CC BY
11Математика и математическое моделирование. 2022. №2. С. 1-13.
DOI: 10.24108/mathm.0222.0000301
© Головина А. М., 2022. ХДК 517.984.46
Математика к Математическое
моделирование
Сетевое научное издание http://mathmelpub.ru ISSN 2412-5911
О поведении дискретного спектра оператора Лапласа с двумя разбегающимися возмущениями на плоскости в случае двукратного предельного собственного значения
Головина А. М.1'*
1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия * [email protected]
Рассматривается оператор Лапласа с двумя разбегающимися возмущениями на плоскости. Возмущениями являются финитные потенциалы. Исследуется поведение дискретного спектра возмущённого оператора при увеличении расстояния между финитными потенциалами. Построены первые члены асимптотических разложений собственных значений и соответствующих им собственных функций.
Ключевые слова: оператор Лапласа; разбегающиеся возмущения; собственное значение; собственная функция
Представлена в редакцию: 20.08.2022.
Введение
Операторам с разбегающимися возмущениями посвящено большое количество работ (см., например, [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23]). Основное внимание уделялось исследованию изолированных собственных значений оператора Шрёдингера с вещественными, финитными и кулоновскими потенциалами (см., например, [1, 2, 3, 4, 5, 6]). В статьях [7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21] возмущения описывались некоторыми абстрактными локализованными операторами. Основными объектами исследования в вышеизложенных работах являлись резольвенты, изолированные собственные значения и соответствующие им собственные функции. История изучения операторов с разбегающимися возмущениями и все основные результаты изложены в работе [20].
Имеется также серия статей, посвященные изучению собственных значений, возникающих из края существенного спектра предельного оператора (см., например, [10, 11]). Изучались различные случаи существования таких собственных значений. Получено описание первых членов асимптотических разложений данных собственных значений. Кроме того
есть ряд работ, в которых исследуются резонансы дифференциальных операторов с разбегающимися возмущениями в многомерном пространстве (см., например, [22, 23, 24]). Доказано возникновение множества резонансов из края существенного спектра при увеличении расстояний между возмущениями.
Остановимся теперь подробнее на работах, в которых изучался оператор Лапласа с разбегающимися возмущениями. Случай простого предельного собственного значения исследовался в работах [1, 2, 3, 4, 5, 6]. В [1, 6] возмущениями были кулоновские потенциалы. Построены полные асимптотические разложения возмущенных собственных значений и соответствующих им собственных функций. В [4] возмущениями являлись финитные потенциалы, рассматриваемые в пространстве К^, где й = 1 или й = 3. Получены представления для возмущенных собственных значений и соответствующих им собственных функций в виде равномерно сходящихся рядов. Выведены оценки на их коэффициенты. В работах [2, 3, 5] возмущения описывались потенциалами, которые удовлетворяли условиям, обеспечивающим их гладкость и убывание на бесконечности. Были построены первые члены асимптотических разложений возмущенных собственных значений и соответствующих им собственных функций.
В статьях [7, 8, 9] рассматривался случай кратного предельного собственного значения для оператора Лапласа с разбегающимися возмущениями. Исследовалось поведение собственных значений возмущенного оператора, когда предельное собственное значение являлось простым и изолированным собственным значением первого предельного оператора (оператор Лапласа с первым потенциалом) и простым и изолированным собственным значением второго предельного оператора (оператор Лапласа со вторым потенциалом). Возмущениями в [7] были кулоновские потенциалы, а в [8, 9] — убывающие на бесконечности потенциалы. В работе [7] построены представления для возмущенных собственных значений и соответствующих им собственных функций в виде равномерно сходящихся рядов. Выведены оценки на их коэффициенты. В [8, 9] построены первые члены асимптотических разложений собственных значений и соответствующих им собственных функций. В статье [8] был замечен эффект симметричности первых поправок асимптотик возмущенных собственных значений относительно нуля. Аналогичный эффект симметричности был выявлен в статьях [12, 13] для оператора Лапласа с конечным числом разбегающихся возмущений в случае произвольной кратности предельного собственного значения. Возмущениями являлись некоторые абстрактные локализованные операторы. Получены первые члены асимптотических разложений собственных значений и соответствующих им собственных функций. В работе [14] рассматривался некоторый абстрактный оператор с конечным числом разбегающихся возмущений в многомерном пространстве. Возмущениями также являлись некоторые операторы, удовлетворяющие определенным условиям. Исследовалось поведение дискретного спектра возмущенного оператора при стремлении к бесконечности расстояний между возмущениями в случае двукратного предельного собственного значения (двукратное собственное значение оператора с одним из возмущений). Выведены представления для
возмущенных собственных значений и соответствующих им собственных функций в виде равномерно сходящихся рядов. Получены явные формулы для коэффициентов.
