CC BY
64
УДК 531.01
В. И. Локтев
ИНДУКТИВНЫЙ МЕТОД ПОЗНАНИЯ ОСНОВ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
В инженерном образовании курсу теоретической механики отводится двоякая роль. С одной стороны, это наука, которая вместе с математикой и физикой имеет большое общеобразовательное значение. С другой стороны, она является научной базой современной техники. Поэтому основы теоретической механики необходимы инженеру любой специальности.
Еще 30 лет назад полный трехсеместровый курс теоретической механики составлял 208-226 аудиторных часов [1]. Для большинства машиностроительных, транспортных, строительных специальностей разрабатывались программы на 170-190 аудиторных часов, сокращенные программы для технологических, электромеханических специальностей рассчитывались на 120 аудиторных часов. Последний переход на новые государственные образовательные стандарты привел к очередному уменьшению числа аудиторных часов на курс теоретической механики еще на 20 %, а в целом за последние 30 лет - до двух и более раз.
Такая, в общем-то неблагоприятная, тенденция заставляет искать новые пути, новые подходы к изложению основ теоретической механики и в то же время бережно сохранять идеи, заложенные классиками учебной литературы по теоретической механике. Один из таких подходов - углубление индуктивного метода при изложении курса теоретической механики.
Сама по себе идея не нова. Индукция (наведение) и дедукция (выведение) - два взаимосвязанных метода мышления, широко используемых в образовательных процессах [2], в том числе и при изучении теоретической механики. Например, в разделе «Статика» сначала обычно изучаются системы сходящихся сил, затем плоская и, наконец, пространственная система сил (индукция, от частного к общему). При сокращенной программе основные уравнения равновесия систем сил выводятся как частный случай из уравнений движения (дедукция, от общего к частному).
Суть предлагаемого углубления индуктивного метода в познании основ теоретической механики состоит в следующем.
Несмотря на глубину и неэлементарность понятия пространства - одного из основных понятий механики, в пределах ньютоновской механической картины мира пространство принято считать трехмерной протяженностью, обладающей свойствами бесконечности, однородности и изотропности. Вопрос о трехмерности пространства, возможно, самый сложный и с математической, и с физической, и с философской точек зрения. Термин «пространство» в механике заимствован из геометрии, а слово «геометрия» происходит от древнегреческого «шеіхео» -измерять. Это означает, в частности, что геометрия, теория метрических пространств, исходит из потребностей человеческой практики, из практики измерений, т. е. количественного познания форм и размеров реальных тел, их отношений.
Принятое в математике аксиоматическое изложение геометрии восходит к древнегреческому ученому Эвклиду (III в. до н. э). Он систематизировал накопленные к тому времени геометрические знания, практику измерений и дал аксиоматическое изложение этой науки. Продуманное и логическое изложение Эвклидом геометрии привело к тому, что математики не мыслили даже возможности существования иной геометрии. Немецкий философ XVIII в. И. Кант и многие его последователи считали, что понятия и идеи евклидовой геометрии были заложены в человеческое сознание еще до того, как человек научился что-либо осознавать. Происхождение этой мысли становится понятным, если проследить процесс возникновения геометрических знаний в сознании ребенка.
Дети тысячи раз видят, например, прототипы прямых линий в жизни: луч света, обрез книжной страницы, натянутую нитку, край стола или двери - все это, запечатленное в сознании ребенка, делает его психологически подготовленным к восприятию понятия «прямая». Позже ребенок, часто молча, но осознанно, воспринимает прямые углы и перпендикуляры, которые мы видим на каждом шагу, окружности (колесо, пуговица, солнечный диск, край тарелки или блюдца), квадраты, треугольники и другие плоские фигуры. Отраженные в сознании, эти представления помогают понять геометрию сначала как бы в одномерном (прямые линии), затем в двумерном пространстве (геометрия на плоскости - планиметрия). С возрастом и опытом приходит осознание пространственных форм, в рамках школьной программы это осознание систематизируется в геометрии трехмерного пространства (стереометрия).
В такой же последовательности, от простого к сложному, можно излагать и основы теоретической механики.
Начнем с одномерной механики. С одной стороны, все очень просто, в одномерном пространстве не существует даже понятия вектора. Сила, скорость, ускорение в этом случае являются скалярными величинами. В то же время именно здесь можно показать почти все аксиомы статики, законы динамики. В статике легко решается задача об упрощении системы сил, выводится одно уравнение равновесия. В кинематике вводятся понятия средней и мгновенной скорости и ускорения точки, обсуждаются частные случаи, отличающиеся характером движения точки - равномерное, равнопеременное. Кинематика твердого тела (в одномерном пространстве это недеформируемый отрезок прямой) фактически сводится к кинематике точки.
