Научная статья на тему 'ПРИЛИВНЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ ДЛЯ ШИРОКИХ ДВОЙНЫХ ЗВЕЗД В ПЛЕЯДАХ'

ПРИЛИВНЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ ДЛЯ ШИРОКИХ ДВОЙНЫХ ЗВЕЗД В ПЛЕЯДАХ Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
20
5
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
Астрофизический бюллетень
WOS
Scopus
ВАК
Область наук
Ключевые слова
ЗВЕЗДЫ ДВОЙНЫЕ / ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ( ГАЛАКТИКА) / РАССЕЯННЫЕ СКОПЛЕНИЯ И АССОЦИАЦИИ / ОТДЕЛЬНЫЕ / ПЛЕЯДЫ

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Данилов В. М.

Предложена методика оценки параметров пространственной ориентации векторов r1,2 расстояний между компонентами широких двойных звезд (ДЗ) в рассеянных звездных скоплениях (РЗС). Исследование особенностей ориентации этих векторов для 36 широких ДЗ, обнаруженных ранее в Плеядах по данным Gaia DR2, показывает, что наибольшее число векторов r1,2 широких ДЗ в Плеядах ориентировано в направлении, близком к перпендикулярному направлению на центр скопления. Этот результат согласуется с полученными ранее оценками положительных полных энергий широких ДЗ в Плеядах и с выводом о том, что распад широких ДЗ может происходить преимущественно в направлении, перпендикулярном направлению на центр скопления. По параметру к - отношению массы компонента ДЗ, ближайшего к центру скопления, к массе более удаленного от него - выделены две группы: с κ< 1 и κ> 1, по 18 звезд в каждой. Разная зависимость от параметров ориентации векторов r1,2 для этих групп указывает на различие для них приливных ограничений со стороны регулярного поля скопления. Записаны уравнения для оценки приливных расстояний rc,1,2 между компонентами широких ДЗ в РЗС для двух моделей распределения плотности массы: модели РЗС с однородным по плотности ядром и убывающей за его пределами плотностью ρ(r) ~ 1/r2 при увеличении расстояния r от центра скопления, а также точечной модели скопления. При выводе уравнений использовались интеграл энергии системы трех гравитирующих тел и условие баланса сил притяжения звезды-компонента ДЗ скоплением и остальными двумя телами системы. Исследованы приливные ограничения на широкие ДЗ в Плеядах. Показано, что в ядре скопления величина rc,1,2 определяется главным образом регулярным силовым полем скопления. За пределами ядра и на периферии скопления наиболее вероятным изученным ранее механизмом формирования широких ДЗ (а, следовательно, и величины rc,1,2) является «затягивание» компонентов таких ДЗ в резонанс с колебаниями регулярного поля скопления. Поэтому наличие широких ДЗ в Плеядах можно считать одним из признаков нестационарности Плеяд в поле регулярных сил. Получены формулы для оценки величины rc,1,2 для широких ДЗ с круговыми орбитами в неоднородном скоплении, учитывающие влияние на rc,1,2 его массы, распределенной между компонентами ДЗ. Показано, что величины rc,1,2 на периферии скопления (при r > 3.5 пк) возрастают примерно в три раза при переходе от радиальных орбит ДЗ к круговым.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

TIDAL CONSTRAINTS FOR WIDE BINARY STARS IN PLEADES

A technique is proposed for estimating the parameters of spatial orientation of the r1,2 vectors of distances between the components in wide binary stars (BS) in open star clusters (OCs). An analysis of the orientation features of these vectors for 36 wide BSs previously discovered in Pleiades based on Gaia DR2 data shows that the largest number of vectors r1,2 of wide BSs in Pleiades are oriented in direction close to the perpendicular to cluster center. This result agrees with earlier estimates that yielded positive total energies for wide BSs in Pleiades and with the conclusion that the disruption of wide binaries can occur mostly in the direction perpendicular to the direction of the cluster center. Two groups are distinguished by the value of their k parameter-the ratio of the mass of the component of the binary that is closest to the cluster center to the mass of the more distant component: with k < 1 and k > 1, each consisting of 18 stars. Different dependence on the orientation parameters of the vectors r1j2 for these groups is indicative of different tidal constraints from the regular cluster field. Equations are derived for estimating the tidal distances rC,1,2 between the components of wide BSs in OCs in terms of two models of mass density distribution: an OC model with a uniform-density core and density decreasing as ρ(r) ~ 1/r2 outside this core, where r is the clustercentric distance, and a point-mass cluster model. The equations were derived using the integral of the energy of the system of three gravitating bodies and the condition of the balance of the attraction on the B S component by the cluster and the other two bodies of the system. Tidal constraints on wide BSs in Pleiades are analyzed. It is shown that rc,1,2 in the cluster core is mostly determined by the regular force field of the cluster. Outside the core and at the cluster periphery, the most likely hitherto studied formation mechanism of wide BSs (and hence of the rc,1,2 value) is “pulling” components of such BSs into resonance with oscillations of the regular cluster field. Therefore, the presence of wide BSs in Pleiades can be considered as one of the signs of the nonstationarity of Pleiades in the field of regular forces. Formulas are derived for estimating rc,1,2 for wide BSs moving in circular orbits in a non-uniform cluster, which take into account the effect on rc,1,2 of the cluster mass distributed between the components of the wide BS. The distances rc,1,2 at the cluster periphery (r > 3.5 pc) are shown to increase by about a factor of three when passing from radial to circular BS orbits.

Текст научной работы на тему «ПРИЛИВНЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ ДЛЯ ШИРОКИХ ДВОЙНЫХ ЗВЕЗД В ПЛЕЯДАХ»

АСТРОФИЗИЧЕСКИЙ БЮЛЛЕТЕНЬ, 2022, том 77, № 2, с. 206-221

УДК 524.382; 524.45

ПРИЛИВНЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ ДЛЯ ШИРОКИХ ДВОЙНЫХ ЗВЕЗД

В ПЛЕЯДАХ

© 2022 В. М. Данилов1*

1 Коуровская астрономическая обсерватория им. К. А. Бархатовой Уральского федерального университета им. Первого президента России Б. Н. Ельцина, Екатеринбург, 620000 Россия Поступила в редакцию 25 октября 2021 года; после доработки 15 ноября 2021 года; принята к публикации 19 января 2022 года

Предложена методика оценки параметров пространственной ориентации векторов Г1,2 расстояний между компонентами широких двойных звезд (ДЗ) в рассеянных звездных скоплениях (РЗС). Исследование особенностей ориентации этих векторов для 36 широких ДЗ, обнаруженных ранее в Плеядах по данным Оа1а ЭН2, показывает, что наибольшее число векторов г12 широких ДЗ в Плеядах ориентировано в направлении, близком к перпендикулярному направлению на центр скопления. Этот результат согласуется с полученными ранее оценками положительных полных энергий широких ДЗ в Плеядах и с выводом о том, что распад широких ДЗ может происходить преимущественно в направлении, перпендикулярном направлению на центр скопления. По параметру к — отношению массы компонента ДЗ, ближайшего к центру скопления, к массе более удаленного от него — выделены две группы: с к< 1 и к> 1, по 18 звезд в каждой. Разная зависимость от параметров ориентации векторов г12 для этих групп указывает на различие для них приливных ограничений со стороны регулярного поля скопления. Записаны уравнения для оценки приливных расстояний гс12 между компонентами широких ДЗ в РЗС для двух моделей распределения плотности массы: модели РЗС с однородным по плотности ядром и убывающей за его пределами плотностью р(г) ~ 1/г2 при увеличении расстояния г от центра скопления, а также точечной модели скопления. При выводе уравнений использовались интеграл энергии системы трех гравитирующих тел и условие баланса сил притяжения звезды-компонента ДЗ скоплением и остальными двумя телами системы. Исследованы приливные ограничения на широкие ДЗ в Плеядах. Показано, что в ядре скопления величина гс12 определяется главным образом регулярным силовым полем скопления. За пределами ядра и на периферии скопления наиболее вероятным изученным ранее механизмом формирования широких ДЗ (а, следовательно, и величины гс12) является «затягивание» компонентов таких ДЗ в резонанс с колебаниями регулярного поля скопления. Поэтому наличие широких ДЗ в Плеядах можно считать одним из признаков нестационарности Плеяд в поле регулярных сил. Получены формулы для оценки величины гс12 для широких ДЗ с круговыми орбитами в неоднородном скоплении, учитывающие влияние на гс12 его массы, распределенной между компонентами ДЗ. Показано, что величины гс12 на периферии скопления (при г > 3.5 пк) возрастают примерно в три раза при переходе от радиальных орбит ДЗ к круговым.

Ключевые слова: (звезды:) двойные: общие сведения —( Галактика), рассеянные скопления и ассоциации: отдельные: Плеяды

1. ВВЕДЕНИЕ

Исследование широких двойных звезд (ДЗ) в рассеянных звездных скоплениях (РЗС) — важный источник информации

• о механизмах формирования ДЗ в ядрах гигантских молекулярных облаков (Bodenheimer 2001, Bodenheimerand Burkert 2001, Offneret al. 2016, Rajuetal. 2021);

E-mail: Vladimir.Danilov@urfu.ru

• о динамических взаимодействиях в нестабильных кратных звездах и о распаде первоначально широких двойных систем в результате аккреции газа и/или взаимодействия этих систем с окружающими их газовыми дисками (Bate et al. 2002);

• о действии иррегулярных сил в молодых скоплениях (Heggie 1975, Reipurth et al. 2010);

• о характере динамической эволюции РЗС с возрастом порядка 108 лет (Danilov 2021a; b).