В настоящей работе рассматривается оператор Лапласа с двумя разбегающимися возмущениями на плоскости. Возмущениями являются финитные потенциалы. Исследуется поведение собственных значений возмущенного оператора, когда расстояние между финитными потенциалами стремится к бесконечности. Изучается вопрос существования возмущенных собственных значений в случае двукратного предельного собственного значения (двукратное собственное значение оператора Лапласа с первым финитным потенциалом). Подчеркнем, что ранее этот случай кратности не был рассмотрен даже в работе [8]. Построены первые члены асимптотических разложений возмущенных собственных значений и соответствующих им собственных функций. Замечен эффект равенства нулю первых поправок асимптотик возмущенных собственных значений. Продемострирована методика, с помощью которой в работе [14] были построены явные формулы для коэффициентов равномерно сходящихся рядов возмущенных собственных значений и соответствующих им собственных функций. Более того, финитность разбегающихся потенциалов, позволила выявить сложную экспоненциально-степенную структуру асимптотик возмущенных собственных значений и соответствующих им возмущенных собственных функций.
1. Постановка задачи и основной результат
Пусть х = (х\,х2) — декартовы координаты в К2; I = (&\,&2) — параметр, для которого справедливо условие \1\ ^ то. Рассмотрим в пространстве Ь2(Ш2) оператор
Чг := -Д + £+(•- £) + £_(• + £)
с областью определения Ж22(К2), где С± — финитные потенциалы.
Введем в рассмотрение еще два оператора
Ч± := Но +
в Ь2(Ш2) с областями определения Ж22(К2).
В работах [15, 20] было показано, что при \&\ ^ то возмущенный оператор расщепляется на два предельных оператора Н+ и Н_. Данный эффект расщепления был обнаружен при построение асимптотики резольвенты дифференциальных операторов высоких порядков в многомерном пространстве с конечным числом разбегающихся возмущений. Похожий эффект расщепления был выявлен в работе в [8] для оператора Лапласа с тремя разбегающимися кулоновскими потенциалами. Как уже было отмечено выше, в настоящей работе речь пойдет о собственных значениях возмущенного оператора Чг в случае двукратного предельного собственного значения (2+0). Пусть А0 является двукратным собственным значением оператора Н- и не принадлежит спектру оператора Ч+, а фОо— (х) — собственные функция,
соответствующие данному собственному значению, з = 1, 2. Рассмотрим уравнение
(-Д - Ас)^1 = -¿-4?-, з = 1, 2,
которое является уравнением Гельмгольца с локализованной правой частью. Известно, что решение данного уравнения имеет вид
= / С(|х - у|)/(;)(у) ¿у,
к2
где С(|ж - у|) — функция Грина оператора Гельмгольца, а (у), з = 1, 2.
В работе [12] было показано, что функцию Грина 0(|х - у|) на плоскости можно выразить через функции Ханкеля следующим образом:
С(|х - у|) = -^Я01)(г|х - у|),
где Нд1)(г|ж - у|) — функция Ханкеля первого рода нулевого порядка.
Согласно [25, Дополнение II, часть I, §3.1], функция Ханкеля на бесконечности имеет следующий вид:
Я01)(г|х - у|) = «/-г^Ц е-*(|х-у|-4) + 0(|х - у|-1 е-|х-у|).
Vп|х - у1
деляются равенством
Из всего сказанного заключаем, что имеет место равенство
4?-(х) = С^е-Ке||х|-1 + ) + °(е- 1 Х |Ке^|х|-1), |х| (1)
где С? — некоторые константы; ^? = (А? А.2^) — вектор, компоненты которого опре-
= /у/(;)(у)^у, г =1, 2;
множества Qj являются носителями функций /(;)(у), з = 1, 2.
Основной целью данной работы является построение первых членов формального асимптотического разложения собственных значений и соответствующих им собственных функций возмущенного оператора % в случае, когда А0 является двукратным собственным значением одного из предельных операторов, а именно, оператора Н-. Главный результат представлен следующей теоремой.
Теорема 1. Если А0 — двукратное собственное значение оператора Н-, а 4о;- — соответствующие ему собственные функции, то при достаточно больших |£| формальные асимптотики собственных значений, сходящихся к предельному собственному значению А0, и соответствующие им асимптотики собственных функций возмущенного оператора % на плоскости имеют вид
А? = Ао + е-2Ке1 л1;)(€) + е-4Ке1 л2;)(£) + ...; (2)
ф.
