошные линии, полученные для траектории центра масс ДЗ, приведенной на рис. 2ё; в случае Ьь = 4.7905 М0 пк2 млн лет-1 — см. штрих-пунктирные линии, а при Ьь = 3.9455 М0 пк2 млн лет-1 — штриховые линии). Отклонение штриховых и штрих-пунктирных линий от сплошных линий вдоль координатных осей обусловлено влиянием погрешностей 6Уг и бгь на величины |.
ющую линию движения центров масс ДЗ в этой плоскости в результате их движений вдоль своих траекторий в скоплении.
Для оценки влияния на величины {сд,2, {^ погрешностей величин V, гь, полученных по данным наблюдений, воспользуемся уравнением (18). Пусть Гь = 0. В окрестностях точек апоцентра или перицентра орбиты центра масс ДЗ проварьируем возведенное в квадрат уравнение (18), считая переменными величины Еь, Ьь и гь. После несложных преобразований, получим:
aEb = ±0.159Mq пк2 млн лет-2. Эти величины погрешностей соответствуют оценкам — 0.027 пк млн лет-1 и 5гь — 0.0577 пк, полученным в работе Danilov and Seleznev (2020, рис. 9a) при обсуждении тангенциальных скоростей движения звезд скопления Плеяды в его картинной плоскости на расстоянии d = 7.5 пк от центра скопления. Величина 5гь принята равной половине ширины интервала Ad, с которым получены и приведены оценки величин Vt в Danilov and Seleznev (2020, рис. 9a). Решения уравнения (18) при гь = 0 для траекторий центра масс ДЗ с Lb = 4.368 ± 0.423M0 пк2 млн лет-1 и Eb = 2.0Mq пк2 млн лет-2 приводят к значениям rmin = 2.9826 пк и гmax = 3.5587 пк (для большего значения Lb) и rmin = 2.0245 пк и rmax = 4.3404 пк (для меньшего значения Lb). Модули решений уравнения (20) относительно £1 = £1,t в зависимости от гь для этих двух траекторий приведены на рис. 4 штриховыми и штрих-пунктирными линиями. Для сравнения между собой решений £1?t, полученных с разными значениями Lb, на рис. 4 сплошными линиями приведены и зависимости от гь величин |£1,t | для случая Lb = 4.368Mq пк2 млн лет-1 и Eb = 2.0Mq пк2 млн лет-2 (см. также на рис. 2b — линии штрих-пунктирные и с длинными штрихами). Согласно рис. 4, при увеличении погрешностей и 5гь приливное расстояние |£сд,21 = |£1jt|/^2 между компонентами ДЗ вдоль оси £ уменьшается, область между верхним и нижним значениями |£с,1,21 сжимается (в основном, за счет уменьшения верхнего значения |£сд,21) и сдвигается в сторону больших значений гь; координаты точки кривой с Lb = 4.368Mq пк2 млн лет-1 в окрестностях точки совпадения ее верхнего и нижнего значений |£1?t| на рис. 4 можно записать в виде
(гь, |£1,t|) = (3.056-8:116 пк, 0.227+8:181 пк). Изменение Еь на величину при фиксированном значении Lb приводит к сдвигам зависимостей |£1?t | от гь вдоль осей координат (гь, |£1jt|), подобным тем, что указаны на рис. 4 (т.к. при этом меняются величины rmin и rmax для орбиты центра масс ДЗ).
Для дальнейшего обсуждения полученных решений |£сд,21 нам потребуются интегралы системы уравнений (19), которые можно записать в следую-
щем виде: /
ГС,1,2,з = Ез=1 mi- ) £¿=1 mi(C2 + Пг2) +
—ш
= const,
Е1,2,з = Ез=1 miV? - Mr2 /2
—ш
Ез=1 mi(Ci2 + п2) - Mr2
/2
2
i=1
+ Ei
= const
mi
(- — + /3 ln(ri>3)) -
Gm1m2 r1,2
(21)
где пз = Пз = 0 (поэтому верхний предел в первой сумме по i для Г^)1)2,з можно писать равным 2);
( M \ "' 2
4з = — гь — ; величины vf определены в (8); при тз
получении интеграла Е1;2>з использовалось выражение для Г^,1)2,з.
Пусть все тела рассматриваемой системы с массами mi (i = 1,2,3) расположены на оси а
6 = £i,t и V, = 0 (j = 1, 2), V$ = Vb2Wr2),
т.к. в полярной системе координат с началом в центре масс трех тел v^ = r^ + w2r^ (vb = |vb|, где vb — вектор скорости движения центра масс ДЗ относительно центра масс трех тел; mbrb = ш,згз, где гз = |гз|, гз — радиус-вектор центра скопления). В этом случае nj = Zj = 0 и Е1,2,з = е^и.з = const, где
ш
2
£с,1,2,3 — --—
+U2 + из -
т1{2
1,t
2 у №
Gm1 т2^2
+ тз- Mrf
U1 =
т
2тз U2 = т1
из = т2
+в ln
|
2f m3M\
a
Км -Сз|
a
2
mg Л +в in(ie1,t - ы)
|т1£м/т2 + Сз| m1^1,t
т2
+ Сз
При выводе формул (22) использовалось соотно
шение £ 2=1 mj & =
В случае Vj = 0 (j = 1,2) уравнение Е1)2,з = const может быть приведено к уравнению поверхности нулевых скоростей (ПНС)
каждого из компонентов ДЗ в системе координат (£, П, С). Определим размеры области под этой поверхностью вдоль осей п и С для звезды ть Обозначим П1 = Пм величину П1 в точке пересечения оси п при п > 0 и ПНС, соответствующей условию Е1)2)3 = ес,1,2,3. Полагая г^- = 0
О-= 1,2), 6=^ = 0, VI = ■
Е1,2,3 = £с,1,2,3, находим:
(rb2 + ш2г2) в
ш
£с,1,2,3 — --—
+V2 + Уз -V2 = m1
2
т1п;,1
2 ^ №
Gm1m2^2
+ тзС| - Mr2
|nv,1| a
Ч2,1 +
+ в in л/<1 +
Уз = т-2
a
'л2 +
Лп =
miVv,i
т2
(23)
где величина С определена в (22) и использовалось соотношение Е2=1 т^-п^ = 0. Аналогичные вычисления для определения величины £1 = (^д в точке пересечения оси £ и соответствующей величине ПНС при г^- = 0 (^ = 1,2), ^ = п = 0 и
указанной выше величине г2, приводят к следующему уравнению:
ес,1,2,3 = Ui - y (тзСз ~ Мгь
2
2
+W + W -W2 = m1
Gm1m2^2
IZMI '
a
W = m-2 m1Zv,1
v,1 + C2
a
+ в in Л/Zv2,1 + С
+/З1п(^л2+е32)
Лс
т2
(22) где использовалось соотношение Е2=1 mjZj = 0
(24)
Решение уравнений (23), (24) при величине ес,1,2,3, определенной в (22), было получено численно методом Ньютона для траектории центра масс ДЗ, приведенной на рис. 2ё. Для этой траектории ДЗ получены и приведены на рис. 5 зависимости от
гь величин |£м|, 1 и Kv.il- Двумя сплошными линиями на рис. 5с представлены модули двух ближайших к ^д = 0 корней уравнения (23) при значениях гь < гь,7 и > 0, показанных на рис. 5а сплошной линией. Действительные корни уравнения (23) отсутствуют для значений изображенных штрих-пунктирной линией на рис. 5а. Верхняя и нижняя штриховые линии на рис. 5с при гь > гь,7 получены при значениях < 0, приведенных на рис. 5а сплошной и штриховой линиями соответственно.