История исследования Плеяд и определе-

ния звезд-членов этого скопления по данным о фотометрии и о собственных движениях звезд кратко описана в работах Bouy et al. (2015), Stauffer et al. (2007) и Rebull et al. (2016). В работе Hillenbrand et al. (2018) была выполнена идентификация 32 широких ДЗ среди 212 звезд-членов скопления Плеяды по данным, полученным с помощью роботизированной адаптивной оптики (система Robo-AO) на телескопе Palomar (1.5 м). Согласно Hillenbrand et al. (2018), расстояния d1>2 между компонентами этих ДЗ в проекции на картинную плоскость заключены в интервале d1)2 € [0'!23; 459], что при расстоянии до Плеяд 136.4 ± 0.2 пк (Danilov and Seleznev 2020) соответствует интервалу d1>2 € [31.4; 626.1] а.е., среднее значение di;2 = l'/36 ± 0'/19 (что соответствует dit2 — 185.5 ± 25.9 а.е.) с медианным значением (d1>2) ^ 0.94 (в линейных единицах (di,2) ~ 128.2 а.е.). Идентификация широких ДЗ в работе Hillenbrand et al. (2018) проводилась с использованием таблиц из работ Bouy et al. (2015) и Stauffer et al. (2007) с данными о звездах-членах скопления; рассматривались ДЗ с более яркими компонентами — звездами спектральных классов K—M с массами, меньшими 1M©. Отметим, что малые массы звезд-компонентов этих ДЗ указывают на то, что такие ДЗ не могут быть динамически активными в Плеядах (согласно Aarseth (1971) и Heggie (1975), такие ДЗ состоят из наиболее массивных звезд скопления; энергии связи таких ДЗ близки к средней кинетической энергии одиночных звезд (ОЗ) скопления).

Использовав астрометрические и фотометрические данные Gaia DR2 о звездах РЗС а Персея, Плеяды и Ясли, Deacon and Kraus (2020) выделили широкие ДЗ с расстояниями между компонентами (в проекции на картинную плоскость) d1,2 = 300—3000 а.е. С вероятностью, большей, чем 0.5, были найдены 20 широких ДЗ в а Персея, 47 в Плеядах и 28 в Яслях; отмечены несколько очень широких ДЗ с d1;2 > 5000 а.е. Согласно таблице 5 из указанной работы, величины d1,2 для ДЗ в Плеядах заключены в интервале [62; 2377] а.е., (607.1 ±86.5) а.е., (dh2) ^ 336 а.е., интервал звездных величин me более ярких компонентов ДЗ составляет me € [6m8; 18 m 1]. Отметим, что при выборе звезд-компонентов ДЗ Deacon and Kraus (2020) используют вероятностные ограничения на величины d1>2, а не на расстояния r1>2 между компонентами ДЗ в трехмерном пространстве. Для выбора компонента 2 для звезды-компонента 1 в рассматриваемой ДЗ достаточно определить набор звезд скопления, ближайших к звезде 1 в трехмерном пространстве координат, и выбрать из них звезду 2, достаточно близкую к звезде 1 в

двухмерном пространстве скоростей, что вполне возможно при использовании данных GaiaDR2. Согласно Danilov (2021a), из-за случайной проекции на луч зрения многих звезд в окрестностях исследуемой звезды 1 скопления расстояния между соседними звездами в картинной плоскости могут более чем на порядок отличаться от расстояний между звездой 1 и соседними звездами скопления в трехмерном пространстве. Обычно di;2 < ri;2, а в среднем по рассмотренным Danilov (2021a) широким ДЗ в Плеядах di;2 ~ (0.66 ± 0.15)r1;2. Всего в названной работе в Плеядах было выделено 36 широких ДЗ по данным Gaia DR2 о координатах и собственных движениях звезд-членов скопления со звездными величинами mc < 15m в интервале ri,2 € [0.18; 1.83] пк. Широкие ДЗ с ri,2 < 0.18 пк (0.18 пк ~ 37952.8 а.е.) в выборке 395 звезд с mc < 15m на угловых расстояниях d < 2 ◦ 5 от центра скопления не наблюдаются; величины ri,2 возрастают с увеличением расстояния ДЗ до 7—8 пк от центра скопления (см. рис. 2b в работе Danilov (2021a)). Получено, что полные энергии связи Ei>2 компонентов этих ДЗ между собой положительны (лишь в случае одной ДЗ знак величины Ei>2 предположительно может быть отрицательным). ДЗ с Ei>2 > 0 и более населенные группы звезд с положительной энергией связи и общим (сопутствующим) движением в скоплении в работе Danilov (2021b) предложено называть кинематическими (и кратными звездами при отрицательной энергии связи группы). Вероятным механизмом формирования кинематических групп звезд и их удержания в составе группы считать известный эффект «затягивания» звезд в резонанс с колебаниями регулярного поля скопления (Danilov 2005, Danilov and Leskov 2005, Rabinovich and Trubetskov 2000).

Согласно Danilov (2021a), взаимные расстояния ri;2 между компонентами динамически активных ДЗ в Плеядах составляют ri;2 ~ 2028—5404 а.е., поэтому обнаруженные в упомянутой работе более широкие ДЗ должны разрушаться под действием сближений с другими звездами скопления (Aarseth 1971, Heggie 1975). Присутствие таких ДЗ в Плеядах указывает на эффективность механизма «затягивания» звезд в резонанс с колебаниями регулярного поля скопления.

В работе Danilov (2021b) показаны существование двух приливных расстояний ri;2 между компонентами широких ДЗ в скоплении и необходимость учета различий силового поля скопления в точках расположения звезд-компонентов широких ДЗ при вычислении приливных расстояний между ними. Разработана методика вычисления приливных ограничений для нескольких конфигураций широких ДЗ, использующая интеграл энергии ДЗ.

Для практических приложений представляет интерес расширение списка исследованных теоретически возможных конфигураций широких ДЗ в поле неоднородного по плотности скопления.

ЭапПоу (2021Ь) также выполнил краткий обзор теоретических оценок влияния регулярного поля скопления на параметры двойных звезд. Использование интегралов движения широкой ДЗ во внешнем силовом поле скопления позволяет избежать дополнительных предположений о форме траекторий движения звезд-компонентов ДЗ в скоплении. Однако приливные ограничения на широкие ДЗ зависят от пространственной ориентации векторов Г1,2 расстояний между компонентами ДЗ в скоплении, поэтому необходима разработка методик оценки параметров ориентации векторов г1>2 для широких ДЗ в РЗС по данным наблюдений.

Согласно ЭапНоу (2021Ь), оценки параметров и механизмы формирования широких ДЗ могут рассматриваться при обсуждении кинематических групп звезд в РЗС. Поскольку параметры таких групп можно использовать для анализа динамического состояния РЗС (ЭапНоу 2005; 2021Ь), представляет интерес разработка методов проведения оценок таких параметров широких ДЗ и их применение для изучения ближайших РЗС.

Цели и задачи данной работы: построение методики оценки параметров пространственной ориентации векторов Г1,2 широких ДЗ в РЗС, исследование особенностей ориентации векторов г1>2 для широких двойных звезд в Плеядах, разработка методов оценки приливных расстояний между компонентами таких ДЗ в РЗС, исследование приливных ограничений на широкие ДЗ в Плеядах, обсуждение роли регулярного поля скопления в формировании широких ДЗ в Плеядах.

Результаты исследования позволят выяснить особенности строения и формирования подсистемы широких ДЗ в скоплении Плеяды.

2. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И МЕТОДИКИ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Следуя работе ЭапПоу (2021Ь), рассмотрим модель гравитирующей системы, состоящей из двух звезд в виде точечных масс т1 и т2, образующих широкую ДЗ, движущуюся в поле сил неоднородного гравитирующего шара с массой т3, имитирующего звездное скопление. Пусть т-1 > т-2, гг, = г - г, где г,- = (х,, у,, г,) — радиус-векторы центров масс т, с началом координат (х, у, г) в общем центре масс системы (] = 1,2,3). Соответственно = |г^,,| — модули векторов гг,.

Для обсуждения пространственной ориентации векторов г1,2 широких ДЗ в Плеядах рассмотрим

рис. 1. В случае г1;3 < г2,3 (рис. 1 а) отношение массы звезды, ближайшей к центру скопления, к массе звезды, более далекой от центра скопления, равно к = т1/т2 > 1 (при обсуждении наблюдательных данных о величинах мы будем считать, что центр масс скопления совпадает с его геометрическим центром). Согласно рис. 1а и теореме косинусов для плоского треугольника, находим: в = п — а также

ф = у -

cos(cр) = cos(yi) =

1,3

- ri,2 - r

2,3

2Г1,2Г2,3

+ ri 2 — r

(1)

1,3

2,3

2ri,2ri,3

где и — углы между положительными направлениями векторов г1>2, г2,3 и г1>2, г1>3 соответственно (как и в работе ЭапНоу (2021Ь)). В случае г1;3 > г2,3 (см. рис. 1Ь) к = т2/т1 < 1, в = <р и выполняются соотношения (1).

