О преобразованиях Дарбу в обратной задаче рассеяния Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 8. № 4 (2016). С. 43-52.

УДК 512.5

О ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ ДАРБУ В ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ РАССЕЯНИЯ

М.Ш. БАДАХОВ, А.Б. ШАБАТ

Аннотация. Преобразования Дарбу играют, как известно, важную роль в приложениях МОЗР. В данной работе излагается теория таких преобразований для операторов Шредингера с потенциалами, имеющими компактный носитель, но не обязательно гладкими. Исследован новый класс преобразований, связанный с нулями коэффициента отражения, расположенными в сопряжённых точках комплексной плоскости.

Ключевые слова: обратная задача рассеяния, Оператор Шредингера, финитные потенциалы, преобразования Дарбу.

Mathematics Subject Classification: 34L25, 35J10, 37К15

1. Финитные потенциалы

Проблема расширения семейства точно решаемых потенциалов в обратной задаче рассеяния для уравнения Шредингера постоянно привлекает внимание специалистов. Один из классов потенциалов, для которых обратная задача может быть решена полностью, образует потенциалы Баргмана (безотражательные потенциалы, [6]). Однако при решении обратной задачи в классе потенциалов Баргмана отсутствует характерная особенность спектральных данных, связанная с краем непрерывного спектра, что, в частности, не позволяет существенно расширить этот класс путём предельного перехода. Другой класс потенциалов, допускающий конструктивное решение, составляют дельтаобразные потенциалы [2], и мы рассматриваем здесь расширение этого класса при помощи специальных преобразований Дарбу, сохраняющих финитность носителей потенциалов.

Для решений уравнения Шредингера

Ьф = Хф, Ь = д(х)-В2х, (1)

преобразование Дарбу вводится следующей «хорошо известной» формулой:

Ж/ V-/ + А - А„ / )

из которой находим, что

ф = {!~В)ф, Ьф = \ф, Ь = д(х)-02, д(х) = д(х) - 2/ж,

ф' ф' (2)

ф Ф

Выбор функции /(ж), удовлетворяющей уравнению Риккати, в этих формулах определяется в данной работе условием финитности носителей исходного и преобразованного

M.Sh. Badakhov, А.В. Shabat, Darboux transformations in the inverse scattering problem. © Бадахов М.Ш., Шабат А.б. 2016.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект №15-11-20007). Поступила 21 августа 2016 г.

потенциалов. В силу формул (2) это означает, что функция f(x) является постоянной как при х ~ —оо, так и при х ~ +оо. Как правило, можно считать, что

Л 7 2 , n ff n фх, , ч j ж--оо

Л0 = -к0 < 0, f(x) = —{х, ко) = < . (3)

ip I —Ко, ж ~ оо

Это соответствует выбору в качестве /, логарифмической производной от функции Йоста ф(х, к), которая определяется как решение интегрального уравнения:

/X

R(x - s,k)4>(s,k)q(s)ds, (4)

-оо

с ядром R, удовлетворяющим в правой полуплоскости К у.

К+ = {к Е С, Rek > 0}, (5)

оценке

1 _ р-Ъкх' гО

R(x',k) =---в(х')=>\Мх',к)\< \e2ks\ds<x', Rek> 0. (6)

2 к J_x,

Левее носителя потенциала функция Йоста ф(х, к) = екх, а правее

■ф(х,к) = а(к)екх + b(k)e~kx, х ~ +оо. (7)

Функции а(к) и Ь(к) имеют полюс первого порядка в точке к = 0, но их линейная комбинация а{к) + Ъ{к) регулярна в этой точке.

В интересующем нас случае функция q является линейной комбинацией i-функций. Такие функции мы называем i-образными. Выбрав ф = 1 в качестве нулевого приближения и применив метод итераций к скалярному интегральному уравнению (4), можно проверить, что для уравнения Шрёдингера с i-образным потенциалом вида

N

9(х) = ^2ъ§(х~хз) (8)

з=1

метод итераций даёт точное решение уже на iV-ом шагу. Непрерывное при всех х построенное решение уравнения Шредингера (1) с потенциалом (8) удовлетворяет в узлах Xj, j £ [TV], условиям согласования левых и правых производных.

