CC BY
13
ской задачи кроется в организации особых педагогических условий формирования социокультурной компетентности у будущих бакалавров социальной работы. С целью подтверждения гипотезы научной работы было принято решение обратиться к анализу теоретических источников по выбранной проблематике. Анализ различных исследовательских позиций позволил выделить ряд перспективных педагогических условий. Для проверки их способности содействовать формированию социокультурной компетентности у будущих бакалавров социальной работы был подготовлен и реализован педагогический эксперимент. Эмпирическая проверка подтвердила нашу гипотезу. По итогам комплексного исследования было уточнено, что совершенствование социального и эмоционального интеллекта, а также кросс-культурной грамотности обусловливает
Библиографический список
становление у будущих бакалавров ряда новых умений и навыков в виде социокультурной компетентности.
Дополнительно мы предположили, что представленные условия могут способствовать формированию социокультурной компетентности всех обучающихся по программам высшего образования, чья деятельность будет реализовываться в системе «человек - человек».
Результаты исследования могут быть востребованы в системе высшего образования при реализации образовательных программ, содержание которых направлено на подготовку работников различных социальных служб. Перспектива дальнейших исследований состоит в выявлении особенностей работы будущих бакалавров с обучающим сервисом онлайн-платформы BrainApps.
1. Козловская C.H. Условия и факторы профессионально-компетентностного становления бакалавров социальной работы в системе ВПО. Ученые записки Российского государственного социального университета. 2012; № 7: 127-134.
2. Басов Н.Ф. Научно-исследовательская деятельность как средство формирования профессиональной компетентности будущих бакалавров социальной работы. Вестник Костромского государственного университета. Cерия: Педагогика. Психология. ^ио^не^а. 2011; Т. 17, № 1: 55-59.
3. Лившиц ЮА, Кустов O.A., Лившиц IO.A., ^ацук C.B. Формирование социально-культурной компетентности будущих специалистов как педагогическая проблема. Вестник Волжского университета им. В.Н. Татищева. 2013; № 4 (14): 118-124.
4. Aрсанукаева Э.Д. Педагогические возможности тренинга в развитии социального интеллекта у будущих бакалавров социальной работы. Kant. 2022; № Э (44): 185-189.
5. Гедугошев RR Педагогические условия развития социальной ответственности у молодых сотрудников полиции в системе повышения квалификации. Научное обеспечение системы повышения квалификации кадров. 2022; № 4 (53): 98-106.
6. Rуденко И.В. Формирование общепрофессиональных компетенций бакалавров в деятельности студенческого самоуправления как субъекта воспитательной деятельности вуза. Казанский педагогический журнал. 2015; № 4-1: 273-278.
7. Шамаев A.M. Использование современных информационно-коммуникационных технологий для развития культуры социального взаимодействия с населением у сотрудников полиции. Научное обеспечение системы повышения квалификации кадров. 202Э; № 1 (54): 95-104.
8. Янчурина E.C. Модель формирования компетенции социального взаимодействия в процессе профессиональной подготовки бакалавров социальной работы в вузе. Вектор науки Тольяттинского государственного университета. 201Э; № 4: Э11-Э15.
9. Терехов П.П. Формирование педагогической компетентности специалиста в системе непрерывного профессионального социокультурного образования. Aвторе-ферат диссертации ... доктора педагогических наук. Казань, 2004.
References
1. Kozlovskaya S.N. Usloviya i faktory professional'no-kompetentnostnogo stanovleniya bakalavrov social'noj raboty v sisteme VPO. Uchenye zapiski Rossijskogo gosudarstvennogo social'nogo universiteta. 2012; № 7: 127-1Э4.
2. Basov N.F. Nauchno-issledovatel'skaya deyatel'nost' kak sredstvo formirovaniya professional'noj kompetentnosti buduschih bakalavrov social'noj raboty. Vestnik Kostromskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Pedagogika. Psihologiya. Sociokinetika. 2011; T. 17, № 1: 55-59.
3. Livshic Yu.A., Kustov Yu.A., Livshic Yu.A., Stacuk S.V. Formirovanie social'no-kul'turnoj kompetentnosti buduschih specialistov kak pedagogicheskaya problema. Vestnik Volzhskogo universiteta im. V.N. Tatischeva. 201Э; № 4 (14): 118-124.