(7)
701- (■ + 4 + /07^02- (■ + 4) +
ОЫ2)
где Л7 = 0, функции ф(,+ (х) = 0, ф(,- (х) = 0, а функции ф(,- (х), ф27+ (х) при достаточно больших \4\ определяются равенствами
+ е
',(7)
-2 ЯеУ-Л
\г1 (ф(,1 (■ + 4) + ф(,+ (■- ¿)) +
+е ',(7)
-4 ЯеУ-Л
\г1 (ф£ (■+¿) + фй-(■- ¿)
(7)
',(7)
ф!,)(х) = 7сО/ + с/ (ч- - А,
ф(,+ (х) = С27)(с/ + С0/) (ч+ - а,
(7) ^(1Ь(7)
-1/ £+е-Яе 1 +
(4, 3(7)) (х,4)
(2Ь(7)
х £+(Ч- - А0
1
х
£+е
-<х,е) 'Щ2
1+
2\£\2 4\£\2
(4 3(7)) (х,4)
2\€\2
4\4\2
Здесь С( , С27) — некоторые константы; оператор (Н- - А0) 1 действует в ортогональном дополнении к собственным функциям ф0,- (х); Л^?)(£) — собственные значения матрицы
В := | Ь11 Ь12 | с собственным вектором /07) := | /(У
621 Ъя/ и72
и _ /^Г<(1) /"И ^ Г<(2)
= С1 1С0 /0,1 + С0 Л
у0 ,/0,2
X
(¿+(Н_ - А0)-^£+е
х
-Яел/-.
_^ (¿)
2\4\2 4\4\
ф0,- (х)
= 1, 2.
¿2(К2)
2. Доказательство основного результата
Для нахождения первых двух членов формального асимптотического разложения возмущенного собственного значения и соответствующих ему возмущенных собственных функций подставим равенства (2), (3) в уравнение
Нгфг7) = А?'^.
Раскрыв скобки и группируя слагаемые, получаем: в точке 4:
/071£+(х - 4)ф01- (х + 4) + /072£+(х - 4)ф02- (х + 4) +
(1)
(7),
(2)
+е
-2 ЯеУ-Л
|\€\-1 (-Д + £+(х - 4) - А0)ф(,+ (х - 4) + |\€\-1 (-Д + £+(х - 4) - А0)ф(,+(х - 4) -
+е
-4 Яе
-4 Яе V->
+е
-е
-2 Яе /-Л0
|\€\-1 л17)ф(,+ (х - 4) - е-6Яе
,+
I- 1л (7Ы7)
2 л27)фг+ (х - 4) +
И-1 £+(х - 4)ф57-(х + 4) - е-8Яе7-Л0|г|\4\-1 л27)ф2,-(х + 4) +
+е
-6Яе/=А0КИл!-2(_ Л I Г _ /П _ \Л„1,(7)
1 \£\-1 (-Д + £+(х - 4) - А0)ф(,+(х - 4) -
е
-6 Яе V — Ло
\£\-1 Л17)ф27+ (х - 4) + е
-4 Яе V-Ло|-
\€\-2 £+(х - €)ф((7- (х + 4) = 0
в точке —
е-2ке§£-(ж + ? (х - £) +
+ е-4ке^И^-1 (-д + £_(х + - Ао)4(;-(х + €) -
- е-бке^и^-1 л"'^-(х + £) - е-2Ке^И^-§/0?1)Л1;)401--(х + -
- е-2ке^И^-1 /(;2)Л(1;)402^(х + €) - е-8Ке^М^-1 Л2;)4?-(х + +
+ е-2ке1 (-д + £-(х + £) - Ао)4(;-(х + ¿) + + е-4ке^И^-1 (-д + £-(х + £) - Ао)42;'-(х + -
- е-4кеу-^-1 /0;)л2;)40!-(х + ¿) - е-4*е^и^-§/0;2ч2;)402-(х + ¿) -
- е-4Ке^М^-1 л1;)4(;-(х + £) + е-4Ке^И^-1 £-(х + (х - +
+ е-6кеУ^и^-§ (-д + £+(х - £) - Ао)43;-(х + £) -
- е-6ке^и^-1 л2;)4(;-(х + £) = 0.