Случай (3) соответствует специальному выбору параметра ко > 0, отвечающему отрицательному собственному значению А = Ао < 0 исходного оператора L = q{x) — D2, причём

а{ко) = 0, ф(х, ко)—> 0, х —> ±оо. (9)

Если собственное значение Ао < 0 минимально, то функция Йоста (9) нулей не имеет и у её логарифмической производной отсутствуют полюса. Используя (3), мы находим, что в этом случае для преобразованной функции Йоста

ф(х, к) = ^f ~ f" = а(к)екх + Ъ(к)е~кх, х ~ оо; а(к) = Ык) = -Ь(к). (10)

ко — к к — ко

Отметим, что в случае вещественных потенциалов q(x), х £ М на вертикальной оси к = G М. должны выполняться следующие условия «вещественности»:

а(-к) = а(к), Ь(-к) = Ь(к), \а(к)\2 = 1 + \Ъ(к)\2 > 0, к = С G R, (11)

где черта обозначает комплексное сопряжение. Для произвольных финитных потенциалов уравнение, связывающее целые функции экспоненциального типа 2ка(к) и 2kb(k), записывается в виде

а(к)а(-к) - Ь(к)Ь(-к) = 1. (12)

Для чётных потенциалов уравнение упрощается и его можно переписать следующим образом:

д(-х) = д(х)^Ъ(-к) = -Ъ(к)) а(к)а(-к) = (1 - Ь(к))(1 + Ь(к)). (13)

При использовании нулей второго коэффициента Ь(к\) = 0 формула (2) даёт:

1{х) = ^{хМ) = [к1Ъ а(к) = а(к), ВД =

ф I кг, х ~ схэ кг-к

Однако корни функции Ь(к) являются комплексными числами и нужно делать дополнительное преобразование, чтобы восстановить вещественность потенциала. В результате такого двойного преобразования мы получаем

а(к) = а(к), Ь(к) = Ь(к)^4х^4, к2 = кг. (14)

кг~ к /С2 — к

Особый интерес представляет случай, когда все нули Ь(к) располагаются на вертикальной оси. В этом случае = —кг и формула (14) приводит к неожиданному результату:

Ь(к) = О, к = кг,2 = ±г£, £ € Е ^ а = а, 6 = 6. (15)

Напомним, в случае «гладких» потенциалов обратная задача рассеяния сводится обычно к паре интегральных уравнений

¡•X

ф{х,к) = екх + К{х,у)екЧу, Пек> 0, (16)

К(х,у) +F(x + y)+ K(x,s)F(s + y)ds = 0, у < х. (17)

J — оо

Первое из них определяет, используя преобразование Фурье функции Йоста (4), ядро К(х,у), у < х как функцию от у при фиксированном х. Второе из этих соотношений «уравнение Гельфанда-Левитана-Марченко» используется для восстановления функции К(х,у), у < х как решения интегрального уравнения Винера-Хопфа на полуоси —схэ < у < х с заданным ядром F = F(x + у), стремящимся к нулю при X = х + у —> —схэ. Преобразование Фурье функции F(X) выражается через значения Ъ/а на вертикальной оси к = г£. На рис. 1 показан график модуля такой функции, когда все нули целой функции 2kb(k) расположены на мнимой оси. Для построения примеров неоднозначной разрешимости уравнения (17), как будет показано ниже, можно использовать пару сопряжённых друг другу нулей (15) целой функции 2kb(k), расположенных на мнимой оси. Отметив, что пара сопряжённых друг другу нулей к = отвечает одному и тому же значению А = — к2, мы показываем (см. Пример 2 в конце работы), что в этом случае преобразование Дарбу приводит к новому потенциалу с носителем на полуоси |ж1,схэ), но с той же функцией F{x).