Таким образом, вдоль оси п, направление которой близко к направлению движения центра масс ДЗ, определены два расстояния от него до ПНС. Меньшее из них удовлетворяет условию = 1пм 1/1£мI < 1, где с увеличением гь убывает от — 0.997 при гь = гШщ до — 0.668 при гь = гь,7, а затем возрастает до значений — 0.997 при гь = гтах. Большее значение удовлетворяет условию > 1, где с увеличением гь убывает от — 8.773 при гь = гт;п до — 2.656 при гь = гтах. Меньшие значения |п«д| и близкие к ним значения |{1;4| характеризуют размеры области приливной устойчивости гравитационно-связанной ДЗ в силовом поле скопления в плоскости (£,п). Большие значения |^д| соответствуют расстоянию от центра масс ДЗ до незамкнутой ПНС, экранирующей движение звезды т1 вдоль оси п от центра масс ДЗ (см. ниже).
На рис. 5d приведены модули корней уравнения (24), полученных для двух ближайших к = 0 корней уравнения Е^2,3 = есд,2,з, где есд,2,з см. в (22), при > 0 и гтщ < гь < гь,7, а также при < 0 и гь,7 < гь < гтах, показанных на рис. 5d сплошной и штриховой линиями соответственно. Величина = |См|/|£м| < 1, где с увеличением гь убывает от — 0.978 при гь = гт;п до — 0.601 при гь = гь,7, а затем возрастает до значений — 0.967 при гь = гтах.
Для меньших (из двух) значений |^д | величины больше при одинаковых значениях гь, что указывает на небольшое сжатие вдоль оси £ области под ПНС для звезды т1.
Отметим, что интеграл энергии Е1;2;3 может быть использован для более детального рассмотрения области допустимых движений компонентов ДЗ при ее движении в скоплении. Если компоненты ДЗ находятся на ПНС в точках с координатами ^ = 0, п.? = 0, = 0, то V2 = 0,
г3,3 = ^ (О - б)2 + = Г 2), П>2 = Г1/Ц2,
Г1 = л/С2 + VI- Подставляя полученные соотношения в ЕС)1)2)3 = еС;1)2;3, учитывая условие
£2=1 т= 0, получим уравнение, связывающее между собой координаты и пь
41,2,3 = С/1 - + ш3£2 - Мг2
2 V ^2
+ + ^".3 —
п,з
Сш1ш2^2
г1
—а
Уг,,2 = ГГЦ ( — + /3 1п(Г1,з)
1 Г1.3
^,3/^-2 =
а
^(А?д + 6)2 + А2;1 +/31п(^(Л?)1+е3)2 + Л2;1),
х _ Ш1п1 Л?Д —-> лчД ~~-•
Ш2
Ш2
(25)
Если компоненты ДЗ находятся на ПНС в точках с координатами ^ = 0, щ = 0, = 0, то V2 = 0,
Чз = ~ б)2 + С2 (з = 1,2), г1)2 = п//х2,
Г1 = л/С2 + С2- Вычисления, аналогичные выполненным в (25), приводят к следующему уравнению, связывающему между собой координаты и ("ъ
ш
£сд, 2,з — СД —2"
+ ^С,2 + ^С,3 -
^2
Сш1ш2^2 г1
+ Ш3С| - мг2
К:,3/т2
а
^(А?д+Ы2 + А2
С,1
+/З1п(^(л?)1+е3)2 + л2;1) Ш1С1
л?д —-) лС-1 —
Ш2
Ш2
(26)
После задания величины уравнения (25) и (26) решались численно методом Ньютона для нахождения величин п1 = пм и = См соответственно. Результаты вычислений приведены на рис. 6 для траектории центра масс ДЗ, приведенной на рис. 2^, при гь — 2.8856 пк< гь,7 и гь — 3.2268 пк> гь,7.
Согласно рис. 6а, Ь ПНС для звезды с массой т1 имеет форму, близкую к сферической. С увеличением гь размеры области под этой поверхностью возрастают (см. сплошные и штриховые линии с длинными штрихами на рис. 6а, Ь). При переходе центра масс ДЗ из области с гь < гь,7 в
3
1
о
а -1
-3
-5
о
Он
><Г)
2.2 2.7 3.2 3.7 4.2
2.2 2.7 3.2 3.7 4.2
6
0
а 4
2
0
(с)
2.2 2.7 3.2 3.7 4.2
0.15
о 0.10
0.00
2.2 2.7 3.2 3.7 4.2
гъ> PC
Рис. 5. (Ь) — зависимости от гь величин , \£1,г1, \п«,1| и 1, полученные для траектории центра масс ДЗ, приведенной на рис. 2d; величины £1 г и \£1 г \ получены согласно (20), величины 1 \ и 1 \ получены согласно (23), (24).
