CC BY
13
УДК 378.4
А. Н. Красовский
О ПРЕПОДАВАНИИ КУРСА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ В УРАЛЬСКОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ АГРАРНОМ
УНИВЕРСИТЕТЕ
УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
A. N. Krasovsky ABOUT THEORETICAL MECHANICS TEACHING AT THE URAL STATE AGRARIAN UNIVERSITY
URAL STATE AGRARIAN UNIVERSITY
Рассматривается примерное целесообразное содержание курса теоретической механики для аграрных вузов Российской Федерации. Такой курс лекций ориентирован на студентов, обучающихся по программе бакалавриата в соответствии с ГОС третьего поколения. Курс состоит из 14 лекции (28 учебных часов) и того или иного количества практических и лабораторных занятий, в зависимости от учебных планов различных инженерных специальностей. Представлено кратко содержание всех лекций и указано на наиболее важные или интересные аспекты рассмотренных тем.
Ключевые слова: лекции, теоретическая механика, бакалавриат, образовательный стандарт третьего поколения.
The approximate expedient maintenance of a course of theoretical mechanics for agrarian higher education institutions in the Russian Federation is considered. Such course of lectures is focused on the students who are training according to the program of a bachelor degree according to state educational standard of the third generation. The course consists of 14 lectures (28 class periods) and of some number of practical and laboratory studies, depending on curricula of various engineering specialties. The summary of all lectures is submitted and specified the most important or interesting aspects of the considered subjects.
Keywords: lectures, theoretical mechanics, bachelor degree, educational standard of the third generation.
Андрей Николаевич Красовский
Лпёгеу №ко1аеу1Л Krasovsky доктор физико-математических наук, профессор по кафедре теоретической механики, профессор кафедры графики и деталей машин Е-таД: ankrasovskii@gmai1.com
Изложено примерное целесообразное содержание курса теоретической механики для аграрных вузов Российской Федерации. В частности, такой курс лекций читается автором с 2011 года по настоящее время для студентов факультета транспортно-технологических систем и сервиса и инженерного факультета Уральского государственного университета в Екатеринбурге. Такой курс лекций ориентирован на студентов, обучающихся по программе бакалавриата в соответствии с ГОС третьего поколения. Курс состоит из 14 лекции (28 учебных часов) и того или иного количества практических и лабораторных занятий, в зависимости от учебных планов различных инженерных специальностей. В течение курса предполагается выполнение студентами курсовой или расчетно-графической работы. Данный курс лекций апробирован автором, имеющим 35-летний стаж преподавания теоретической механики на математико-механическом факультете Уральского государственного университе-
та им. А. М. Горького (1976-1998 гг.), на радиотехническом, физико-техническом, информационно-математическом факультетах Уральского государственного технического университета-УПИ в Екатеринбурге (ныне - Уральский федеральный университет имени Первого Президента России Б. Н. Ельцина) (1999-2010 гг.) , а также в Университете г. Сараево (Югославия, 1986-1987 гг.).
Представляется, что с переходом к ГОС третьего поколения преподавание теоретической механики в аграрных вузах России сведется к объему учебных часов, включающих 28 часов лекций и такому же количеству, если не меньшему, лабораторных и практических занятий. Впрочем, согласно известному письму Минобразования РФ, распределением часов по техническим и специальным дисциплинам будет заниматься каждый конкретный вуз, предполагая лишь выделение 50 % часов всего учебного плана направления, независимо от его названия, на общественные науки. Выделит ли конкретный вуз достаточно большое число часов на курс теоретической механики для того или иного инженерного направления зависит, таким образом, от него самого. Поэтому в сложившейся ситуации целесообразно формировать указанный курс, ориентируясь на предложенную выше «расчасовку»), что реализуется сейчас, в частности, в УрГАУ в Екатеринбурге. Ниже приводится содержание указанного курса лекций.
