CC BY
36
УДК 524.4-32
ОЦЕНКИ ПРИЛИВНЫХ РАДИУСОВ ТРЕХ РАССЕЯННЫХ
ЗВЕЗДНЫХ СКОПЛЕНИЙ
© 2015 В. М. Данилов*, А. В. Локтин**
Коуровская астрономическая обсерватория, Уральский федеральный университет,
Екатеринбург, 620000 Россия Поступила в редакцию 9 февраля 2015 года; принята в печать 20 июля 2015 года
Разработан новый метод оценки приливных радиусов и масс рассеянных звездных скоплений (РЗС) по данным о координатах в картинной плоскости и собственных движениях и/или лучевых скоростях движения звезд—членов скоплений. Для этого выполнен корреляционный и спектральный анализ колебаний модулей составляющих поля скоростей движения звезд относительно центра масс скопления, вдоль трех координатных плоскостей и вдоль каждой из осей координат в пяти моделях РЗС. Вычислены взаимные корреляционные функции для флуктуаций модулей составляющих поля скоростей. Пространственное Фурье-преобразование взаимных корреляционных функций при нулевом сдвиге по времени использовалось для вычисления спектров волновых чисел к колебаний модулей компонент поля скоростей движения звезд. В спектрах колебаний этих величин наблюдаются серии локальных максимумов, расположенных по к на равных расстояниях друг от друга. Для всех пяти моделей РЗС получено одинаковое соотношение между приливным радиусом скопления и разностью Дк значений к соседних точек локальных максимумов в спектрах колебаний модулей составляющих поля скоростей. Это соотношение использовалось для оценки приливных радиусов и масс РЗС Плеяды, Ясли и М 67 по данным о собственных движениях звезд—членов этих скоплений и данным о координатах этих звезд в картинной плоскости. Построены радиальные зависимости величин модулей тангенциальных и радиальных проекций скоростей движения звезд в скоплении, полученных по данным о собственных движениях этих звезд относительно центра скопления в картинной плоскости, а также соответствующие им автокорреляционные функции и спектры волновых чисел колебаний модулей составляющих поля скоростей. Получены оценки вириальных масс скопления Плеяды в случаях изолированности и неизолированности скопления, а также оценки динамической массы скопления Плеяды в случае его нестационарности и неизолированности. Приведены оценки соответствующих этим массам приливных радиусов скопления Плеяды.
Ключевые слова: звезды: кинематика и динамика — рассеянные скопления и ассоциации: индивидуальные: Плеяды, Ясли, М 67
1. ВВЕДЕНИЕ
Оценки приливных радиусов Rt рассеянных звездных скоплений (РЗС) обычно получают с использованием фотометрических и кинематических данных о звездах—членах скоплений (см., например, [1,2]) и формулы для Rt из [3]. Часто при этом используются результаты звездных подсчетов в окрестностях РЗС [4, 5], а также параметры, характеризующие силовое поле Галактики в окрестностях этих скоплений [1,2, 5]. Представляет интерес также определение величин Rt для РЗС с использованием спектров колебаний этих скоплений. Изучение спектров колебаний численных динамических моделей РЗС [6] проводилось в
E-mail: [email protected]
E-mail: [email protected]
недавних работах [7—9]. Колебания фазовой плотности f и потенциала и в моделях РЗС на разных расстояниях г от центра скопления рассматривались в работах [7, 8]. Спектры частот колебаний f и и были получены с использованием соответствующих этим колебаниям взаимных корреляционных функций и их Фурье-преобразования. В этих же работах были обнаружены несколько десятков неустойчивых колебаний значений f и и, получены оценки времени нарастания амплитуд таких колебаний в е раз. В работе [8] исследовались колебания f и и в модели скопления 1 при разных значениях параметра сглаживания е силовых функций в уравнениях движения звезд (начальные параметры шести моделей РЗС приведены в таблице 1 из [6]; каждая модель скопления состоит из 500 звезд с массами, равными солнечной; скопление движется по круговой орбите радиуса
Rg = 8200 пк в плоскости Галактики вокруг ее центра в поле сил потенциала [10]; в начальный момент каждая модель РЗС состоит из двух однородных по плотности сферических подсистем (ядро и гало) с совпадающими центрами масс; модели РЗС в [6] пронумерованы в порядке уменьшения степени нестационарности скопления). Выполненный в [8] анализ изменений спектров колебаний f и U при изменении сглаживающего параметра е приводит к выводам о «повторяемости» спектров при некоторых фиксированных значениях е и о существовании определенных соотношений между размерами скопления и длинами волн в скопле-нии,что, возможно, связано с дискретностью длин волн и фаз колебаний в волнах. В работе [9] вычислены пространственные взаимные корреляционные функции для флуктуаций фазовой плотности f и модулей средних скоростей звезд v моделей скоплений [6], а также спектры волновых чисел k = 1/Л колебаний f и v. Согласно [9], основные по мощности колебания f и v расположены в области малых значений волнового числа k (и больших длин волн Л > 1 пк). В работе [9] обнаружены повторяющиеся по k с равным шагом Ak колебания v в моделях 1—3, 5—6 скоплений с меньшей плотностью, чем в модели 4; для моделей 1—3, 5—6 получено соотношение Rt Ak ~ 1. Поэтому длины волн двух или нескольких соседних по k колебаний v в скоплениях могут быть использованы для оценок величин Rt (и полных масс РЗС).
Представляет интерес построение и анализ спектров волновых чисел колебаний компонентов поля скоростей в моделях РЗС [6], а также применение полученного для Rt Ak соотношения к оценке параметров нескольких близких к Солнцу РЗС по данным о собственных движениях звезд— членов этих скоплений.
Оценки параметров РЗС по данным наблюдений желательно проводить несколькими разными методами (для сравнения соответствующих этим методам оценок между собой). Величины Rt могут быть также определены по данным о массах Mci РЗС, полученных с использованием функций светимости и масс звезд этих скоплений. В качестве оценок величин Mci также могут быть использованы оценки динамических масс РЗС, полученные в рамках различных предположений о вириальном равновесии, неизолированности и нестационарности этих скоплений [11].
Целями данной работы являются:
(1) вычисление пространственных взаимных корреляционных функций и спектров волновых чисел колебаний модулей компонентов поля скоростей звезд в моделях РЗС [6];
(2) вычисление радиальных зависимостей (от р) модулей тангенциальных Vt и радиальных Vp проекций скоростей движения звезд, полученных по данным о собственных движениях и координатах звезд относительно центра скопления в картинной плоскости;
(3) вычисление автокорреляционных функций для зависимостей Vt(p) и Vp(р), а также спектров S(kp) колебаний величин Vt и Vp в их зависимостях от р для скоплений Плеяды, Ясли и М 67;
(4) оценки величин Rt для этих скоплений с использованием спектров S(kp) и оценок динамических масс РЗС;
(5) обсуждение возможностей оценки величин Rt, Mci и анализа динамики РЗС с использованием данных о собственных движениях звезд—членов этих скоплений.
2. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И МЕТОДИКИ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Пусть v = |v|, где v = (vx,vy,vz) — средний вектор скорости движения nst звезд из окрестностей точки с координатой r = (x,y,z) в модели скопления в момент времени t; r = |r|; координаты vx,vy, vz вектора v получены усреднением величин vx,vy,vz этих nst звезд; x,y,z — прямоугольные декартовы координаты с началом в центре масс скопления. Обозначим vr = lxvx + yvy + zvzl/r и vt = л/v2 — v2 модулями радиальной и тангенциальной составляющих вектора скорости v (выражение для vr получается после преобразования координат вектора v из системы (x,y,z) в сферические координаты (г,в,ф), см., например, [12], таблицы 6.5-1, стр. 183, и замены тригонометрических функций координат в, ф на соответствующие этим функциям выражения через величины x, y, z, r). Аналогично, для спроецированного на плоскость (x,y) скопления в случае двумерного поля скоростей V = |V|, где V = (vx,vy), после преобразования координат вектора V из системы (x, y) в полярные координаты (р, ф) запишем:
Vp = \xvx +yvy\/p и Vt = \jv2 - V2 — выражения для модулей радиальной и тангенциальной составляющих вектора скорости V (в этом
случае p = д/ж2 + y2). Обозначим: V^ = \Jv2+v2
и Vr = ^z | — модули проекций вектора v на плоскость (xy) и на ось z соответственно. Далее в пределах этого раздела мы будем использовать обозначения Vp, Vr, Vp и Vt и при проецировании скопления на две другие координатные плоскости. В этих случаях V^ = \/v2 + v2, Vr = \vy\, Vp = \xvx + zvz\/p, p = Vx2 + z2 и
Vt = \Jv2+v2 — V'2, если рассматривается проекция скопления на плоскость (xz), и V^ = ^Jv2 + v2,
К- = Kl> Vjo = \iJVy + ZVz\/p, p= л/у2 + z2, Vt = уJv2 + v2 — V2, если рассматривается проекция скопления на плоскость (yz). Отметим, что величины Vp и Vt могут быть определены как для поля скоростей звезд V, так и для отдельных звезд скопления.