область rb > вместо одной ПНС на рис. 6a, b формируются три таких поверхности, под которыми находятся области разного размера, доступные для движения звезды m1. Учитывая результаты работ Angeletti et al. (1983), Angeletti and Giannone (1983), Jefferys (1976), Keenan (1981a; b), Keenan et al. (1973) о большей устойчивости обратных траекторий звезд моделей скоплений в регулярном силовом поле Галактики, можно предположить, что при гь < гь,7 область движений компонентов ДЗ с ф < 0 расположена под сплошной линией, а при rb > rb,Y области с ф < 0 расположены между двумя ПНС, показанными штриховыми линиями, и под ПНС, показанной штрих-пунктирной линией на рис. 6a, b. Вероятно, между этими двумя областями при rb > rb,Y формируется одна область с ф > 0, расположенная между линиями штрих-пунктирной и штриховой с короткими штрихами на рис. 6a, b.
Каждому из значений £1jt соответствуют два действительных корня пм уравнения (25) и один действительный корень Zv,1 уравнения (26). Мееньшие и большие значения |nv,11 использованы при построении рис. 6a и рис. 6c соответственно. Зависимости |nv,11 и |Zv,11 от £Vj1, соответствующие одному и тому же значению £1jt, показаны на рис. 6a, b, c линиями одного вида.
При наличии колебаний регулярного поля скопления звезда с массой т1 может выходить за пределы указанных на рис. 6a, Ь поверхностей. В этом случае звезда с массой т2 движется в противоположном направлении (т.к. т^Гj = 0). Такие (более широкие) ДЗ остаются гравитационно связанными (или временно связанными) до значительно больших расстояний от центра масс ДЗ вдоль оси п, указанных соответствующими линиями на рис. 6^
Отметим, что все полученные оценки величин |пм I близки к минимальным значениям при = — -0.5 пк и гь — 2.8856 пк, а также при = е [-1.5, -1.3] пк и гь — 3.2268 пк. Величины |пид | возрастают как при уменьшении <^д < так и при увеличении <^д > , в том числе и в окрестности <^д = 0 (см. рис. 6^. Существование в орбитальной плоскости центра масс ДЗ такой области (|п11 < |пм1, см. рис. 6c) с ограниченным движением ее компонентов вдоль оси п также является одной из причин формирования в Плеядах большого числа широких ДЗ с вектором г1}2, ориентированным в направлении, близком к перпендикулярному направлению на центр скопления (Danilov 2021Ь; 2022).
Пусть компоненты ДЗ расположены под соответствующими им ПНС. Для обсуждения со-
is.
-0.15 -0.05 0.05
0.15
-0.15 -0.05 0.05
l^il' Pc
0.15
(c)
-0.15 -0.05 0.05 0.15
Рис. 6. (а) и (Ь) — линии пересечения поверхностей нулевых скоростей движения звезды с массой т1 — компонента ДЗ плоскостями ( = 0 и п = 0 соответственно, в системе координат (£, п, С), полученные для траектории центра масс ДЗ, приведенной на рис. 2ё. Сплошными линиями показаны зависимости от приливных расстояний |пм1 и | звезды т1 от центра масс ДЗ при гь — 2.8856 пк< гь,7; штриховыми и штрих-пунктирными линиями приведены эти зависимости при гь — 3.2268 пк> гь,7; (е) положения звезды тг — компонента ДЗ на плоскости , |п«д |). Сплошные линии получены при — 0.1298 пк, штриховые линии получены при — -0.1426 пк (длинные штрихи) и при — 0.4986 пк (короткие штрихи); штрих-пунктирная кривая получена при — -1.5425 пк.
отношений между координатами и скоростями движения звезд-компонентов ДЗ, достаточными для достижения ими соответствующих ПНС, рассмотрим следующий случай. Пусть у1 = 0,
П1 = 0, а = 0, = 0 (з = 1, 2), Пг = 6 = & = 0, (г = 1,2,3). Условием достижения звездой т1 соответствующей ей ПНС является: £1,2,3 = (7)1) = бе,1,2,3, где величина #1,2,3 определена в (21), бед,2,3 — в (22), а величина Еу(т)1), согласно (21), может быть записана в следующем виде:
^ ч miт)? m2 / .2 2 2\ Mr2
где
2^2
и2 i m1
2тз
2
2
+mi
+m2
М2
+ тзй - Mr2 -
Gmim2/i2 161
—а
а
где величина А^д определена в (25).
(27)
Численное решение уравнения Ею (771) = бед,2,3 относительно величины ¿1 при заданном значении 7)1 может быть получено методом Ньютона.
Аналогичные вычисления в случае = 0, ¿1 = 0, П1 = 0, = Ь =0 (з = 1, 2), £ = Сг = 0, (г = 1,2,3), приводят к уравнению Еи (¿ц) = бед,2,3,
Eu (£1) =
+mi
+m2
mi ^
2^2
mi Й
+
m
2m3
(fb + u2-
Mr 2
M2
+ m3es-Mrl)-Gmim^
Ini |
а
VWTvi
+
»
а
+
32 + A2!
/?ln + A^
(28)
где величина Апд определена в (25).
Численное решение уравнения Ev(0) = 6c,ij2j3 относительно приводит к оценке ^ — f1jt (с точностью в 7—9 значащих цифр после десятичной точки). С такой же точностью было получено и численное решение уравнения Eu (0) = 6c,ij2j3 относительно щ — Пм (см. (26) и рис. 6a). Модули величин ^ и п1 , полученных при решении уравнений Ev (т)1 ) = 6c,ij2j3 = Eu (¿ц) для значений vi = |fi | = |n)i | = 0, примерно в 2396.8-2665.1 раз больше величин |fi1 и 1, полученных при v1 = 5 пк млн лет-1.
