О приближении значений показательной функции Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ. Н. Э. БАУМАНА

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Эл № ФС77 - 48211. Государственная регистрация №0421200025. ISSN 1994-0408

электронный научно-технический журнал

О приближении значений показательной функции

# 10, октябрь 2013

Б01:10.7463/1013.0604020

Иванков П. Л.

УДК 511.361

Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана [email protected]

Введение

Zm — комплексные числа. Мерой линейной независимости этих чисел

L(Z 1,... ,Zm; H) = min |hiZi + ... + hmZm|, (1)

где минимум берется по всем нетривиальным наборам целых рациональных чисел h1, .. ., hm, для которых

max(|hi|,..., |hm|) ^ H. (2)

Если не все числа Z1, ..., Zm являются вещественными, то часто минимум в правой части (1) рассматривают по всем нетривиальным наборам целых чисел (удовлетворяющих условию (2)) из какого-либо мнимого квадратичного поля. Поскольку найти явное выражение для функции (1) обычно не удается, то приходится ограничиваться получением для этой функции оценок снизу. Для значений показательной функции наиболее известен результат К. Малера [1]

m2 ln m

L(1,e,...,em; H) > h-m-c^nu, (3)

где c — положительная постоянная, а число H достаточно велико.

Уточнить оценку (3) пока не удается (кроме случая m = 1). Можно, однако, получать аналогичные (и более точные) оценки для значений показательной функции в специально выбранных точках некоторого мнимого квадратичного поля (или поля рациональных чисел). Примеры результатов такого рода имеются в [2, 3, 4]. В двух последних работах рассматривается случай k = 2 из приводимой ниже теоремы.

Пусть Z1 , . . . , называется

1. Основные обозначения и формулировка результата

Обозначим через £1 = 1, £2, • • •, £к различные корни к-й степени из единицы (к ^ 2), и пусть алгебраическое поле I содержит все эти корни. Пусть, далее, Ь = 0, Ь € Ъ\. Обозначим

с = Vк

(^Г^ — к)

к-1

7 =

к + 1

( ?1 ?к

шах е ь ,... , е ь

(4)

(5)

При некоторых значениях к (например, при к = 2, 3, 4, 6) поле I может быть полем рациональных чисел или мнимым квадратичным полем.

Теорема 1. Предположим, что I есть поле рациональных чисел или мнимое квадратичное поле. Тогда справедливы следующие утверждения. 1. Неравенство

Л^е ь + ... + Нк е ь

< сн

1 -к( 1п1п Н I 1п н

где Н = шах(|^|,..., |Л,к|), имеет бесконечно много решений в целых числах ..., Нк из поля I.

_к

2. Если Ьк 2 — целое (алгебраическое) число, то при любом е > 0 неравенство

?1

^1е ь + ... + Л,ке ь

< (С - е)Н

1к

(1п 1п Н

V 1п н

может иметь лишь конечное число решений указанного вида.

2

7

7

2. Доказательство теоремы

Рассмотрим вспомогательную функцию

Фг(V) = (V — г)(^ — г — к)... (V — г — к(п — 1)) ^^£

V — г

¿=1

где г = 0, 1, ..., к — 1; V = 0, 1, 2, ...; п — натуральное число.

Лемма 1. Если 0 ^ V ^ кп + г — 1 или V — г не делится на к, то Фг (V) V ^ кп + г и V — г делится на к, то выполняется равенство

Фг (V) = кП+1

¿1

(г — п)Г

(6)

0. Если

где г

V — г

к '

Доказательство. Поскольку

e pV-r = f k V = г (mod k),

j=1 [ 0 в остальных случаях,

то справедливость утверждений леммы вытекает непосредственно из определения функции Фг (v). Лемма доказана.