Следуя [9], а также [13, 14], в данной работе были вычислены пространственные взаимные корреляционные функции (ВКФ) Kx(r), Ky(р) и спектры SX(kr), Sy (kp) волновых чисел kr, kp колебаний величин vt и vr, а также величин V^, Vr, Vp и Vt, полученных при проецировании скоростей движения звезд на три координатные плоскости в моделях 1 —3, 5—6 РЗС [6], здесь X — одна из координат вектора u = (vt, vr), а Y — одна из координат вектора w = (Vи, Vr, Vp, Vt); kr = 1/Xr, kp = 1/Xp, Ar и Ap — длины волн рассматриваемых колебаний в пространствах r и р соответственно. При вычислении функций Kx (r) рассматривались корреляции между флуктуациями величин X в центре масс и на расстоянии r от центра масс скопления. Методика вычислений функций Kx(r) описана в [9] на примере функций Kv (r) для флуктуаций величин v, где функция Kv (r) получена усреднением взаимных корреляций (это функции Cj(0,0, Ar) в обозначениях [9]) по двум угловым переменным в сферической системе координат, а погрешности функций Kx(r) вычисляются как погрешности средних по этим двум угловым переменным значений взаимных корреляций между флуктуациями величин X при r = 0 и r = const = 0. При вычислении Ky(р) для проекций средних скоростей движения звезд на плоскость (x,y) рассматривались корреляции между флуктуациями величин Y в точках (р = ф = 0,z = zi) и (р = pj,ф = фi,z = zi), где i = 1,.., 21, j = 1,.., 60, l = 1,.., 32, z e [-Rt, Rt], р e [0, Rt], ф = [0,2n); Az = 0.1 Rt, Ар = Rt/60 и Аф = п/16 — расстояния между соседними точками по z, р и ф соответственно; величины Ky (р) получены усреднением взаимных корреляций по угловой переменной ф и координате z в цилиндрической системе координат (р,ф,z). Погрешности функций Ky (r) вычисляются как погрешности средних по ф и z значений взаимных корреляций. Пространственное Фурье-преобразование взаимных корреляционных функций при нулевом сдвиге по времени использовалось для вычисления спектров SX(kr), Sy(kp) волновых чисел колебаний значений координат векторов u и w. Методика вычисления спектров и их погрешностей описана в [9].
Пусть Y1,..,Yn — п последовательных и равноотстоящих по р значений одной из координат Y вектора w (здесь величина Y представлена в виде суммы систематической и случайной составляющих, а Yi рассматриваются как результаты наблюдений процесса, в котором случайная составляющая соответствует стационарному случайному процессу). Согласно [15], раздел 8.2.1, формулы (7) и (8), автокорреляционную функцию (или, в терминах [15], несмещенную оценку для ковариационной последовательности величин Yj и Yj+i) можно записать в следующем виде:
1
j +i
j=1
(n — i)2
n-i n-i
Yj Yj
(1)
j +i,
j=1 j=1
i = 0, ..., n — 1.
Согласно [15], функция Ky(р) — является четной функцией от р. Отметим, что пространственная ВКФ [9] зависит от усреднений величин Yi по всем моментам времени, для которых вычислена модель РЗС и выполняются все необходимые проверки точности вычислений (см. [8]). В отличие от пространственной ВКФ, автокорреляционная функция Ky (р) зависит лишь от координаты Y вектора w в момент времени наблюдения РЗС. Пространственное Фурье-преобразование функций Ky (р) в нашей работе использовалось для вычисления спектров Sy (kp) волновых чисел kp колебаний значений координаты Y вектора w. Использовалась та же методика вычисления спектров, что и для пространственных ВКФ в [9].
Функции видимой плотности числа звезд F(р) в РЗС в данной работе были получены по звездам, ближайшим к окружности радиуса р в картинной плоскости с центром в центре скопления. Для вычисления F (р) при р = const с шагом Ар = 1° по углу р относительно центра скопления в картинной плоскости вычислялись координаты узловых точек. Затем по nst звездам, ближайшим к каждой узловой точке, вычислялись видимые плотности числа звезд. Далее величины F(р) вычислялись как средние по всем узловым точкам видимые плотности числа звезд (погрешности этих средних равны погрешностям величин F(р)). Распределения видимой плотности F(р) сглаживались методом локальной взвешенной регрессии [16] до приведения их к виду монотонно убывающих по р функций, значения которых принимались равными нулю при р = Rm, где Rm — радиус области, в которой исследуется поле скоростей звезд скопления. Для перехода от распределения видимой плотности чис-
ni
1
ла звезд ^(р) к распределению пространственной плотности /(г) в данной работе использовались предположение о сферической симметрии распределения звезд (и массы) в скоплении, а также решение интегрального уравнения Абеля (8.5) для функции / (г), записанное в виде (8.7) и (8.8) в книге [17].
Пусть N — число звезд в РЗС, полученное по собственным движениям звезд и данным фотометрии. Как и в работе [11], после вычисления пространственных плотностей числа звезд /(г) в рассмотренных РЗС с помощью датчика случайных чисел были заданы пространственные положения 6Хс звезд в сферической системе координат (г, в, ф) для каждого скопления. Функция /(г) использовалась для вычисления плотности распределения
Г Г / Г Кт
Ра(г) = у / (р) р2 Ф / у /(р) Р2 Лр вероятностей попадания звезды в интервал г е (0,Кт); ра(0) = 0, ра(Ят) = 1. Дискретная случайная величина г с заданной плотностью ра(г) была распределена в интервале г е (0, Кт) согласно методике [18], стр. 26. Величины в и ф были распределены в интервалах в е (0,п) и ф е (0,2п)
с плотностями рь(0) = -этА и рс(ф) = — соот-
2 2п
ветственно (плотности рь(в) и рс(ф) обеспечивают равномерное распределение звезд по углам в и ф для каждого фиксированного значения г). В результате были получены наборы значений (гг, вг, фг), % = 1,..., 6Мс. Каждый из шести наборов координат N звезд имитирует данное скопление звезд. При оценке ряда параметров РЗС вычислялись средние величины этих параметров и стандартные отклонения от среднего по шести наборам координат N звезд.
Используя выражение (10) из [11], для оценки вириальных масс неизолированных РЗС по данным о дисперсии скоростей звезд а^ и размерах скоплений, находим:
М^у = 2 К
о-2 - + а3) г2/3
а
-1
(■Кт / Г Кт
г2 = I /(г) г4 Лг/ /(г) г2 Лг — средний
квадрат расстояния звезды от центра скопления, /(г) — распределение пространственной плотности числа звезд в скоплении.
Для оценки динамических масс нестационарных и неизолированных РЗС используем полученное
для таких систем в [ 11 ] соотношение (13) между
2
массой и величиной а%, согласно которому запишем:
Мл = 2 ККЬ
2а^-(а1+а3)г2/3 0~1(К+Ки)
1
(2)
где К=(1/гу) 1 — средний радиус скопления, гV — расстояние между %-ой и ]-ой звездами
скопления, угловые скобки в формуле для К означают усреднение по всем парам звезд в скоплении; а1 и а3 — постоянные, характеризующие силовое поле Галактики в окрестности круговой орбиты скопления, а1 < 0 и а3 > 0 (их числовые значения для моделей 1—6 РЗС определены в [6] с использованием модели потенциала Галактики [10]), а — гравитационная постоянная; в случае а1 = а3 = 0 из (1) получаем оценку вириальной массы изолированного скопления.