Круговая скорость Vc движения тела приведенной массы m относительно центра масс ДЗ в рамках кеплеровой задачи о движении изолированной пары звезд с массами m1 и m2 связана соотношением Vi,c = Vc с соответствующей скоростью Vi,c движения тела с массой m1 относительно центра масс ДЗ (см., например, (13.2) из Landau and Lifshits (1988)). Увеличивая v1 от 0 до 5 пк млн лет-1 (1 км с-1 — 1 пк млн лет-1),
2
2
согласно (27) и (28), находим, что vi/V\yC —> л/2 (начиная от v1/V1,c = 0). При этом эксцентриситет орбиты e ^ 1 (начиная от e = 0). Здесь оценка
r1,max r1,min
величины е получена согласно е = —:-:—
r1,max + r1,min
(см. (15.7) из Landau and Lifshits (1988)), где r1,max = |6|, |П11 и r1,min = |6 Ы получены согласно Ev (771) = ес,1,2,3 = #„(£1) при V1 = 0 и v1 = 5 пк млн лет-1 соответственно.
Таким образом, для ДЗ в силовом поле скопления при увеличении v1 траектория звезды m1 от близкой к круговой относительно центра масс ДЗ приближается к параболической орбите. При этом такая ДЗ может достаточно долго находиться в скоплении из-за приливных ограничений на движение компонентов ДЗ в плоскости (£, п) (см. выше).
Пусть A1 — большая полуось эллиптической орбиты звезды m1. Уравнение такой орбиты в системе координат (£', п') с началом в центре эллипса можно привести к виду: rf = — (£'/А\)2,
где B1 — малая полуось орбиты. Для вычисления длины lb эллипса аппроксимируем элемент dlb дуги эллипса соотношением: dlb = л/ №')2 + [dt]1)2. Подставляя в него выражение для п', после несложных преобразований запишем:
Al I-2
WHi)*
0
А1 ,-
4 [ Aj - (А2 - В2)е2 0
Интеграл в выражении для lb подстановкой £' = A1 sin(^) можно привести к умноженному на A2 полному нормальному эллиптическому интегралу второго рода (см. (21.6)—(30) и Таблицы 1.6—4 из Korn and Korn (1961)), который подробно табулирован и легко интегрируется численно с точностью до 10 (и более) значащих цифр после десятичной точки. Для ДЗ с траекториями компонентов, близкими к круговым, период P обращения звезды m1 относительно центра масс ДЗ можно оценить по формуле P = lb/v1.
Рассмотрим ДЗ с центром масс, движущимся в силовом поле скопления по траектории, приведенной на рис. 2d. Пусть траектории ее компонентов близки к круговым в системе координат (£, п).
СШ1Ш2
Введем в рассмотрение величины Де = к—¡-—:—
|£1,t|
Де .
и q = -г. Пусть ei, 1 2з = есд,2,з + Ае. Урав-
|ес,1,2,3| ' ' '
нение Ev (?у1) = еС,123 позволяет исследовать
близкие к круговым траектории компонентов ДЗ. При гь = 2.8856 пк, v1 = щ = 0.25 пк млн лет-1 и k = 6.749 это уравнение имеет два положительных корня: £1 ~ 0.173869 пк = r1;min и £1 ~ 0.175817 пк = r1>max. Указанным выше величинам k, r1)min, r1>max соответствуют q ~ 0.001379, е ~ 0.005571, Ai = ri,max/(l + е) ~ 0.1748432 пк,
В\ = AiVl — e2 ~ 0.1748405 пк (см. уравнения (15.7), (15.6), полученные в работе Landau and Lifshits (1988)), P ~ 4.394255 млн лет, Pc = 2n(r1,min+r1,max)/(2v1) ~ 4.394289 млн лет — период обращения звезды m1 относительно центра масс ДЗ по круговой орбите со средним радиусом 0.5(n,min + n,max),
Р/РогЪ ~ 0.236097, Рс/РогЪ - 0.236099, где Porb = 2тг^As/(Gmb) ~ 18.612060 млн лет — период движения звезды m1 по кеплеровой эллиптической орбите для изолированной ДЗ (см. уравнение (7.1) из работы Zasov and Postnov (2011)), A = A1 + A2 = ^1/^2 ^ 0.43580 пк, A2 = m1A1/m2 — большая полуось орбиты звезды с массой m2.
Отметим, что величины P и Pc являются оценками локальных значений периода круговой или близкой к круговой орбиты звезды m1 в плоскости (£, п), т.к. они получены для фиксированного значения гь и зависят от соотношения между кинетической энергией компонентов ДЗ в плоскости (£, п) и потенциальной энергией —Gm1m2/r1,2 (см. соответствующие слагаемые в #1,2,3 из (21)). В рассмотренном выше примере при движении центра масс ДЗ вдоль траектории, указанной на рис. 2d, и увеличении гь от 2.45913 пк до 3.73855 пк, величины Ev (7)1) < 0, обеспечивающие круговую или близкую к ней орбиту звезды m1 в плоскости (£, п), убывают в 1.662 ± 0.013 раз (здесь приведено отношение средних значений Ev (щ), полученных по шести значениям v1 = ±0.25, ±0.5, ±5.0 км с-1 для указанных выше двух значений гь, близких к гь в перицентре и апоцентре траектории центра масс ДЗ). Так как Ev(п^ = #1,2,3 является интегралом движения, то при движении к периферии скопления ДЗ попадает в более широкие области возможного движения ее компонентов в плоскости (£, п) (см., рис. 2b, рис. 3b, рис. 5c), в которых эксцентриситет их орбит возрастает. Поэтому при движении ДЗ к периферии траектории ее компонентов вытягиваются, период радиального движения в плоскости (£, п) возрастает и может быть сравним с периодом обращения ДЗ относительно общего центра масс трех тел системы. В этом случае орбитальный период P и скорости движения компонентов ДЗ в плоскости (£, п) могут быть определены при численном интегрировании уравнений (19), а постоянство интегралов E1,2,3 и ¿1,2,3 может быть исполь-
зовано для контроля точности вычислений. Малые отклонения (77 l) (и отношений этих величин при двух рассмотренных выше значениях rb) от средних значений при изменении |v11 в 20 раз указывают на то, что основным фактором в формировании траекторий компнентов ДЗ является силовое поле скопления, а не величина v1. Влияние величины v1 на траектории компонентов ДЗ возрастает при рассмотрении круговой орбиты центра масс ДЗ относительно центра масс системы трех тел.