2. Нули коэффициента отражения

После преобразования Дарбу (10) коэффициент а(к) не имеет нуля в точке к = к0 и можно таким образом избавиться в обратной задаче от дискретного спектра оператора Шредингера (1). Напомним, что число этих собственных значений совпадает с числом перемен знака графика предельной к —> 0 функции Йоста ф(х, 0). В случае (8) этот график представляет собой ломаную (см. рис. 2) с узлами в точках узлах х^, играющую определяющую роль в спектральных свойствах дельтаобразных потенциалов [1].

gamma1=-gamma2 = l, ^=-2, х2=0

Рис. 1. График (к) на мнимой оси.

Напомним теперь для полноты картины известные формулы, связанные с кусочно-постоянным потенциалом qe в виде прямоугольной ямы, который в пределе е —> 0 переходит в дельта-функцию с коэффициентом 7:

q(x) = qe(x) = ^ = х Е [-£, 0] 1е.

Функция Йоста ф£(х, к) и её производная определяются внутри 1£ следующей формулой:

к

ек£ф{х, к) = сЪ.г(х + е) Н— + е), — е < х < 0,

ек£фх{х, к) = к сЬ г(х + е) + г вЬ г(х + е), г2 = к2 — Н.

В частности при к = 0 (z = i\fh) мы имеем

Ф

cos(x + e)vh, —е<х<0, к=о I cos(ел/h) — xVhsm(eVh), х > 0,

что, как уже отмечалось, позволяет определить, число собственных значений в зависимости от величины е. С другой стороны, эти собственные значения определяются нулями в правой полуплоскости (5) целой функции 2ка(к), где:

а(к)ек£ = diz£ + l(- + j) sh(ze), b(k)ek£ = sh(ze).

Z \ Z гь J Z \ Z К J

В качестве приближенного решения ф интегрального уравнения (4) можно использовать первую итерацию

ф(х, к) « 1 + Г R(x - х1, k)q(x')dx' = \ ^ ^ R(X ~Х'' k)dX'J Х е .

J-оо [71 R(x + e,k), х >-е

Верхняя строка здесь соответствует «яме», а нижняя дельтаобразному потенциалу 0_{х) = 71 + для которого первое приближение даёт точное решение интегрального уравнения.

В качестве первого примера применим преобразование (2) к дельтаобразному потенциалу (8) с двумя узлами:

= - х\) + - х2), х21 = х2 - х\ > 0. (18)

Полагая для упрощения формул х2 = 0, находим, что

(1 + ^)екх - ^е2кх1е~кх, хг<х<0,

где

мх, к) = к(1г_кх \ ~ ' (19)

а(к)е*х + Ъ(к)е , ж > 0

а{к) = 1 + ^ + 1 + = е2кх^ + | + - е2кХ1). (20)

Таким образом,

= = х, < .г < 0. (21)

и скачки этой кусочно-непрерывной функции в узлах дельта-функций равны, соответственно, 71 и 72:

-7ь £ , , , , =Ъ + В1оёф{-0,к).

■ф(х,к) х=х!-о ' а{к) + Ъ{к)

Преобразованная функция гф из формулы (2) остаётся при этом непрерывной и удовлетворяет уравнению Шредингера (1) с потенциалом

д(х) = -ъ8(х-х1)-ъ8(х)- ) ' [Ж1'0]' (22)

при любом выборе достаточно большого значения ко > 0. Однако, для того чтобы преобразованный потенциал остался финитным, нужно выбрать в качестве ко максимальный корень а(к) в правой полуплоскости (5). При N = 2 длину интервала [ж 1,0] можно фиксировать за счёт масштабирования 7./ и полагая, например, 71 = 72 = — 1, Х\ = — 1, мы находим единственный вещественный корень ко ~ 0.63923 у функции а(к) в полуплоскости (5). Потенциал (22) является при таком выборе ко финитным, но все коэффициенты 7-,- при дельта функциях изменяют знак.

Замечание 1. Включение в теорию преобразований Дарбу дельтаобразных потенциалов существенно расширяет возможности этой теории и приводит к интересной задаче о решениях уравнений

./;; +/;., ./; ./;., • а, А, .,, з е ъ т

так называемой одевающей цепочки, допускающих заданные разрывы ryj первого рода в фиксированных заранее точках х^. Рассматриваемые далее решения этих уравнений описывают композицию преобразований Дарбу (2) и соответствуют перемножению матриц (24) (см. ниже). Напомним [5], что гладкие, периодические по дискретной переменной решения одевающей цепочки описывают конечнозонные потенциалы, включая естественно и потенциалы Баргмана.