Особый интерес представляет изучение основ динамики в одномерном пространстве. Динамика точки здесь может быть изложена практически в полном объеме. Можно показать все частные случаи решения обратной задачи динамики и способы интегрирования дифференциальных уравнений движения. Теоретически это можно изложить, например, так.
Вторая (обратная) задача динамики точки. Известны масса точки т и приложенная к точке сила (или сумма сил) ¥ . Необходимо узнать, как точка движется, т. е. найти кинематическое уравнение движения точки х = х(ґ), где х - координата точки.
Математически эта задача решается интегрированием дифференциального уравнения
Ж2 х
движения, вытекающего из основного уравнения динамики т ■ а = ¥ , где а = —-— ускорение
Ж
точки. Возникающие при этом постоянные интегрирования находятся из начальных условий
Жх
вида х(0) = х0, у(0) = у0 , где V =-скорость точки.
Ж
В общем случае обратная задача динамики точки является относительно сложной из-за математических трудностей при интегрировании дифференциальных уравнений. Приложенная к точке сила ¥ может быть постоянной по величине (например, сила тяжести вблизи поверхности Земли); может быть функцией только времени ґ (например, внешнее силовое воздействие при колебаниях точки); может быть функцией только скорости точки V (например, сила сопротивления); может быть функцией только положения точки - координаты х (например, сила упругости); и, наконец, может зависеть от нескольких из этих аргументов одновременно. Способы интегрирования дифференциальных уравнений движения при этом разные (табл. 1, [3]). Аналитически в конечном виде обратная задача динамики может быть решена лишь для сравнительно небольшого числа простейших случаев, если функции ¥(ґ), ¥(V), ¥(х), а в общем случае -¥(ґ, V, х) являются интегрируемыми.
Таблица 1
Интегрирование дифференциальных уравнений движения точки в простейших случаях
Дифференциальное уравнение движения Скорость точки Кинематическое уравнение (закон движения)
d2 х т—— = 0 , сила не действует V = v0 = const = +
d 2х т—— = г , сила постоянна ^2 F v(t) = v0 +—t m . . Ft2 x(t) = x0 + V + — 2m
d 2х т—— = Г() , сила зависит от времени ^2 t v(t) = Vo + J F(t) dt J m 0 t x(t) = X0 + J v(t)dt 0
d2 х т—— = Г (у) , сила зависит от скорости ^2 Находится из уравнения V j* dv t J F(v) m vo II + dt
d2 х т—— = Г(х), сила зависит от dt2 положения v(x)= x 2 f 2F(x) , vo +| dx J m x0 Находится из уравнения х г_&_ =, J v( х) х0
Каждый или некоторые из простейших случаев интегрирования дифференциальных уравнений движения точки (табл. 1) можно проиллюстрировать классическими примерами (задача Галилея, движение точки в среде с сопротивлением, свободные колебания точки) или другими задачами.
Полезно было бы показать, что прямая задача динамики, несмотря на кажущуюся простоту постановки, порой тоже требует очень серьезных раздумий.
Первая (прямая) задача динамики точки. Известно движение точки, необходимо найти приложенную к точке силу. Математически эта задача решается дифференцированием заданного кинематического уравнения движения.
Пример. Движение точки массой т задано уравнением х = А $,т(Ы), где А, к -постоянные числа. Найти силу, действующую на точку.
d2 х
Решение. Находим ускорение точки а = —— = — Ак28т(к) и, используя основное
dt2
уравнение динамики, получаем силу как функцию времени Г = —тАк2 $т(Ы). Казалось бы, задача решена. Но у этой задачи возможны иные решения: Г = —тк2х (сила зависит от положения точки) или Г = —тк^(Ак)2 — у2 (сила зависит от скорости точки). Какая сила все-таки заставляет точку двигаться по закону х = А 8т(к^ ? Подобного рода неопределенности в решении прямой задачи динамики и их разрешение являются основополагающими в осознании законов природы. Заслуга гениев в том и состоит, что, зная и наблюдая движение точек и тел, им удалось установить вид сил, действующих на тела (закон инерции - Г. Галилей, закон всемирного тяготения - И. Ньютон, закон упругости - Р. Гук и др.).
В одномерной механике можно показать две основные теоремы динамики - о количестве движения и о кинетической энергии точки. Это тоже принципиально хотя бы потому, что таким образом сразу и просто вводятся две основные меры движения. Исторический спор о степени
ту2
важности количества движения ту (Р. Декарт) или кинетической энергии (Г. Лейбниц)
давно разрешен компромиссом [4], потому что сила, действующая на точку, может быть
^ d (ту)
определена двояко: через количество движения Г =-------------- или кинетическую энергию
dt
Г=±
dх
ту
~
Оставаясь в рамках одномерной механики, при необходимости можно двигаться дальше. Например, изложить принцип Даламбера, основы теории удара. Очень удобно здесь изложить основы теории колебаний, в том числе для систем с двумя (две материальные точки), п степенями свободы (п материальных точек). Случай непрерывного распределения материальных точек соответствует системе с бесконечно большим числом степеней свободы и приводит к исследованию продольных колебаний стержня.
