О представлениях вещественных алгебр с делением Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.552.322

О ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ ВЕЩЕСТВЕННЫХ АЛГЕБР С ДЕЛЕНИЕМ

А. А. Коробов

Целью статьи является доказательство следующей теоремы.

Теорема. Любые два точных четырехмерных представления вещественной ассоциативной алгебры с делением эквивалентны.

Доказательство. Известно (см. [1, гл.1, §4, п. 5]), что группа диэдра порядка 8 может быть задана следующим генетическим кодом:

Б = (а, Ь || а4 = 1, Ь2 = а2, ЬаЬ- = а-).

Сначала докажем следующую лемму.

Лемма. Степень любого неприводимого вещественного представления группы Б, ядро которого не содержит центра группы Б, четна. Любые два точных неприводимых вещественных представления группы О эквивалентны.

Доказательство. Пусть V — вещественное векторное пространство размерности п, ф — неприводимое представление группы Б линейными операторами пространства V, ф(а) = А, ф(Ь) = В. Тогда

А4 = Е, А2 = В2, ВАВ-= А-.

Следовательно, оператор А2 принадлежит центру группы О = ф(Б).

А Е А

на единичной окружности. Покажем, что — 1 принадлежит спектру А2.

А

характеристический многочлен оператора А2 имел бы вид (А — 1)", © 2012 Коробов А. А.

откуда по теореме Гамильтона — Кэли следовало бы, что (А2 — Е)п = О, А — унипотентный оператор и А2 имеет бесконечный порядок и порядок 2 одновременно.

Пусть V — собственный вектор оператора А2, соответствующий собственному значению — 1, Ш — линейная оболочка вектора V. Тогда для любого элемента д € О подпространство д(Ш) — минимальное ^-допустимое подпространство в V, где ^ = гр(А2) — нормальная подгруппа группы О. Пусть и' — сумма всех подпространств вида д(Ш) по всем д € О. Очевидно, что и' — О-допустимое подпространство в V. Поэтому из неприводимости группы О следует, что V = и'. В силу конечномерности пространства V в группе О найдутся элементы д1,..., дп такие, что и является прямой суммой подпространств д1 (Ш),..., дп(Ш). Имеем

АдИ = дАИ = д(—'^ = —

Поэтому матрица линейного оператора А2 имеет в ид — Е. Следовательно, А = В2 = —Е, В4 = А = Е. В частности, спектр оператора А являете чисто мнимым. Если бы размерность пространства V была нечетной, то оператор А нечетномерного пространства имел бы вещественное собственное значение, что противоречило бы мнимости А

Пусть и — В-допустимое подпространство в V. Тогда найдется такой вектор и € и, что векторы и и В (и) линейно независимы. Поэтому векторы щ, и2 = В(щ) образуют базис и. Рассмотрим подпространство Ш', являющееся линейной оболочкой векторов А(щ), А(и2). Поскольку А2 = —Е, Ш' инвариантно относительно оператора А По построению вектор В(щ) лежит в и, а вектор ВА(и^) = А-В(и^) = — АВ(и^) лежит в А(и), ^ = 1,2. Следовательно, Ш' инвариантно относительно оператора В.

Итак, подпространство Ш' О-допустимо. Снова из неприводимости группы О заключаем, что V = Ш'. В частности, размерность V не превосходит четырех. Покажем, что размерность V равна четырем.

70

Коробов А. А.

Пусть, напротив, размерность V меньше четырех. По условию леммы ф — точное представление группы D, поэтому размерность V

V

вать группу G как группу операторов двумерного комплексного пространства. Известно (см. [2, § 47, пример 1]), что существует ровно пять неэквивалентных комплексных неприводимых представлений группы диэдра D, причем ядра четырех го них содержат центр группы D, а пятое, которое обозначим через п, двумерно. По теореме Машке (см.

G

представления ф следует, что хотя бы одно неприводимое слагаемое в разложении представления ф эквивалентно комплексному представлению п Итак, комплексные представления фи п эквивалентны.