Как уже говорилось, при использовании нулей второго коэффициента Ь(к), для того чтобы потенциал оставался вещественным, используются пары комплексно сопряжённых

нулей и двойное преобразование Дарбу. Рассмотрим суперпозицию преобразований Дарбу вида (2) и соответствующее произведение матриц:

!)■■ ( Л ' Г2 ) • <1<''/'} А А,- (24)

В случае = Ф находим

ф=( /1У + А1-А -у \ а=к+к

\\g-\1f2-\2h-ghf2 ¡29 + Л2 — Ау ' Я /1 + /2"

Легко видеть, что элементы произвольного произведения Ф = (Фу) матриц (2) удовлетворяют в общем случае следующим уравнениям:

-^-Ф = Г., л Ги - ф л IV Ф=[Ф»] (25)

Ах \д{х)-\ Оу \ц{х)-\ Оу' 1 131 к ;

Ф'и = Ф21 - (я(х) - Л)Ф12 |ф'12 = Ф22 - Фи

ф,22 = №) - А)Ф12 - Ф21 ' \ф;21 = д(ж)фц - д(ж)ф22 + Л(ф22 - Фи)

В рассматриваемом случае двойного преобразования Дарбу мы имеем в силу этих уравнений

Ф12 = -д{х), фп = Цх)-\, ф22 =-А-' + Фц, Ф21 = + £ = д - 2^', (27)

и поэтому

Ф11Ф22 = а2 - (2к - д')А - д'к + /г2, Ф12Ф21 = 92{ч-\)- дЫ. Так как определитель

с^ ф = А2 - 2аА + к2 + дк' - д'к - д2д = (А - А:)(А - Л2) не зависит от х мы получаем окончательно

2 , ч А1А2 „ к А

2/, = ,2 + ,' + А1 + А2, +0) + /:

_ _ 1

' П 9 9

А2 — А1 И /1А2 — Ах/ , 2 / \ л

£ = ^-г> - = —;-х—> /+/ =?(ж)-Л2.

Л - / 0 А2 — Ах

Нетрудно проверить, что при А2 ф \\ указанные выше формулы для д и д/к и два уравнения Риккати

/ + /2 = Ф0- А2, п + ^ = д(х) - Хг (29)

для исходного уравнения Шредингера Ьф = Хф гарантируют выполнение двух уравнений (28) и наоборот. На языке операторов преобразования из работы [5] это соответствует (см. (1), (2)) формулам

ЬоА = АоЬ, А = В2 + а1В + а2, А=(Б- /2)(£> - /1), (д- И2)А = А(д- И2), А = И2 - дБ + к - д, Аф = -дф' + (к - Х)ф.

Возвращаясь к потенциалу с двумя узлами и формулам (19), (20), приведём пример двойного преобразования Дарбу в случае двух вещественных собственных значений.

дашша1=-1, дашша2=-1.1, хх=-2, х2 = 0

Рис. 2. График ф(х)

к=О

дашша1=-1, датша2=-1.1, Х1=-2, х2=0, к0=0.665,к!=0.047

4

-2 . 5

-1.5 -1

-0.5

-1

-2

О . 5

Рис. 3. Графики д(х) + д{х)(заштрихованный) и д(х) — д(х)

Пример 1. При 7! = —1, 72 = —1.1, Х\ = —2, график ф(х,0), имеет два нуля. Два вещественных нуля функции а(к) находятся численно:

а{к) = 0, кг « 0.665, к2 « 0.047.

На рис. 3 представлен график преобразованного потенциала после однократного и двукратного Дарбу.

Покажем, что в случае вырождения (\2 = А1) двойное Дарбу нарушает финитность потенциала.