(3)
где Еи = (1/гг) 1, гг — расстояние %-ой звезды от центра масс скопления, в формуле для Ки угловые скобки означают усреднение по всем звездам скопления.
Рассмотренные в этом разделе формулы и методики использовались далее при изучении моделей РЗС, а также скоплений Плеяды, Ясли и М67.
3. КОЛЕБАНИЯ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ ЗВЕЗД В МОДЕЛЯХ РЗС
Рассмотрим колебания модулей тангенциальной и радиальной составляющих поля скоростей V движения звезд в моделях 1—3, 5—6 РЗС [6]. На рис. 1 приведены графики функций пространственной взаимной корреляции Кх(г) (рис. Ы и 1Ь) и спектры Бх(кг) (рис. к и Ы) волновых чисел кг колебаний величин X при X = уь, уг в модели 1 РЗС при = 6. Величины г и Кх(г) приведены в пк и (пк/млн лет)2 соответственно. Величины кг и Бх(кг) приведены в пк-1 и пк3/(млн лет)2 соответственно. При построении рис. 1 и 2 использовались фазовые координаты звезд (ФКЗ) 11-го порядка точности, см. [6]. Согласно рис. Ы и 1Ь, величины Кх (г) быстро убывают с увеличением г при г < 1.4 пк для X = Уь(г) и при г < 2.44 пкдля X = уг (г), после чего величины К^ (г) в среднем возрастают, а на кривой К.иг (г) (см. рис. 1Ь) хорошо заметен локальный максимум вблизи г = 8.2 пк; в спектре Бъг (кг) на рис. Ы ему соответствует локальный максимум вблизи значений кг ~ 0.118—0.123 пк-1 (далее для краткости размерности пк-1 для всех волновых чисел мы не приводим). Увеличение Кх (г) с ростом г указывает на повышение роли колебаний с большими длинами волн Хг (и малыми кг) в динамической эволюции модели скопления. На графиках Кх (г) также можно заметить многочисленные невысокие локальные максимумы, приводящие к появлению равноотстоящих друг от друга по кг на величину Акг локальных максимумов в спектрах колебаний Бх(г) (см. рис. к и Ы). Для моделей 2, 3, 5,
0.003
0.002
0.001
0.000
(a)
0.0024
0.0016
0.0008
0.0000
0.010 0.007 со 0.004 0.001
(С)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.007 ^ 0.005 ^ 0.003 0.001
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 kr
Рис. 1. Функции пространственной взаимной корреляции и спектры волновых чисел колебаний величин уг (а, с) и уг (Ь, d) в модели 1 РЗС при иаь = 6.
6 РЗС зависимости от r величин Kx(r) и Sx(r) мы не приводим, т.к. они имеют качественно такой же характер, как и на рис. 1. В таблице 1 для моделей 1—3, 5—6 РЗС приведены величины Rt Akr и значения kr = kin, соответствующие точке первого локального максимума на спектрах Sx (r) в серии таких максимумов, расположенных в области kr > kin; также в таблице 1 приведены использованные при получении спектров значения nst. Согласно таблице 1, Rt Akr ~ 1 для всех рассмотренных моделей РЗС и принятых значений X и nst = 6,30 (оценки параметров колебаний в таблице 1 приведены для тех значений nst, при которых выше локальные максимумы в спектрах Sx(r) и меньше погрешности определения параметров Rt Akr и kin). Отметим, что Rt Akr ~ 1 для тех же моделей 1—3, 5—6 РЗС, в которых наблюдаются равноотстоящие на Ak по волновому числу k локальные максимумы в спектрах колебаний величин v, см. [9]. Таким образом, если в спектрах волновых чисел колебаний величин v моделей РЗС наблюдаются периодические структуры с периодом Ak ~ R-1, то они наблюдаются и в спектрах колебаний величин vt и vr, модулей тангенциальной и радиальной составляющих поля скоростей v движения звезд в РЗС. Отсутствуют
такие периодические структуры лишь в спектрах волновых чисел колебаний значений г, г^, гг в наиболее плотной модели 4 РЗС (см. выше).
Рассмотрим колебания величин Y = Ур,Уг — модулей двух составляющих поля скоростей V движения звезд в моделях 1—3, 5—6 РЗС [6], наблюдаемых в направлении каждой из координатных осей в проекции на перпендикулярную этой оси координатную плоскость (п, С), (£,(), (£,п) соответственно. На рис. 2 приведены графики функций пространственной взаимной корреляции Ку(кр) и спектры Бу(кр) при Y = Ур,Уг для проекции модели 1 РЗС на плоскость (п,() при п^ = 6. Величины Ку(кр), Бу(кр), кр, р приведены на рис. 2 в (пк/млн лет)2, (пк3/(млн лет)2), пк_1, пк соответственно. Согласно рис. 2а, величины Ку (р) в среднем убывают с увеличением р как для Y = Ур, так и для Y = Уг (для этих значений Y зависимости Ку(р) помечены на рис. 2 буквами ^ и г соответственно). Таким образом, с увеличением р в этой проекции модели 1 пространственные корреляции между флуктуациями величин Y убывают. На графиках Ку (кр) также имеются и слабо заметные периодические составляющие, приводящие к появлению равноотстоящих друг от друга по кр на
0.009
0.007
^ 0.005
0.003
0.001
0.04
0.03 --
со
0.02 - =
0.01
(Ь)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
ЧР
Рис. 2. Функции пространственной взаимной корреляции (в) и спектры волновых чисел колебаний (Ь) величин Vм и Уг в модели 1 РЗС для плоскости (п, О при иаь = 6. Буквами ц и г на графиках помечены кривые, соответствующие
колебаниям величин Vи и Уг соответственно.
Таблица 1. Параметры волн колебаний модулей средних тангенциальных и радиальных скоростей движения звезд У и уг относительно центра масс скопления в моделях РЗС; N — номер модели скопления; п^ — число звезд, по которым вычисляются величины у и уг вблизи узловых точек на концентрических с центром скопления сферических поверхностях
N щ Уг
Кг Ак кт, ПК 1 Кг Ак кт,ПК 1
1 1.00 ±0.01 0.062 ±0.003 6 1.01 ±0.02 0.123 ±0.003 6
2 0.99 ±0.02 0.129 ±0.003 6 1.01 ±0.02 0.118 ±0.003 6
3 1.00 ±0.02 0.118 ±0.003 6 1.00 ±0.02 0.123 ±0.003 30
5 1.03 ±0.01 0.248 ±0.003 30 1.01 ±0.01 0.067 ±0.003 30
6 1.00 ±0.06 0.062 ±0.003 30 1.01 ±0.01 0.118 ±0.003 30
величину Акр локальных максимумов в спектрах колебаний Бу (кр) (см. рис. 2Ь). Зависимости от р величин Ку (кр) и Бу (кр) для проекций модели 1 на остальные две координатные плоскости (£, £), (£, п), а также для проекций моделей 2, 3, 5, 6 РЗС на три координатные плоскости мы не приводим, т.к. они имеют качественно такой же характер, как и на рис. 2.