Далее рассмотрим, как и в работе ЭапПоу (2021Ь), случай движения звезд в пределах неоднородного шара, имитирующего скопление. Возьмем ту же модель скопления с плотностью массы:

P(r) =

ipn(Rc/r)2, a > r>Rc 1 pn = const, r < Rc,

(2)

где r — расстояние от центра скопления (r = ri;3 для компонентов ДЗ с массами ш^, где i = 1,2), Rc — радиус однородной центральной части шара-скопления с плотностью pn, a = 3.5 пк — радиус однородного шара-скопления с плотностью p0,

4

такой, что т3 = -ттроа3. Величина т3 была при-

3

нята в работе Danilov (2021b) равной 411MQ, что приближенно соответствует общей массе 395 звезд Плеяд с величинами шс < 15m (см. выборку II звезд-членов скопления Плеяды, расположенных на угловых расстояниях d < 2 ◦ 5 от центра скопления, полученнную Danilov and Seleznev (2020) по данным GaiaDR2 (Brown et al. 2018, Prusti et al. 2016) и использованную в работе Danilov (2021a) для оценок параметров 36 широких ДЗ в этом скоплении).

Пусть rci > a > Rc, где rci — радиус неоднородного скопления. После замены величины a на rci формула (2) может быть использована для описания РЗС больших размеров и масс, чем при rci = a. Следуя Danilov (2021b), запишем выражение для массы Mn(rcl) скопления с rcl > a:

4

Mn{rcl) = -irpnRc[l + 3(rci - Rc)/Rc\.

Согласно принятым в той же работе обозначениям, Q = po/pn, Zc = Rc/a, где Q и Zc

2

2

2

2

Рис. 1. Расположение векторов в системе гравитирующихтел.

определены из условия т3 = Mn(a), а при вычислении приливных расстояний rc,i,2 между компонентами широких ДЗ рассмотрены значения Q = 0.9, Zc — 0.8042. По оценкам, сделанным в работе Danilov and Seleznev (2020), для звезд-членов скопления с величинами mG < 18m в Плеядах радиус скопления равен 26.3±0.7 пк, масса скопления — 855 ± 104 M0, радиус ядра скопления — 6.24 пк, а его масса — 665 ± 71M0. В случае модели скопления (2) при Q = 0.7—0.9 (и, следовательно, при Zc = 0.6367—0.8042) значения Mn (rci) = 665 M0 достигаются на расстояниях r = rcl — 4.503—4.745 пк от центра скопления, а значения Mn (rci) = 855 Mq — на расстояниях rcl — 5.255—5.677 пк. Таким образом, в случае системы трех точечных масс ш7- для оценок скопления и силы

приливных расстояний rc>1)2 между компонентами широких ДЗ (см. ниже) можно рассматривать величины rci > 4.7—5.7 пк и массы скопления тз — 665-855 Mq .

Интеграл энергии E1)2)3 = const обсуждаемой здесь системы трех гравитирующих тел для скопления с плотностью массы, определяемой выражением (2), получен в работе Danilov (2021b, см. (13)). Следуя той же методике, для вычисления приливных расстояний rc,1)2 между компонентами широких ДЗ в случае x2 < x1 < x3, y = 0 (i = 1, 2) и y3 = 0 (см. рис. 1a) запишем уравнение баланса сил, действующих на звезду с массой т1 к центру

dr1,2

an , вп ч ( ч Gm1 m2 -шЦ-о- Н--)cos((pi) =-о--h/il.2

1.3

г1.3

2 1.2

a

cos(^1) cos(^)

+ в,

'cos(^1) cos(^)

1.3

r2.3

r1.3

r2.3

, (3)

2

2

где величину г2,3 удобно определить из третьего соотношения в (1). Подставляя г2,3 из (1) в (5), можно привести его к алгебраическому уравнению

восьмой степени для величины п,2, коэффициенты которого даются очень громоздкими выражениями. В данной работе решение уравнения для п)2 в виде (5) после подстановки в него выражения для г2 3

было получено для каждой ДЗ численным методом Ньютона.

Отметим, что ^ = ^ = п и г2,з = г1;2+г1>з при х2 < ж1 < ж3, у, = 0 = 1,2,3). В этом случае к > 1, уравнение (5) упрощается и может быть приведено к виду:

F (е ) = £ Afc

0,

fc=Q

Gmim2r43 2Gmim2rf3

где A0 =-----, Ai = --

CQ

Cq

Gmim2 - mi(«n + впП , 3) 2

2 =--C~0- '3'

, 2(2an +e«ri ,3)+2mi(a„ ,3)

л3 = --Г1,з,

C0

A4 = 1, Со = (^i , 2 + mi)(a„ + ,3), С = ri , 2, mi , 2 = mi + m,2,^i , 2 = mim,2/mi , 2.

Для вычисления приливных расстояний rC)i;2 между компонентами ДЗ на достаточно больших расстояниях от центра скопления может быть полезной модель точечного скопления с массой m3 (см. выше). Для сравнения величин rC)i;2, полученных для модели (2), с величинами rC)i;2 для модели точечного скопления воспользуемся интегралом энергии системы трех точечных гравитирующих тел Ei)2)3 из работы Marchai (1990). Согласно уравнению баланса силы, действующей на звезду с массой

dEi,2,3

m2 со стороны скопления, и силы

dr

при

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1,2

x1 < x2 < x3, yi = 0 (i = 1,2) и y3 = 0 запишем: (1+^i)m2m3Cos(^>)

r 2,3

m1m2 m1m3^2cos(^1) ô ô :

1,2

1,3

Ao = -

mi r|3 m3(1 + ^1)

,A1 = -

2m1r23 m3(1 + ^1) '

A2=

m1

1

ifi. + J_

m2 m3

1 +

r2

' 2,3,

Аз = 2Г2,3,А4 = 1.

В случае баланса сил, действующих в рассмотренной системе гравитирующих тел на звезду с массой

m-1, при Х2 < Х1 < Ж3, yi = 0 (i = 1,2) и y3 = 0, аналогично (5), находим:

(1+^2)m1m,3Cos(^>1)

1,3

m1m2 m2m3^1cos(^)

(7)

1,2

2,3

(4)

При у,- = 0 (; = 1, 2, 3) = = п, Г2,з = П,2 + П,з, к > 1 и уравнение (7) может быть приведено к виду (4), где

AQ =

4

m2?i)3 m3(1 + ^2)''

A1 = -

2m2r3,3 m3(1 + ^2):

A2 =

m2

1

Hi + m1

1

m3

1 + ^2

1,3,

(8)

A3 = 2n 3, A4 = 1.

(5)

где ^ = ш;/ш1)2 (г = 1,2). В случае, если у, = 0 (;' = 1,2,3) ^ = = 0, п,з = Г1,2 + Г2,з, к < 1 и уравнение (5) может быть приведено к виду (4), где

(6)

Уравнения (5)—(5), (7) и формулы для коэффициентов Afc (k = 0,..., 4) могут быть использованы для оценок приливных расстояний rc,i,2 между компонентами широких ДЗ в Плеядах и других РЗС.

Отметим, что эти уравнения и формулы, а также уравнение (4) и формулы (14) из работы Danilov (2021b), дают нижнюю оценку величин rc,i,2, характерную для радиальных и близких к ним орбит ДЗ в скоплении. Верхняя оценка величин rc,i,2 может быть получена из рассмотрения круговых орбит центров масс ДЗ в скоплении. Однако в нестационарных РЗС круговые орбиты звезд и ДЗ быстро разрушаются из-за колебаний регулярного поля скопления (так как за полупериод такого колебания значительная часть звезд скопления приходит в область внутри такой орбиты и выходит из нее за следующий полупериод колебания). Оценки величин rc,i,2 для круговых орбит ДЗ могут быть полезными при обсуждении формы и радиальной вытянутости траекторий ДЗ, наблюдаемых в скоплении, а также для ДЗ, расположенных достаточно далеко от центра скопления.

Для оценки величин rc,i,2 в случае круговых орбит ДЗ в скоплении используем прямоугольную систему координат (£, n, Z), вращающуюся с частотой ш = const относительно центра масс исследуемой здесь системы трех гравитирующих тел в плоскости (ж, у), параллельной плоскости (£, n). Ось £ всегда направлена от центра скопления. Уравнения движения звезд с массами mi и m2 вдоль оси £ в суммарном силовом поле этих звезд и модели однородного шара-скопления с массой m3

2

2

2

2

2

и радиусом a имеют вид:

mi(£1 - 2wr?'i - w2(ro + £1)) =

~ 6) - 7mi(£i - 6),

1,2

m.2(6 - 2wr?2 - w2(ro + £2)) =

1,2

-£3 =

2

Ш r0

7

= R0 — равновесное расстояние цен-

I £i,t |3 =

Gmj %2 w2 - 7 :

где i, j = 1,2, i = j. Поэтому

I£2,

Исполь-

1£м I т-2

зуя систему координат (ж, у, г), из условия начала координат в центре масс системы, находим:

-Ко _ Л mi,2 г0 V шз

> 1.

Аналогичные вычисления величин гс,1,2 с использованием уравнений (9) в случае неоднородного шара-скопления с распределением плотности (2) и величиной

(9)

где an = -тз

Y :

2Z3G

о" "Г о" ?

