CC BY
19
УДК 519.71
О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ОПЕРАТОРОВ СИТУАЦИОННЫМИ СХЕМАМИ
© 2017 А. М. Фрумкин
доцент кафедры электроснабжения, канд. техн. наук e-mail: [email protected]
Юго-Западный государственный университет
Предлагается вариант определения неавтономной динамической системы в форме оператора. Показывается возникновение вспомогательной модели ситуационной схемы при определении некоторых операторов. Рассматривается вариант определения решений для системы с кусочно-непрерывным управлением. Для релейного оператора с помощью ситуационной схемы определяются выходные процессы как решения уравнения. Обобщается определение неавтономной ситуационной схемы.
Ключевые слова: оператор, входной процесс, выходной процесс, событие, ситуация, переход, ситуационная схема, эволюционное отображение, эволюционная последовательность.
Введение
Для моделирования цифровых (дискретных) и аналоговых устройств традиционно применялись модели различной природы. Аналоговые устройства моделировались как физические системы, и для их моделирования использовались средства классического математического анализа, в частности теории дифференциальных уравнений [Шилов 1969, 1970]. Для моделирования цифровых устройств часто использовались и продолжают использоваться различные автоматные модели [Варшавский 1986], в частности модель конечного автомата [Гилл 1966; Кобринский, Трахтенброт 1962]. В таких моделях физические процессы не рассматриваются. В то же время «дискретное» устройство - это физическая система, и описывать ее взаимодействие с другими объектами целесообразно в терминологии физических процессов, протекающих в реальном времени.
Для того чтобы преодолеть это противоречие, разработчиками дискретных моделей проводились исследования в ряде направлений. Были предложены автоматные модели, которые не оперировали физическим временем, но, тем не менее, позволяли описывать такие понятия, как асинхронность и параллелизм [Варшавский и соавт. 1986; Мараховский и соавт. 2014]. Было введено понятие временной булевой функции [Поспелов 1974] для того, чтобы были возможны рассуждения с непрерывным временем. Был предложен аналог модели конечного автомата с непрерывным временем [Рабинович 2003].
Моделирование различных устройств вычислительной техники с единых позиций особенно актуально при разработке языков описания аппаратуры. Первоначально такие языки предназначались только для описания дискретных устройств, но со временем в них включались средства описания преобразований аналоговых сигналов. В качестве примеров можно привести языки VHDL [Christen 1999; Бибило 2012] и Verylog [Соловьев 2014].
Если в теории дискретных устройств существует ряд общепринятых и изученных автоматных моделей, то в теории аналого-цифровых устройств пока общепринятых моделей нет, хотя отдельные их варианты предлагаются в публикациях [Courtay 2007]. Модели аналого-цифровых устройств желательно строить в терминологии теории динамических систем. Достаточно общей моделью неавтономной
динамической системы является модель оператора, то есть функции, которая входному процессу устройства ставит в соответствие выходной процесс. В данной статье на примерах показывается возникновение одного из вариантов вспомогательной модели, которая помогает определять операторы. Эта модель названа ситуационной схемой. По внешней форме и назначению она похожа на модель конечного автомата и может использоваться при построении языка описания законов управления [Фрумкин 2015], родственного языкам описания аппаратуры. С другой стороны, в статье показывается, что модель ситуационной схемы может быть полезна и при исследовании динамических систем.
При определении ситуационной схемы существенно используется понятие события, введенное нами ранее [Фрумкин 2013]. Терминология и обозначения из этой статьи частично используются и в настоящей статье. Ранее процесс рассматривался как кусочно-непрерывная функция. В данной статье будут рассматриваться непрерывные и кусочно-непрерывные процессы.
Множество кусочно-непрерывных процессов в пространстве X будем обозначать р(Х), множество начальных фрагментов таких процессов - р0(Х). Множество непрерывных процессов в пространстве X будем обозначать с(Х), множество начальных фрагментов непрерывного процесса - с0(Х).