Лемма 1. Пусть Аг = А1, Ф12 = —д(х) и Фп = 1г(х) — А. Тогда уравнения (26), (27) эквивалентны при д{х) = /{ + /2 + А1 следующим соотношениям:

д' + д2 = 2д/1, к = ¡19 + Аь д = д-2 д'. (31)

Действительно, из (28) следует, что

к = Ьд + \1, д' + д2 + \2 = 2/1д + \1, ¡[ + /2 + \г = д.

Полагая здесь \2 = получаем утверждение леммы. ►

Заметим в дополнение к Лемме 1, что вспомогательное решение / уравнения Риккати (29) находится при А 2 = А1 методом вариации постоянных:

/1 = -, / = /!+«=► =2Л- + 1, и = -, г' = -2,

<Р1 \и) и % Ч>1 (32)

р = р\г => р' = р\г Л--, р" = р'[г = (<? - А Ар.

Ч>\

Здесь р\ произвольное решение исходного уравнения р'[ = (д — Х^рх и р = р\Х} найденное нами второе решение этого же уравнения. В результате однократного преобразования (2) с / = /1 мы находим:

00-/1)^1 = 0, (£>-/!)¥> = —, (—) =(Я1-Х1) — , д1 = д-2Ц

¥1 Ч>\

Таким образом, = — /1 является решением нового уравнения Риккати ■?/ + V2 = — А, и аналогично (32) мы находим дополнительное решение V в виде суммы:

2

/ О ^ 1 / О

г» = — Л + и, и + и = 2и А г> + Л = —, -г = о?-,.

г

Это, естественно, приводит к формулам из Леммы 1. Подводя итоги, сформулируем следующее утверждение:

Для вещественных, финитных потенциалов композиция преобразований Дарбу, соответствующих матрицам (24); позволяет, избавиться от, нулей целой, функции, 2ка{к) расположенных в правой полуплоскости (5), и, конечного числа нулей, целой, функции, 2кЪ{к), не лежащих на вертикальной оси,. Во втором случае применяется двойное Дарбу, использующее комплексно сопряжённые решения уравнений, Риккати (29) и, формулы (28).

Замечание 2. В условиях Леммы 1 функции ¡^^ ] = 1, 2 из формул (24) удовлетворяют соотношениям

( £ I £ V £ Х' ^ „2 г

(Л +/2) = Л -/2, /2 =---, г = <р1} ¡1 = —.

г рг рг

и уравнения (31) позволяют переписать одевающую цепочку из Замечания 1 в терминах г

7

Роль уравнения Риккати играет при этом известное в спектральной теории уравнение третьего порядка с "производной Шварца"

/ \ , 7 2 1 %XXX 1 / %XX \ 2 /пп\

д(ж) + /с = ---- — , гх = р . (33)

Л Хх т: \ Zx J

2.1. Нули на мнимой оси. Выясним сначала вопрос о характере поведения целой функции 2кЬ(к) на мнимой оси к = в зависимости от параметров дельтаобразного потенциала (8). Предполагая х^ = 0 и фиксируя равным е расстояние между соседними узлами, введем для краткости вспомогательные обозначения

7, = |;, е, = е2^, ё, = е"2^, е = е&+1 = е~2к£. (34)

дашша1=дашша2=1, хх=-2, х2=0, кх=1.0141

10

5

-2 4 \ з,/ 10

-5

-10

Рис. 4. Графики Не д{х) и 1т д{х) (заштрихованный) при мнимом нуле Ъ{к)

Перемножив матрицы рассеяния дельтаобразных потенциалов (см. [2]), мы находим, например при N = 3, что:

-Ъ{к) = 7з(1 +71X1 + 72) + е271(1 - 72)(1 - 73) + е72(1 + 71Х1 - 7з) - е^ИЪЪ-, егЬ(-к) = 71(1 + 7а)(1 + 73) + е273(1 - 71)(1 - 72) + е72(1 - 71Х1 + 7з) - е1\ЪЪ-

Так как Ъ{к) = Ъ{—к) на мнимой оси, то условие 71 = 73 гарантирует, что 6(г£) = О Ъ{г^) = 0, и что е\Ъ{—к) = —ё^Ъ{к). Очевидно (см. (13)), что последнее условие выполняется для всех чётных с точностью до сдвига дельтаобразных потенциалов (8), и что для таких потенциалов задача о нулях целой функции 2кЬ(к) на мнимой оси сводится к задаче о нулях тригонометрических квазимногочленов с вещественными коэффициентами. Задача о структуре множества нулей таких квазимногочленов исследовалась численно в работе [3]. В приведённом ниже примере эти нули образуют целочисленную решётку с точностью до выбора е в формуле (34).