и /Зп = (см. работу

где 6 = = = время, г0 -

расстояние между центрами масс ДЗ и системы трех тел, 7 = Сш3/а3 (см. также раздел 5.5 из работы СЬап^аБекЬаг (1942) и формулы (1) из статьи ЭапПоу (2021Ь)). Начало координат системы (£, п, С) совпадает с центром масс ДЗ и ^2=1 тг£г = 0. Полагая равными нулю скорости и ускорения звезд в системе (9), находим

Q aQ

Danilov (2021b)) при £i > £3, £2 > £3 приводят к следующим выражениям:

'гс,1,2 = (Sj)1/3, где

Gmi,2£i

(a„S + вп^1)

(ro + £i)

-Pi

тра шара-скопления (и соответствующей особой точки) от центра масс ДЗ вдоль оси £ для системы (9). При равных нулю ускорениях и скоростях звезд уравнения системы (9) приводят к следующим соотношениям для приливных расстояний звезд от центра масс ДЗ:

<1

р _

гг — о ' r3,i

%2 с

2

'3,2

вп

%

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1 V 2

ГЗЛ ^3,2 '

(10)

r3,i '3,i ,при £i > 0, i = 1, 2.

(10) величины

В формулах

У*3,2 _ До + £2

Гз,1 До + £l '

'3,i = £i - £3,

Величины го и Е0 сохраняются на круговой орбите центра масс ДЗ. С учетом полученных соотношений для ш2 и Д0/г0 имеем:

„ . {Ст3\1/3 1£м1 = Н ) ,

г,^ = 1,2, г = Приливное расстояние между компонентами ДЗ равно в парсках:

гс,1,2 = |£м1 + |£2,*| = а = 3.5.

Постоянство величин гс,1,2 на разных расстояниях Д0 от центра однородного шара-скопления обусловлено линейными зависимостями приходящихся на единицу массы звезды модулей сил притяжения (7Я0) и центробежной (ш2г0) от величин Е0 и г0 соответственно (Д0 ~ г0 при т3 » т1,2, см. выше).

3. ПАРАМЕТРЫ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ОРИЕНТАЦИИ ВЕКТОРОВ Г1,2 ШИРОКИХ ДЗ

Для проведения оценок параметров ориентации векторов г1,2 широких ДЗ в Плеядах использовались данные работы Danilov (2021a) о 36 таких парах звезд и данные об одиночных звездах-компонентах ДЗ, полученные в работе Danilov and Seleznev (2020).

Пусть '1,2 и er1,2 — расстояния между компонентами ДЗ и их погрешности, обусловленные погрешностями в пространственных координатах одиночных звезд-компонентов ДЗ. Обозначим величиной er1,2/r1,2 относительные погрешности величин '1,2. На рис. 2a,b приведены величины er1,2/r1,2 и er1,2 в зависимости от

r1 + r2 m1r1 + m2r2

fc = —^— и rcm =---, где rrii и п

2 m1 + m2

(i = 1,2) — массы и расстояния звезд-компонентов ДЗ от центра скопления. Отметим, что погрешности величин r1,2 для маломассивных звезд-компонентов ДЗ в значительной степени обусловлены погрешностями в расстояниях таких звезд от Солнца. Указанные на рис. 2a, 2b величины er1,2/r1,2 > 1 и er1,2 > 1 пкполучены дляДЗ с массами mi одного или двух компонентов из интервала mmin < mi < 1 Mq (i = 1,2), где, согласно оценкам Danilov and Seleznev (2020) и Danilov (2021a),

r

r

(а)

2 4 6 /"с* /ст> PC

О CL

1.6 1.2 0.8 0.4 0.0

4 6

Гс, Гст> PC

25 20 15 10 5 0

(С)

2 3 4 5

6^1,2/^1,2 J ¿3

12 8 4 0

(d)

I Г~1

Уд

т

L.m

0.0 0.4 0.8 1.2

e/i,2,£3/i,2, рс

1.6

Рис. 2. (а) и (Ь) — положения широких ДЗ на плоскостях (гс, еп, 2/п,2), (гст, ег1,2/п,2) и (гс, еп,2), (гст, ег1,2) соответственно, где Гс и Гст — средние и средние по массе расстояния компонентов ДЗ от центра скопления, ег1,2 и ег1,2/г1,2 — погрешности и относительные погрешности расстояний Г1,2 между компонентами ДЗ. Точками показаны положенияДЗ на плоскостях (гс, еп,2/г1,2) и (гс, еп,2), треугольниками — на плоскостях (гст, еп,2/г1,2) и (гст, еп,2). Линейные регрессионные зависимости величин ег1,2/г1,2, ег1,2 от гс и гст показаны сплошными и штриховыми линиями соответственно. (с) — гистограммы распределений широких ДЗ в Плеядах по величинам ег1,2/г1,2 (сплошная линия) и £3 (штриховая линию) соответственно. (ё) — гистограммы распределений широких ДЗ в Плеядах по величинам еп,2 (сплошная и штрихпунктирнаялинии)и £3п,2 (штриховая линия) соответственно. Гистограмма N(еп,2) распределения ДЗ с ег1 2/г1 2 < 0.79 на рис. показана штрихпунктирной линией.

mmin — 0.52 M0 — наименьшая масса для рассмотренных здесь одиночных звезд-компонентов ДЗ. Как видно на рис. 2a, 2b, величины eri;2/ri;2 и eri,2 в среднем убывают с расстоянием r ДЗ от центра скопления. Зависимости величин eri;2/ri;2 и eri)2 от rc и rcm могут быть аппроксимированы соотношениями

eri,2/ri,2 — (2.6 ± 0.4) - (0.3 ± 0.1)r, где r = rc, Гст,

eri,2 — (0.90 ± 0.15) - (0.06 ± 0.04)rc,

eri,2 — (0.88 ± 0.15) - (0.05 ± 0.03)rcm.

Такая зависимость для eri,2/ri,2 обусловлена тем, что величины ri)2 убывают с уменьшением r (см. рис. 2b в работе Danilov (2021a)), а зависимости от r величин eri,2 в основном обусловлены влиянием на eri)2 более массивных компонентов широких ДЗ в ядре скопления (согласно Danilov and Seleznev (2020), массы звезд в Плеядах в среднем убывают с увеличением расстояния от центра скопления, а

для более массивных и ярких звезд погрешности оценок экваториальных координат возрастают).

Согласно рис. 2Ь, наибольшие значения ег1)2 < 1.43 пк достигаются на расстояниях от центра скопления г — 1.47—1.50 пк (в ядре скопления с радиусом гс1 — 2.5—2.8 пк (ЭапНоу 2021Ь)).

Отметим, что большие из приливных расстояний гС)1)2 для широких ДЗ, расположенных в Плеядах на таких расстояниях от центра скопления, в несколько раз превышают величину вг1)2 — 1.43 пк, и поэтому указанные оценки величин г1)2 вполне могут быть использованы для анализа устойчивости широких ДЗ в регулярном поле сил этого скопления (см. ниже). С удалением от центра скопления величины ег1)2/г1;2 и вг1;2 убывают (см. рис. 2а, 2Ь) и величины вг1;2 остаются меньшими, чем г1)2 и гС)1)2 (или в некоторых случаях величины вг1)2 оказываются сравнимы с меньшими величинами гСд,2), что также позволяет провести анализ устойчивости широких ДЗ в регулярном поле скопления (см. ниже).

Отметим, что возможность вычисления величин Гс,1,2 ограничена следующими условиями:

Г1,2 > 0, | есв(р)| < 1, | С08^1 )| < 1, (11)

см. также (1).

Пусть к равна отношению массы ближайшего к центру скопления компонента ДЗ к массе более далекого от центра компонента этой ДЗ. Ограничения (11) при использовании соотношений (1) приводят к тому, что величины ^ 0 при к < 1 и ^ п при к > 1 по мере приближения величины г1,2 к минимальному и максимальному значениям (это обнаруживается при варьировании величин г1,2 в пределах интервалов [г1,2 — ег1,2,г1,2 + ег1,2]). Вблизи указанных в (11) ограничений на величину г1,2 пространственная ориентация векторов г1,2 ДЗ близка к радиальной относительно центра скопления (см. рис. 1), а общее решение квадратных уравнений (1) при | ес>8(^>)| = | ео8(^1)| = 1 может быть записано в следующем виде: г1,2 = |г2,3 ^ г1,31. Обозначим минимальное и максимальное значения г1,2 как

Г1,2,ш1п = |Г2,3 — Г1,3| и Г1,2,тах = Г2,3 + П,3 соответственно. Корень г1,2,тах реализуется при ф = п (см. рис. 1). Отметим, что для всех 36 рассмотренных широких ДЗ величина г1,2,т1п > г1,2 — ег1,2, а для одной из ДЗ величина г1,2,тах < г1,2 + ег1,2, что дает возможность для этой ДЗ уменьшить ег1,2 и максимальное значение г1,2 до величины г1,2,тах, а для всех 36 ДЗ позволяет увеличить минимальные значения г1,2 до величины г1,2,т1п при вычислении величин гс 1 2. Обозначим

£3

П,2 ~ Г1,2,1 П, 2

тогда £3Г1,2 = Г1,2 — Г1,2,т1п.

На рис. 2с, 2d приведены гистограммы распределений широких ДЗ в Плеядах по величинам ег1,2/г1,2 и ег1,2, а также по величинам £3 и £3г1,2. Среднее значение г1,2 по выборке, включающей 36 ДЗ, равно (г\2)зб = 0.68 ± 0.07 пк; соответствующие средние значения величин ег1,2/г1,2 и ег1,2

равны: _

(ег1>2/г1>2)зб = 1.42 ±0.21,

(ёгТ^)36 = 0.67 ±0.06 пк.