4. Arsanukaeva 'E.D. Pedagogicheskie vozmozhnosti treninga v razvitii social'nogo intellekta u buduschih bakalavrov social'noj raboty. Kant. 2022; № Э (44): 185-189.
5. Gedugoshev R.R. Pedagogicheskie usloviya razvitiya social'noj otvetstvennosti u molodyh sotrudnikov policii v sisteme povysheniya kvalifikacii. Nauchnoeobespecheniesistemy povysheniya kvalifikaciikadrov. 2022; № 4 (5Э): 98-106.
6. Rudenko I.V. Formirovanie obscheprofessional'nyh kompetencij bakalavrov v deyatel'nosti studencheskogo samoupravleniya kak sub'ekta vospitatel'noj deyatel'nosti vuza. Kazanskij pedagogicheskij zhurnal. 2015; № 4-1: 27Э-278.
7. Shamaev A.M. Ispol'zovanie sovremennyh informacionno-kommunikacionnyh tehnologij dlya razvitiya kul'tury social'nogo vzaimodejstviya s naseleniem u sotrudnikov policii. Nauchnoe obespechenie sistemy povysheniya kvalifikacii kadrov. 202Э; № 1 (54): 95-104.
8. Yanchurina E.S. Model' formirovaniya kompetencii social'nogo vzaimodejstviya v processe professional'noj podgotovki bakalavrov social'noj raboty v vuze. Vektor nauki Tol'yattinskogo gosudarstvennogo universiteta. 201Э; № 4: Э11-Э15.
9. Terehov P.P. Formirovanie pedagogicheskoj kompetentnosti specialista v sisteme nepreryvnogo professional'nogo sociokul'turnogo obrazovaniya. Avtoreferat dissertacii ... doktora pedagogicheskih nauk. Kazan', 2004.
Статья поступила в редакцию 03.07.23
УДК 378
Shchetinin A.N., Cand. of Sciences (Physics, Mathematics), senior lecturer, Bauman Moscow State Technical University (Moscow, Russia),
E-mail: [email protected]
ON TEACHING THE COURSE "DIFFERENTIAL EQUATIONS" AT A TECHNICAL UNIVERSITY. The article deals with issues of teaching mathematical disciplines at a technical university, dedicated to the development of education. They are applied to a mathematical discipline - the theory of ordinary differential singularities. This discipline has both a purely mathematical aspect and an applied one. It is shown which issues should be given priority when choosing this course at a technical university, particularly, which engineering sciences require the theory of ordinary differential properties, and which require a special equation in specific derivatives (equations of mathematical physics). The work emphasizes the need for a non-abstract study of mathematical theories, consideration of their applications to the consideration of technical disciplines. The question of the mandatory rigor of the mathematical presentation is discussed and some proposals are made on this issue, first of all, to the indicated infected course. Issues related to the computer educational process are investigated, such as the probability of presentation.
Key words: mathematical education of engineering personnel, innovative technologies in education, computerization of educational process
А.Н. Щетинин, канд. физ.-мат. наук, доц., ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана
(национальный исследовательский университет)», г. Москва, E-mail: [email protected]
О ПРЕПОДАВАНИИ КУРСА «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» В ТЕХНИЧЕСКОМ ВУЗЕ
В настоящей статье рассматриваются вопросы преподавания математических дисциплин в техническом вузе на современном этапе развития образования. Они конкретизированы применительно к математической дисциплине - «Теории обыкновенных дифференциальных уравнений». Эта дисциплина имеет как чисто математический аспект, так и прикладной. Показано, каким вопросам следует отдать приоритет при изучении данного курса в техническом вузе. В частности, каким инженерным специальностям нужна теория обыкновенных дифференциальных уравнений, а каким - уравнения в частных производных (уравнения математической физики). Подчеркивается необходимость не абстрактного изучения математических теорий, а рассмотрение их приложений к
конкретным техническим дисциплинам. Обсуждается вопрос об обязательной строгости математического изложения, и делаются некоторые предложения по этому вопросу применительно к указанному конкретному курсу Исследуются вопросы, связанные с компьютеризацией образовательного процесса, в частности, возможности визуализации изложения.