В таблице 2 для моделей 1—3, 5—6 РЗС приве-
дены величины Акр и значения кр = кАт, соответствующие точке первого локального максимума
на спектрах Бу(кр) в серии таких максимумов, расположенных в области кр > крдп; также в таблице 2 приведены использованные при получении спектров значения п^. В случае моделей РЗС с малой степенью нестационарности для увеличения высоты локальных максимумов в спектрах и
увеличения точности оценок Акр использовались
Таблица 2. Параметры волн колебаний модулей средних скоростей звезд Ур и Уг в моделях РЗС; N — номер модели скопления; п^ — число звезд, по которым вычисляются величины Ур и Уг вблизи узловых точек на коаксиальных с осями (, п, С цилиндрических поверхностях в модели скопления
N к
Акр кР,[ п,пк 1 Акр кр,т, ПК 1
ы- плоскость
1 1.01 ±0.01 0.173 ±0.003 6 1.01 ±0.01 0.213 ±0.003 6
2 1.01 ±0.01 0.213 ±0.003 6 1.01 ±0.01 0.117 ±0.003 6
3 1.00 ±0.01 0.090 ±0.003 6 1.03 ±0.02 0.112 ±0.003 6
5 1.01 ±0.01 0.118 ±0.003 6 1.01 ±0.01 0.118 ±0.003 30
6 1.01 ±0.01 0.118 ±0.003 30 1.02 ±0.01 0.112 ±0.003 30
пло скость
1 1.01 ±0.01 0.118 ±0.003 6 1.01 ±0.02 0.022 ±0.003 6
2 1.01 ±0.02 0.118 ±0.003 6 1.00 ±0.03 0.129 ±0.003 6
3 1.01 ±0.02 0.112 ±0.003 6 1.00 ±0.04 0.168 ±0.003 6
5 1.00 ±0.01 0.129 ±0.003 30 1.02 ±0.01 0.112 ±0.003 30
6 1.01 ±0.01 0.168 ±0.003 30 1.01 ±0.03 0.168 ±0.003 30
м- плоскость
1 1.01 ±0.01 0.123 ±0.003 6 1.01 ±0.01 0.213 ±0.003 6
2 1.01 ±0.02 0.118 ±0.003 6 1.00 ±0.03 0.129 ±0.003 6
3 1.01 ±0.02 0.213 ±0.003 6 1.02 ±0.02 0.207 ±0.003 6
5 1.00 ±0.01 0.129 ±0.003 30 1.00 ±0.03 0.129 ±0.003 30
6 1.01 ±0.01 0.118 ±0.003 30 1.02 ±0.01 0.207 ±0.003 6
1.01 ±0.06 0.157 ±0.003 30
большие значения п^ (см. также [9]) или/и точки локальных максимумов в спектрах определялись по зависимости от р разности между спектром и спектром, сглаженным с помощью метода локальной взвешенной регрессии [16]. Названия координатных плоскостей, на которые спроецированы модели РЗС, приведены в таблице 2 отдельными строками. Согласно таблице 2, для всех рассмотренных здесь моделей РЗС и их проекций на координатные плоскости величины ^ Акр ~ 1. Таким образом, если в спектрах волновых чисел колебаний величин г моделей РЗС наблюдаются периодические структуры с периодом Ак ~ Е- 1,то они наблюдаются и в спектрах колебаний величин Ур и Уг независимо от направления, с которого эти модели скоплений рассматриваются. Малые значения крдп для всех рассмотренных вариантов
описания моделей РЗС (см. таблицу 2) указывают на большие длины волн АР;;п = к-1п и, чаще всего, на большую мощность соответствующих крдп колебаний, что делает значительной их роль как в динамике моделей РЗС, так и при оценках приливных радиусов наблюдаемых РЗС по данным о собственных движениях и лучевых скоростях звезд-членов скоплений. Отметим, что для определения величин могут быть независимо использованы как собственные движения звезд, так и их лучевые скорости. Как и в работе [9], на всех рассмотренных нами спектрах наиболее высокие локальные максимумы наблюдаются при малых, чаще всего равных нулю, значениях волновых чисел (см., например, рис. 1 и 2), что соответствует колебаниям в скоплении, близким к гомологическим (в этом случае колебания составляющих поля скоростей на
Таблица 3. Параметры волн колебаний модулей средних скоростей звезд Уг и Ур в моделях РЗС; N — номер модели скопления; п^ — число звезд, по которым вычисляются величины Уг и Ур вблизи узловых точек на коаксиальных с осями (, п, С цилиндрических поверхностях в модели скопления
N 14
Акр кР,[ п,пк 1 Акр кр,т, пк 1
ы- плоскость
1 1.04 ±0.02 0.050 ±0.003 6 1 04 ±0.03 0.162 ±0.003 6
2 1.03 ±0.04 0.363 ±0.003 6 1 01 ±0.01 0.112 ±0.003 6
3 1.01 ±0.01 0.353 ±0.003 6 1 02 ±0.01 0.112 ±0.003 30
5 1.01 ±0.02 0.213 ±0.003 30 1 02 ±0.02 0.162 ±0.003 30
6 1.01 ±0.02 0.168 ±0.003 30 1 01 ±0.01 0.112 ±0.003 30
пло скость
1 1.02 ±0.01 0.112 ±0.003 6 1 01 ±0.02 0.106 ±0.003 6
2 1.00 ±0.02 0.168 ±0.003 6 1 01 ±0.01 0.118 ±0.003 6
3 1.01 ±0.01 0.174 ±0.003 6 1 01 ±0.01 0.118 ±0.003 6
5 1.02 ±0.03 0.146 ±0.003 30 1 00 ±0.03 0.123 ±0.003 30
6 1.00 ±0.03 0.129 ±0.003 30 1 00 ±0.03 0.173 ±0.003 30
м- плоскость
1 1.05 ±0.04 0.140 ±0.003 6 1 02 ±0.01 0.118 ±0.003 6
2 1.00 ±0.03 0.123 ±0.003 6 1 01 ±0.01 0.118 ±0.003 6
3 1.01 ±0.01 0.123 ±0.003 6 1 02 ±0.01 0.118 ±0.003 6
5 1.01 ±0.01 0.123 ±0.003 30 1 01 ±0.02 0.112 ±0.003 30
6 1.03 ±0.02 0.000 ±0.003 30 1 00 ±0.01 0.00 ±0.003 30
разных расстояниях от центра происходят в одинаковой фазе). Мощность таких колебаний велика, их вклад в среднюю мощность колебаний значителен.
Исследование колебаний величин У = Уь,Ур в моделях 1—3, 5—6 РЗС, аналогичное исследованию, выполненному здесь для величин Ур, также приводит к соотношениям Акр ~ 1, связанным с наличием периодических структур с периодом Акр в спектрах Бу(кр), см. таблицу 3. Таким образом, если периодические структуры с периодом Акр наблюдаются в спектрах колебаний величин Ур, то они наблюдаются и в спектрах колебаний величин У,Ур. Полученные по У и Ур оценки величин Акр в равной степени характеризуют величину Кь.
Совпадение оценок Акг и Акр для колебаний величин уг и Ур, Уг делает возможным отказ от депроецирования полученных из наблюдений скоростей звезд при оценках полных масс и приливных
радиусов скоплений (см., например, переход от наблюдаемых дисперсий скоростей звезд к дисперсиям скоростей в сферической модели скопления М35 в [4]).
4. ДАННЫЕ О СОБСТВЕННЫХ движениях ЗВЕЗД-ВЕРОЯТНЫХ ЧЛЕНОВ РЗС ПЛЕЯДЫ, ЯСЛИ И М67
В настоящее время собственные движения являются важным доступным источником пространственно-кинематической информации для анализа поля скоростей звезд РЗС на основе наблюдательных данных. Оценки лучевых скоростей звезд даже для хорошо изученных близких к Солнцу РЗС малочисленны, относятся только области ядер скоплений и не несут информации о поле скоростей движения звезд во всем объеме скопления. Кроме того, среди звезд с измеренными
лучевыми скоростями могут встречаться неразрешенные двойные, искажающие кинематическую информацию. Между тем, собственные движения звезд для широких окрестностей этих РЗС определялись неоднократно (см., например, работы [1, 2, 19], а также ссылки в них и в [20]). Это дает возможность, объединяя существующие каталоги, получить объемную выборку собственных движений хорошей точности. Методика сведения каталогов подробно рассмотрена в работе [21]. Данные о собственных движениях слабых звезд из каталога PPMXL [22] были введены в выборки собственных движений звезд—членов скоплений [23-25], что позволило несколько увеличить число слабых звезд-членов скоплений в используемых выборках. Члены этих скоплений выделялись с помощью диаграмм «компонента собственного движения— видимая звездная величина» и уточнялись проверкой принадлежности звезд основным последовательностям на фотометрических диаграммах («показатель цвета—звездная величина» и двухцветные диаграммы: (и — в )-(в — V), — н )-(н —
— к)).
