CC BY
11
was carried out on the basis of computer simulation of the thickening landing operation on bars at different speeds of movement of the pressure punch, different thermal modes of shaping. The nature of the flow of the de-formable part of the workpiece is determined depending on the technological conditions of deformation. The best modes providing uniform flow of the material are revealed. In addition, the nature of the change in the damage of the workpiece material for the considered modes is analyzed. Data on the distribution of damage values in the section of the semi-finished product were obtained.
Key words: landing, modeling, flow pattern, stamping.
Romanov Pavel Vitalyevich, postgraduate, sulee@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Remnev Kirill Sergeevich, doctor of technical sciences, mpf-tula@rambler.ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 539.3
DOI: 10.24412/2071-6168-2023-3-124-128
О ПРЕДЕЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ КОЭФФИЦИЕНТА ПУАССОНА ИЗОТРОПНЫХ СПЛОШНЫХ СРЕД
Н.М. Матченко, С.Н. Ларин
Представление потенциала деформаций линейно-упругих изотропных сред в новой форме позволяет доказать, что нижнее предельное значение коэффициента Пуассона не может быть отрицательным.
Ключевые слова: упругость, потенциал, поперечная деформация.
В линейной теории упругости для описания упругих свойств деформируемого твердого тела используются квадратичные формы представления потенциалов напряжений и деформаций [1-4].
Согласно этим потенциалам механические характеристики упругих свойств деформируемых твердых тел задаются симметричными матрицами коэффициентов жесткости или податливости.
В основе определения предельных значений коэффициентов упругих свойств лежит гипотеза о положительности потенциалов напряжений или деформаций.
Эта гипотеза эквивалентна требованию положительной определенности матрицы упругих свойств. Согласно критерию Сильвестра [5] условием положительной определенности симметричной матрицы является положительность всех главных миноров ее определителя.
Применение критерия Сильвестра к потенциалу деформаций линейно упругого изотропного тела, записанного через главные напряжения, приводит к неравенству, согласно которому модуль упругости E и коэффициент Пуассона v ограничен предельными значениями e > 0,1 > V > —1 [2, 6, 7].
Применение закона Гука к процессу объемного деформирования позволяет ограничить предельные значения коэффициента Пуассона неравенством 0.5 > v > — 1 [2, 6, 7].
Бехтерев П. В. предложил, в зависимости от знака коэффициента Пуассона, изотропные материалы разделить на два класса [6]. Материалы, у которых интервал допустимых значений 0.5 > v > 0, было предложено называть «хоростабильными» (от греч. %юро^), а материалы, у которых интервал
допустимых значений 0 > v>—1 , было предложено называть «ахоростабильными».
В настоящее время, как для изотропных, так и анизотропных материалов, имеющих отрицательное значение коэффициента Пуассона, используется термин «аукстетики» (от греч. ОсЗ/тКОд), предложенный в 1991 г. К. Эвансом [8].
Поскольку отсутствуют надежные экспериментальные данные об отсутствии изотропных твердых тел с отрицательным коэффициентом Пуассона, то теоретический нижний предел для коэффициента поперечной деформации считается равным — 1.
Это значение нижнего предела коэффициента Пуассона, по всей вероятности, всегда не удовлетворяло исследователей, поскольку противоречило сложившимся интуитивным представлениям о твердом теле [2].
Отсюда регулярно возникали попытки [9, 11] ввести дополнительные положения в теорию упругости, исключающие допущение об отрицательных значениях коэффициента Пуассона.
Однако теоретическое обоснование, отсутствия изотропных материалов с отрицательным значением коэффициента Пуассона, по-видимому, в литературе не имеется.
Более того, в монографии Работного Ю.Н. [7, С. 243] содержится утверждение: «Было сделано много попыток доказать, что нижняя граница для v равна нулю, а не — 1, но достичь этого в рамках рациональной механики, конечно невозможно».
Покажем, что изменяя форму записи обобщенного закона Гука можно уточнить предел нижнего значения коэффициента Пуассона.
1. Обобщенные потенциалы деформаций. Рассмотрим изотропное твердое тело, отнесенное к декартовой системе координат х1 (1 = 1,2,3). Далее полагаем, что главные напряжения а.,
совпадают с осями х1.