После одномерной механики логично следует двумерная (плоская) механика. Здесь вводятся (табл. 2) векторные представления силы, скорости, ускорения. В статике вводятся новые понятия пары сил, момента силы относительно точки как алгебраической величины, выводятся три уравнения равновесия. В кинематике точки с введением плоской системы естественных осей появляется нормальное ускорение. Излагается теория сложного (составного) движения точки. В кинематике твердого тела обсуждаются поступательное, вращательное и плоское движение, понятия угловой скорости и углового ускорения как скалярных величин. В динамике появляется необходимость ввести понятия момента количества движения, момента инерции как меры инертности механической системы и твердого тела во вращательном движении. Формулируется теорема о кинетическом моменте механической системы. В рамках плоской механики можно рассмотреть все основные принципы динамики - принцип возможных перемещений, принцип Даламбера - Лагранжа, уравнения Лагранжа и др.
Трехмерная механика во многом также может быть обобщена методом индукции. Здесь много традиционных, специфических и непростых вопросов: в статике - момент силы относительно точки как вектор, момент силы относительно оси; в кинематике и динамике -
сферическое, свободное движение тела и др. При общепринятом построении курса и небольшом числе часов на многие из этих вопросов для их серьёзного изучения все равно аудиторного времени не хватает.
Изложение основ теоретической механики индуктивным методом логично завершить систематизацией основных понятий механики, например, в табличной форме (табл. 2).
Таблица 2
Основные понятия теоретической механики
Число измерений пространства 1 2 3
Сила Скаляр Вектор Вектор
Момент силы относительно точки - Скаляр Вектор
Момент силы относительно оси - - Скаляр
Простейшая (неупрощаемая) система сил Сила Пара сил Динама
Количество уравнений равновесия 1 3 6
Количество уравнений равновесия 1 3 6
Количество уравнений движения точки (поступательного движения тела) 1 2 3
Касательное ускорение точки Только при неравномерном движении Только при неравномерном движении Только при неравномерном движении
Нормальное ускорение точки Нет Только при криволинейном движении Только при криволинейном движении
Количество уравнений движения свободного тела 1 3 6
Угловые скорость и ускорение тела - Скаляры Векторы
Масса Неотрицательная величина Неотрицательная величина Неотрицательная величина
Число степеней свободы одной точки 1 2 3
Число степеней свободы свободного тела 1 3 6
Количество координат центра масс 1 2 3
Количество движения Скаляр Вектор Вектор
Момент количества движения - Скаляр Вектор
Кинетическая энергия Неотрицательная величина Неотрицательная величина Неотрицательная величина
Углубление индуктивного метода при изложении основ теоретической механики, безусловно, требует некоторого изменения общепринятой структуры, методологии курса, однако способствует реализации одного из решений Всероссийского совещания-семинара заведующих кафедрами теоретической механики [5, с. 254] о «модернизации курса теоретической механики, основанной на внедрении новых информационных технологий, для интенсификации самостоятельной работы студентов и облегчения освоения ими основных положений механики».
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Яблонский А. А. Организация учебного процесса по курсу «Теоретическая механика» //
Теоретическая механика во втузах / под ред. А. А. Яблонского. - М.: Высш. шк., 1971. - С. 103-116,
С. 338-350.
2. ПойаД. Математическое открытие. - М.: Наука, 1970. - 452 с.
3. Локтев В. И. Теоретическая механика. Конспект-справочник. - Астрахань: Изд-во АГТУ, 2006. - С. 68.
4. Веселовский И. Н. Очерки по истории теоретической механики. - М.: Высш. шк., 1974. - 288 с.
5. Мартыненко Ю. Г., Феоктистова О. П. Второе Всероссийское совещание-семинар заведующих кафедрами теоретической механики // Теоретическая механика: сб. науч.-метод. ст. - М.: Изд-во МГУ, 2000. - Вып. 23. - С. 251-254.
Статья поступила в редакцию 23.09.2008
INDUCTIVE KNOWLEDGE METHOD OF THEORETICAL MECHANICS BASES
V. I. Loktev
The necessity to search for new ways and approaches to the statement of theoretical mechanics bases is proved in the paper. One of them is the intensification of the inductive method while reading the theoretical course. T aking into account historical, philosophical, methodical and organizational principles of training it is offered to start understanding the bases with one-dimensional mechanics. Despite of its apparent simplicity, it is already possible to show the contents of all basic sections of theoretical mechanics (statics, kinematics, dynamics) and some special sections (the theory of fluctuations, the theory of impact, etc.). The specificity of the basic problems of theoretical mechanics in space of two and three measurements is shown.
Key words: bases of engineering mechanics, inductive method
of knowledge.