Оценки локальных периодов P могут быть полезны при рассмотрении значительно более тесных ДЗ с периодами от нескольких дней до нескольких десятков лет (уже доступными для определений по данным наблюдений (см. Таблицы 6—8 в работе Torres et al. (2021))). В случае ДЗ с круговой орбитой центра масс с параметрами Lb = 4.368 Mq пк2 млн лет-1,
= 1.89471 M0 пк2 млн лет-2, rb = 3.04921 пк, и начальными фазовыми координатами
= 4.82061 а.е., ?)1 = v1 = -5.0 пкмлнлет-1, П1 = = 0, численное интегрирование уравнений (19) методом Рунге—Кутта четвертого порядка приводит к оценкам e = 0.04082, A = 11.54431 а.е., P = 26.95086 лет, к = P/Porb = 0.99495, а при
=0.03278а.е., ^ = 6 = 0, 7)l = -5.0пкмлнлет-1, находим: e = 0.99344, A = 0.04099 а.е., P = 2.09161 дней, к = 0.99998 (относительные погрешности eEl,2,3, £l1j2,3 величин El,2,3, L1j2j3 в конце интегрирования уравнений (19) по t при t > 10 P не превышали 10-7—10-14; обычно eLl,2,3 на 2—3 порядка меньше, чем £Elj2j3; в следующей работе автор предполагает опубликовать детальное описание использования уравнений (19) для получения параметров орбит компонентов тесных ДЗ; учитывая конечные размеры атмосфер звезд отметим, что второй вариант орбиты звезды mL (с e = 0.99344) показывает возможность исследования соударений компонентов ДЗ). В рассмотренных вариантах орбит компонентов ДЗ величины P приближаются к кеплеровским периодам Porb при уменьшении A, что указывает на уменьшение влияния силового поля скопления на динамику более тесных ДЗ. Учитывая проведенные оценки величин A и P и их сравнение с данными Torres et al. (2021), можно утверждать, что использование уравнений (19) и интегралов (21) позволяет исследовать практически весь набор ДЗ, данные о которых приведены в работах Torres et al. (2021) и Danilov (2021a).
На рис. 3b показаны кривые зависимостей от rb величин |£сд,21 для траектории центра масс ДЗ в неоднородном скоплении, приведенной на рис. 3a. При rb > 3.3927 пк для каждого значения rb существуют три решения уравнения (20), приводящие к
2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0
—т—• •** \
0123456789
Цгъ, рс
Рис. 7. Зависимости от гг и гь величин п^ и |£е,1,21. Жирная пунктирная линия соответствует полученной в работе ЭапНоу (2021а) регрессионной зависимости от г г; остальные линии разных видов соответствуют зависимостям |£е,1,21 от гь для ДЗ с ть = 2.08 и Ш2 /т1 ~ 0.67 в неоднородной по плотности модели Плеяд.
оценкам величин |£сд,2|. Разным корням уравнения (20) на рис. 3Ь соответствуют линии разного вида. Для каждого из |£сд,21 существуют по два корня и См уравнений (23) и (24), а также по две кривых зависимостей ^д | и |Суд1 от |£сд,21 соответствующие решениям уравнений (25) и (26). Для каждого значения гь мееньшим значениям |£сд,21 соответствует большая разница двух полученных оценок |%д | (и |См1) (как и на рис. 6а, Ь в сравнении с
рис. 6с).
Таким образом, для более вытянутых в радиальном направлении траекторий ДЗ при увеличении доступных для движения значений гь возрастает число точек и областей остановки в движении звезд-компонентов ДЗ по £, п и С координатам. Это приводит к удерживанию компонентов широких ДЗ на периферии скопления, что подтверждается и увеличением г1,2 на периферии скопления в Плеядах (см. рис. 2Ь из ЭапНоу (2021а), рис. 5 из ЭапНоу (2022)).
На рис. 7 приведены зависимости от г взаимных расстояний г^- между компонентами широких ДЗ и величин |£сд,2| от гь. Точками на рис. 7 приведены величины г^- для ДЗ, выделенных по данным Оа1аЭН2 в работе ЭапНоу (2021а) (см. рис. 2Ь из ЭапНоу (2021а)); г, ^ — номера звезд-компонентов ДЗ в выборке II одиночных звезд-членов скопления (см. выше); г — номер одного из компонентов ДЗ, г — его расстояние от центра скопления. Цифрами 1 и 2 на рис. 7 помечены близкие к положениям компонентов ДЗ фрагменты кривых зависимостей |£сд,21 от гь (см. рис. 2Ь и
рис. 3b), полученных в данной работе для траекторий центров масс ДЗ, показанных на рис. 2a и рис. 3a соответственно. Зависимости от гь величин |£c,1)2| = |£м|/^2, соответствующие разным корням £i,t уравнения (20), показаны на рис. 7 линиями разного вида. Отметим, что почти все наблюдаемые ДЗ на рис. 7 расположены выше или значительно выше наименьших значений |{c,1,2| (максимальные оценки величин |{c,1,2| в апоцентрах рассмотренных траекторий центров масс ДЗ достигают значений 6.52 и 27.63 пк (см. рис. 2b и рис. 3b)).