Вестник Курганской ГСХА № 4, 2013
69
Лекция 1. Введение и основные определения теоретической механики (определение науки теоретической механики как самостоятельной физико-мате-матической науки, изучающей движение материальных точек и тел с учетом причин, вызывающих это движение). При этом при определении причин, вызывающих движение - сил, это определение дается с существенным уточнением, сделанным в конце прошлого века выдающимся механиком , академиком Александром Юльевичем Ишлин-ским: «Сила это мера взаимодействия двух точечных тел» (а не просто «тел», что, вообще говоря, и неверно). Вводятся разделы теоретической механики: статика, кинематика и динамика. Даются определения этих разделов, и указывается круг основных задач, решаемых в каждом из разделов. Целесообразно закончить эту лекцию формулировкой второго закона Ньютона (т • а = ¥ ), отметившего не так давно свое трехсотлетие и на котором базируется вся динамика. Не лишним будет привести высказывание упомянутого выше патриарха теоретической механики - одного из теоретиков кос -монавтики: «Второй закон Ньютона с удивительной точностью повторяет законы природы». Эта лекция не предполагает решения каких-либо иллюстрационных примеров за исключением, может быть, примера полета первого американского кос -монавта, совершившего уже после Гагарина баллистический полет с вылетом в космос (Ь=90 км), траектория которого была рассчитана непосредственно с помощью второго закона Ньютона.
Раздел 1. Статика (излагается в двух лекциях). Лекция 2. Условия равновесия произвольной плоской системы сил. (Повторяется основная задача, решаемая в статике, даются определения и обозначения вектора силы, проекции вектора силы на оси {х,у}, момента силы относительно точки, размерность). Определяются активные (заданные, вызывающие ускорение) и пассивные (реакции связей) внешние силы. Указывается на связь теоретической механики с сопротивлением материалов. Приводятся примеры балок на двух опорах и консольно-закрепленных. Лекция 3. Условия равновесия произвольной пространственной системы сил. Определения момента силы относительно осей {х,у,2} по формулам:
МХ(РА) = Уа • ¥л* - • ¥лу,
Му(¥Л) = *А • ¥Лх - ХА • ¥Л*,
м2(¥а) = ха • ¥Лу -уа • ¥Лх,
что существенно упрощает решение задач. Рассматривается известный пример массивной плиты (полки), закрепленной сферическим шарниром и удерживаемой в горизонтальном положении наклонной нитью. Как видим в разделе «Статика» опущено изложение аксиом статики и других ненужных (с точки зрения автора) для решения задач утверждений. Делается упор на содержательном смысле условий равновесия и их практическом использовании для решения задач по определению реакций связей.
Раздел 2. Кинематика (излагается в 5 лекциях). Лекция 4. Напоминается основная задача кинематики - определение скоростей и ускорений точек или любых точек тела, как бы сложно оно не двигалось. Кинематика точки: закон движения, траектория, скорость v, ускорение а. Рассматривается пример движения точки согласно законам: x(t) = R ■ sin t, y(t) = R ■ cost, z(t) = 0. Определяются уравнение траектории - окружности : x2 + y2 = R2, точки на траектории в моменты времени tj = 0, t2 =п/2 и v(tj,t2) а(tj, t2) по величине и направлению. Прямолинейное и криволинейное движения. Определение нормального и касательного ускорений. Лекция 5. Кинематика твердого тела. Определение твердого тела, как сплошного (это - новое!) множества точек, у которого расстояние между двумя любыми точками не меняется во все время движения (если футбольный мяч, то из чугуна). Его простейшие движения - поступательное и вращательное. Определение скоростей и ускорений точек тела при таких движениях. Для вращательного движения определяется закон (p(t), угловые скорость О и ускорение
£. Определяются линейные скорости точек и линей-
n 2
ные ускорения - нормальное а = О ■ r и касательное аТ = £ ■ r. Рассматривается пример - кривошип. Лекция 6. Стандартное определение плоскопараллельного движения твердого тела с примерами - хаотическое движение стула по столу (с демонстрацией), движение колеса без проскальзывания по поверхности - прямолинейной и круглой. Определение скоростей через «мгновенный центр скоростей» (так и только так, т. е. без формулы сложения скоростей поступательного движения вместе с полюсом и вращательного относительно полюса). Лекция 7. Определение ускорений точек тела, совершающих плоско-параллельное движение. По формуле сложения ускорений. Все изложение ведется на примере определения ускорений точек кривошипно-шатунного механизма. Здесь параллельно с лекцией планируется проведение не одного (как в других темах), а нескольких прак-
тических занятий. Лекция 8. Сложное движение точки. Стандартные определения относительного, переносного и абсолютного движений. Теорема скоростей. Теорема Кориолиса. Особое внимание следует уделить построению вектора ускорения Корио-лиса по векторному произведению ак = 2 • (Ъе X -\г . Целесообразно рассмотреть пример - движение парохода и человека, идущего по нему, а на практическом занятии решается известная задача с регулятором Уатта.