Подберем многочлены

n

Prj(z) = ^^prjszs, г = 0, 1, ..., k — 1, j = 1, ..., k,

s=0

для коэффициентов которых равенство

k n

e e Prjs£rsv(V — 1) ... (V — s + 1) = Фг (V) (7)

j=1 s=0

выполняется при v = 0, 1, 2, ... Для этого достаточно при г = 0, 1, ..., k — 1, j = 1, ..., k, s = 0, ..., n положить

= P- f (Z — r)(Z — г — k)... (Z — г — k(n — 1)) Prjs = 2ni J Z(Z — 1)... (Z — s) dZ' (8)

|Z|=n+1

где окружность |Z | = n +1 ориентирована положительно. Последнее утверждение очевидно: если подставить правую часть (8) вместо prjs в (7), то мы получим равенство

kn

e j-r e V(V — 1)... (V — s + 1)p-s = Фг(V),

j=1 s=0 pj

которое справедливо, поскольку внутренняя сумма в левой части есть разложение в ряд

n- 1

Ньютона многочлена П (v — г — kx) от v из правой части (6) [5, §2.2].

ж=0

Рассмотрим теперь функциональную линейную форму

k

Lr (z) = e Prj (z)eijz. (9)

j=1

Преобразуем выражение для коэффициента при zv в разложении Lr (z) по степеням z. Тогда

k min(n,v) pv-s k n rh / \

e e jbr V!eePrj'ev-'v(v—1)...(v—s + 1) = iVvl.

j=1 s=0 — j=1 s=0

s-1

Мы воспользовались равенством (7), а также тем, что Л (v — x) = 0 при s > v. Таким

ж=0

образом,

Lr(z) = e ^ " <10)

v=0 '

Лемма 2. При п ^ то

Ь"М 1) = к2—гЬ—г(Ье-1кп)(1—к)пп—г + о( . (11)

Доказательство. В соответствии с леммой 1 и равенством (10) имеем при п ^ то

Ь" г Г11 = V,—^—^ ^ = Ь(1—к)п—гк"+1„ п' , Л + О Г1

- t^t (t - n)!(kt + r)! bfci+r (kn + r)! V ^n

Из этого равенства требуемое утверждение получается с помощью формулы Стерлинга. Лемма доказана.

Лемма 3. При п ^ то

(1) = <—1>"—1А§е—3 <Ье—1кп)"п—2 — 1 (1 + О )) ■ (12)

■ 11 ? з

\ л \т—г » —-;-

(1) = (-1)гаеГ^Т^ е"j (be-1kn)nn-1 + k (l + О (, (13) ,k

j = l,..., k, r = l,..., k — l.

Доказательство. Пусть r > 0. Применив теорему о вычетах к правой части (8), получим

„D (l) = (j )s _L f (Z — r)(Z — r — k) ... (Z — r — k(n — l))

b"M-j = gEl J 2ni J ^ dZ

bn / ^ ()s —r(—r — k)... (—r — k(n — l))

J......+

ens=ov -J (—l)... (—s)

+ e ()S e( — l)s-M — r)(^ — r — k) ... — r — k(n — l)M

1 ^!(s —

s=1 jU=1

(14)

Далее, при n ^ то имеем

E()s —r(—r — k)... (—r — k(n — l)) ^V-J (— l)... (—s)

,r(n+r) Л~

(—l)"kne(—!)'l — e (—!)'l

г ^ \s=0 s=n+1 ,

r(n + 0

Оценим двойную сумму из правой части (14). Для знаменателя дроби, входящей во внутреннюю сумму, имеем очевидную оценку

5!

^ - ^ ^.

Обозначим через т минимальное значение Г-функции на (0, то). При достаточно большом п

п— 1

п II 1Г - ^

- г)(и - г - к)... (^ - г - к(п - 1))|= кп П (

*=[I]+1

Г - ^

f X

[ I]

п

ж=0

^ - г

— X

Г п +

к

П к -{ ^ + 1

к

г — 1

+ 1)1+1 < кп ЧПЕж! (2£ + 1) «+1

т

V к

Таким образом,

(^ - г)(^ - г - к)... (^ - г - к(п - 1))

п п + + Ак

к )\к

те!

откуда

5 (~ у 5 (-1)5—|- г)(^- г - к)...- г - к(п -1))

«=1

1=1

< - Г(п+^ )§( i

т

к

(5 - 1)!

«+1

-. (15)

Из формулы Стирлинга следует, что при п ^ то

Г( п + = ^2Лпп— 1 + Г - а е—п (1 + о( -

к к

п

а = 0, 1.