Ключевые слова: математические образование инженерных кадров, инновационные технологии в образовании, компьютеризация образовательного процесса
Статья является продолжением работы автора «О преподавании курса «Интегральное исчисление» в техническом вузе» [1]. Рассматривается методика преподавания курса «Дифференциальные уравнения». Значительное внимание уделяется вопросам, возникающим в связи с цифровизацией образования (см. по этому поводу [2; 3]). Эта тема в настоящее время весьма актуальна. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) описывают физические процессы, обладающие свойствами детерминированности, конечномерности и диффе-ренцируемости [4]. В природе есть и другие процессы, которые нельзя описать обыкновенными дифференциальными уравнениями, а приходится прибегать, скажем, к уравнениям с частными производными. Например, в квантовой механике нет детерминированности и уравнение Шредингера - уравнение в частных производных. Движение конечной системы точек может быть описано системой обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Если же мы имеем дело с твердым телом, состоящим из большого (можно считать бесконечного) числа точек, то его поведение не описывается ОДУ, а приходится опять прибегать к уравнениям с частными производными. Наконец, движение типа броуновского не может считаться дифференцируемым, и здесь снова ОДУ неприменимы. В соответствии со сказанным мы видим, что подготовка будущих инженеров определяется их специализацией. Для каких-то специальностей нужны в основном ОДУ, а для каких-то - уравнения в частных производных. «При изучении математики в техническом вузе всегда важно показывать, для решения каких физико-технических задач данный материал применяется» [5; 6; 7]. В соответствии с этим должна строиться и программа курса. В изменении архаичного подхода к изложению математических дисциплин в вузе и заключается новизна и насущная актуальность данного исследования.
ОДУ описывают различные физические процессы. Особенно следует обратить внимание на то, что процессы могут быть разными, но описываться одним уравнением, скажем, уравнением гармонических свободных колебаний:
У" + ®2У = 0, (1)
затухающих:
y" + ky + ш2у = 0, (2)
или вынужденных:
y" + ffl2y = fix). (3)
На примерах этих уравнений оказывается возможным проиллюстрировать многие положения настоящей статьи, как методологические, так и мировоззренческие.
О задачах на составление уравнений
Задачи на составление уравнений неизменно присутствовали раньше на вступительных экзаменах в вузы, сейчас на ЕГЭ по математике. Способность решать такие задачи, т. е. умение строить математические модели, является необходимой для будущего инженера, т. к. позволяет выработать необходимые профессиональные компетенции. В курсе дифференциальных уравнений необходимо предусмотреть наличие задач на составление дифференциальных уравнений. Такие задачи можно включить и в программу экзамена по курсу ОДУ как альтернативу доказательств теорем. Многочисленные примеры задач по геометрии и физике, приводящие к дифференциальным уравнениям, содержатся, например, в работах Креер Л.И.[8], Филиппова А.Ф. [9].
В качестве иллюстрации выведем формулу для закона радиоактивного распада, которая в школьном курсе физики приводится без доказательства. Методика изложения следующая:
(1) Известно, что скорость распада пропорциональна имеющейся массе вещества,
m' = - km.
Здесь m = m (t) - масса вещества, t - время, k > 0 - коэффициент, зависящий от конкретного вещества. Это - закон природы.
(2) Решая данное дифференциальное уравнение методом разделения переменных, получаем:
m(t) = Ce-kt.
(3) Далее, подставляя m (0) = m0 и m (T) = m0/2, получаем
m(t) = m02-tlT.
Здесь m0 - начальная масса, T - период полураспада. Далее следует привести график процесса. Студент должен четко понимать схему: закон природы -математическая модель - решение математической задачи - исследование результата.
Рассмотрим еще пример. Пусть задан идеальный колебательный контур, содержащий конденсатор емкости C и катушку индуктивности с индуктивностью L. Обозначим через Q = Q (t) - заряд конденсатора в момент времени t и через I = I (t) - ток через катушку индуктивности. Из формул для энергии конденсатора и катушки индуктивности и закона сохранения энергии имеем
Q/2C + LPI2 = const.
Дифференцируя это равенство по t , и учитывая, что Q' = I, получаем
Q"+fflQ = 0,
где ш2 = 1/CL Отсюда следует известная формула Томпсона для периода колебаний.
Эти примеры, приводимые при рассмотрении уравнений с разделяющимися переменными и линейных уравнений с постоянными коэффициентами, достаточно убедительно демонстрируют их необходимость для инженера. Разумеется, вместо второго из рассмотренных примеров можно взять уравнение малых колебаний математического маятника или пружинного маятника. Они и выводятся так же, с применением закона сохранения энергии
kx2/2 + m(x') 2/2 = const.