Так же, как в статье [Фрумкин 2013], в дальнейших рассуждениях некоторые функции определяются как частный случай отношений [Новиков 2013]. Область определения функции / обозначается Ош(/). Доказательства математических утверждений помещаются между значками 3 ► . Возникновение противоречия в доказательствах от противного обозначается значком И.
1. Операторы и примеры их аналитического определения
Определение 1. Пусть Х,У - множества (метрические пространства). (Х,У)-оператором назовем функцию £Бш(Г)Ср(Х)^ р(У) и обладающую свойством отсутствия предвосхищения: если и,уеБш(Г)л л(и,1;)=л(у,1;), то л(Г(и),1)=л(Г(у),1;).
Здесь п обозначает функцию префикса процесса [Фрумкин 2013]. Свойство отсутствия предвосхищения можно переформулировать так: если префиксы двух входных процессов совпадают, то совпадают префиксы соответствующих выходных процессов. Оператор назовем нормальным, если Бш(Г)=р(Х).
Приведем несколько простых примеров определения оператора.
Пример 1. Оператор, порожденный функцией Х^У.
М) ={ (х,у): хер(Х) л у={(^): 1£[0,«>) л г=в(х(1))> }
В самом простом варианте функция постоянна, §=аеУ,
Ла)= { (х,у): хер(Х) л у={(^): 1е[0,<х) л 2=а} }. (1)
Уже в данных примерах видно, что, как правило, мы определяем не один оператор, а семейство операторов, зависящих от параметра (§ или а). Семейство операторов (1) можно назвать оператором сохранения исходного значения.
Пример 2. Интегральный оператор. Областью определения этого оператора является р(Я) (Я - множество вещественных чисел). Оператор зависит от параметров: коэффициента а и начального значения выходной переменной д. Формально закон определяется так:
г
1(а,д)={(х,у): хер(Я) л у={(^): 1е[0,<х) л 2=д+а/х(т)ёт}}. (2)
0
Пример 3. (Х,У)-оператор «мгновенной» задержки зависит от параметра аеУ: ё(а)={(х,у): хер(Х) л у={(^): ( 1=0л2= а ) V ( 1е(0,<») л 2=х(Ь) ) } }.
Здесь и далее знак «-» после аргумента означает предел слева: х(t —) = Нт.^^ х(т). Соответственно, знак «+» после аргумента означает предел справа: х( t +) = Итт^+о х(т).
Пример 4. Оператор Б-триггера («защелки»). Его областью определения является множество процессов в В2, где В={0,1} - булево множество. С другой стороны, в данном случае удобнее рассматривать не один входной процесс и:[0,<»)^В2, а пару процессов (компонентов и): х:[0,<»)^В и б:[0,^)^В. Первый процесс -информационный, а второй - синхронизирующий.
Словесно описание оператора может быть сформулировано так: оператор запоминает и передает на выход значения информационного сигнала в моменты скачков синхронизирующего сигнала из нуля в единицу. После каждого такого запоминания запомненное значение сохраняется на выходе до следующего скачка синхронизирующего сигнала.
Формальное определение задает семейство операторов, зависящих от двух параметров: выходного значения «а» и значения синхронизирующего сигнала «с» до начала наблюдения:
О (а, с) = { ((х, 5), у)□ (р(Вхр(Б))хр(В) =_
у(0) = х(0) ■ (с • (5(0)0 +))) V а ■ (с • (5(0)0 +)))
л vt > о ^0 = *(0 • (^(0ь +))) V - -(ЦТ— • о +))) }•
В рассмотренных примерах оператор удалось определить обычными средствами математического анализа. В более сложных примерах для определения оператора по его словесному описанию полезно построить вспомогательную математическую конструкцию в виде кортежа, включающего множества и отношения. Она позволит разбивать процесс функционирования рассматриваемой системы на фрагменты, в каждом из которых закон эволюции системы оказывается проще, чем закон ее эволюции в целом.