Пользуясь этим, из (14)—(15) получаем (13). При г = 0 имеем

«=0

О V 1

с (с - к)... (С - к(п - 1))

1С |=п+1

С (С - 1)... (С - 5)

=«п|Е (! )•(1 "к- 1)(1.^пг1}) ^ <->

,«=1 ^ ' К ' «=2 1=2

I - к)...(^- к(п -1))

(^ -1)!(5 -

Рассуждения, аналогичные приведенным выше, дают формулу (12). Лемма доказана.

a-j = aJ = bnPr,-( l). (16)

Обозначим

^г. = аг. = Ь р Г^ Ь

Заметим, что так определенные числа аг. являются целыми в поле I. Для того, чтобы убедиться в этом, достаточно записать интеграл из правой части (8) с помощью вычета относительно точки ( = то. Из леммы 3 следует, что

К.I = С1(с2п)"псз(1 + о(1)) (п ^ то),

где с1, с2, с3 — постоянные, не зависящие от п; с1 и с2 положительны. Поэтому при п ^ то

1п1п ^ ^ 1 + о Ш) . (17)

1п |аг. | п \ 1п п \1п п

Для числовой линейной формы

/г = /(" = Ь"£г(1) = а^е^ + ... + агке0 ^ г ^ к — 1, (18)

обозначим через Нг = нТ" максимум модулей ее коэффициентов. Из (12) и (17) следует, что при п ^ то

СЯИ^У = ^e-kn)«- (l + Y^ + ЧЕП) ) • (19)

где С и 7 определены равенствами (4). Сравнивая правую часть (19) с (11) при г = 0, видим, что при любом е > 0 при всех достаточно больших п выполняется двойное неравенство

(С — е)Н0—к (1пппН) <М<СНо'-к (1ппН0). (20)

из которого, в частности, следует первое утверждение теоремы.

Переходя к доказательству второй части теоремы, заметим прежде всего, что при любом фиксированном е > 0 и при всех достаточно больших п

(Сг — ^^Г < |/г| < СгНг1-к(^Г- 1 « г « к — , (2,)

Соотношения (21) могут быть получены с помощью (13) и (11) по указанной выше схеме; при этом

к1

e ь

k l r

Yr = — + k r = l,...,k — l, (22)

C = ki-|b|-r (^ max

W r) max

где число M определено равенством (5). Из (20), (21) и (22) следует, что при всех достаточно больших n выполняется неравенство

ilr| > (О — e)Hr1-k()Y, r = 0, l, ..., k — l.

Лемма 4. Определитель, строками которого служат коэффициенты линейных форм

/(п), , ..., 4—, /5п+1), ..., /(п+1), 0 ^ д ^ к - 1,

отличен от нуля.

Доказательство. Рассмотрим случай д = 0. Заметим сначала, что порядок нуля определителя

Д(г) = |Рг7 (г)|г=0,1,...,к—1,.?=1,...,к: при г = 0 не меньше кп. Это следует из леммы 1, (9) и (10). Поэтому

Д(г) = Агкп, (23)

где

A = |Prjra|r=0,1,...,fc-1, j=1,....

k.

Из (8) следует, что

где

A = |e™-r |r=o,i,...,k-i,j=i.....k = ±q, (24)

(k-1)(3k-2) fc

q = i 2 k 2

По поводу вычисления последнего определителя см., например, [6, задача 532]. Из (23) и (24) следует, в частности, что A(z) = 0, если z = 0. Отсюда вытекает утверждение леммы при q = 0. Аналогично можно доказать лемму и при 1 ^ q ^ k — 1. Лемма доказана.

_ k

Лемма 5. Пусть выполнено условие bk-k g Za второго утверждения теоремы и пусть

с G I, 0 < |c| < 1. Тогда при фиксированном r, 0 ^ r ^ k — 1, не все числа

œrj, j = 1, ..., k, (25)

будут целыми в поле I.

Доказательство. Из (16), (23) и (24) вытекает равенство

|arj |r=0,1,...,k-1, j=1,...,k = ±q. (26)

Поэтому если все числа (25) являются целыми, то целым будет и число cq. Следовательно, целым является и число с, поскольку bq-1 G Zj и

n— 1

œr1 = ^^ pr1scq(bq-1 )bn-s—1 + c.

s=0

Однако это невозможно, так как 0 < |с| < 1. Лемма доказана.

