CC BY
20
Лемма 1. Зафиксируем n £ S В окрестности точки X = Xn функция Вейля M(X) имеет представление
mn 1 Mn
M (Х)=£(А-^TT + K(X),
V=0
гс^е mn - кратноеть \n, M^JX) регулярна при X = Xn.
Определение 2. Последовательность {Mn}n>1 называется последовательностью Вейля, а набор D := {Xn,Mn}n>1 называется спектральными данными.
Задача 1. По заданным спектральным данным D := {Xn, Mn}n>1 построить потенциал q(x).
Теорема 1. Спектральные данные {Xn,Mn}n>1 однозначно определяют краевую задачу L.
Доказательство теоремы конструктивно и дает процедуру решения обратной задачи 1. При этом используются и развиваются идеи метода спектральных отображений [3].
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и Национального научного совета Тайваня (проект 13-01-00134)-
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Yurko V. A. Integral transforms connected with differential operators having singularities inside the interval // Integral Transforms and Special Functions, 1997, Vol, 5, №3,4. P. 309-322.
2. Yurko V. A. Spectral analysis for differential operators with singularities // Abstract and Applied Analysis. 2004. Vol. 9, №2. P. 165-182.
3. Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М,: Физматлит, 2007.
УДК 517.51
А. А. Хромов
О ПРИБЛИЖЕНИИ ФУНКЦИИ И ЕЕ ПРОИЗВОДНОЙ С ПОМОЩЬЮ МОДИФИЦИРОВАННОГО ОПЕРАТОРА СТЕКЛОВА
В данной работе на базе оператора, приведенного в [1], строится модификация оператора Стеклова, позволяющая получать приближения, равномерно сходящиеся к функции и ее производной на всем отрезке задания функции.
Пусть /(х) е С:[0,1].
Из операторов Sа1f операторы:
1
а
/ /(г) лг, Sа2/
х+а
/ f(г) лг построим
х
при х е [0,1/2], S21f при х е [1/2,1]
и
Па(2)/ Г Я^/ ПРИ X е [0, 1/2]
а / \ О^/ при х е [1/2,1] ,
где О - оператор дифференцирования по х. Из-за разрывности функций S((2)f и ОSi2)f в точке х =1/2 будем использовать метрику пространства Ьто[0,1], норма в котором в нашем случае будет определяться по формуле
II • 11ьто[0,1] = тах{| • 11С [0,1/2], II • Ус [1/2,1]}. Лемма 1. Операторы и S'22 имеют, вид
^«1f =
а2
(2а - (х - г))f (г) лг + (х - г)f (г) лг
х-2а
^^ = о
а2
х+а
х+2а
(г - х))/(г) лг + / (2а - (г - х)/(г)) лг
х+а
(а < 1/4 ).
Доказательство получается, если к повторным интегралам в выражениях для операторов S21 и S22 применить формулу интегрирования по частям.
Лемма 2. Операторы DS21 м DS22 имеют вид
= о а2
а2
f(г) лг + у f(г) лг
х-2а х-а
х+а х+2а
-/ f (г) лг + I f (г) лг
Теорема 1. Длл любой непрерывной Функции/(х) выполняется сходимость
- f ^[0,1] ^ 0 а ^ 0.
х—а
х-а
х
х—а
х—а
х
Доказательство получается, если использовать равенство Sа^ 1 = 1, ] = 1, 2, из которого получается оценка: ^^f - f | < ы(2а), ] = 1, 2, где ^ (2а) - модуль непрерывности функции f (х).
Теорема 2. Для f (х) е С 1[0,1] выполняется сходимость:
И^(2)/ - //|ьто[0,1] ^ 0 при а ^ 0.
Доказательство. В формулах леммы 1 заменим дифференцирова-хг щие интегралы по частям, "перебросив"производную на Функцию/(х). Поскольку подстановки при этих вычислениях обратятся в ноль, мы придем к равенствам: DS2j/ = S2j/] = 1, 2. Тогда из теоремы 1 будет следовать утверждение теоремы 2. Теорема доказана.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 13 01 00238).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Хромов А. П., Хромова Г. В. Об одной модификации оператора Стеклова // Современные проблемы теории функций и их приложения: тез. докл. 15-й Сарат. зимн, школы. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. 181 е.
УДК 517.51
А. П. Хромов, Г. В. Хромова
ОБ ОДНОЙ МОДИФИКАЦИИ ОПЕРАТОРА ЛАНДАУ
В данной работе приводится некоторая модификация оператора Ландау, позволяющая получать равномерные приближения к непрерывной функции на всем отрезке ее задания.
В теории приближений хорошо известны операторы Ландау:
1
Ьп / = ¿7 (1 - (х - г)Т /(г) лг, 0
1
где = / (1 - г2) лг. 0
Известно [1], что для любой непрерывной функции, заданной на отрезке [0,1], эти операторы дают равномерные приближения к ней внутри отрезка.