С другой стороны, покажем, что при любом выборе базиса двумерного комплексного пространства матрицы операторов п(а) и п(6) не могут быть вещественными одновременно. В самом деле, если бы в некотором базисе двумерного комплексного пространства матрицы A' и B' операторов п(а) и п(6) оказались вещественными, то из соотношения A'B' = -B'A' следовадо бы, что определители матриц A' и B' равны единице и равны числу — (6ц)2 — (612)2 (поскольку матрицу A' можно считать кососимметрической), что для вещественных чисел 6ц, bi2 невозможно. Поэтому комплексные представления ф и п не экви-

V

V

Выше показано, что векторы щ, u2, A(ui), A(u2) образуют базис

V

BA(u) = -AB(ui) = — A(u2), BA(u2) = -AB(u2) = -A(ui)-A'' B'' A B

базисе e определяются однозначно. Пусть операторы <(а) и <(6) пространства V таковы, что A'' — матрица оператора <(а) в базисе e, a B'' — матрица оператора <(6) в базисе е. Ясно, что отображение, переводящее а в <(а) и 6 — в <(6), продолжается до гомоморфизма

группы Б в группу невырожденных операторов пространства V. По построению вещественное представление у эквивалентно вещественному представлению ф. Лемма доказана.

Продолжим доказательство теоремы. По теореме Фробениуса (см. [4, гл. 5, § 8]) любая вещественная конечномерная ассоциативная алгебра с делением изоморфна либо полю вещественных чисел, либо полю комплексных чисел, либо алгебре кватернионов. Поэтому можно считать, что алгебра Н из условия теоремы имеет базис 1,г причем группа, порожденная кватернионами г ,0, изоморфна группе Б. Пусть уф — два точных представления алгебры Н вещественными матрицами четвертого порядка. В частности, для любых кватернионов а и Ь выполнены соотношения

у(аЬ) = у(а)у(Ь), ф(аЬ) = ф(а)ф(Ь), у( — 1) = —Е, ф( — 1) = —Е.

Обозначим сужения отображений у и ф на группу Б через у' и ф' соответственно. Тогда у' и ф' — два точных вещественных представления группы Б четвертой степени. Покажем, что у' — неприводимое

вещественное представление группы Б.

у'

ке у' вполне приводимо, т. е. у' являете суммой представлений м и V, причем оба представления м и V приводимы быть не могут ввиду точности представления у'. Тогда одно из слагаемых, скажем непри-водимо. Так как — 1) те равно единичной матрице и { —1,1} — центр группы Б, по лемме м — двумерное вещественное представление. С другой стороны, если м(г) — вещественная матрица, то матрица не может быть вещественной. Это свойство двумерного представления Б

ставлення ^(а) при доказательстве леммы. Пришли к противоречию,

у'

у' ф'

Б

72

Коробов А. А.

денная матрица Т степени 4, что

ф'(г) = Т-ОТ, ф'(¿) = Т-ш)Т.

Поэтому

ф'(к) = ф'Ш = Ф '(ОФ'Ш = Т-у'фу'ШТ = Т-у'(к)Т.

Пусть Н — произвольный кватернион. Тогда Н = р -1 + д • г + г • Ш + в • к

для некоторых вещественных чисел р, д, г в. Так как отображения у

ф

ф(Н) = Р • ф(1) + ? • Ф(г) + г • ф(Ш) + в • ф(к)

= р • ф'(1) + д • ф '(г) + г • ф'Ш) + в • ф '(к) = р • Т— у'(1)Т + д • Т— у'(г)Т + г • Т—у/(ш)Т + в • Т— у'(к)Т = Т-(р • у'(1) + д • у'(г) + г • у'Ш + в • у'(к))Т = Т-у(Н)Т.

Другими словами, представления у и ф эквивалентны. Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Ч. 3. Основные структуры. М.: Физмат-лит, 2004.

2. Кзртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. М.: Наука, 1969.

3. Мерзляков Ю. И. Рациональные группы. М.: Наука, 1987.

4. Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. СПб: Изд-во «Лань», 2007.

г. Новосибирск

15 сентября 2012 г.