2, корни Ъ{к) определяются, в силу (20), следующим простым урав-

Пример 2. При N нением

При 71 и

72

1 + 2к/ъ 1 - 2к/Ъ = 0 корни уравнения е2кХ1

е

2кх! _

= 1, если 71 + 72 = 0.

(35)

1 образуют регулярную решётку на мнимой оси

Ъ{к)

{1+т-

ехр 2кх\ — 1

/31 = —, к = г£. 71

а{к) ' /32&2 + ехр 2кх\ — 1'

Преобразование Фурье этой функции на мнимой оси и соответствующее решение интегрального уравнения (17) (ср. [4]) приводит по-видимому к дельтаобразному потенциалу с двумя узлами в точках х\ и х2 = 0.

Как уже отмечалось в конце §1, преобразования Дарбу, связанные с парой (15), расположенных на мнимой оси нулей целой функции 2кЬ(к), выводит за рамки класса вещественных финитных потенциалов и приводит к потенциалам с носителем на полуоси, аналогичным, показанному на рис. 4. Этот график описывает применение Леммы 1 в рассматриваемом случае (35). Вид преобразованного потенциала д = д — 2д' находится при помощи функции д(х), которая определяется как решение задачи Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка (см. Лемму 1):

9

+ д2 = 2Ьд, Л + /1 + А1 = д, д(х 1) = 2к1} /1(2:1) = кь Хх = -к\.

Для уточнения деталей привлекается функция

. , I екх + ^sh(kx), Х\ < х < О

Юл (Х) = < ,

(а(к)екх, х > 0, к = кг, Ъ(кг) = 0.

Легко видеть, что q(x) = 0 при х < Х\ и что при ж > х\ всё можно выразить в терминах этой функции <р\ (см. Замечание 2).

2.2. Благодарности. За интерес к работе и полезные замечания благодарим В.Э. Адлера и Р.Ч. Кулаева.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шабат А.Б. Обратная спектральная задача для делътаобразных потенциалов // Письма ЖЭТФ. 2015. Т. 102, № 9. С. 705-708.

2. Шабат А.Б. Теория рассеяния для делътаобразных потенциалов // Теор. Мат. Физ. 2015. 183(1). С. 105-119.

3. Бадахов М.Ш., Веремеенко О.Ю., Шабат А.Б. Об асимптотике обобщенных собственных значений оператора Шредингера // Владикавк. мат. журн. 2014. 16(4). С. 34-40.

4. Evg. Korotyaev Inverse scattering on the real line // Inverse Problems. 2005. 21. C. 325-341.

5. Веселов А.П., Шабат А.Б. Одевающая цепочка и спектральная теория оператора Шредингера II Функц. Анализ и его прилож. 1993. 27(2). С. 1-21.

6. V.Bargman Remarks on the determination of a central field of force from the elastic scattering phase shifts // Phys. Rev. 75, № 2. 1949. P. 301-303.

Мухтар Шамильевич Бадахов,

КЧГУ им. У. Д. Алиева,

ул. Ленина, 23,

369200, г. Карачаевск, Россия

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН,

ул. Чернышевского, 112,

450077, г. Уфа, Россия

E-mail: badahov92@mail.ru

Алексей Борисович Шабат,

ИТФ РАН им. Л. Д. Ландау,

просп. Академика Семенова, д. 1-А

142432, г. Черноголовка, Россия

КЧГУ им. У. Д. Алиева,

ул. Ленина, 23,

369200, г. Карачаевск, Россия

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН,

ул. Чернышевского, 112,

450077, г. Уфа, Россия

E-mail: shabatab@mail.ru