В связи с необходимостью исследования сложного напряженного состояния деформируемых твердых тел была принята гипотеза о представлении потенциала деформаций упруго деформируемого твердого тела двух константной квадратичной функцией главных напряжений [1]
Ж = 0.5[с2 + а22 + С32 — 2v(c1c2 + С2С3 + С3С1 )]/ Е, (1)
где Е - модуль упругости, v - коэффициент Пуассона.
Из потенциала деформаций (1) следуют определяющие соотношения
8 = [С — у(С- + ск)]/ Е (" ф - ф к^ (2)
где £. - главные нормальные деформации.
Из определяющих соотношений (2) следует, что потенциалу деформаций (1) соответствует матрица коэффициентов податливости
м=1 1 —v —v
—v 1 —v . (3)
Е 1
—v —v
Условие положительности квадратичной формы потенциала (1) эквивалентно требованию положительной определенности матрицы коэффициентов податливости (3), которое приводит к ограничениям, накладываемым на константы упругих свойств изотропных тел, в виде неравенств [1]
Е > 0, 1 — V2 > 0. (4)
Неравенства (4) устанавливают максимальный интервал допустимых значений коэффициента Пуассона
1 > V > —1. (5)
Для уточнения верхнего предельного значения коэффициента Пуассона используется отличная от (1) форма записи потенциала деформаций [1].
Если воспользоваться разложением главных напряжений
а, = а + di , (6)
где а = (а +С2 +С3)/3 - среднее значение главных напряжений, di = (2аi —С- —Ск)/3 (/ ф - ф к) - главные девиаторные напряжения, то потенциал деформаций (1) принимает вид
ж = 0.5[3(1 — 2v)а2 + (1 + v)(d12 + d22 + dз)] / е. (7)
Из потенциала (1.7) следуют определяющие соотношения
е, = [(1 — 2v)а + (1 + v)dt ]/ Е ^ ф - ф к). (8)
Разложим деформации ее на составляющие
е = (1 — 2v)а / Е, е = (1 + V)dl / Е (, ф - ф к). (9)
Изучая одноосное деформирование твердых тел [10], Р. Гук сформулировал постулат, носящий его имя: величина деформации в направлении действия приложенной силы прямо пропорциональна величине последней.
Согласно постулату Гука знак деформации ее должен совпадает со знаком среднего
напряжения а, а знак деформации 8" совпадает со знаком главного девиаторного напряжения di.
Из соотношений (9) и закона Гука следует, что коэффициенты пропорциональности (1 — 2v) / Е и (1 + V) / Е положительны.
Так как, модуль упругости положителен, то предельные значения коэффициента Пуассона должны удовлетворять неравенствам
1 - 2у> 0, 1 + у> 0, (10)
из которые можно следует
0.5 >у>—1. (11)
В потенциале (7) реализовано разложение внутренней энергии деформирования на энергию объемного деформирования - и= 1.5(1 — 2у)ст2 / Е и энергию формоизменения -
ил = (1 + у)( < + й22 + й32)/ Е.
Из постулата о положительности энергии объемного деформирования и энергии формоизменения деформируемого твердого тела следует справедливость неравенств (10) и диапазон изменений значений коэффициента Пуассона, указанный в неравенстве (11).
Поскольку представление потенциала деформаций в форме (7) приводит к определяющим соотношениям (9), удовлетворяющим закону Гука, то ее следует признать канонической формой записи потенциала деформаций линейно упругого изотропного тела.
Следовательно, изменение формы записи потенциала деформаций позволило уточнить только верхнее предельное значений коэффициента Пуассона.
2. Новая каноническая форма записи потенциала деформаций. При построении потенциала деформаций (7) был использовано предположение, что внешние силы, при деформировании твердого тела генерируют в нем внутренние напряжения: среднее напряжение о и главные девиаторные напряжения .
Основываясь на теории напряжений, сформулируем постулат: при деформировании твердого тела в нем наряду с внутренними нормальными главными напряжениями о. генерируются и внутренние главные касательные напряжения
тг] = °.5(о —о), тц8ц = (I2)
В трехмерном векторном пространстве модули вектора главных нормальных напряжений и вектора внутренних касательных напряжений определяются соотношениями
Е = 7о12 +о2 +Оз2, 1=^2 +Гз21. (13)
Введем предположение, что потенциальная энергия внутренних главных напряжений и внутренних касательных напряжений является квадратичной функцией этих напряжений
иЕ = 0.5АХ2, ит= 2ВТ2, (14)
где А и В - характеристики упругих свойств изотропного материала.