Раздел 3. Динамика (излагается в 6 лекциях). Лекция 9. Напоминается определение раздела, полностью повторяющее определение науки теоретической механики. Подчеркивается, что этот раздел является базой для таких наук, как математическое моделирование и прикладная математика. Динамика - основной аппарат для моделирования движений механических систем на ЭВМ. Основной закон динамики - второй закон Ньютона для точки: т • а = ^. Стандартное изложение динамики точки и двух задач динамики точки. Примеры - движение точки по окружности (это первая задача - дифференцирование законов движения и нахождение векторов сил в заданные моменты времени с учетом результатов из Лекции 4). Выстрел из пушки (это вторая задача - решение дифференциальных уравнений движения с заданными начальными условиями). При этом кроме законов движения и траектории в осях {х, у}, определяются высота и дальность полета снаряда. Лекция 9. Кинетическая энергия точки. Элементарная работа силы. Работа силы веса. Теорема об изменении кинетической энергии точки на заданном отрезке времени. Утверждается, что это соответствующим образом преобразованный («испорченный») второй закон Ньютона, предназначенный для нахождения скоростей точек в различные моменты времени. Пример - спуск лыжника с верхней точки склона с углом наклона а в нижнюю точку без начальной скорости. Лекция 10. Динамика системы материальных точек. Определение центра масс системы. Теорема о движении центра масс. Делается «упор» на то, что сложную задачу сложения вторых законов Ньютона для точек, входящих в систему, можно свести к «простой» задаче движения одной точки - центра масс, в которой сосредоточена масса всей системы и приложена равнодействующая всех сил, действующих на точки системы. Автор обычно в качестве примера находит центр масс снежной бабы с параметрами шаров: т1, т2 = 2т1, т3 = 3т1, Я1, Я2 = 2Я1, Я3 = 3Я1.
Лекция 11. Силы инерции. Принцип Д'Аламбера (потом на экзамене можно спросить: - "Принцип О'...?",- говорят: - "Артаньяна"). Принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики. Лекция 12. Кинетическая энергия материальной системы. Кинетическая энергия твердого тела при поступательном и вращательном движениях (с учетом материала из Лекции 5). Определение момента инерции тела относительно оси. Моменты инерции типичных тел - стержня, кольца, диска. Теорема Гюйгенса-Штейнера. Определение момента инерции колеса, относительно оси, проходящей через м. г. ц. Лекция 13. Вычисление кинетической энергии механизма. Теорема об изменении кинетической энергии системы тел на ко -нечном отрезке времени. Стандартные примеры кривошипно-шатунного механизма и системы тел - грузов, блоков и колес, соединенных нерастяжимой невесомой нитью. Лекция 14. Обобщенные ко -ординаты. Уравнения Лагранжа 2-го рода. Вывод дифференциального уравнения движения математического маятника.
Автор считает наличие последней Лекции 14 обязательной в курсе теоретической механики для студентов любых инженерных специальностей и направлений аграрных вузов, т. к. бурное развитие математического моделирования, компьютерной графики (в том числе 3Б), анимации предполагает наличие дифференциальных уравнений движения рассматриваемых механических систем. Например, моделью тракторного поезда (трактор с грузовым прицепом) является в первом приближении трехзвенный маятник в горизонтальной плоскости. Составляя дифференциальные уравнения движения такой механической системы с тремя степенями или более степенями свободы в форме уравнений Лагранжа 2-го рода и вводя управляющие параметры (например, управляющие моменты в шарнирах), мы их выбором можем добиваться требуемого движения системы (например, криволинейного движения по заданной траектории). Такие научные исследования ведутся, в частности, в УрГАУ в настоящее время.
Могут возникнуть очевидные сомнения в возможности изложения указанного курса из 14 лекций. Но у автора имеется опыт проведения таких лекций в указанном объеме. Подготовлено и находится в печати рецензированное учебное пособие «Теоретическая механика. Курс лекций» с грифом Министерства сельского хозяйства РФ. План издания - в Издательстве УрГАУ на 2013 год.