Создание используемого нами сводного каталога собственных движений членов скопления Плеяды описано в работе [23]. После добавления в сводный каталог собственных движений звезд из каталога PPMXL и перерасчета средних значений компонент собственных движений были выделены 344 члена скопления (со звездными величинами ту < 17т 1). Полученный в работе [23] каталог является приблизительно полным до абсолютной звездной величины Му — +11т. Наибольшее расстояние р звезд—членов скопления от его центра составляет ртах — 5.7 пк, что в угловых градусах соответствует р — 2° 2. Нами была принята оценка расстояния до скопления: Ес1 = 147 ± 11 пк (модуль расстояния до скопления (ту — Му)о = 5.84 ± 0.16 [24]). Средние значения ошибок компонент собственного движения членов скопления соответственно равны 1.07 и 1.33 мсдгод-1 для движений по прямому восхождению и склонению, что соответствует линейным скоростям 0.75 и 0.93 км с-1 на принятом расстоянии скопления от Солнца (наиболее вероятная погрешность собственных движений для этих звезд составляет примерно 1 мсдгод-1). Здесь и далее расстояния до скоплений взяты из текущей версии «Однородного каталога параметров рассеянных скоплений» [24].
В работе [25] описано создание сводного каталога собственных движений членов скопления М67 (NGC2682). После добавления в него собственных движений из каталога PPMXL и перерасчета средних значений компонент собственных движений были выделены 427 звезд-членов скопления с ту < 15т5. Каталог чле-
нов практически полон до абсолютной звездной величины, приблизительно равной Му = +7™5. Нами использовалась оценка расстояния до скопления Ес1 = 908.7 ± 19.3 пк (модуль расстояния до скопления (ту — Му)о = 9.792 ± 0.046 [24]). Наибольшее расстояние звезд—членов скопления от его центра составляет ртах — 15.2 пк, что соответствует ртах — 0 ° 96. Средние значения ошибок компонент собственного движения звезд-членов скопления равны 0.63 и 1.33 мсдгод-1 для движений по прямому восхождению и склонению, что соответствует линейной скорости 2.7 км с-1 на принятом расстоянии скопления от Солнца (наиболее вероятная погрешность собственных движений для этих звезд составляет приблизительно 0.5 мсдгод-1).
Создание используемого нами сводного каталога для скопления Ясли ранее не описывалось. В качестве источников использовались глобальные каталоги AGK-3, FONAC, ТусИо-2, иСАС, PPMXL и ШррагсоБ [26], а также работы [27-31]. По имеющимся данным выделены 265 членов скопления с ту < 15 ™09. Каталог членов практически полон до абсолютной звездной величины, приблизительно равной Му = +9т. Нами использовалась оценка расстояния до скопления Ес1 = 187 ± 9 пк (модуль расстояния до скопления (ту — Му)о = 6.36 ± 0.10 [24]). Наибольшее расстояние звезд-членов скопления от его центра составляет ртах — 7.8 пк, что соответствует р — 2°.4. Средние значения ошибок компонент собственного движения членов скопления равны соответственно 1.21 и 0.95 мсдгод-1 для движений по прямому восхождению и склонению, что соответствует линейным скоростям 1.0 и 0.8 км с-1 на принятом расстоянии скопления от Солнца. Наиболее вероятная погрешность собственных движений для этих звезд составляет примерно 1 мсдгод
1
5. КОЛЕБАНИЯ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ ЗВЕЗД В РЗС ПЛЕЯДЫ, ЯСЛИ И М67
Для оценок величины и полной массы скопления Плеяды по спектрам колебаний величин Vp и VI звезд мы использовали данные о собственных движениях 344 звезд-членов скопления, см. выше. Расстояние Солнца от центра Галактики принято равным = 8500 пк [32]. Расстояние Плеяд от центра Галактики получено равным Ео = 8653 ± 860 пк (здесь учитываются погрешности и Ес1, для величины погрешность принята равной 0.1Ео), см. разброс данных для Е0 в таблицах 2 и 3 и рис. 1 из [33]).
Графики зависимостей от р величин Vt(р) и Vp(р) поля скоростей звезд скопления Плеяды приведены на рис. 3а и 3Ь. Величины Vt(р) и Vp(р) приведены в км с-1, величина р — в парсеках. Для каждого
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2
I (Ь)
0.04 0.02 0.00 -0.02
Рис.3. Зависимости Уг, Ур, и К,ур от р для РЗС Плеяды при иаь =6.
значения р величины У.(р) и Vp(р) вычислялись согласно методике, описанной в разделе 2 нашей статьи для функции видимой плотности Г(р). При построении поля скоростей звезд использовались величины VI и Vp для п^ = 6 звезд в каждой из окрестностей 360 узловых точек, выбранных с шагом Ар = 1° по углу р относительно центра скопления в картинной плоскости. Вертикальными барами на рис. 3а и 3Ь показаны погрешности величин Уъ(р) и Vp(р) поля скоростей, обусловленные погрешностями усреднений величин V и Vp отдельных звезд по п^ звездам, ближайшим к каждой узловой точке, и по 360 узловым точкам, а также погрешностями координат звезд (ха,у&) в системе, связанной с центром скопления, и собственных движений звезд (здесь (а, 5) — экваториальные координаты звезд, (ха,у^) — прямоугольные координаты звезд с началом в центре скопления, возрастающие в направлении увеличения координат а и 5). Если не учитывать погрешности координат и скоростей звезд, то характерные погрешности величин Vt(р) и Vp(р) для
Плеяд составляют лишь 0.015-0.020 км с-1. Учет в вычислениях погрешностей координат (ха,у$) приводит к характерным погрешностям в Vt(р) и Vp(р), равным 0.039-0.041 км с-1. Учет в вычис-
лениях погрешностей величин ха,у^ и звезд
приводит к характерным погрешностям в Уг(р) и Vp(р), равным 0.069-0.071 км с-1, см. рис. 3а и 3Ь. Таким образом, наибольший вклад в погрешности величин У.(р) и Vp(р) вносят погрешности величин звезд; приблизительно в 1.6 раз меньший вклад вносят погрешности величин ха,у^ звезд, определяемые в значительной степени погрешностями нахождения центра скопления в картинной плоскости. Отметим, что изменения п^ в интервале от 4 до 10 лишь очень слабо влияют на форму кривых У.(р) и Vp(р) и практически не меняют погрешности величин VI(р) и Vp(р).
Зависимость V(р) на рис. 3а легко представить в виде суммы двух составляющих — возрастающей и периодической с возрастающим периодом и убывающей амплитудой при увеличении р. В среднем, по достаточно большому числу точек, на рис. 3а величина Уг(р) возрастает с увеличением р, что указывает на увеличение тангенциальных скоростей движения звезд в картинной плоскости с расстоянием от центра скопления. Зависимость Vp(р) на рис. 3Ь показывает наименьшие значения Vp(р) на расстояниях 2.5 пк от центра скопления. Вероятно, в интервале значений р от 0.5 до 3
0.3
0.2
0.1
0.0
-0.1
(а)
J_I_I_I_I_I_I_I_I
-0.1
-0.2
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
кр кр
Рис. 4. Спектры волновых чисел колебаний значений У (а) и Ур (Ь) в их зависимостях от р для РЗС Плеяды при иаь = 6.
пк на зависимости Ур(р) также можно выделить периодические колебания.