2. Расширение определения оператора решения неавтономного дифференциального уравнения
Пусть Х=Кш, У=Нп (п>ш - натуральные числа), f: УхХ ^ У - непрерывная функция, удовлетворяющая условиям Липшица по первому аргументу с исключением второго [Шилов 1970]. Тогда для любого начального значения и любого
непрерывного процесса х: [0, го) ^ X существует единственное решение уравнения
У = ¡(У>х).
В технических задачах возникает необходимость расширить определение решения на случай кусочно-непрерывной функции х: [0, го) ^ X. В функциональном анализе такое расширение осуществляется для более широкого класса функций [Колмогоров 1976]. Далее будет показан вариант формализации метода «припасовывания» начальных условий, в котором используется понятие события [Фрумкин 2013].
Обозначим через $(•/) оператор решения уравнения у = /(у, х) в случае непрерывной функции х. Оператор д имеет два аргумента - начальное условие и входной процесс. Определим на множестве процессов р(Х) событие
е = { (х, 0: * е Р(Х) А t = т/{т е (0, от): х(П) Ф х(т — V х(П) Ф х(т +)} }.
Событие е каждому процессу ставит в соответствие ближайший к началу процесса момент разрыва. С точки зрения построения формального языка описания динамических систем (в частности - законов управления) оператор $(•/) считается уже известным (описанным ранее), а пара (д, е) (простейшая ситуационная схема) определяет более сложный оператор. Пара (д, е) задает эволюционное отображение
6 = {((s'и), (.4,v)): (s'и) е Yxp(X) Л q = g(s, и) (е(и)) Л v = Q(u, e(u))}.
Здесь а обозначает функцию суффикса процесса [Фрумкин 2013].
Для исходного значения s0 и процесса x, то есть для исходной пары w0[jYXp(X), эволюционное отображение определяет последовательность, задаваемую равенством wn+i = G (wn) (n=0,1,2,...). Эта последовательность (назовем ее эволюционной) может быть конечной или бесконечной [Фрумкин 2014] в зависимости от того, как устроено множество точек разрыва функции x. Будем говорить, что последовательность порождена w0 = (s0, х) и эволюционным отображением G. Компоненты последовательности wn обозначим sn и un соответственно (u0=x). Для не последнего номера n£Dm(w) обозначим Оп = е(Цп). Последовательность т определяет длительности фрагментов процесса, в которых функция x непрерывна. Обозначим 60=0, и для произвольного номера n£Dm(w)\{0} Оп = И!!о Пк. Последовательность 6 нумерует множество точек разрыва функции х.
Для каждого не последнего элемента эволюционной последовательности определим фрагмент процесса yn = g(sn, ип)[0,дп). Если последовательность w конечна и имеет длину N+1 (последний элемент имеет индекс N), определим завершающий процесс yN = g(sN, uN ).
Выходной процесс y, соответствующий паре (s0, х) в случае конечной последовательности w, определить формулой
у = (л!г! у! a yN. (3)
Если последовательность w бесконечна, выходной процесс y можно определить формулой
У = Л!=о Уп . (4)
Знак «Л» означает операцию склейки процессов [Фрумкин 2013]. Описанное построение может быть использовано для доказательства следующего утверждения.
Утверждение 1. Для любого начального значения s£Y любой кусочно-непрерывной в смысле [Фрумкин 2013] функции х: [0, го) ^ X найдется единственный непрерывный процесс у: [0, го) ^ Y, обладающий свойствами:
1) У(0) = s ;
2) если в точке t Е (0, го) функция х непрерывна, то функция у в ней дифференцируема и имеет место равенство
У(0 = f(y(.t), x(t)).
Приведем схему доказательства этого утверждения.