Согласно Danilov (2021a), скопление Плеяды находится в конце стадии сжатия. В картинной плоскости Плеяд наблюдается сжатие скопления со скоростью vd — -0.124 ± 0.040 км с-1 на расстоянии d = 2-3 пк от центра скопления (Danilov 2021a). Согласно Danilov (2021b), такое сжатие скопления приводит к расширению ДЗ, в результате которого величины ri;j начинают превышать минимальные значения |{c,1,2|.
Оценки величин |{1;t| и |nv,i|, приведенные на рис. 5b, c и на рис. 6a, c, показывают, что с увеличением rb размеры области, доступной для движения компонентов ДЗ под ПНС при rb < rb;7 (и между ПНС при rb € [rmin, rmax]), возрастают. Регрессионная зависимость ri;j от r^, приведенная жирной штриховой линией на рис. 7, также показывает увеличение расстояний ri;j между компонентами широких ДЗ в Плеядах с расстоянием r компонентов ДЗ от центра скопления. Отметим, что такое увеличение ri;j с r в основном обусловлено движением центров масс ДЗ вдоль своих траекторий в скоплении.
Наблюдаемые широкие ДЗ в Плеядах находятся глубоко под поверхностью нулевых скоростей с наибольшими значениями |{c,1,2|. Учитывая результаты работ Angeletti et al. (1983), Angeletti and Giannone (1983), Jefferys (1976), Keenan (1981a; b), Keenan et al. (1973) о большей устойчивости обратных траекторий звезд скоплений в поле Галактики, можно предположить, что компоненты почти всех широких ДЗ в Плеядах движутся в обратном направлении относительно центров масс двойных звезд по сравнению с прямым движением центров масс ДЗ относительно центра масс трех
тел (в этом случае t0 < 0, см. рис. 1). Приливные ограничения и большая степень устойчивости обратных движений компонентов широких ДЗ на периферии скопления вполне могут приводить к увеличению в скоплении числа широких ДЗ. Такие двойные звезды были недавно обнаружены в работах Danilov (2021a), Deacon and Kraus (2020) по данным Gaia DR2 в трех близких к Солнцу РЗС.
Оценки массы скопления Плеяды, полученные для звездных величин mc < 15m и mc < 18m, могут значительно различаться (от 411 до 855 Mq (Danilov and Seleznev 2020)). При этом значительная часть массы скопления Плеяды расположена на периферии и в короне скопления (на расстояниях от центра скопления, больших, чем расстояния от него компонентов рассмотренных ДЗ; такие «внешние» массы скопления не влияют на оценки величин |{сд,2|; это вызвано сферической симметрией рассмотренных моделей скопления). Согласно Danilov and Seleznev (2020, рис. 10b), в Плеядах пространственные концентрации звезд с mc < 15m и mc < 17m в интервале расстояний r € [1.2,6.9] пк от центра скопления практически не различаются в пределах погрешностей. Для оценки величин |{сд,2| в уравнениях движения звезд (5) и (19) сравниваются между собой члены, описывающие силу притяжения компонентов ДЗ между собой и силу их притяжения к скоплению. Эти последние члены пропорциональны плотности скопления (см. выше коэффициенты y и y«.(r), пропорциональные средней или локальной плотности в двух моделях скопления). Параметры Zc и Q выбраны так, чтобы распределение плотности p(r) ~ 1/r2 в модели скопления хорошо описывало распределение плотности скопления в интервале 2 < r < 4—4.5 пк (согласно Danilov (2021a), максимальное количество широких ДЗ в Плеядах находится на расстоянии r ~ 3—4 пк от центра скопления). При расчете параметров конкретных ДЗ необходимо подбирать величины Zc и Q, более точно описывающие плотность в окрестностях рассматриваемой ДЗ в скоплении.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 1. В работе выполнены оценки приливных расстояний |{сд,2| между компонентами широких двойных звезд (ДЗ) в Плеядах. Использовались сведения о параметрах скопления Плеяды и широких ДЗ в Плеядах, полученные в работах Danilov (2021a), Danilov and Seleznev (2020) по данным GaiaDR2. Рассмотрены две модели скопления в виде однородного и неоднородного по плотности гравитирующего шара. Движение центров масс ДЗ в рассмотренных моделях скопления прослежено с помощью интегралов углового момента и энергии движения центров масс ДЗ. В модели системы ДЗ с однородным скоплением получены две эллиптические орбиты центра масс ДЗ с разными эксцентриситетами (см. рис. 2a). В модели с неоднородным скоплением получены две незамкнутые «розеточного вида» траектории движения центра масс ДЗ (см. рис. 3a). Определены параметры рассмотренных орбит и траекторий.
2. В неравномерно вращающейся относительно центра масс трех тел системе координат (£, п, С) с началом в центре масс ДЗ записаны уравнения движения (5) звезд-компонентов ДЗ в модели однородного скопления. С помощью этих уравнений получена формула (7) для оценки приливных расстояний |{сд,2| между компонентами ДЗ, центр масс которой движется по эллиптической орбите в плоскости (£,п). Получены интегралы (8) углового момента и энергии движения компонентов ДЗ, с помощью которых проведены оценки величин |п^д,2| и 1См,2| — размеров области под поверхностью нулевых скоростей компонентов ДЗ вдоль осей П и £ соответственно. Показано, что величины |£с,1)2| и |См,2| в перицентрах рассмотренных орбит меньше, чем в их апоцентрах (см. рис. 2Ь, с). Для величин |пм,2| существуют два решения: |п |1 = |Сс,1,2| при Гь € [гт;п , Гтах| и |п^,1)2|2 — 1-6|Сс,1,2| для внутренней части орбиты центра масс ДЗ при гь € [гт;п,гь,7], где гь — расстояние от центра масс ДЗ до центра масс трех тел, гь>7 < гтах. Поэтому на внутренней части орбиты центра масс ДЗ существует два ограничения на движение компонентов ДЗ вдоль оси п, а при Гь > Гь,7, — на внешней части траектории ДЗ — одно.