Графики функций КУг (р) и Кур (р) для скопления Плеяды приведены на рис. 3с и 3^ Величины р, Ку (р) при У = Уь, Ур на рис. 3 приведены в пк и (км с-1)2 соответственно. Согласно рис. 3с и 3^ погрешности средних значений Ку (р) весьма велики, что указывает на необходимость значительного (на порядок и более) увеличения точности в определении скоростей движения звезд и положения центра скопления в картинной плоскости даже для близких РЗС. Если ориентироваться только на средние значения КУг (р), как на наиболее вероятные (или близкие к ним), то на рис. 3а заметны периодические колебания, которые легко выделяются в рамках Фурье-анализа, см. спектр Буг (кр) на рис. 4а. Отметим, что и погрешности величин КУг (р) также содержат периодическую составляющую, что также хорошо заметно на рис. 4а по положениям локальных максимумов для баров погрешностей. Несмотря на то, что периодичности мало заметны на зависимостях от р средних величин Кур (р), соответствующие им локальные максимумы на спектре Бур (кр) также присутствуют. Отметим, что погрешности спектров Бу(кр) на рис. 4 весьма велики. Согласно [34], центр линии спектра мощности (точка локального максимума на спектре в наших терминах и
обозначениях) является максимально правдоподобной оценкой частоты исследуемых колебаний и это статистически эквивалентно аппроксимации функций Ку (р) синусоидой по методу наименьших квадратов при наличии «шума» (погрешностей) в исследуемых данных (о поле скоростей звезд и об автокорреляционных функциях Ку(р)). По численным данным для спектров Бу(кр), представленных на рис. 4, обнаруживаются группы невысоких равноотстоящих по кр соседних локальных максимумов, которые были использованы для определения величин Акр отдельно для колебаний величин Уь(р) и Ур(р) в скоплении. Среднее по этим двум оценкам значение Акр использовалось для оценки приливного радиуса скопления Еь. Согласно оценкам раздела 3, для Плеяд находим: Еь = Ак-1 = (9.5 ± 0.5) пк (указанная здесь погрешность обусловлена лишь погрешностями оценок Акр для средних наиболее вероятных значений Бу (кр)). Этой оценке соответствует полная масса скопления Плеяды Мс\ = 330 ± 55 Мс^ (для РЗС с плоскими круговыми орбитами относительно центра Галактики Еь = (—СМс<\/а1 )1/3, а1 = —4А(А — В) [1-3], где А и В — постоянные Оорта (параметры галактического вращения); величина а1 определялась с использованием модели потенциала Галактики [10] и расстояния Ео скопления Плеяды от центра Галактики, см. выше).
Величину Етах для скопления Плеяды мы при-
Таблица 4. Оценки величин К, Ни, г2, а 1 и аз для трех РЗС
РЗС И, пк Ни, пк г2, пк2 «1, (млн лет)-2 аз, (млн лет)-2
Плеяды 3.67 ±0.12 2.43 ±0.11 15.10 ± 1.21 -0.001756 ± 0.000349 0.00702 ± 0.00149
Ясли 3.38 ± 0.18 1.95 ± 0.12 15.01 ± 1.65 -0.001743 ± 0.000344 0.00697 ± 0.00148
М67 5.01 ±0.15 2.96 ±0.12 42.00 ±3.40 -0.001498 ± 0.000286 0.00592 ± 0.00121
няли равной Етах = 9 пк. При вычислении приливных радиусов для всех рассмотренных РЗС мы использовали условие ртах < Етах, т.к. величина Етах ограничивает сверху наибольшие длины волн негомологичных колебаний, возможные в скоплении. Однако, величина Етах/ртах не должна быть слишком большой, т.к. при увеличении Етах/ртах в спектрах Бу (кр) убывают высоты локальных максимумов (по отношению к «непрерывному» спектру в Бу (кр)), используемых для оценок величин Акр, и точность оценки Еь снижается (здесь высота «непрерывного» спектра в окрестности локальных максимумов Бу(кр) определяется высотой ближайших к этим максимумам локальных минимумов). Для получения более точной оценки Еь необходимы измерения величин /ла, звезд-членов скопления до больших расстояний от его центра, в несколько раз (желательно в 3-4 раза) превосходящих средний радиус скопления (см. оценки величин Кп Кив таблице 4).
Отметим, что для скопления Плеяды в работе [1 ] была получена оценка полной массы 800 М© (с использованием функции масс звезд с массами, большими 0.1 М©). В этом случае соотношение
Еь ~ М1/3, см. выше, приводит к оценке величины Еь = 13.1 пк [1]. На наш взгляд, такие оценки величин Мс1 и Еь для скопления Плеяды могут быть завышенными, т.к. не все звезды, рассматриваемые в [1] как вероятные члены этого скопления, действительно являются членами скопления. Используемый в [1] критерий отбора звезд-членов скопления по их собственным движениям (вероятность членства р > 0.3) означает, что до 70% выбранных в [1] звезд могут не быть членами скопления. В этом случае оценка полной массы скопления Плеяды [1 ] может быть уменьшена до 240 М©. Отметим также, что близость величин собственных движений звезд и центра масс скопления не является достаточным условием принадлежности этих звезд к скоплению или условием их гравитационной связанности со скоплением. Достаточные условия гравитационной связанности звезд со скоплением рассматривались в работах [35, 36].
Для оценок величины Еь и полной массы скопления Ясли по спектрам колебаний величин Vp и VI звезд мы использовали данные о собственных
движениях 265 звезд-членов скопления, см. выше. Расстояние скопления Ясли от центра Галактики получено равным Ео = 8669 ± 858 пк (с учетом погрешностей величин Е© и Ес1). Зависимости от р величин VI(р) и Vp(р) для скопления Ясли приведены на рис. 5а и 5Ь. Согласно рис. 5а, в центре скопления (в области значений р < 0.5-1.0 пк) наблюдаются большие тангенциальные скорости движения звезд ^(р), которые быстро убывают (в два раза и более) с увеличением р и достигают минимальных значений вблизи р — 1.5 пк. С увеличением р в области значений р от 1.5 пк до 6-7 пк величины Vt(р) и Vp(р) в среднем возрастают, см. рис. 5а и 5Ь, что, вероятно, связано с приливным «нагревом» внешних областей скопления силовым полем Галактики. Вычисления, аналогичные выполненным для Плеяд, приводят к следующей оценке величины Еь для скопления Ясли: Еь = 9.3 ± 0.9 пк (по спектрам колебаний величин Vp, VI при Етах = 10 пк). Этой оценке соответствует полная масса Мс1 = 306 ± 85 М©.
Для скопления Ясли в работе [2] была получена оценка полной массы порядка 600 М© (с использованием функции масс звезд с массами, большими 0.1 М©). Согласно [2], такое значение полной массы скопления приводит к оценке величины Еь — 12 пк (при отборе звезд-членов скопления по их собственным движениям в работе [2] использовалась вероятность членства звезд в скоплении р > 0.2). На наш взгляд, такие оценки величин Мс1 и Еь для скопления Ясли в работе [2] могут быть завышенными по причинам, отмеченным выше для скопления Плеяды.
Для оценок величины Еь и полной массы скопления М67 по спектрам колебаний величин Vp и VI звезд мы использовали данные о собственных движениях 427 звезд-членов скопления, см выше. Расстояние скопления М 67 от центра Галактики получено равным Ео = 9253 ± 864 пк (с учетом погрешностей величин Е© и Еа). Зависимости от р величин У1(р) и Vp(р) для скопления М67 приведены на рис. 5с и 5^ Согласно рис. 5с, величина VI(р) в среднем возрастает с увеличением р при р % 8 пк, что указывает на увеличение тангенциальных скоростей движения звезд скопления в картинной плоскости с увеличением р. Зависимость
1.10 0.95 ^ 0.80 0.65 0.50
12
16
Р Р
Рис. 5. Зависимости Vt, Vp от р для РЗС Ясли (a, b) и M 67 (c, d) при nst = 6.
Vt(p) при p < 10 пк можно представить в виде суммы возрастающей и периодической зависимостей от p, что указывает на возможность существования волн в поле скоростей движения звезд этого скопления. Согласно рис. 5d, величина Vp(p) при p ^ 6 пк может быть приближенно представлена синусоидой, а при p > 4 пк — возрастающей зависимостью от p. По спектрам колебаний величин Vp, Vt при Rmax = 20 пк нами получена следующая оценка для приливного радиуса скопления М67: Rt = 15.4 ± 1.2 пк. Ей соответствует полная масса Mci = 1206 ± 235 Mq.
В литературе опубликованы различные оценки полной массы скопления М 67, полученные согласно имеющимся наблюдательным данным о функциях светимости и масс звезд этого скопления: -800 Mq [37], -1000 Mq [38], -2500 Mq [39], —2000 Mq [40]. Полученная нами величина полной массы этого скопления вполне согласуется с ее оценками в работах [38, 40].
Отметим, что присутствие волн колебаний поля скоростей в рассмотренных нами спектрах колебаний РЗС — важный индикатор динамического состояния таких систем, указывающий на их нестационарность в поле регулярных сил. В связи с тем, что
= + Ур, дополнительным указанием на
нестационарность рассмотренных РЗС в регулярном поле может быть возрастание величин Уь и/или Ур с расстоянием р от центров этих скоплений при достаточно больших значениях р — ртах. Согласно [41], дисперсии скоростей движения звезд в моделях 1, 2 РЗС из [6] (с наибольшими степенью нестационарности в регулярном поле и скоростью динамической эволюции) возрастают с удалением от центров масс этих моделей.