С помощью (12) нетрудно убедиться, что последовательность {H((n)} возрастает, начиная с некоторого номера (числа нГп) определены после равенства (18)). Поэтому для линейной формы

îi , îfc

i = h1e b + ... + hk e b

с целыми в поле I коэффициентами при достаточно большом Н,

Н = шах(|^11,..., |^к|),

найдется натуральное п, такое, что Н0п) С Н < Н0"+1). Будем различать два случая

Н" С Н < Нк"\ и Нк"\ С Н < Н0"+1).

Рассмотрим первый случай. Так как при всех достаточно больших п

н0" < н(п) < ... < н("\ ,

то найдется г, 0 С г С к — 2, для которого

Н" С Н < нг+\.

(28)

Пусть сначала Н0 С Н < Н1; предположим дополнительно, что

Н С

1

Н1

1п 1п п

Поскольку линейные формы /0, /1, . .., /к-1 линейно независимы (см. (26)), то в поле I существуют такие числа а0, а1, . .., ак-1, что

^ Пт Ппо . . . Ппи ^

^к) = (ао «1 ... «к-1)

П01 П02 П11 П12

П0к П1к

\ "к-1,1 Пк—1,2 ... Пк-1,к )

(29)

Если в последнем равенстве а1 = ... = ак—1 = 0, то / = а0/0. Кроме того, так как / имеет целые коэффициенты, то, согласно лемме 5, |а0| ^ 1. Таким образом, в рассматриваемом случае

|«0/01 > |«01(С — е)Н(

1—к(1п1п Н0 V 1п Н0

^ (С — е)Н

1к

1п 1п Н 1п Н

Пусть теперь в (29) имеется коэффициент а., 1 С 3 С к — 1, отличный от нуля. Тогда формы /0, .. ., /7—1, /, /7+1, . .., /к—1 линейно независимы и определитель

П01 П02

Пк 1,к

7

7

5

отличен от нуля; в этом случае

|5| ^ 1.

Для получения оценки сверху модуля 5 напишем очевидное равенство

10 П02 . . . П0к

5еь

1к-1 Пк- 1,2 . . . "к- 1,к

Отсюда

к1

0Н1 .

1 ^ 1 i ^ I > 1НН0Н

(к—Ц|5е ь |С Е ^

Нк_

к1

НМН7

+

Н0Н1... Нк—1

Заметим, что сумма по ^ в правой части этого неравенства стремится к нулю при п ^ то. В самом деле, при ^ = 0 имеем

НН1... Нк_ 1

С

с4 1—1 -п к

1п 1п п

где с4 положительная постоянная, не зависящая от п. Поскольку 3 ^ 1, то последнее выражение стремится к нулю. Аналогично можно проверить, что при п ^ то стремятся к нулю и слагаемые, отвечающие другим значениям Поэтому при всех достаточно больших

п

^ С5

Н0Н1 . . . Н;

С5

к1

Н0Н2

Я;

к1

Учитывая неравенство Н ^ Н0, а также соотношения (12) и (13), получаем отсюда, что

^ с6Н

1—к

(1п 1п Н )7—£0 V 1п Н ) ,

(30)

где константа 7 определена равенством (4), а е0 = 2/к. Рассмотрим теперь случай

—Н1 С н с Н1.

1п 1п п

В этой ситуации следует взять линейно независимые формы

(") (") 11 , 12 ,

(") , к 1,

/(

11

("+1)

Рассуждения, аналогичные приведенным выше, дают неравенство вида (30). Изменятся, быть может, лишь положительные постоянные с6 и е0. Аналогично обстоит дело и с неравенством (28) при г > 0. И здесь в конечном итоге оказывается, что справедливо неравенство типа (30). Второй случай из (27) разбирается аналогично и приводит к тому же результату.

Мы видим, что при всех достаточно больших Н выполняется неравенство

?! . "к I . .. . г1_к (1п 1п Н4 7

i ?1 ?к | . ,/1п1п Н\

i ^е"ь" + ... + Ккет | > (С — е)Н1—м —

Отсюда непосредственно следует второе утверждение теоремы.