◄ В зависимости от того, конечно или бесконечно множество точек разрыва функции х: [0, го) ^ X, рассмотрим процесс у, определяемый формулой 3 или формулой 4. Непрерывность функции y следует из непрерывности выходного процесса оператора д (у) и из определения эволюционной последовательности. Непосредственное дифференцирование в момент, не являющийся точкой разрыва x, показывает, что дифференциальное уравнение выполняется. Предположим, что нашелся еще один непрерывный процесс z, обладающий свойствами 1) и 2). Тогда в промежутке [60,61) процесс y и процесс z совпадают в силу теоремы единственности. Из определения эволюционной последовательности следует y(61)= z(61). Далее рассуждения проводятся с применением принципа математической индукции. ►
Утверждение 1 определяет расширение оператора у) на более широкий класс процессов.
3. Определение оператора релейного регулирования
Входные процессы релейного регулятора (триггера Шмитта) моделируются как непрерывные функции (элементы c(R)). Оператор зависит от трех параметров: нижнего
порога Ь (порога установки 1), верхнего порога Н (порога установки 0) и выходного значения в начальный момент времени по умолчанию аЕ{0,1}. Величину а назовем исходным значением или значением инициализации.
Пусть х:[0,^)^Я - входная непрерывная функция (хЕс(Я)). Значение выходного процесса у(1) в момент ¿Е[0,<») определяется по следующим правилам. В начальный момент времени если х(0)Е(Ь,Н), то у(0)=а. Для любого момента времени ¿Е[0,<») если х(1;)<Ь, то _у(1)=1 и если х(1;)>Н, то у0)=0. Если Т>0 и х(()Е(Ь,Н), то значение у(1;) совпадает со значением у в ближайший слева момент «выхода» значения х из промежутка (Ь,Н) или у^)=а, если таких моментов не было.
Непосредственно на основе проведенного описания можно сконструировать формальную модель устройства - ситуационную схему. Это тройка (БДе), в которой:
1) 5=В={0,1} - множество ситуаций и одновременно булево пространство выходного процесса;
2) £ Ц р(5) - оператор сохранения исходного значения в смысле формулы (1);
3) е: 5хс(К) ^ [0, го) - семейство событий, определяемое формулами:
е0 = { (х, 0: *Пс(Ю А t = т/ {Л > 0: х(ДО < },
ех = { (х, 0: *Щс(Ю) Л t = ^ {□ > 0: хЩ) ^ Н} }.
Схема определения выходных процессов оператора аналогична схеме, изложенной в п. 2. Ситуационная схема порождает эволюционное отображение С = {((5, х), (д, у)): (5, х)П(Вхс(Ю) Л ц = $ Л у = П(х, е5(х)) },
где о - функция суффикса процесса.
Для исходного значения а и процесса х, то есть для исходной пары w0[|Sxc(R), эволюционное отображение определяет эволюционную последовательность, задаваемую равенством wn+1 = С (и/п) (п=0,1,2,...). Эта последовательность, порожденная w0 = (а, х) и эволюционным отображением О, может быть конечной или бесконечной. Компоненты последовательности wn обозначим цп и гп соответственно, ц0=а, 20=х. Для не последнего номера иЕБш^) обозначим Цп = е5п (гп) и назовем т последовательностью длительностей ситуаций. Для произвольного номера пЕБш^) обозначим Цп = И!!о и назовем 6 последовательностью моментов смены ситуаций (переходов).
Для каждого не последнего элемента эволюционной последовательности определим фрагмент процесса ип = /(5п, гп)[0,д). Если последовательность w конечна и имеет длину N+1 (последний элемент имеет индекс К), определим завершающий процесс им = f(sN, гм ).
Выходной процесс у, соответствующий паре (а, х) в случае конечной последовательности w, определяем формулой
У = (Л^О ик) Л и!. (5)
Если последовательность w бесконечна, выходной процесс у определяем формулой
У = Л!=0 ип . (6)
Последовательности т, 0 и и назовем сопутствующими эволюционной последовательности.
Для того чтобы приведенные определения имели смысл, необходимо, чтобы область определения у совпала с областью определения х, то есть чтобы последовательность 6 была либо конечной, либо бесконечно росла.