Видимые плотности Г(р) числа звезд в рассмотренных нами РЗС определялись по указанной в разделе 2 методике, соответствующие зависимости от р величин Г(р) приведены на рис. 6 в единицах пк-2; сглаженные зависимости Г(р) приведены на рис. 6 пунктиром. В скоплениях Плеяды и Ясли (рис. 6а и 6Ь) хорошо заметны промежуточные (между ядром и гало) зоны повышенной плотности с невысокими локальными максимумами, возможно связанными с радиальными волнами плотности в этих скоплениях (подобные волны плотности давно описаны в рассеянных и шаровых звездных скоплениях, см., например, [17], стр. 319-320). Для перехода от видимых плотностей числа звезд к пространственным f (г) мы использовали предпо-
0
6
9
Р
Р
0
4
8
60
40
ср
20
(а)
Р
70
60
50
40
чСР
30
20
10
(Ь)
30
20
10
р
(С)
12 16
р
Рис. 6. Зависимости видимых плотностей числа звезд Е(р) от расстояния р до центров РЗС Плеяды (а), Ясли(Ь), М 67 (с) при иаь = 6.
ложение о сферичности скоплений (см. раздел 2). Полученные численно функции / (г) позволяют
сделать оценку параметров К, Ки и г2 рассмотренных скоплений, что необходимо для оценки динамических масс РЗС по формулам (2) и (3). Средние величины параметров К, Ки и г2 и стандартные отклонения от среднего по шести наборам координат N звезд для трех РЗС приведены в таблице 4. Величины а1 и а3 в таблице 4 получены с использованием модели потенциала Галактики [ 10].
Оценка дисперсии скоростей звезд а2 для скопления Плеяды по 330 звездам с наименьшими погрешностями в собственных движениях приводит к величине а2 = 0.41 ± 0.30 км с-1. Тогда, согласно (2), вириальная масса Му\г = 994 ± 720 М© в случае изолированного скопления (а1 = а2 = 0) и Му1Г = 951 ± 774 М© для неизолированного. Для нестационарного неизолированного скопления оценка его динамической массы получена равной М^ = 387 ± 286 М©. Этим оценкам динамической массы Плеяд соответствуют оценки приливных радиусов: Еь = 13.7 ± 3.3 пк, Еь = 13.5 ± 3.7 пк и Еь = 10.0 ± 2.5 пк соответственно. Оценка Еь = 10.0 ± 2.5 пк вполне согласуется с оценкой Еь, полученной по спектрам колебаний величин Vp, VI, см. выше. К сожалению, погрешности величин а2 для скоплений Ясли и М 67 слишком велики,
что не позволяет использовать формулы (2) и (3) для оценок динамических масс этих скоплений. Поэтому использование спектров колебаний поля скоростей звезд скоплений для оценок динамических масс РЗС можно считать предпочтительным (как менее чувствительный к погрешностям наблюдательных данных о скоростях звезд метод оценок полных масс и приливных радиусов РЗС).
Сравнение средних значений оценок вириаль-ной массы Му^г и величины М^ скопления Плеяды также указывает на его нестационарность в поле регулярных сил (Му^ > М^; к такому же соотношению масс вириализованного и нестационарного неизолированного скопления приводят оценки [42, 43], полученные по данным о структуре 87 РЗС без использования информации о скоростях движения звезд в этих скоплениях; согласно [42, 43], отношение Му\г/М& для этих скоплений может достигать значений 1.7-1.9).
Отметим, что средние модули скоростей движения звезд в шаровых скоплениях (ШС) значительно больше, чем в РЗС. Поэтому относительные погрешности лучевых скоростей звезд ШС заметно меньше, чем для звезд РЗС. Например, в ШС 47 Тис погрешности ауг среднеквадратичных лучевых скоростей Vr на расстоянии р — 20 пк от центра скопления составляют 7-11% от Vr, а на расстоянии р — 1.5-2.5 пк от центра скопления —
0
0
0
0
4
8
всего 4-5% от Уг, см. рис. 1 из [44]. Поэтому вполне может представлять интерес и быть полезной оценка параметров ШС по спектрам колебаний поля лучевых скоростей звезд ШС. Плотности на периферии ШС достаточно малы (как и в РЗС), а прохождения таких скоплений через перигалактий значительно возмущают движение звезд на периферии ШС, формируют радиальные волны плотности в промежуточных по плотности зонах этих скоплений [17]. Вероятно, такой же подход может быть полезным и при использовании кривых вращения галактик для оценок параметров галактик, входящих в группы или скопления галактик. В этом случае может быть полезным даже нахождение параметров волн (длина волны, мощность колебаний), связанных со спиральными рукавами или вращением баров галактик.
6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
(1) В работе выполнен корреляционный и спектральный анализ колебаний модулей составляющих поля скоростей звезд в пяти моделях РЗС и в трех скоплениях звезд (Плеяды, Ясли и М67). Вычислены пространственные взаимные корреляционные функции для флуктуаций модулей компонент поля скоростей звезд, а также спектры волновых чисел колебаний модулей компонент поля скоростей в этих скоплениях и моделях РЗС. Для вычисления спектров использовалось пространственное Фурье-преобразование взаимных корреляционных функций при нулевом сдвиге по времени.
(2) Обнаружены повторяющиеся с равным шагом по волновому числу к колебания модулей компонент поля скоростей звезд в моделях 1 -3, 5-6 скоплений (такие колебания отсутствуют в наиболее плотной 4-й модели скопления). Определены точки первого локального максимума в серии равноотстоящих по к точек локальных максимумов в спектрах колебаний модулей компонент поля скоростей звезд (таблицы 1 -3). Для каждой из моделей 1-3, 5-6 РЗС получено одинаковое соотношение, Еt Ак ~ 1, между приливным радиусом скопления Еt и разностью Ак волновых чисел соседних точек локальных максимумов в спектрах колебаний модулей составляющих поля скоростей независимо от направления, вдоль которого наблюдается скопление, а также независимо от числа компонент поля скоростей, используемых для оценок величины Ак. Это соотношение использовалось для оценки приливных радиусов Еt и полных масс Mc\ РЗС Плеяды, Ясли и М 67 по данным о собственных движениях звезд-членов этих скоплений и данным о координатах этих звезд в картинной плоскости. Полученные таким методом оценки величин Еt и Mc\ РЗС Плеяды (Кь = 9.5 ± 0.5 пк, Mc\ = 330 ± 55 MQ), Ясли (Кь = 9.3 ± 0.9 пк, MC\ = 306 ± 85 M0) и М67
(К = 15.4 ± 1.2 пк, MC\ = 1206 ± 235 M0) вполне согласуются с оценками этих величин в работах [1,2,38,40] (после необходимого уточнения чисел звезд-членов скоплений Плеяды и Ясли в работах [1, 2], см. выше).
(3) Выполнена оценка величин Еь и полной массы Md РЗС Плеяды по данным о дисперсии скоростей звезд, учитывающая влияние внешнего поля и нестационарность скопления (Еь = 10.0 ± 2.5 пк, Md = 387 ± 286 M0)). Такая оценка Md вполне согласуется с величиной Mc\ для этого скопления, полученной по спектрам колебаний величин У и Ур — модулей тангенциальной и радиальной компонент поля скоростей движения звезд скопления в картинной плоскости. Однако, погрешности собственных движений звезд уже сильно влияют на точность оценки величины Md для скопления Плеяды и приводят к завышению оценок Md в сравнении с оценками Mc\ по функциям светимости и масс звезд для скоплений Ясли и М67.