3. В случае модели неоднородного скопления в неравномерно вращающейся относительно центра масс трех тел системе координат (£,п,С) (см. рис. 1), записаны уравнения движения этих тел (19). Эти уравнения использовались для записи уравнения (20), позволяющего вычислить приливное расстояние = ^2|{сд,2| звезды с массой т1 от центра масс ДЗ, который движется по «розеточной» траектории в плоскости (£, п). Численно определены действительные корни уравнения (20) (см. на рис. 2Ь и рис. 3Ь зависимости |{е,1,2| от гь). В зависимости от траектории центра масс ДЗ с увеличением гь число таких корней возрастает от одного до двух (в менее вытянутой по гь траектории (см. рис. 2Ь)) или до трех (в более вытянутой траектории (см. рис. 3Ь), достигающей больших расстояний гь от центра масс трех тел).
4. Для уравнений (19) получены интегралы (21) углового момента движения тел системы относительно оси £ и энергии Е1;2;3. Для оценки ряда параметров широких ДЗ записаны уравнения (23)—(26) и формулы (27), (28). Решения уравнений (23) и (24) для рассмотренных траекторий ДЗ позволяют установить зависимости от гь расстояний |{1,4|, |п^,1|, |См! поверхности нулевых скоростей (ПНС) звезды с массой т1
до центра масс ДЗ вдоль осей n, Z соответственно. Для двух ближайших к нулю корней nv,i уравнения (23) показано, что с увеличением гь размеры более протяженной вдоль оси n области быстро возрастают, а размеры меньшей области возрастают при гь < гь;7 и убывают при rb > rb;7 (см. рис. 5c). Согласно (24), так же для звезды m1 c увеличением r^ меняются и размеры области под ПНС вдоль оси Z (см. рис. 5d). При всех значениях гь для траектории ДЗ, приведенной на рис. 2d, |Zv,i| < |6,t|, где £i)t — наибольший отрицательный корень уравнения
(20) (см. рис. 5a).
5. Анализ корней £1)t, nv,1, См уравнений (20), (25), (26) показал существование областей разного размера вдоль осей n и Z, ограниченных соответствующими ПНС для звезды с массой m1 (см. рис. 6a, b, c). Вероятно, на периферии большей из этих областей могут преобладать приливно устойчивые широкие ДЗ с обратным движением компонентов относительно центров масс ДЗ. Согласно рис. 6a, b, форма ПНС, соответствующих меньшим значениям |nv,11, близка к сферической, а для больших значений |nv,i| эти поверхности не замкнуты (см. рис. 6c). Существование в орбитальной плоскости центра масс ДЗ областей с указанными на рис. 5c и рис. 6c ограничениями (|nv,i| ~ 0.7-3.3 пк) в движении ее компонентов вдоль оси n является одной из причин отмеченного в статье Danilov (2022) наличия в Плеядах большого числа широких ДЗ с вектором r1>2, ориентированным в направлении на центр скопления, близким к перпендикулярному.
6. Для неизолированных двойных звезд интегралы
(21) и уравнения (19) позволяют оценить параметры более тесных ДЗ, близкие к тем, что дает уточненный третий закон Кеплера (см. (15.8), Landau and Lifshits (1988)) для изолированных ДЗ. Интеграл энергии E1)2)3 из (21) определяет соотношения между ненулевыми скоростями и координатами компонентов ДЗ в системе (£,n,Z). Если энергия E1)2)3 = ec,1)2,3 достаточна для выхода звезды m1 из под ПНС на эту поверхность при неравной нулю начальной скорости v1, то с увеличением v1 от 0 до 5 пк млн лет-1 начальные расстояния между компонентами ДЗ, полученные при решении уравнений EV(n>i) = ec,i,2,3 = Eu(£i) с учетом (27) и (28), уменьшаются примерно в 2400-2670 раз, а траектория звезды m1 от близкой к круговой относительно центра масс ДЗ приближается к параболической. Такая ДЗ может достаточно долго находиться в скоплении
из-за приливных ограничений на движение компонентов ДЗ (см. выше).
7. Оценки величин |{1>4| и |п^д|, приведенные на рис. 5Ь, с и на рис. 6а, с, показывают, что с увеличением гь размеры области, доступной для движения компонентов ДЗ под ПНС (и между ПНС), возрастают. Согласно рис. 7, оценки взаимных расстояний г^- между компонентами наблюдаемых в Плеядах широких ДЗ в подавляющем большинстве превышают (или значительно превышают) оценки минимальных величин |{с,1)2|. Увеличение г^- с расстояниями г компонентов широких ДЗ от центра скопления, обнаруженное в Плеядах (ЭапПоу 2021а) по данным Оа1а ЭР2, в основном обусловлено движением центров масс ДЗ вдоль своих траекторий в скоплении.
ФИНАНСИРОВАНИЕ
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации, тема РБи2-2023-0019. Часть работ проведена при финансовой поддержке постановления №211 Правительства Российской Федерации, контракт № 02.A03.21.0006.
КОНФЛИКТ ИНТЕРЕСОВ
Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. S. J. Aarseth, Astrophys. and Space Sci. 13 (2), 324
(1971).
2. L. Angeletti, R. Capuzzo-Dolcetta, and P. Giannone,
Astron. and Astrophys. 121 (2), 183 (1983).
3. L. Angeletti and P. Giannone, Astron. and Astrophys.
121 (2), 188(1983).
4. M. R. Bate, I. A. Bonnell, and V. Bromm, Monthly
Notices Royal Astron. Soc. 336 (3), 705 (2002).
5. J. Binney and S. Tremaine, Galactic Dynamics, 2nd ed.
(Princeton Uni. Press, Princeton, 2008).
6. P. Bodenheimer, ASP Conf. Ser., 229, 67 (2001).
7. P. Bodenheimer and A. Burkert, Proc. IAU Symp.
No. 200, 13(2001).
8. A. G. A. Brown et al. (Gaia Collab.), Astron. and
Astrophys. 616, id. A1 (2018).
9. J. A. Caballero, I. Novalbos, T. Tobal, and F. X. Miret,
Astronomische Nachrichten 339 (1), 60 (2018).