Лемма 1. Для любого аЕ{0,1} и непрерывного процесса хЕс(Я) последовательность моментов смены ситуаций монотонно растет, начиная с номера п>1. Если она бесконечна, то неограниченна.
3 В силу непрерывности функции х Vn>1 либо zn(0)=L, либо zn(0)=H. Пусть, например, zn(0)=L. Тогда найдется ö>0: VtE[0,ö) zn(t)<H, то есть 0п = esn(.zn) > 0. Аналогично тп>0 и в случае zn(0)=H. Поэтому последовательность 6n монотонно растет.
Покажем, что если последовательность 6 бесконечна, то она неограниченна.
3 Предположим противное. Тогда по известной теореме [Шилов 1969] существует limn^OT ßn = д и, соответственно, limn^OT ßn = 0. Для каждого не последнего номера п если zn(0)=x(6n)=H, то zn+1(0)=x(6n+1)=L и наоборот. Поэтому в как угодно малой окрестности О функция х принимает значения и L и H, то есть она не
является непрерывной. И 4
►
Лемма 1 показывает, что ситуационная схема определяет семейство операторов, и область определения этого семейства совпадает с SQc(R) . То же семейство операторов более компактно можно определить с помощью уравнения. Для этого определим сначала вспомогательную функцию ф :{0,1} xR^ {0,1}, зависящую от параметров L,HER (L<H):
Ф^,И)={ ((a,x),z)E({0,1}xR)x{0,1}: (x<Laz=1)v(L<x<Haz= a)v(x>HAz=0) }.
Далее параметры L, H функции ф для краткости опустим.
Определение 2. Пусть TE(0,<») или T=<», и процесс х: [0, Г) ^ R непрерывен. Кусочно-непрерывную функцию y:[0,T) ^{0,1} назовем решением релейного уравнения
у(0 = ü(y(t -, *(о), (7)
с исходным значением aE{0,1}, если для каждого tE[0,T) она непрерывна справа, для начального значения t=0 имеет место равенство у(0)=ф(а,х(0)), и для каждого tE(0,T) имеет место равенство 7.
Лемма 2. Пусть aE{0,1}, TE(0,<») или T=<», процесс х: [0, Г) ^ R непрерывен, и выполняется условие Vt^(0, Г) L < х(t) < H.
Тогда у = 0(а, х( 0)) - единственное решение уравнения 7 на [0,T) c исходным значением y(0)=a.
3 Пусть y - искомое решение. Тогда для Vt^(0, Т) y(t) = Q(y(t —), x(t)) = y(t —. Пусть для некоторого tft 0, Т) y(t) * у(0) и t0 = inf {ПЦ0, t]: УйИЛ, t] У iß = y(t) }. В силу непрерывности y справа y(t0) = y(t). Отсюда следует, что t0 > 0. В любой левой окрестности t0 найдется такое что уßy(t)Oy(Ш = У(0), то есть y(fo — = У(0)Пу(.¿о) И. Следовательно, у = у(0) = [¡(а, х(0)). Непосредственно проверяется, что у = [¡(а, х(0)) - решение. 4
Лемма 3. Пусть aE{0,1}, TE(0,<») или T=<», процесс х: [0, Г) ^ R непрерывен, и выполняется одно из условий:
1) х(0) > Н и VtM0, Т) x(t) > L или
2) х(0) < L и VtR0, Т) x(t) < Н.
Тогда в первом случае у = 0, а во втором случае у = 1 - единственные решения уравнения 7 на [0,T) c исходным значением а.
3 Рассмотрим первый случай (второй рассматривается аналогично).
Пусть y - искомое решение. Так как x(0)>H, то у(0) = а, х(0))=0.
Так как VtQ(0, Т) х(t) > L, то VtQ(0, Т) ( y(t) = 0 ) v ( У (О = УО — ).