(4) Для РЗС Плеяды, Ясли и М67 построены зависимости величин У и Ур от расстояния до центра скопления в картинной плоскости. Одна или две из величин У и Ур в рассмотренных РЗС в среднем возрастают с увеличением расстояния р от центра скопления (при р < ртах, см. выше). На зависимостях от р одной или двух из величин У и Ур можно выделить периодические колебания, выходящие по амплитуде за пределы погрешностей величин У и Ур. Увеличение У и/или Ур с расстоянием р, а также присутствие волн колебаний поля скоростей в спектрах колебаний трех рассмотренных РЗС указывает на нестационарность этих скоплений в поле регулярных сил. К такому же выводу в отношении скопления Плеяды приводит и сравнение средних значений оценок вириальной массы Mvir этого скопления и величины Md (MVir > Md, см. выше). При определении полных масс и приливных радиусов РЗС необходимо использовать все возможные способы оценки этих величин. Сравнение этих оценок между собой позволяет уточнить значения полных масс и приливных радиусов РЗС и дает дополнительную информацию о динамическом состоянии рассматриваемых звездных скоплений.
(5) Низкая точность данных о скоростях движения звезд в РЗС является основным препятствием для получения достаточно точных оценок динамических параметров таких скоплений. Даже для близких РЗС необходимо увеличение точности используемых собственных движений звезд на порядок величины и более. Для получения достаточно точной оценки Еь скопления необходимы измерения собственных движений звезд до расстояний от его центра в 3-4 раза больших среднего радиуса скопления. Независимость оценок величины Ак от числа компонент поля скоростей, используемых
для нахождения параметров модели РЗС, позволяет отказаться от депроецирования полученных из наблюдений скоростей звезд при оценках полных масс и приливных радиусов скоплений, а также от использования предположений о сферичности скопления и др. при переходе от наблюдаемых (полученных по собственным движениям звезд) дисперсий двухмерных скоростей звезд к дисперсиям скоростей в трехмерной модели скопления. Представляется возможной оценка параметров ШС по спектрам колебаний поля лучевых скоростей звезд ШС, а также оценка параметров галактик, входящих в группы или скопления галактик, по спектрам колебаний, полученным при использовании кривых вращения галактик.
БЛАГОДАРНОСТИ
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (базовая часть госзадания, номер государственной регистрации 01201465056).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. J. D. Adams, J. R. Stauffer, D. G. Monet, et al., Astron. J. 121,2053(2001).
2. J. D. Adams, J. R. Stauffer, M. F. Skrutskie, et al., Astron. J. 124,1570(2002).
3. I. King, Astron. J. 67, 471 (1962).
4. P. J. T. Leonard and D. Merritt, Astrophys. J. 339, 195(1989).
5. V. M. Danilov and A. F. Seleznev, Astron. Astrophys. Trans., 6,85(1994).
6. V. M. Danilov and L. V. Dorogavtseva, Astronomy Reports 52,467(2008).
7. V. M. Danilov and S. I. Putkov, Astrophysical Bulletin 68, 154 (2013).
8. V. M. Danilov and S. I. Putkov, Astrophysical Bulletin 69,27(2014).
9. V. M. Danilov and S. I. Putkov, Astrophysical Bulletin 70,71 (2015).
10. S. A. Kutuzov, L. P. Osipkov, Sov. Astron. 24, 17 (1980).
11. V. M. Danilov, Astronomy Reports 54, 514 (2010).
12. Г. Корн, Т. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, (Наука, Москва, 1968).
13. М. Бернар, Ж. Бриффо, Ж. Бюссак и др., в Диагностика плазмы, Ред. С. Ю. Лукьянов, (Атомиз-дат, Москва, 1973), вып. 3, с. 449.
14. Я. Ф. Волков, В. Г.Дятлов, Р. И. Митина,Диагностика турбулентной плазмы (Наукова думка, Киев, 1983).
15. Т. Андерсон, Статистический анализ временных рядов (Мир, Москва, 1976).
16. W. S. Cleveland, and S. J Devlin, J. American Statistical Association 83, 596 (1988).
17. П. Н. Холопов, Звездные скопления (Наука, Москва, 1981).
18. И. М. Соболь, Метод Монте-Карло (Наука, Москва, 1985).
19. H. Bouy, E. Bertin, E. Moraux, et al., Astron. and Astrophys. 554, A101 (2013).
20. S. Madsen, D. Dravins, and L. Lindegren, Astron. and Astrophys. 381,446(2002).
21. A. Loktin, Astron. Astrophys. Trans. 23, 61 (2004).
22. S. Roeser, M. Demleitner, and E. Schilbach, Astron. J. 139, 2440 (2010).
23. A. V. Loktin, Astronomy Reports 50, 714 (2006).
24. A. V. Loktin, T. P. Gerasimenko, and L. Malysheva, Astron. Astrophys. Trans. 20, 607 (2001).
25. A. V. Loktin, Astronomy Reports 49, 693 (2005).
26. F. van Leeuwen, Astron. and Astrophys. 500, 505 (2009).
27. Н. Артюхина, Труды ГАИШ 34, 181 (1966).
28. B. F. Jones and K. Cudworth, Astron. J. 88, 215 (1983).
29. W. J. Klein-Wassink, Publ. Kapteyn Astron. Lab. Groningen, No. 41 (1927).
30. P. C. Chaudhuri, Monthly Notices Royal Astron. Soc. 100,378(1940).
31. I. Barney, Trans. Astron. Obs. Yale Univ., Vol. 25 (1954).
32. F. J. Kerrand D. Lynden-Bell, Monthly Notices Royal Astron. Soc. 221, 1023(1986).
33. 1.1. Nikiforov, ASP Conf. Ser. 316, 199(2004).
34. A. Schwarzenberg-Cherny, Monthly Notices Royal Astron. Soc. 253, 198(1991).
35. D. J. Ross, A. Mennim, and D. C. Heggie, Monthly Notices Royal Astron. Soc. 284, 811 (1997).
36. V. M. Danilov, S. I. Putkov, and A. F. Seleznev, Astronomy Reports 58,906(2014).
37. K. A. Montgomery, L. A. Marschall, and K. A. Janes, Astron. J. 106,181 (1993).
38. X. Fan, D. Burstein, J.-S. Chen, etal., Astron. J. 112, 628(1996).
39. J. R. Hurley, C. A. Tout, S. J. Aarseth, and O. R. Pols, Monthly Notices Royal Astron. Soc. 323, 630 (2001).
40. J. R. Hurley, O. R. Pols, S. J. Aarseth, and C. A. Tout, Monthly Notices Royal Astron. Soc. 363,293 (2005).
41. V. M. Danilov, Astronomy Reports 55, 473 (2011).
42. V. M. Danilov and S. I. Putkov, Astronomy Reports 56, 609(2012).
43. V. M. Danilov and S. I. Putkov, VizieR Online Data Catalog, 80890674.
44. M. Giersz and D. C. Heggie, Monthly Notices Royal Astron. Soc. 410,2698(2011).
Tidal Radius Estimates for Three Open Clusters V. M. Danilov and A. V. Loktin
A new method is developed for estimating tidal radii and masses of open star clusters (OCL) based on the sky-plane coordinates and proper motions and/or radial velocities of cluster member stars. To this end, we perform the correlation and spectral analysis of oscillations of absolute values of stellar velocity components relative to the cluster mass center along three coordinate planes and along each coordinate axis in five OCL models. Mutual correlation functions for fluctuations of absolute values of velocity field components are computed. The spatial Fourier transform of the mutual correlation functions in the case of zero time offset is used to compute wavenumber spectra of oscillations of absolute values of stellar velocity components. The oscillation spectra of these quantities contain series of local maxima at equidistant wavenumber k values. The ratio of the tidal radius of the cluster to the wavenumber difference Ak of adjacent local maxima in the oscillation spectra of absolute values of velocity field components is found to be the same for all five OCL models. This ratio is used to estimate the tidal radii and masses of the Pleiades, Praesepe, and M 67 based on the proper motions and sky-plane coordinates of the member stars of these clusters. The radial dependences of the absolute values of the tangential and radial projections of cluster star velocities computed using the proper motions relative to the cluster center are determined, along with the corresponding autocorrelation functions and wavenumber spectra of oscillations of absolute values of velocity field components. The Pleiades virial mass is estimated assuming that the cluster is either isolated or non-isolated. Also derived are the estimates of the Pleiades dynamical mass assuming that it is non-stationary and non-isolated. The inferred Pleiades tidal radii corresponding to these masses are reported.
Keywords: stars: kinematics and dynamics—open clusters and associations: individual: Pleiades, Praesepe, M 67