Дифференцируя по t, приходим к тому же уравнению x" + ffl2x = 0,
где ш2 = k/m. Отсюда выводится известная формула для периода колебаний. Оба последних примера, как и множество других физических задач, приводят к одному и тому же уравнению (1). И это важно подчеркнуть - процессы разной физической природы описываются одним и тем же дифференциальным уравнением. Что демонстрирует материальное единство мира.
О математической строгости
При преподавании математики в техническом вузе преподаватель постоянно сталкивается с проблемой - как сочетать математическую строгость изложения с недостаточной подготовкой студентов. Есть разные варианты. Можно доказывать все, но тогда большая часть аудитории просто не воспримет этот материал. Можно обозначать схему доказательства, доказывая отдельные его фрагменты. Можно ограничиваться одними формулировками сложных теорем. По мнению автора, наименее удачен последний вариант Если на лекции не дается доказательство трудной теоремы, надо хотя бы объяснить студентам, что доказательство необходимо. Для этого достаточно привести контрпример, показывающий, что утверждение теоремы неверно, если нарушается хотя бы одно из ее условий. Основная теорема курса - это теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка. В книге Арнольда В.И. [4] рассматривается сразу задача о решении системы, но для инженера достаточно и простейшего варианта задачи Коши:
У' = f (Х Л У(хо) = У0.
Напомним, доказательство теоремы основано на том, что некоторый оператор, действующий в пространстве С[а, b], является сжимающим, и что само пространство
С[а, b] непрерывных функций с метрикой равномерной сходимости является полным. То, что оператор является сжимающим, можно доступно объяснить студентам инженерных специальностей. То, что сжимающий оператор в полном пространстве имеет неподвижную точку, которая и служит решением задачи, -тоже. А полноту пространства можно и не доказывать. Достаточно просто привести пример, показывающий необходимость доказательства. Как хорошо известно и легко объяснить, последовательность непрерывных функций fn (x) = x", n = 1, 2 сходится (поточечно) на отрезке [0, 1] к разрывной функции. Здесь следует пояснить, что сходимость в этом примере - это не сходимость в метрике пространства С [0, 1]. Термин «равномерная сходимость» лучше вообще не употреблять.
Возвратимся к самой теореме. Если нет возможности дать даже набросок доказательства, то стоит хотя бы напомнить о необходимости проведения доказательств. Достаточно рассмотреть пример, когда теорема неверна. Хороший пример - задача Коши (см. [4]):
У'=У2'3, У (0) = 0.
Через точку (0, 0) проходят две интегральные кривые: y = x3/27 и y = 0. Условие теоремы не выполняется, и нет единственности решения.
Вторая важнейшая теорема утверждает, что размерность пространства решений системы n линейных уравнений (или одного линейного уравнения порядка п) имеет размерность п. Это обычно доказывается, считая известной теорему о существовании и единственности решения задачи Коши. Но последняя говорит только о локальном существовании решения. Линейное же уравнение допускает продолжение решения на весь интервал, где оно задано. Доказательство можно не приводить. Но дать пример, когда решение задачи Коши не продолжается на весь интервал, где задано уравнение, весьма полезно для понимания. Рассмотрим дифференциальное уравнение
У' + У2 = 0,
заданное на интервале (-2; 2), и решим задачу Коши с начальным условием y (0) = -1.
Интегральная кривая задается уравнением y (x - 1) = 1. Это решение не продолжается на интервал определения, а существует только на интервале (-2; -1).
Об ответах
В ЕГЭ можно встретить задачу такого типа: найдите длину L окружности радиуса 2 [10]. В ответе запишите число L/n. Ответом служит число 4. В каче-
стве ответа может быть только целое число или десятичная дробь. Когда в контрольной работе в задаче о вычислении длины дуги наряду с ответами 2 или 2п встречается ответ, содержащий разность арксинусов, возникает много вопросов. Такой ответ трудно внести в компьютер, а его численное значение трудно оценить. Ответы должны иметь простую форму. Особенно это относится к традиционно предлагаемых студентам задачам на отыскание решений линейных уравнений с правой частью специального вида (вроде Pn(x) ea cos bx). Во многих таких задачах предлагается написать общий вид ответа, не вычисляя констант. Такой ответ слишком громоздок, и его трудно ввести в компьютер на контрольной работе.