Для 18 ДЗ из 36 рассмотренных пар звезд величины ег1,2/г1,2 < 0.79. Средние по этим 18 ДЗ величины г1,2, ег1,2/г1,2 и ег1,2 равны значениям:

(^2)18 = 0.92 ±0.10 пк,

(ег1,2/г1,2) 18 = 0.46 ± 0.05, (ё7Х2>18 = 0.41 ±0.06 ПК.

Параметры распределения ДЗ по величинам £3 обсуждаются в разделе 4 данной работы. Согласно рис. 2с, 2d величины £3 и £3г1,2 в среднем достаточно малы по сравнению с величинами ег1,2/г1,2 и ег1,2 соответственно. В этих случаях величины г1,2 и г12,т1п удовлетворяют условиям (11) и вполне могут быть использованы для оценок величин гс,1,2 (см. также раздел 4 данной работы). При достаточно малых ег1,2 и ег1,2/г1,2 (см. рис. 2с, 2d и раздел 4 данной работы) величины г1,2 + ег1,2 также удовлетворяют условиям (11) и могут быть использованы для оценок величин гс,1,2.

На рис. 2d заметны две группы ДЗ вблизи ег1,2 = 0.35 и 1.0 пк. Группа ДЗ с локальным максимумом N5 вблизи ег1,2 = 0.35 пк в основном состоит из ДЗ с ег1,2/г1,2 < 0.79 (две ДЗ из этой группы с малыми ег1,2/г1,2 участвуют в формировании локального максимума N5 вблизи ег1,2 = 1.0 пк на рис. 2d). Вероятно, эти локальные максимумы на распределении ДЗ на рис. 2d обусловлены действием двух разных причин формирования погрешностей ег1,2 (см. выше), так как максимум вблизи ег1,2 = 0.35 пк образован преимущественно ДЗ с большими массами т1,2 = т1 + т2, чем максимум вблизи ег1,2 = 1.0 пк (средняя по 18 ДЗ с ег1,2/г1,2 < 0.79 масса широкой пары звезд равна (777.12) 18 = 2.87 ± 0.66 М®, медианная масса (т1,2)18 ~ 1.86 Ме, а при ег1,2/г1,2 > 0.79 средняя масса ДЗ равна (т^Ьв = 2.01 ±0.19Мо, медианная масса (ш1,2)18 ~ 1.70 М®).

На рис. 3а, 3Ь приведены гистограммы распределений широких ДЗ в Плеядах по величине в (получены с использованием формул (1) и соотношений между углами в, ^ и ^1). Согласно рис. 3а, наибольшее число ДЗ находится в интервале значений в € [75°; 92°]. Эти ДЗ ориентированы в большинстве случаев в направлении, близком к перпендикулярному направлению на центр скопления. Это согласуется как с оценками положительных полных энергий широких ДЗ в Плеядах (ЭапПоу 2021а, рис. 4), так и с выводом работы ЭапПоу (2021Ь) о том, что распад широких ДЗ может происходить в основном в направлении, перпендикулярном направлению на центр скопления.

На рис. 3а наблюдается также локальный максимум распределения вблизи в ~ 55°. Видно, что этот максимум сформирован главным образом более тесными парами звезд с г1,2 < 0.67 пк. Согласно рис. 3Ь, распределение ДЗ с ег1,2/г1,2 < 0.79 по величине в практически повторяет особенности распределения 36 ДЗ по величине в, что указывает на возможность использования данных о 18 ДЗ с ег1,2/г1,2 > 0.79 при обсуждении характеристик рассмотренных широких пар звезд в Плеядах.

(а)

О 15 30 45 60 75 90 105 0°, с!ед

(Ь)

О 15 30 45 60 75 90 105 0°, с!ед

ф

100 80 60 40 20 О

0.0

0.15

1.0 1.5

Г, 2, рс

2.0

180 135 90 45 О

(С1)

45 90 135 180

<2

Рис. 3. (а), (Ь) — гистограммы распределения широких ДЗ в Плеядах по величине 0: (а) — сплошной линией показано распределение для 36 ДЗ, штриховой линией показано распределение 21 ДЗ с п,2 < 0.67 пк; (Ь) — распределение 18 ДЗ с ег1,2/г1,2 < 0.79; (с) — положения ДЗ на плоскости (п,2,0). Кружками обозначены ДЗ с ег1,2/п,2 < 0.79; сплошной и штриховой линиями показаны линейные регрессионные зависимости в от п,2, полученные для ДЗ с еп^/п^ > 0.79 и ег\ 2/Г1 2 < 0.79 соответственно; (с1) — зависимость ю от 1£>\ для широких ДЗ в Плеядах.

0.0 0.5

1.0

к.

(а)

II

1.5 2.0

2.0 1.5 * 1.0 0.5 0.0

0.0 0.5 1.0 1.5

/1.2, РС

(Ь)

2.0

2.0 1.5 * 1.0 0.5 0.0

(с!)

О 20 40 60 80 100 в, с1ед

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Рис. 4. (а) — гистограмма распределения широких ДЗ по величине к в Плеядах. (Ь), (с) и (ё) — положения ДЗ в плоскостях (п,2, к), (т1,2, к) и (0, к) соответственно. Штриховой и сплошной линиями показаны линейные регрессионные зависимости к от п 2, т1 2 и 0, полученные для ДЗ с к> 1 и к< 1 соответственно.

На рис. 3с приведены положения ДЗ на плоскости (г1,2,в). Кружками обозначены ДЗ с ег1,2/г1,2 < 0.79. Зависимости в от г1,2, полученные для ДЗ с ег1,2/г1,2 > 0.79 и ег1,2/г1,2 < 0.79, могут быть аппроксимированы линейными соотношениями

в = (58.0 ± 7.7) + (11.0 ± 9.8)г1,2,

в = (49.9 ± 13.4) + (15.2 ± 13.4)п,2

соответственно (здесь г1,2 в пк). Эти зависимости показывают в среднем слабое увеличение в с ростом г1,2 и хорошо согласуются между собой, что также говорит о возможности использования ДЗ с ег1,2/г1,2 > 0.79 для обсуждения характеристик 36 широких ДЗ в Плеядах.

На рис. 3d приведены положения 36 широких ДЗ Плеяд на плоскости (^д,^). Треугольниками обозначены положения ДЗ с к > 1, точками показаны положения ДЗ с к < 1. Зависимость ^ от

может быть аппроксимирована линейным соотношением <£> = (—5.11 ± 2.38) + (0.97 ± 0.02)^1. При < 90° величина к < 1, при > 90° величина к > 1. Такого вида зависимости могут быть использованы при моделировании динамики широких ДЗ в РЗС.

На рис. 4а приведена гистограмма распределения 36 широких ДЗ в Плеядах по величинам к. Среднее значение к по этим ДЗ получено равным к = 0.94 ± 0.08, медианное значение (к) ~ 0.96. Наибольшее число ДЗ наблюдается вблизи к ~ 1.15. Отметим, что распределение Nь = и его характеристики (к) и к могут

быть использованы для сравнения с результатами численного моделирования динамики Плеяд и других РЗС. Согласно ЭапПоу (2021Ь), такие ДЗ формируются в результате колебаний регулярного поля скопления. Поэтому параметры и особенности распределений широких ДЗ на рис. 3а, 3Ь и рис. 4а могут содержать информацию о предшествующей динамической эволюции Плеяд. Наличие широких ДЗ в РЗС и особенности распределений таких ДЗ по величинам г1,2, в, к и другим параметрам для РЗС могут быть индикаторами их нестационарности в регулярном поле.

На рис. 4Ь, 4с, 4d приведены положения ДЗ в плоскостях (г1,2,к), (т1,2,к), (в, к) соответственно. Штриховой линией на рис. 4Ь, 4с, 4d показаны регрессионные зависимости

к = (1.10 ± 0.14) + (0.34 ± 0.17) п,2, к = (1.34 ± 0.22) + (0.00 ± 0.11) Ш1,2, к = (1.035 ± 0.187) + (0.005 ± 0.003) в

соответственно, полученные для ДЗ с к > 1. Сплошными линиями на рис. 4b, 4c, 4d показаны регрессионные зависимости

к = (0.60 ± 0.14) - (0.09 ± 0.18) '1,2,

к = (0.76 ± 0.08) - (0.07 ± 0.02) т1,2,

к = (0.34 ± 0.25) + (0.003 ± 0.004) в

соответственно, полученные для ДЗ с к < 1. Таким образом, величины к при к > 1 в среднем слабо возрастают с увеличением r1,2, в и почти постоянны с увеличением т1,2. Кроме того, величины к в среднем слабо убывают с увеличением r1,2, m1,2 и практически не меняются с увеличением в при к < 1. Эти зависимости могут быть использованы при моделировании динамики широких ДЗ в РЗС. Отметим, что широкие ДЗ с к > 1 и к < 1 по-разному распределены в Плеядах, что вполне может быть вызвано разными приливными ограничениями на такие ДЗ в результате действия на них регулярного силового поля скопления (см. ниже).