10. S. Chandrasekhar, Principles of stellar dynamics (University of Chicago Press, Chichago, 1942; Moscow, Inostrannaya Literatura, 1948).
11. S. Christian, A. Vanderburg, J. Becker, et al., Astron. J. 163 (5), 207 (2022).
12. V. M. Danilov, Astronomy Reports 49 (8), 604 (2005).
13. V. M. Danilov, Astrophysical Bulletin 76 (1), 55 (2021a).
14. V. M. Danilov, Astrophysical Bulletin 76 (3), 269 (2021b).
15. V. M. Danilov, Astrophysical Bulletin 77 (2), 182 (2022).
16. V. M. Danilov and A. F. Seleznev, Astrophysical Bulletin 75 (4), 407 (2020).
17. M. De Furio, M. R. Meyer, M. Reiter, et al., Astrophys. J. 925 (2), id. 112 (2022).
18. N. R. Deacon and A. L. Kraus, Monthly Notices Royal Astron. Soc. 496 (4), 5176 (2020).
19. H. B. Dwight, Tables of integrals and other mathematical data, 4th ed. (New York, The MacMillan Company, 1961; Moscow, Science, Physical-Mathematical Literature, 1973).
20. D. C. Heggie, Monthly Notices Royal Astron. Soc. 173,729(1975).
21. L. A. Hillenbrand, C. Zhang, R. L. Riddle, et al., Astron. J. 155 (2), article id. 51 (2018).
22. W. H. Jefferys, Astron. J. 81,983(1976).
23. T. Jerabkova, G. Beccari, H. M. J. Boffin, et al., Astron. and Astrophys. 627, id. A57 (2019).
24. D. W. Keenan, Astron. and Astrophys. 95 (2), 334 (1981a).
25. D. W. Keenan, Astron. and Astrophys. 95 (2), 340 (1981b).
26. D. W. Keenan, K. A. Innanen, and F. C. House, Astron. J. 78, 173(1973).
27. G. A. Korn and T. M. Korn, Mathematical Handbook for Scientists and Engineers (McGRAW-Hill Book Company, Inc., New York-Toronto-London, 1961).
28. L. D. Landau and E. M. Lifshits, Theoretical physics. Mechanics, 4th ed., Vol. I (Moscow, Science, 1988) [in Russian].
29. S. S. R. Offner, M. M. Dunham, K. I. Lee, et al., Astrophys. J. 827 (1), article id. L11 (2016).
30. L. A. Pearce, A. L. Kraus, T. J. Dupuy, et al., Astrophys. J. 894 (2), id. 115 (2020).
31. T. Prusti et al. (Gaia Collab.), Astron. and Astrophys. 595, id. A1 (2016).
32. A. N. Raju, D. Guszejnov, and S. S. R. Offner, Research Notes American Astron. Soc. 5 (7), id. 164 (2021).
33. B. Reipurth, S. Mikkola, M. Connelley, and M. Valtonen, Astrophys. J. 725 (1), L56 (2010).
34. G. Torres, D. W. Latham, and S. N. Quinn, Astrophys. J. 921 (2), id. 117(2021).
35. A. V. Zasovand K. A. Postnov, General Astrophysics, 2nd ed. (Vek 2, Fryazino, 2011) [in Russian].
On Tidal Distances Between Components of Wide Binary Stars
in the Pleiades
V. M. Danilov1
1Kourovka Astronomical Observatory named after K. A. Barkhatova, Ural Federal University named after the first President of
Russia B. N. Yeltsin, Yekaterinburg, 620000 Russia
The paper estimates the tidal distances |£c,1j2| between the components of wide binary stars (BS) in the Pleiades. We used data on the parameters of the Pleiades cluster and wide BSs in the Pleiades, obtained earlier from the Gaia DR2 data. Two models of a cluster are considered in the form of a gravitating sphere, homogeneous and inhomogeneous in density. Using the integrals of angular momentum and energy of the motion of the centers of mass of the BSs, two elliptical orbits and two open "rosette-like" trajectories of the centers of mass of the BSs relative to the center of mass of the three-body system (the BS components and the cluster) are constructed. For three bodies in a coordinate system nonuniformly rotating relative to their center of mass with the origin at the center of mass of the BS the equations of motion are written. For the model of a homogeneous cluster, a formula is obtained for the value |£c,1j2| for a BS moving along an elliptical orbit. The integrals of angular momentum and energy of motion of the components of the BS and three bodies of the system are obtained. The sizes of the area under the surface of zero velocities (SZV) of the BS components along the axes of the coordinate system with the origin in the center of mass of the BS are estimated. It is shown that in the model of a homogeneous cluster, the sizes of the area under the SZV of the BS components in the pericenters of the considered orbits are smaller than in the apocenters, and on the inner and outer parts of the BS orbits there are restrictions on the size of the area under the SZV of the BS components that differ in number and magnitude. For the model of an inhomogeneous cluster, an equation is obtained for the quantity |£c,1i2| for the BS moving along the "rosette" trajectory relative to the center of mass of three bodies. The quantities |£c,1j2| are numerically determined for the BS at different points of two such trajectories. With the help of the energy integral E1i2j3 of the motion of three bodies, the sizes of the area under the SZV of the BS components are determined. With an increase in the distance of the center of mass of the BS from the center of mass of three bodies in the model of an inhomogeneous cluster, an increase in the size of the area under the SZV of the BS components was noted, as well as the existence of more complex restrictions on the size of this area than in a homogeneous cluster. Mutual distances rjj between the components of wide BSs in the Pleiades are between the maximum and minimum values of |£c,1j21 for BSs on "rosette" trajectories. The increase in r-jj with the distances r of the BS components from the center of the cluster is mainly due to the motion of the BS along its trajectories in the Pleiades. Other applications of the integral £1j2j3 for estimating the BS parameters in the Pleiades are also considered.
Keywords: stars: kinematics and dynamics—open clusters and associations: individual: Pleiades