Пусть для некоторого tfr 0, Т) у( t) = 1 и t0 = inf [QU 0, t]: У ПИЛ, t] У (В = 1}. В силу непрерывности y справа у(t0) = 1. Отсюда следует, что t0 > 0. В любой левой окрестности t0 найдется такое что у ßy(t) Oy (Ш = У( 0) = 0, то есть y(t0 —) = У(0)Пу(.¿о) И. Следовательно, у = у(0) = 0. Непосредственно проверяется, что у = 0 - решение. 4
Утверждение 2. Для любого аЕ{0,1} и любой функции хЕ с(Я) существует единственное решение уравнения 7, с исходным значением а. Если эволюционная последовательность, порожденная парой (а, х), конечна, решение определяется формулой 5. Если эта эволюционная последовательность бесконечна, решение определяется формулой 6.
3 Рассмотрим эволюционную последовательность w и сопутствующие последовательности т, 6, и. Пусть а=0. Если х(0)<Ь, то т0=е0(х)=0 и и0=0, но т1= е1(х)>0 и в промежутке [0,т1)=[60,62) и1=1. По лемме 3 это единственное искомое решение на [60,62).
Если х(0)>Ь, то т0=е0(х)>0 и и0=0. По лемме 2 это единственное искомое решение на [60,61).
Случай а=1 рассматривается по той же схеме.
Пусть для некоторого nЕN уд ^ - единственное решение уравнения 7 на [0> Пп). Пусть п - не последний номер смены ситуации (перехода). Тогда либо Бп=0 и 2п(0)=х(6п)=Н и 0,Оп) х(0 > I, либо 8п=1 и 2п(0)=х(6п)=Ь и 0, Оп) *(0 < Я. В обоих случаях по лемме 3 ип есть единственное решение уравнения 7 на [0, Д^ с исходным значением у(вп—) и, соответственно, у^ Л ип = у^ ^ есть единственное решение уравнения 7 на [0, Оп+!) с исходным значением а.
Поэтому по принципу индукции для любого иЕБш^) существует и единственное решение, совпадающее с у^ у Для бесконечной последовательности
это означает единственность решения на [0,<»). Для конечной с N+1 элементами
рассуждения повторяются для промежутка [6К,<»).
►
С использованием функции ф закон релейного регулирования может быть формально определен так: г(Ь,Н,д)={(х,у)ес(Я)х^(Я): у(0)=ф(Ь,Н,д,х(0))лУ1е(0,^) у(1)=ф(Ь,Н,у(1-),х(1))}.
4. Обобщение определения ситуационной схемы
Ситуационные схемы, построенные в п.2 и п.3, различаются между собой. Одна имеет два, а другая - три компонента. Сформулируем модель, обобщающую эти две схемы. В кортеже (§,е), рассмотренном в п.2, и в кортеже (Б^е), рассмотренном в п. 3, входные и выходные пространства специально не описывались, но их можно включить в кортеж. В общем случае множество ситуаций содержит произвольное конечное число элементов и не совпадает с выходным пространством. Переходы от одной ситуации к другой в общем случае должны описываться специальной функцией.
Определение 3. Ситуационной схемой назовем кортеж из шести элементов (8,Х,У,£,е,Ь), в котором
1)Б - конечное множество ситуаций;
2)Х, У - входное и выходное пространства;
3) Г БшфС БхУхр(Х)^р(У) - семейство операторов;
4)е: Бш(е)С БхУхр(Х)^[0,^) - семейство событий;
5)Ь: Бш(Ь)С БхУхр(Х)^8 - функция переходов.
Области определения функций Г, е, Ь связаны условиями: Бш(Ь)=Бш(е)СБш(Г).
Ситуационной схеме соответствует эволюционное отображение £ = { (С5- Ч,, ОН ЧП, : О, Ч,ПОт(е) Л
50 = Ь^, ц, г) Л ци = /О, Ч,(е(5- Ч, Ю) Л гП = □(/(>, Ч,еО, Ч,) } .