4. ПРИЛИВНЫЕ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ КОМПОНЕНТАМИ ШИРОКИХ ДЗ

Согласно оценкам Danilov and Seleznev (2020), средняя масса одиночной звезды из выборки II звезд Плеяд с величинами mc < 15m равна т = 1.04±0.21 Ме. Следуя работе Danilov(202lb), рассмотрим ДЗ с m1 = 1.246 Mq, m2 = 0.834 Mq, mi;2 = 2m = 2.08 M®, a q = m2/mi ~ 0.67. Как и прежде, рассмотрим широкую ДЗ с r1,2 = a(2/%3)1/3 — 0.757 пк при a = 3.5 пк и %3 = m3/m1,2, m3 = 411 Mq, см. выше. Для оценок приливных расстояний между компонентами ДЗ при r > Rc использовалась модель неоднородного скопления с распределением плотности, указанной в уравнении (2), параметрами Q = 0.7,0.9 и Zc = 0.6367,0.8042 соответственно (см. Danilov (2021b)) и массой Mn(r) > 411 Mq, а также точечная модель скопления (см. выше).

Для случаев ориентации векторов Г1,2 ДЗ вдоль радиус-вектора г в Плеядах на рис. 5 сплошными линиями приведены обозначенные буквами n и n1 зависимости rc,1,2 от r2,3 и r1,3 соответственно. Эти зависимости получены в результате решения уравнений (14) из работы Danilov (2021b) и (4) из данной работы для модели скопления с Q = 0.9 и Zc — 0.8042 (при использовании параметров Q = 0.7 и Zc — 0.6367 кривые, обозначенные буквами n и n1 на рис. 5, сдвигаются вдоль оси абсцисс в область меньших значений r2,3 и r1,3 на 0.35—0.45 пк). Величины rc,1,2(r2,3) в нижней части рис. 5 (при r > a) убывают до значений 0.204 пк с увеличением r2,3 до 4.70 пк, а затем слабо возрастают (величины rc,1,2(r1,3) убывают до значений

/2,3, ^1,3? рс

Рис. 5. Зависимости от п,з и г2,з величин гс,1,2 (сплошные линии) для ДЗ с Ш1,2 = 2(т) ~ 2.08М© и д = (т2/т1) ~ 0.67 в однородной и неоднородной по плотности моделях Плеяд (кривые для неоднородной модели скопления обозначены буквами п и п1). Штрихпунктирными линиями показаны зависимости г„,1,2 от г2,3 = г„,2,3 для однородной модели скопления (величины г„,2,3 получены для двух положительных корней уравнения (8) из работы ЭапНоу (2021Ь) для величины г„,1,2). Вертикальные штриховые линии связывают между собой величины г1,2 и гс,1,2 для одного из компонентов наблюдаемых ДЗ в модели неоднородного скопления. Кружками обозначены компоненты ДЗ с ег1,2/г1,2 < 0.79. Зеленой и красной штриховыми линиями показаны зависимости гс,1,2 от г3,1 = г1,3 для ДЗ с круговыми орбитами в скоплении при к> 1, £2 > 0 и к< 1, £1 > 0 соответственно.

0.157 пк с увеличением г1>з до 3.76 пк, а затем слабо возрастают). Отметим, что при г1>з < 2 пк и к > 1 (см. кривую п1 на рис. 5) сила притяжения скоплением звезды ш1 меньше суммы сил взаимного притяжения компонентов ДЗ и сжатия ДЗ регулярным полем скопления; баланс этих сил невозможен, положительные корни соответствующего уравнения (4) при г1;з < 2 пк отсутствуют. В этой области для анализа приливных ограничений на ДЗ необходимо учитывать оценки величин г^д,2 и условие нулевых относительных скоростей компонентов ДЗ (кривые г^д,2(г2,з) из работы ЭапНоу (2021Ь) приведены на рис. 5 штрихпунктирными линиями и соответствуют случаю к < 1). Различие между кривыми зависимостей гС)1)2 от г2,з и г1>з, обозначенных буквами п и п1 в области г < 3 пк на рис. 5, указывает на различие приливных ограничений на широкие ДЗ с к < 1 и к > 1 в регулярном силовом поле скопления.

Зависимости гСд,2(г2,з) и гС)1)2(г1)з), соответственно гС)1)2(г2,зи гС)1)2(г1)зна рис. 5, показаны сплошными линиями при г > 6 пк. Они найдены с помощью уравнений (4) с коэффициентами из уравнений (6) и (8) для Ак (к = 0,..., 4)

в случае модели точечного скопления с массой шз = 665 М0 (см. выше). Согласно рис. 5, величины гС)1>2 возрастают с увеличением г.

Также на рис. 5 для г1)2 < 4.5 пк сплошными линиями приведены кривые гСд,2(г2,з) и гС)1)2(г1)з), полученные в работе ЭапНоу (2021Ь) для модели однородного шара, приближенно имитирующей центральные части скопления Плеяды в интервале расстояний от его центра г е (0; 1.8—2.5] пк.

Штрихпунктирными линиями на рис. 5 приведены решения ги>1)2(г2,з) уравнения (8) из работы ЭапНоу (2021Ь). Для вычисления приливных расстояний ги>1>2 между компонентами ДЗ в указанной работе использовались условие равенства нулю относительных скоростей компонентов ДЗ, а также интегралы энергии движения ДЗ и ее центра масс в скоплении.

Зеленые и красные штриховые линии на рис. 5 соответствуют зависимостям, которые получены с использованием формул (10) для ДЗ с г1)2 — 0.757 пк и круговыми орбитами центров масс ДЗ в модели скопления с Q = 0.7 и £С = 0.6367. Различие между зеленой и красной кривыми

так же, как и в случае радиальных орбит ДЗ, указывает на различие приливных ограничений на широкие ДЗ с к > 1 и к < 1 в регулярном поле скопления. Большие (приблизительно в три раза при r1,3 — 3.5—6.0 пк) значения rc,1,2 для ДЗ с круговыми орбитами в сравнении с rc,1,2 для ДЗ с радиальными орбитами обусловлены компенсацией силы притяжения скопления центробежной силой в уравнениях баланса сил, действующих на исследуемую звезду-компонент ДЗ со стороны скопления и второго компонента ДЗ. Увеличение rc,1,2 с увеличением r3,1 при r3,1 > 3.5 пк для ДЗ с круговыми орбитами обусловлено уменьшением модуля регулярной силы скопления, плотности и массы скопления, распределенной между компонентами широкой ДЗ.

Точками на рис. 5 показаны положения компонентов широких ДЗ, согласно Danilov (2021a, рис. 2b). Кружками на этом рисунке обозначены ДЗ с er1,2/r1,2 < 0.79. Отсутствие точки внутри кружка указывает на наличие заметных градиентов плотности в распределении звезд в окрестностях этой ДЗ, влияющих на выбор ближайшего к рассмотренной одиночной звезде компонента ДЗ. Согласно рис. 5, практически все точки (и кружки) расположены выше меньших приливных расстояний между компонентами ДЗ (за исключением компонентов трех ДЗ вблизи центра скопления), что согласуется с оценками положительных полных энергий широких ДЗ (Danilov 2021a, рис. 4). Поэтому основной причиной наличия такого большого числа широких ДЗ в Плеядах является регулярное поле скопления, которое удерживает компоненты ДЗ вблизи друг друга и препятствует быстрому распаду такой пары. В значительной степени удержание широких пар от быстрого распада зависит от пространственной ориентации их векторов Г1,2 (Danilov 2021b). Отметим, что положения точек и кружков с точками на рис. 5 в значительной степени согласуются между собой (точки и кружки с точками группируются в одних и тех же областях диаграммы на рис. 5), что указывает на возможность использования для анализа приливных ограничений на ДЗ и оценок r1,2 с er1,2/r1,2 > 0.79.

При оценке величин rc,1,2 в случае произвольной ориентации векторов г1,2 для ДЗ в Плеядах использовались данные о массах и координатах звезд-компонентов 36 ДЗ из работ Danilov (2021a), Danilov and Seleznev (2020) и модель скопления (2) с параметрами Q = 0.7, (c — 0.6367. Она точнее описывает радиальное распределение плотности в Плеядах (см. рис. 10b из Danilov and Seleznev (2020)) в области r > Rc вблизи границы ядра скопления, чем модель с параметрами Q = 0.9, Zc — 0.8042. Оценки величин rc,1,2 для таких случаев удалось получить лишь для 26 ДЗ с помощью

уравнений общего вида из работы ЭапПоу(2021Ь) и уравнения (5) данной работы, содержащих углы ^ и неравные 0 или п. Вероятно, это вызвано большим числом ДЗ с в € (75°;92°] (см. рис. 3а, 3Ь), так как влияние регулярного поля скопления на ДЗ проявляется лишь на достаточно больших расстояниях от центра скопления (0апПоу2021Ь, рис. 2Ь). Вертикальные штриховые линии на рис. 5 связывают между собой величины г1;2 и гС;1;2 для одного из компонентов наблюдаемых ДЗ в модели неоднородного скопления.

Лишь для одной ДЗ с г1;3 — 0.86 пк оказалось возможным определить два значения гС;1;2 — 0.14, 0.87 пк при г1;2 — 0.52 пк (см. рис. 5). В этом случае ДЗ с массой ш1;2 — 1.42 М® оказывается захваченной в области между двумя ветвями решений для гС;1;2 уравнения (5) баланса сил, действующих на более массивную звезду-компонент ДЗ со стороны скопления и второй звезды-компонента ДЗ.