Заключение

Аналитическая конструкция, использованная в данной работе, после внесения некоторых дополнительных усовершенствований может быть использована и для оценки линейных форм от значений обобщенных гипергеометрических функций. С некоторыми оговорками здесь ожидается результат аналогичный изложенному в настоящей работе: оценки линейных форм будут точны по высоте и в большинстве случаев возможно вычисление соответствующих констант. Во второй части доказанной в данной работе теоремы имеется ограничение на число b. От этого ограничения можно отказаться (это приведет к усложнению формулировки теоремы и к необходимости проведения дополнительных рассуждений технического характера).

Список литературы

1. Mahler K. Zur Approximation der Exponentialfunktion und des Logarithmus. 1. // Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1932. no. 1бб, P. 11В-13б.

2. Галочкин А.И. Уточнение оценок некоторых линейных форм // Математические заметки. 197б. Т. 20, вып. 1. С. 35-45.

3. Davis C S. A note on rational approximation // Bull. Austral. Math. Soc. 1979. Vol. 20. P. 407410.

4. Попов А.Ю. Приближения некоторых степеней числа e // Диофантовы приближения. Ч. 1. М.: Изд-воМГУ, 19В5. С. 77-В5.

5. Фельдман Н.И. Седьмая проблема Гильберта. М.: Изд-во Моск. ун-та, 19В2.

6. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 19В4.

7. Иванков П.Л. Об арифметических свойствах значений гипергеометрических функций // Математический сборник. 1991. Т. 1В2. №2. С. 2В3-302.

SCIENTIFIC PERIODICAL OF THE BAUMAN MSTU

SCIENCE and EDUCATION

EL № FS77 - 48211. №0421200025. ISSN 1994-0408

electronic scientific and technical journal

Approximation of values of an exponential function

# 10, October 2013

DOI: 10.7463/1013.0604020

Ivankov P. L.

Bauman Moscow State Technical University 105005, Moscow, Russian Federation [email protected]

In order to obtain quantitative results in the theory of Diophantine approximations one uses functional linear approximating forms which have sufficiently high order of zero at z = 0. Such forms are constructed either by means of the Dirichlet principle or effectively. In this article, by means of effective construction of approximating linear forms, we obtain a low estimate of the modulus of a linear form in the values of an exponential function in different points of an imaginary quadratic field; numerators of these points are roots of unity. Precise estimates, with respect to the height, were obtained with computation of corresponding constants. The proposed construction could be used for obtaining analogous estimates in values of generalized hypergeometric functions.

References

1. Mahler K. Zur Approximation der Exponentialfunktion und des Logarithmus. 1. Journal fur die Reine und Angewandte Mathematik, 1932, vol. 166, pp. 118-136.

2. Galochkin A.I. Utochnenie otsenok nekotorykh lineynykh form [The sharpening of the bounds on certain linear forms]. Matematicheskie zametki, 1976, vol.20, iss. 1, pp. 35-45. (English Translation: Mathematical Notes of the Academy of Sciences of the USSR, 1976, vol. 20, iss. 1, pp. 575-581. DOI: 10.1007/BF01152761).

3. Davis C.S. A note on rational approximation. Bull. Austral. Math. Soc., 1979, vol. 20, pp. 407410. DOI: 10.1017/S0004972700011114.

4. Popov A.Yu. Priblizheniya nekotorykh stepeney chisla e [Approximations of some powers of the number e]. Diofantovy priblizheniya: sb. statey. Ch. 1 [Diophantine approximation : collection of articles. Pt. 1]. Moscow, MSU Publ., 1985, pp. 77-85.

5. Fel'dman N.I. Sed'maya problema Gil'berta [Seventh Hilbert's problem]. Moscow, MSU Publ., 1982. 312 p.

6. Proskuryakov I.V. Sbornik zadach po lineynoy algebra [Collection of problems on Linear Algebra]. Moscow, Nauka, 1984. 336 p.

7. Ivankov P.L. Ob arifmeticheskikh svoystvakh znacheniy gipergeometricheskikh funktsiy [On arithmetic properties of the values of hypergeometric functions]. Matematicheskiy sbornik,

1991, vol. 182, no. 2, pp. 283-302. (English Translation: Mathematics of the USSR-Sbornik,

1992, vol. 72, iss. 1, pp. 267-286. DOI: 10.1070/SM1992v072n01ABEH001413).