О представлении контекстносвободных языков диагоналями линейных языков Текст научной статьи по специальности «Математика»

пользователя. Язык Transalg — это фактически самостоятельный язык с С-подобным синтаксисом. Семантика языка определяет правила построения логических уравнений по соответствующему описанию алгоритма. Ниже приведены основные этапы трансляции алгоритмов в комплексе Transalg.

1) Анализ текста программы и построение дерева синтаксического разбора.

2) Обход построенного дерева, выполнение семантических действий: «пропозициональная свертка» условных переходов (см. [5]) за счет преобразований Цейтина, построение систем логических уравнений.

3) Приведение систем логических уравнений к нормальным формам; преобразование в формат И-НЕ графов.

Пропозициональные кодировки многих алгоритмов, реализованные в трансляторе Transalg, по объему существенно меньше известных аналогов (например, пропозициональная кодировка алгоритма DES компактнее кодировки, представленной в [1], более чем в два раза).

Дополнительной возможностью комплекса Transalg является сведение к SAT (или к системе логических уравнений в любой нормальной форме) задач 0-1-целочисленного линейного программирования (0-1-ЦЛП). Получаемые кодировки по компактности также превосходят известные аналоги [6].

ЛИТЕРАТУРА

1. Massacci F., Marraro L. Logical Cryptanalysis as a SAT Problem // J. Automated Reasoning. 2000. V. 24. No. 1-2. P. 165-203.

2. Буранов Е. В. Программная трансляция процедур логического криптоанализа симметричных шифров // Вестник Томского госуниверситета. Приложение. 2004. №9(1). С. 60-65.

3. http://www.veripool.org/

4. Berkeley Logic Synthesis and Verification Group, ABC: A System for Sequential Synthesis and Verification. http://www.eecs.berkeley.edu/~alanmi/abc/.

5. Семёнов А. А Трансляция алгоритмов вычисления дискретных функций в выражения пропозициональной логики // Прикладные алгоритмы в дискретном анализе. Сер. Дискретный анализ и информатика. Иркутск: Изд-во ИГУ, 2008. Вып. 2. С. 70-98.

6. EenN., Sorensson N. Translating Pseudo-Boolean Constraints into SAT // J. Satisfiabil., Boolean Model. Computat. 2006. No. 2. P. 1-25.

УДК 519.682

О ПРЕДСТАВЛЕНИИ КОНТЕКСТНО-СВОБОДНЫХ ЯЗЫКОВ ДИАГОНАЛЯМИ ЛИНЕЙНЫХ ЯЗЫКОВ

К. В. Сафонов, Д. А. Калугин-Балашов

В теории контекстно-свободных языков (кс-языков) и грамматик словарь языка X = {x\, ...,xn} обычно называют терминальным множеством, тогда как нетерминальным называют конечное множество Z = {zi,... , zm} вспомогательных символов, необходимых для задания грамматических правил (грамматики) данного языка. Для элементов этих множеств определены операции конкатенации и формальной суммы, приводящие к мономам и многочленам.

Если последние построены в соответствии с грамматическими правилами данного кс-языка, то эти мономы и многочлены интерпретируются как его предложения и совокупности предложений. Рассмотрение совокупности всех грамматически правиль-

ных предложений кс-языка приводит к необходимости изучать формальные степенные ряды от терминальных символов.

Кс-грамматике сопоставляется система символьных уравнений

zj = Pj(x,z),j ^..^m, (1)

называемая системой уравнений Хомского — Щютценберже. Ее решением является совокупность (zi(x),... , zm(x)) формальных степенных рядов от терминальных переменных x = (x1 ,...,xn), а ряд z1 (x) и является кс-языком, определяемым данной грамматикой [1].

Эффективным инструментом изучения решений систем уравнений Хомского — Щютценберже является коммутативный образ этой системы — новая система уравнений, переменные в которой рассматриваются уже как коммутативные, например, из поля комплексных чисел [2]. Понятно, что и формальные степенные ряды (z1(x),... ,zm(x)), являющиеся решениями исходной системы (1), переходят в степенные ряды, представляющие алгебраические функции. Осталось заметить, что коммутативный образ некоторого многочлена или ряда r удобно обозначать как ci(r) (commutative image).

Хорошо изучен подкласс линейных кс-языков, для которых уравнения системы (1) линейны по переменным zj, j = 1,...,m. А именно, достаточно изучена структура формальных степенных рядов, представляющих такие языки. Оказалось [2], что существуют так называемые аффинные кс-языки над терминальным множеством X, коммутативные образы которых являются диагоналями коммутативных образов линейных языков над терминальным множеством {xo} U X, содержащем один дополнительный символ. В диагональ «выбираются» те мономы, у которых степень по x1 равна степени по x0.

Запишем систему уравнений (1) в виде

qj(x,z ) = 0,j ^..^m (2)

возьмем ее подсистему qj(x, z) = 0, j = 2,... , m, и рассмотрим систему уравнений

q*(x,z) = 0,j = 2,...,m, (3)

составленную из старших взвешенно-однородных по переменным z2,... , zm с весом (w2,... , wm) составляющих многочленов qj (x, z). Тогда имеет место теорема 1.

Теорема 1. Пусть подсистема уравнений (3) не зависит от x и z1 и имеет единственный корень z2 = . . . = zm = 0. Тогда существует линейный язык над терминаль-

ным множеством {x0} U X, такой, что коммутативный образ кс-языка, определяемого системой (2), является диагональю его коммутативного образа.

Ранее подобное утверждение было доказано только для случая однородных частей многочленов qj(x,z).

ЛИТЕРАТУРА

1. Глушков В. М., Цейтлин Г. Е., Ющенко Е. Л. Алгебра, языки, программирование. Киев: Наукова думка, 1974. 328 с.

2. Сафонов К. В., Егорушкин О. И. О синтаксическом анализе и проблеме В. М. Глушкова распознавания контекстно-свободных языков Хомского // Вестник Томского госунивер-ситета. Приложение. 2006. №17. С. 63-66.