Так же как в п.2 и п.3, для рассмотренной модели с помощью эволюционного отображения по начальному кортежу (s, a, х) G Dm(f ) определяется эволюционная последовательность. Эволюционная последовательность, в свою очередь, определяет последовательности длительностей ситуаций, моментов смены ситуаций и последовательности смещенных фрагментов выходного процесса. Начальный кортеж допустим, если соответствующая ему последовательность моментов смены ситуаций либо конечна, либо бесконечна и неограниченна. Анализ ситуационной схемы начинается с описания множества допустимых начальных кортежей.
Рассмотренную в определении 3 ситуационную схему можно назвать неавтономной, потому что она порождает оператор, а не автономную систему, и однородной, потому что различным ситуациям соответствуют одни и те же пространства.
Ситуационная схема является первичной формой модели технического объекта. Если она моделирует закон управления и ставится задача технически реализовать закон управления, например, на базе контроллера, то управляющая программа может быть построена непосредственно на основе ситуационной схемы. Если исследуется динамика системы, состоящей из объекта управления и устройства управления, то эволюционная модель с дискретным временем также может быть построена на основе ситуационной схемы. Если исследование ведется методами функционального анализа, то можно использовать свойства оператора, порожденного ситуационной схемой.
Библиографический список
Бибило П.Н. Основы языка VHDL: учеб. пособие. Изд. 5-е. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2012. 328 с.
Варшавский В.И. и др. Автоматное управление параллельными процессами в ЭВМ и дискретных системах. М.: Наука, 1986. 336 с.
Гилл А. Введение в теорию конечных автоматов. М.: Наука, 1966. 272 с.
Кобринский Н.Е., Трахтенброт Б.А. Введение в теорию конечных автоматов. М.: ГИФМЛ, 1962. 405 с.
Колмогоров А.Н. Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 544 с.
Мараховский В.Б., Розенблюм Л.Я., Яковлев А.В. Моделирование параллельных процессов. Сети Петри. Курс для системных архитекторов, программистов, системных аналитиков, проектировщиков сложных систем управления. СПб.: Проф. лит-ра, АйТи-Подготовка, 2014. 400 с.
Новиков Ф. А. Дискретная математика. СПб.: Питер, 2011. 384с.
Поспелов Д.А. Логические методы анализа и синтеза схем. М.: Энергия, 1974.
368 с.
Соловьев В.В. Основы языка проектирования цифровой аппаратуры Verilog. М.: Горячая линия — Телеком, 2014. 208 с.
Фрумкин А.М. К определению понятия события при описании процессов в системах управления // Ученые записки: электронный научный журнал Курского государственного университета. 2013. №1. URL: http://www.scientific-notes.ru/pdf/029-001.pdf (дата обращения: 10.10.2016).
Фрумкин А.М. Об объектах, описываемых алгоритмическим языком // AUDITORIUM. Электронный научный журнал Курского государственного университета. 2014. №2, URL: http://auditorium.kursksu.ru/pdf/002-001.pdf (дата обращения: 10.10.2016)
Фрумкин А.М. об объектах языка описания законов управления // AUDITORIUM. Электронный научный журнал Курского государственного университета. 2015, №3, URL: http://auditorium.kursksu.ru/pdf/007-001.pdf (дата обращения: 10.10.2016)
Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч. 1-2. М.: Наука, 1969. 528 с.
Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч. 3. М.: Наука, 1970. 352 с.
Courtay A. Mixed-signal finite state machine models ensuring analog continuity. Patent US 7299164 B2 URL: http://www.google.com/patents/US7299164 (дата обращения: 10.10.2016).
Christen E.; Bakalar K. VHDL-AMS-a hardware description language for analog and mixed-signal applications //IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Analog and Digital Signal Processing. Vol. 46, Issue: 10, Oct 1999
Rabinovich A. Automata over continuous time // Elzevier Theoretical Computer Science 300 (2003) 331-363 URL: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0304397502003316 (дата обращения: 10.10.2016)