Согласно рис. 5, приливные расстояния гС;1;2 для ДЗ, расположенных в пределах ядра скопления (г< 2.5—2.8 пк), больше или значительно больше (примерно в 10 раз) величин г1;2. Вертикальные штриховые линии для компонентов пяти ДЗ при г — 1.7—2.1 пк направлены вверх от точек, соответствующих этим компонентам; одна из этих точек (отмеченная кружком на рис. 5 и расположенная вблизи г2,3 — 2.1 пк) соответствует компоненту ДЗ с достаточно малой величиной ег1;2/г1;2 — 0.46. Так как для этих пяти ДЗ получены достаточно близкие между собой большие значения гС;1;2 (см. рис. 5) то среди всех параметров ДЗ доминирующую роль в оценках приливных расстояний гС;1;2 играет расположение этих ДЗ в ядре скопления (то есть величина г и условие г < 2.5—2.8 пк). Обозначим

£о =

£1

£4

r1,2,

r1,2,

2er1,2

r1,2 - r1,2,min

eri;2

r1,2,max П,2

eri;2

r1,2,max - П,2

r1,2

Среднее по 36 ДЗ значение (£о)зв равно 0.77 ± 0.03 при £0 € (0.5; 1.0], а медианное — (е0)3б — 0.71. Таким образом, уточнение допустимого интервала погрешностей для величин г1,2 с помощью ограничений (11) позволяет уменьшить ширину интервала погрешностей в г1,2 в среднем

Таблица 1. Оценки средних величин г^2, гед,2, п,2,т;п, гс, ^2,тт, П,з для групп широких двойных звезд в Плеядах

1 (ri$)n, ПК )п, ПК

п к (гс,1,2)п, ПК (n,2,min)n, ПК (Гс,1,2,тт)п, ПК

2 4 к <1 0.43 ±0.07 3.92 ±0.32 0.20 ± 0.06 1.02 ±0.57 2.22 ±0.15

3 2 к > 1 0.40 ± 0.09 2.09 ± 1.76 0.15 ±0.08 0.172 ±0.002 2.15 ±0.33

4 7 к < 1 0.75 ±0.10 0.42 ±0.11 0.43 ± 0.08 0.19 ±0.01 4.10 ±0.42

5 10 к > 1 0.80 ±0.14 0.54 ±0.12 0.33 ± 0.08 0.20 ± 0.03 4.85 ±0.40

6 п к (Г1,2)п, пк {Гс,1,2)п, пк (n,2,min)n, ПК (rc,l,2,mm)n, ПК (п,з)п, ПК

7 4 к <1 0.44 3.69 0.20 0.57 2.18

8 2 к > 1 0.40 2.09 0.15 0.172 2.15

9 7 к < 1 0.80 0.29 0.35 0.19 3.52

10 10 к > 1 0.75 0.53 0.20 0.16 4.27

на 23—29%. Для рассматриваемых 36 широких ДЗ находим:

(ёТ)зб = 0.54 ± 0.06, (бд )зб — 0.42,

(£2)36 - 1-0, (^2)36 ^ 1-0.

Поэтому практически полностью уменьшение интервала погрешностей величин г1>2 происходит за счет увеличения нижних значений г1>2, допустимых ограничениями (11). Для 36 ДЗ также получены следующие оценки:

(ёз)зе = 0.47 ±0.05, (е3)зб ^ 0.39, (ё!)зб = 1-41 ± 0.21, (£4)36 — 0.93.

Таким образом, средние и медианные относительные погрешности для г1,2 (как и абсолютные погрешности) в основном убывают за счет обусловленного ограничениями (11) увеличения нижней границы области допустимых значений г1,2. По данным о 18 ДЗ с < 0.79 находим:

(ёз)18 = 0.24 ±0.03, (е3)18 -0.27.

Наименьшие относительные погрешности показывает отклонение нижней границы допустимых значений г1)2 от средних оценок г1)2 = г1;2,т, полученных по данным Оа1аОН2 и расположенных внутри интервала [г^,™ - вг^, г^,™ + ег^]. Отметим, что оценки величин гС;1;2 при г1>2 = г1)2,т1п, г1,2,т удается получить для 23 ДЗ, а в случае г1,2 = г1,2,тах — лишь для 14 ДЗ (из них 4 ДЗ с к < 1 и 10ДЗ с к > 1).

В таблице 1 приведены оценки средних и медианных величин п,2, гс,1,2, п^тт, гС,1,2,т1п

для групп широких ДЗ в Плеядах с разными значениями r1>3 и к. Согласно этим оценкам, в ядре скопления при r = r1>3 < 2.5 пк и к ^ 1 выполняются соотношения: (гсд)2) > (г^г) и {гс, 1,2,min) > (п,2,min)- ПОЭТОМУ КОМПОНеНТЫ

рассмотренных широких ДЗ, расположенных в ядре скопления, временно удерживаются между собой регулярным силовым полем скопления (хотя «затягивание» компонентов таких ДЗ в резонанс с колебаниями регулярного поля скопления также имеет место (Danilov 2005; 2021b, Danilov and Leskov 2005)).

За пределами ядра скопления (при f = Г1,з>2.5пк, (гТ^з) ~4.1—4.8 пк) верны соотношения (г^а) < (7^2) И (rC)i)2,min)<(ri,2,min), ЧТО указывает на неустойчивость широких ДЗ к распаду в регулярном поле скопления. При r > 3 пк вертикальные штриховые линии от точек на рис. 5, соответствующих компонентам ДЗ, направлены вниз и r1;2 > rc,i)2. Поэтому за пределами плотного ядра все ДЗ, для которых получены оценки величин rc,1,2 с помощью уравнений общего вида, содержащих углы и (из работы Danilov (2021b) и уравнения (5) из данной работы), оказываются приливно неустойчивыми, но компоненты этих ДЗ временно удерживаются на расстоянии r1>2 > rc,1)2 между собой при наличии колебаний регулярного поля скопления (в результате «затягивания» компонентов таких ДЗ в резонанс с колебаниями поля скопления (Danilov 2005; 2021b, Danilov and Leskov 2005)). Согласно Danilov (2005) и Danilov and Leskov (2005), в этом случае в скоплении формируется набор интервалов расстояний r от

центра скопления, в каждом из которых имеет место синхронное движение групп звезд по их траекториям (с одинаковой частотой для данного интервала значений r). Поэтому наличие широких ДЗ в Плеядах можно считать одним из признаков нестационарности этого скопления в регулярном поле (см. также Danilov (2021b), Danilov and Seleznev (2020)).

В случае r^2 = ri)2)max, а n = 2, к < 1 имеем: при r1>3 < (2.5-2.8) пк

(Тс, 1,2,max)«, ^ (^1,2,max)«)

(rc,1,2,max)« > (r1,2,max)«j

при r1)3 > 2.8 пк

(Тс, 1,2,max)« ^ (^1,2,max)«)

(rc, 1,2,max)« < (r1 ,2,max) «

(как и в таблице 1 при указанных в ней значениях n для средних величин r1,2 и rc,1,2). При к > 1 и Г1)3 > 2.8 пк также находим (rc,i,2,max)ra < (ri,2,max)ra

и (Гс,1,2,max)« < (r1,2,max)« при П = 6, как и в

таблице 1 для средних величин r1,2 и rc,1,2 при n = 8. Однако при r1,3 < (2.5-2.8) пк и к > 1

(Тс, 1,2,max)« ^ (Tl,2,max)« И (^с,1,2,max)« ^ (^1,2,max)«

при n = 2, что отличается от данных таблицы 1 для средних величин r1,2 и rc,1,2. Кроме того, для двух широких ДЗ с к > 1 и r1,3 ~ 5.0, 7.2 пк величины rc,1,2 могут достигать значений rc,1,2 ~ 4.15,11.13 пк соответственно. В этих случаях удается вычислить лишь большие положительные корни уравнения (5), что указывает на возможность баланса сил, действующих на более массивную звезду со стороны скопления и менее массивной звезды-компонента широкой ДЗ (c r1,2 ~ 1.5-2.2 пк) на расстояниях r ~ 5.0-7.2 пк от центра скопления. Отмеченные отличия в соотношениях между средними величинами r1,2,max и rc,1,2,max и данными таблицы 1 для средних величин r1,2 и rc,1,2 обусловлены малыми значениями n = 2 для сравниваемых групп ДЗ и большими отклонениями величин r1,2,max от r1,2 на верхней границе интервала погрешностей величин r1,2.

Отметим, что точность наблюдательных данных существенно ниже той, что принимается в теоретических разработках1. Одна из важных задач (и особенностей) использования нами наблюдательных данных состоит в обозначении основных тенденций в строении и в пространственных ориентациях векторов r1,2 для широких ДЗ в ближайших РЗС, что вполне позволяют данные Gaia DR2.

'Например, при вычислении координат звезд в моделях РЗС, как правило, используется 15—16 значащих цифр после десятичной точки.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В работе предложена методика оценки параметров пространственной ориентации векторов ri,2 для широких ДЗ в РЗС. Проведено исследование особенностей ориентации векторов r1,2 для 36 широких двойных звезд, обнаруженных в работе Danilov (2021a) в Плеядах по данным Gaia DR2 (Brown et al. 2018, Prusti et al. 2016). Показано, что наибольшее число широких ДЗ в Плеядах ориентировано в направлении, близком к перпендикулярному направлению на центр скопления (соответствующие этим ДЗ углы в € [75°; 92°], см. рис. 3a, 3b; в — угол между направлением от центра скопления на ближайшую к нему звезду-компонент ДЗ и направлением от этой одиночной звезды на более удаленный от центра скопления компонент ДЗ). Этот вывод согласуется с оценками положительных полных энергий широких ДЗ в Плеядах (Danilov 2021a) и с выводом работы Danilov (2021b) о том, что распад широких ДЗ может присходить, в основном, в направлении, перпендикулярном направлению на центр скопления. Обнаружен также локальный максимум числа ДЗ вблизи в ~ 55°, образованный в основном парами звезд с расстоянием между компонентами ri,2 < 0.67 пк. Выделены две группы по 18 широких ДЗ с к < 1 и к > 1 (к — отношение массы компонента ДЗ, ближайшего к центру скопления, к массе компонента ДЗ, более удаленного от него). Эти две группы по-разному зависят от величин r1,2, массы ДЗ m1,2 и в (рис. 4), что может быть связано с различием приливных ограничений со стороны регулярного поля скопления на ДЗ с такими значениями к.