При тотальной цифровизации образования возникают новые проблемы. Если учащийся, решая трудную задачу, в самом конце допустит арифметическую ошибку на традиционном экзамене, устном или письменном, задача ему будет зачтена как практически правильно решенная. Компьютер же оценит решение в 0 баллов, ибо ответ неправильный.
Сошлемся наопытпроведенияЕГЭ(см.[10;11]).Кзадачамизпервойчасти экзаменапоматематикетребуется только записать правильныйответ.Приэтом, как указывалось выше, ответ должен быть записан в виде десятичной дроби. В задачах по физике требуется также ответ либо в виде десятичной дроби, либо ответ типа 145, показывающий, какие из сформулированных в задаче утверждений верны. Задачи из второй части экзамена требуют развернутого ответа и проверяются преподавателями. Здесь нужны доказательства утверждений в экзамене по математике и ссылка на законы природы в экзамене по физике. Без выполнения этих требований решение не считается полноценным и оценивается меньшим числом баллов. При автоматической проверке ответа, полученного студентом, требуется безукоризненная точность самого ответа, имеющегося в компьютере. Так же, как и безукоризненная точность данного студентом ответа. Но «errare humanum est». Поэтому предлагается не требовать стопроцентной правильности ответов. Как пишут в предисловии авторы пособия [12], оценка «отлично» ставится за правильно решенные пять задач из шести. Таков практический опыт и вряд ли стоит от него отказываться.
Скажем еще несколько слов о форме записи ответов. Ответ к дифференциальному уравнению
xy' -1 = 0
можно записать в формах
y = ln |x| + C или y = ln (Cx).
Оба ответа верны, но второй смотрится лучше.
Библиографический список
О традициях в образовании
В прежние времена многие преподаватели, которым нужны были сложные чертежи, строили их на доске, используя цветные мелки. Компьютеризация оставляет эту технику в прошлом. Например, решая уравнение
хгу - 2xy + уг = 0,
получаем уравнения интегральных кривых:
(x2 + С) у = x.
Полезно изобразить графики интегральных кривых этого уравнения. Они заполняют обе полуплоскости - x > 0 и x < 0. Все это может быть легко изображено на экране и продемонстрировано слушателям.
Таким образом, визуализация становится доступной в цифровой среде. При изучении ОДУ это особенно полезно. Можно рисовать фазовые кривые на плоскости, интегральные кривые и т. п.
Выше шла речь о линейных дифференциальных уравнениях с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Традиционно решению таких задач отводится значительное место в программе. Но это не что иное, как искусственный прием. А метод вариации постоянных, применимый и в этих частных случаях, гарантированно дает ответ При преподавании следует обращать основное внимание на общие методы, а не на частности. Указанные задачи - просто дань традиции. Конечно, уравнение вида (3)
у" + у = sin x
нужно уметь решать. На его примере объясняется явление резонанса.
Линейные уравнения в данном курсе достаточно рассматривать только второго порядка, как наиболее важные для приложений. Если инженеру потребуется, то при наличии навыка, выработанного при решении уравнений второго порядка, он легко сможет справиться и с уравнением более высокого порядка.
Таким образом, с учетом технической направленности вуза при преподавании курса «Дифференциальные уравнения» надо уделять больше внимания задачам, связанным с физическими процессами, имеющими место в инженерной практике. Эту проблематику автор намерен раскрыть в следующей статье, посвященной связи и взаимопроникновению математики и физики как в научном, так и в методических аспектах. Практика показала, что строгость математических доказательств принципиальна и необходима, но не все теоремы следует доказывать. Хороший контрпример убедит слушателя, что доказательства необходимы. Но не следует усложнять изложение, вполне достаточно рассматривать только дифференциальные уравнения первого и второго порядка, наиболее важные для практического применения. А для улучшения усвоения «Дифференциальные уравнения» необходимо делать сложные построения, что позволяют делать современные средства визуализации.
1. Щетинин А.Н. О преподавании курса «Интегральное исчисление» в техническом вузе. Мир науки, культуры, образования. 2023; № 3: 79-86.
2. Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А. Новая технология математической подготовки инженерных кадров, основанная на нейросетевой модели знаний. Инновации в образовании. 2017; № 11:129-140.
3. Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А. Новая научно-методическая модель математической подготовки инженеров. Международный журнал экспериментального образования. 2017; № 11: 5-10.
4. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Издательство МЦНМО, 2012.