Согласно балансу потенциальной энергии внешних и внутренних сил
Ж = иЕ+ ит. (15)
Учитывая (14) потенциал деформаций записывается в форме
Ж = 0.5( АЕ2 + 4 ВТ2), (16)
Из потенциала деформаций (2.5) следуют определяющие соотношения
е,. = Ао + 2В(8] + 8к) = Ао + В[(о —О]) + (о — ок^ (/ ф ] ф к). (17)
Для определения характеристик упругих свойств изотропного материала достаточно провести эксперимент на одноосное растяжение вдоль оси х^. При этом: о1 = р, о2 = о2 = 0
Из определяющих соотношений (2) и (17) следует
е1 = (А + 2 В) р = р / Е, е2 =е2 = —Вр = —ур / Е.
Отсюда
А = (1 — 2у) / Е, В = у/ Е. (18)
С учетом потенциал можно записывается в форме
Ж = 0.5[(1 — 2У)Е2 + 4уТ2 ] / Е = 0.5[(1 — 2У)(О2 + о22 + о22) + +4у(т22 + т2з + 4)] /2 Е = {(1 — 2у)(О2 + о2 + о*) +
+у[(о — о2)2 + (о2 — оз)2 + о — о)2)]}/ 2 Е. (19)
Определяющие соотношения (2.6) принимают вид
е = {(1 — 2у)о + у[(о — о]) + (о — ок)]}/ Е, (/ ф ] ф к). (20)
Так как потенциальная энергия ит положительна, то нижнее предельное значение коэффициента Пуассона неравенством
У> 0. (21)
Потенциальная энергия так же положительна, поэтому верхнее предельное значение
коэффициента Пуассона определяется неравенством (6). Объединяя неравенства (5) и (18), запишем
1 > 1 — 2v> 0. (22)
Неравенство (22) тождественно неравенству
0.5 >у> 0. (23)
Неравенство (23) определяет класс хоростабильных изотропных материалов. Определяющим соотношениям (24) можно придать вид
е. = [(1 — 2 у)а + у(2с —с —ак)]/ Е = [(1 — 2v)c- + 3vdl ]/ Е. (24)
Из формул (24) следует, что деформация е., направленная вдоль оси х., состоит из двух соосных деформаций
8 = | +Уг ,
где | = (1 — 2v)аi / Е - линейная деформация, возникающая в результате действия внутреннего главного нормального напряжения с. , а у = 3vdi / Е - линейная деформация, связанная с действием внутреннего главного девиаторного напряжения di.
Согласно постулату Гука знак деформации г совпадает со знаком главного нормального напряжения с. , а знак деформации у совпадает со знаком главного девиаторного напряжения di.
Таким образом, значение коэффициента Пуассона не может принимать отрицательные значения.
Потенциал деформаций, соответствующий определяющим соотношениям (25) принимает вид
Ж = 0.5[(1 — 2v)(а12 + а22 + а32) + 3v(< + d22 + d32)] / Е (25)
Потенциал деформаций (24) является новой канонической формой представления потенциал деформаций линейно упругих изотропных сред.
Выпишем вспомогательные соотношения
Т2 = 0.5[Е2 — (а1а2 + а2а3 + а3а1)] (26)
и
Е2 = 3а2 + 4Т2 / 3. (27)
г-р2
Если с помощью подстановки (25) исключить из потенциала (19) свертку I , то получим потенциал (1). Если же учесть, что Т2 = 3(d2 + d2 + d2 ), то с помощью подстановки (26) можно
исключить из потенциала (24) свертку Е2 и получим потенциал (7).
Заключение. Поскольку внешние нагрузки, приложенные к деформируемому твердому телу, генерируют в деформируемом твердом теле как внутренние главные нормальные напряжения, так и внутренние главные касательные напряжения, то потенциал деформаций можно представить в виде суммы потенциальных энергий деформаций, вызванных внутренними главными нормальными и главными касательными напряжениями.
Из обобщенного закона Гука и гипотезы о положительности потенциальной энергии главных касательных напряжений следует, что коэффициент Пуассона не может быть отрицательным.
Список литературы
1. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. М.: Высшая школа, 1968. 512 с.
2. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1965. 204 с.
3. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
4. Новожилов В.В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1953. 370 с.
5. Жефферис Г., Свирлс Б. Методы математической физики. М.: Мир, 1969. 424 с.
6. Бехтерев П.В. Аналитическое исследование обобщенного закона Гука. Применение учения о потенциальной энергии и начала наименьшей работы. Ч. 1Л.: Изд. авт. 1925. 150 с.
7. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. 712 с.
8. Evans K.E. Auxetic polymers: a new range of materials. // Endeavour, New series, 1991, № 4. P.
170-174.
9. Анин Б.Д., Остросаблин Н.И. Анизотропия упругих свойств материалов // Прикладная механика и техническая физика. 2008. Т. 49. № 6. С. 131-151.
10. Ляв А. Математическая теория упругости. М.-Л.: ОНТИ, 1935. 674 с.
11. Кузменко В.А. Новые схемы деформирования твердых тел. К.: Наукова думка, 1973. 200 с.
Матченко Николай Михайлович, д-р физ.-мат. наук, профессор, nmatchenko39@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Ларин Сергей Николаевич, д-р техн. наук, профессор, mpf-tula@rambler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
ON THE LIMITING VALUES OF THE POISSON'S RATIO OF ISOTROPIC CONTINUOUS MEDIA
N.M. Matchenko, S.N. Larin
The representation of the deformation potential of linear elastic isotropic media in a new form allows us to prove that the lower limit value of the Poisson's ratio cannot be negative.
Key words: elasticity, potential, transverse deformation.
Matchenko Nikolay Mikhailovich, doctor of physical and mathematical sciences, professor, nmatchenko39@mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Larin Sergey Nikolaevich, doctor of technical sciences, professor, mpf-tula@rambler.ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 621.73.01
DOI: 10.24412/2071-6168-2023-3-128-131
ОЦЕНКА СИЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПРОЦЕССА ПРОШИВКИ КОМПЬЮТЕРНЫМ
МОДЕЛИРОВАНИЕМ
Д.И. Кондаков
Металлические изделия широко используются в разных отраслях промышленности и жизни в целом. Одним из самых распространенных методов их производства является ковка и штамповка. В данной статье происходит рассмотрение того, почему эти методы являются важными в металлообработке, и как они применяются в разных отраслях. Методы обработки металлов давлением позволяют создавать детали высокого качества с высокой эффективностью. Благодаря этому, эти методы нашли широкое применение в разных отраслях промышленности, и являются необходимыми для производства некоторых изделий. Сегодня эти методы нашли широкое применение в разных отраслях, таких как автомобильная, аэрокосмическая, строительная и машиностроительная промышленности. Также в работе рассматривается такая операция как прошивка. Проводятся компьютерные моделирования этого метода обработки давлением с определением технологической силы, требуемой для совершения операции. Проводится анализ влияния зазора на величины и кривые нагрузка-перемещение, а также на форму и качество получаемого изделия. Делаются соответствующие целям и задачам работы выводы.
Ключевые слова: обработка металлов давлением, компьютерное моделирование, прошивка, ковка, штамповка, технологическая сила.
Обработка давлением является одним из самых распространенных методов получения металлических изделий [1-2]. Этот метод используется в широком спектре производств, включая автомобильную, аэрокосмическую, энергетическую, машиностроение. Применение этой технологии включает производство широкого спектра промышленных изделий, таких как автомобильные запчасти, крылья самолетов, детали металлоконструкций. Кроме того, штамповочные процессы могут быть автоматизированы, что снижает трудозатраты и значительно сокращает время производства деталей.
Одной из весьма распространенных операций ОМД является прошивка (рис. 1), которой выполняются сквозные или глухие отверстия в материале. Операция сопряжена с большими технологическими нагрузками, которые зависят от многих параметров, включая материал заготовки, форма инструмента, условия штамповки и пр. Прошивка проводится как на черных, так и на цветных металлах и их сплавах. И важной частью этого процесса является технологическая сила, которую следует определять при проектировании технологического процесса. Одним из параметров, который оказывает влияние на усилие проведения операции является зазор между рабочими инструментами, который может быть изменяемым при проведении сквозной прошивки. Поэтому в работе рассматривается несколько вариантов зазоров и анализируются усилия штамповки.