2. Получены уравнения (5) и (5) для оценки приливных расстояний rc,1,2 между компонентами широких ДЗ в РЗС для двух моделей распределения плотности массы в скоплении (модель РЗС с однородным по плотности ядром и убывающей за его пределами плотностью p(r) ~ 1/r2 при увеличении расстояния r от центра скопления, а также точечная модель скопления). При выводе уравнений (5) и (5) использовались интеграл энергии системы трех гравитирующих тел и условие баланса силы притяжения звезды-компонента ДЗ скоплением и остальными двумя телами системы (с учетом различий регулярного поля скопления в точках расположения компонентов широкой ДЗ).

3. Выполнено исследование приливных ограничений на широкие ДЗ в Плеядах. Показано, что в ядре скопления величина rc,1,2 в основном определяется регулярным силовым полем скопления. За пределами ядра и на периферии скопления наиболее вероятным механизмом формирования широких ДЗ (и, следовательно, величин r1,2 и rc,1,2) является «затягивание» компонентов таких

ДЗ в резонанс с колебаниями регулярного поля скопления (Danilov 2005, Danilov and Leskov 2005). Поэтому наличие широких ДЗ в Плеядах можно считать одним из признаков нестационарности этого скопления в поле регулярных сил (см. также работы Danilov and Seleznev (2020) и Danilov (2021 b)). Полученное различие решений уравнений (5) и (5) в случае ориентации векторов r1,2 ДЗ вдоль направления от центра скопления при к < 1 и к > 1 (см. рис. 5 (кривые, обозначенные буквами n и n1 соответственно)) ведет к заключению о различии приливных ограничений со стороны скопления на широкие ДЗ с разными к. Показано, что на периферии скопления с плотностью p(r) ~ 1/r2 величины rc,1,2 убывают с увеличением r до значений r ~ 3.8-4.7 пк, а затем возрастают. Величины rc,1,2 также возрастают при увеличении r в рамках точечной модели скопления (при r > 6 пк см. (рис. 5)).

4. Получены формулы для оценки величины rc,1,2 для широких ДЗ с круговыми орбитами в неоднородном скоплении, учитывающие влияние на rc,1,2 массы скопления, распределенной между компонентами ДЗ. Показано, что величины rc,1,2 на периферии скопления (при r > 3.5 пк) возрастают примерно в три раза при переходе от радиальных орбит ДЗ к круговым.

5. При анализе величин er1,2 и er1,2/r1,2 для широких ДЗ в Плеядах установлено наличие двух групп ДЗ с величинами er1,2 вблизи er1,2 ~ 0.35 пк и er1,2 ~ 1.0 пк (см. рис. 2d), обусловленными увеличением погрешностей экваториальных координат более массивных звезд-компонентов ДЗ большей светимости и увеличением погрешностей в расстояниях от Солнца менее массивных звезд-компонентов ДЗ соответственно.

ФИНАНСИРОВАНИЕ

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации, тема № FEUZ-2020-0030. Часть работ проведена при финансовой поддержке постановления № 211 Правительства Российской Федерации, контракт № 02.A03.21.0006.

(This work was supported by the Ministry of Science and Education, FEUZ-2020-0030. This work was supported in part by the Act № 211 of the Government of the Russian Federation, agreement no. 02.A03.21.0006.)

КОНФЛИКТ ИНТЕРЕСОВ

Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. S. J. Aarseth, Astrophys. and Space Sci. 13 (2), 324

(1971).

2. M. R. Bate, I. A. Bonnell, and V. Bromm, Monthly

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Notices Royal Astron. Soc. 336 (3), 705 (2002).

3. P. Bodenheimer, ASP Conf. Ser., 229, 67 (2001 ).

4. P. Bodenheimer and A. Burkert, IAU Symp., 200, p. 13

(2001).

5. H. Bouy, E. Bertin, L. M. Sarro, et al., Astron. and

Astrophys. 577, id. A148 (2015).

6. A. G. A. Brown et al. (Gaia Collab.), Astron. and

Astrophys. 616, id. A1 (2018).

7. S. Chandrasekhar, Principles of stellar dynamics

(Dover, New York, 1942).

8. V. M. Danilov, Astronomy Reports 49 (8), 604 (2005).

9. V. M. Danilov, Astrophysical Bulletin 76 (1), 55

(2021a).

10. V. M. Danilov, Astrophysical Bulletin 76 (3), 269 (2021b).

11. V. M. Danilov and E. V. Leskov, Astronomy Reports 49 (3), 190(2005).

12. V. M. Danilov and A. F. Seleznev, Astrophysical Bulletin 75 (4), 407 (2020).

13. N. R. Deacon and A. L. Kraus, Monthly Notices Royal Astron. Soc. 496 (4), 5176 (2020).

14. D. C. Heggie, Monthly Notices Royal Astron. Soc. 173,729(1975).

15. L. A. Hillenbrand, C. Zhang, R. L. Riddle, et al., Astron. J. 155 (2), id. 51 (2018).

16. C. Marchal, The three-body problem (Elsevier, Oxford, 1990).

17. S. S. R. Offner, M. M. Dunham, K. I. Lee, et al., Astrophys. J. 827 (1), id. L11 (2016).

18. T. Prusti et al. (Gaia Collab.) Astron. and Astrophys. 595, id. A1 (2016).

19. M. I. Rabinovich and D. I. Trubetskov, Introduction to the Theory of Oscillations and Waves (Nauchno-Izdatelskii Tsentr "Regulyarnaya i Khaoticheskaya Dinamika", Moscow—Izhevsk, 2000).

20. A. N. Raju, D. Guszejnov, and S. S. R. Offner, Research Not. Amer. Astron. Soc. 5 (7), 164 (2021 ).

21. L. M. Rebull, J. R. Stauffer, J. Bouvier, et al., Astron. J. 152 (5), id. 113(2016).

22. B. Reipurth, S. Mikkola, M. Connelley, and M. Valtonen, Astrophys. J. 725 (1), L56(2010).

23. J. R. Stauffer, L. W. Hartmann, G. G. Fazio, et al., Astrophys. J. Suppl. 172 (2), 663 (2007).

Tidal Constraints for Wide Binary Stars in Pleades

V. M. Danilov1

1Kourovka Astronomical Observatory named after K. A. Barkhatova, Ural Federal University named after the First President of

Russia B. N. Yeltsin, Yekaterinburg, 620000 Russia

A technique is proposed for estimating the parameters of spatial orientation of the r1j2 vectors of distances between the components in wide binary stars (BS) in open star clusters (OCs). An analysis of the orientation features of these vectors for 36 wide BSs previously discovered in Pleiades based on Gaia DR2 data shows that the largest number of vectors r1j2 of wide BSs in Pleiades are oriented in direction close to the perpendicular to cluster center. This result agrees with earlier estimates that yielded positive total energies for wide BSs in Pleiades and with the conclusion that the disruption of wide binaries can occur mostly in the direction perpendicular to the direction of the cluster center. Two groups are distinguished by the value of their k parameter—the ratio of the mass of the component of the binary that is closest to the cluster center to the mass of the more distant component: with k < 1 and k > 1, each consisting of 18 stars. Different dependence on the orientation parameters of the vectors r1j2 for these groups is indicative of different tidal constraints from the regular cluster field. Equations are derived for estimating the tidal distances rCj1j2 between the components of wide BSs in OCs in terms of two models of mass density distribution: an OC model with a uniform-density core and density decreasing as p(r) ~ 1/r2 outside this core, where r is the clustercentric distance, and a point-mass cluster model. The equations were derived using the integral of the energy of the system of three gravitating bodies and the condition of the balance of the attraction on the BS component by the cluster and the other two bodies of the system. Tidal constraints on wide BSs in Pleiades are analyzed. It is shown that rc,1j2 in the cluster core is mostly determined by the regular force field of the cluster. Outside the core and at the cluster periphery, the most likely hitherto studied formation mechanism of wide BSs (and hence of the rc,1j2 value) is "pulling" components of such BSs into resonance with oscillations of the regular cluster field. Therefore, the presence of wide BSs in Pleiades can be considered as one of the signs of the nonstationarity of Pleiades in the field of regular forces. Formulas are derived for estimating rc,1j2 for wide BSs moving in circular orbits in a non-uniform cluster, which take into account the effect on rCj1j2 of the cluster mass distributed between the components of the wide BS. The distances rCj1j2 at the cluster periphery (r > 3.5 pc) are shown to increase by about a factor of three when passing from radial to circular BS orbits.

Keywords: (stars:) binaries:—(Galaxy:) open clusters and associations: individual: Pleiades

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.