5. Гончар И.И., Чушнякова М.В., Крохин С.Н. Соотношение между физическими и математическими аспектами при изучении темы «колебания» в техническом. Вестник СИБИТа. 2020; № 2 (34). Available at: https://cyberleninka.ru/article/n7sootnoshenie-mezhdu-fizicheskimi-i-matematicheskimi-aspektami-pri-izuchenii-temy-kolebaniya-v-tehnicheskom-vuze
6. Колмогоров А.Н. Математика наука и профессия. Москва: Наука, 1988.
7. Шадиев РД., Турдиев Ш. К вопросу об особенностях преподавания математики студентам технических вузов. Austrian Journal of Humanities and Social Sciences. 2014; № 9-10. Available at: https://cyberleninka.ru/article/n/k-voprosu-ob-osobennostyah-prepodavaniya-matematiki-studentam-tehnicheskih-vuzov
8. Креер Л.И. Сборник упражнений по дифференциальным уравнениям. Москва: Учпедгиз, 1940.
9. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Москва: Наука, 1979.
10. ЕГЭ 2023. Математика. Профильный уровень. 12 вариантов. Типичные тестовые задания от разработчика ЕГЭ. Москва: Экзамен, 2023.
11. Пурышева Н.С., Ратбиль Е.Э. ЕГЭ Физика: 30 тренировочных вариантов экзаменационных работ для подготовки к единому государственному экзамену. Москва: АСТ, 2022.
12. Звавич В.И., Аверьянов Д.И., Пигарев Б.П., Трушанина Т.Н. Задание для проведения письменного экзамена по математике в 9 классе. Москва: Просвещение, 1994. References
1. Schetinin A.N. O prepodavanii kursa "Integral'noe ischislenie" v tehnicheskom vuze. Mirnauki, kul'tury, obrazovaniya. 2023; № 3: 79-86.
2. Dimitrienko Yu.I., Gubareva E.A. Novaya tehnologiya matematicheskoj podgotovki inzhenernyh kadrov, osnovannaya na nejrosetevoj modeli znanij. Innovaciivobrazovanii. 2017; № 11:129-140.
3. Dimitrienko Yu.I., Gubareva E.A. Novaya nauchno-metodicheskaya model' matematicheskoj podgotovki inzhenerov. Mezhdunarodnyjzhurnal 'eksperimental'nogo obrazovaniya. 2017; № 11: 5-10.
4. Arnol'd V.I. Obyknovennye differencial'nye uravneniya. Moskva: Izdatel'stvo MCNMO, 2012.
5. Gonchar I.I., Chushnyakova M.V., Krohin S.N. Sootnoshenie mezhdu fizicheskimi i matematicheskimi aspektami pri izuchenii temy "kolebaniya" v tehnicheskom. Vestnik SIBITa. 2020; № 2 (34). Available at: https://cyberleninka.ru/article/n/sootnoshenie-mezhdu-fizicheskimi-i-matematicheskimi-aspektami-pri-izuchenii-temy-kolebaniya-v-tehnicheskom-vuze
6. Kolmogorov A.N. Matematika nauka iprofessiya. Moskva: Nauka, 1988.
7. Shadiev R.D., Turdiev Sh. K voprosu ob osobennostyah prepodavaniya matematiki studentam tehnicheskih vuzov. Austrian Journal of Humanities and Social Sciences. 2014; № 9-10. Available at: https://cyberleninka.ru/article/n/k-voprosu-ob-osobennostyah-prepodavaniya-matematiki-studentam-tehnicheskih-vuzov
8. Kreer L.I. Sbornik uprazhnenijpo differencial'nym uravneniyam. Moskva: Uchpedgiz, 1940.
9. Filippov A.F. Sbornikzadach po differencial'nym uravneniyam. Moskva: Nauka, 1979.
10. EG'E2023. Matematika. Profil'nyjuroven'. 12 variantov. Tipichnye testovyezadaniya otrazrabotchika EG'E. Moskva: 'Ekzamen, 2023.
11. Purysheva N.S., Ratbil' E.'E. EG'E Fizika: 30 trenirovochnyh variantov 'ekzamenacionnyh rabot dlya podgotovki k edinomu gosudarstvennomu 'ekzamenu. Moskva: AST, 2022.
12. Zvavich V.I., Aver'yanov D.I., Pigarev B.P., Trushanina T.N. Zadanie dlya provedeniya pis'mennogo 'ekzamena po matematike v 9 klasse. Moskva: Prosveschenie, 1994.
Статья поступила в редакцию 05.06.23