Далее будем рассматривать слагаемые одного порядка малости. Начнем с наименьшего. Рассмотрим выражения порядка е-2 -ЛоИ ^ - § в точках I и -1 соответственно. Они имеют вид:
е-2кеу^и^-1 (-д + £+(х - £) - Ао)45;+ (х - £) = 0, (4)
е-2*^и^-§(%- - Ао)4(;-(х) = _/о?(х + 2£) - /о?¿+4>2-(х + 2£). (5)
Легко видеть, что в силу (4) функции (х) = 0. Учитывая (1), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях экспоненты в (5) и разложив !х + 2^ в ряд Тейлора, приходим к равенству:
(х) = С';)(с<1)/<;> + С/^И- - АоГ'^+е-*^^ 1 + - ,
где С? — некоторые константы, 3 = 1, 2. Под оператором (Н- - А0) 1 будем понимать оператор, который действует в ортогональном дополнении к собственной функции ^о"'- (х), 3 = 1, 2.
Далее будем рассматривать выражения порядка е-4Кел/-л°И ^^§ в точках I и -1 соответ-
(
ственно. Учитывая тот факт, что функции 41 +(х) = 0, получаем:
е-2ке^и^-1 - Ао)42"+ (х) = -¿+41"-(х + 2€), (6)
е-2кеУ-^-1 (%- - Ао)42"-(х) = -Л^/ЭД-(х) - /о°М2-(х)). (7)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях экспоненты, учитывая поведение на бесконечности функции ф17- (х), из (6) находим
ф27+(х) = с27)(с01)/07? + с02)/072)(ч+ - А0)-1£+(ч- - А0)-1 х
-(х,£)
х £+е У 1 +
(4, 3(7)) (х,4)
+е V + 2\4\2 4\4\2
Применяя условие разрешимости (ортогональность правой части уравнения каждой из собственных функций ф01- (х), ф02- (х)) к уравнению (7), выводим
ф(,- (х) = 0, л17) = 0.
На следующем этапе рассматриваем выражения порядка е-6Яел/-Ло|г|\4\-1 в точках 4 и
+ (
+(
е-2ЯеАо|г|(Ч- - А0)ф(7-(х) = л27)/072ф02-(х) + л27)/071ф01-(х) - £+ф(7-(х + 24). (8)
Применяя условие разрешимости (ортогональность правой части последнего уравнения каждой из собственных функций ф0,- (х), ф02- (х)) приходим к матричному уравнению
(В - л27)Е)/07) =0, (9)
где В — матрица вида
-4 соответственно. Учитывая при этом уже найденные значения ф27- (х) = 0, ф(7+ (х) = 0, Л17) = 0, ф(7) (х) = 0, получаем ф$7+ (х) = 0,
(¿+ф(1- (х + 24),ф01- (х))мМ2) (^+ф(7- (х + 24),ф02- (х))ММ2)
£+ф(2- (х + 24),ф01- (х))^ (^+ф(2- (х + 24), ф02- (х))^
В
Е — единичная матрица размера 2 х 2, /07) = 1 07) I — собственный вектор, соответству-
/0,2
ющий собственному значению л27) (4), ] = 1, 2.
Учитывая теперь поведение на бесконечности функции ф^- (х), получаем
6 = С (0(С (1)/ (0 + С (2)Л (0 )х 6г7 = С1 (С0 /0,1 + С0 /0,2) х
х (£+<Н- - А0)- ^-(^ - М )),е (М2). « =1.2.
Для нахождения л27) (4) остается выписать условие разрешимости уравнения (9), т.е. решить уравнение
ае^В - л27)Е) = 0.
Таким образом, первые члены формального асимптотического разложения собственного значения и соответствующей ему собственной функции оператора Нг в случае двукратного собственного значения построены.
Заключение
В работе построены первые члены асимптотических разложений собственных значений и соответствующих им собственных функций в случае двукратного (2+0) предельного собственного значения. Заметим, что данный случай кратности ранее не был рассмотрен даже для оператора Лапласа с кулоновскими или вещественными потенциалами. В ходе построения асимтотик был выявлен эффект, который заключается в равенстве нулю первых поправок асимптотик возмущенных собственных значений.
Методика, с помощью которой строились первые члены асимптотик возмущенных собственных значений и соответствующих им собственных функций, позволяет построить полные асимптотические разложения для возмущенных собственных значений и соответствующих им собственных функций. Финитность разбегающихся потенциалов, а также методика, с помощью который строились асимптотики, позволили выявить сложную экспоненциально-степенную структуру асимтотики.
Список литературы
1. Ahlrichs R. Convergence properties of the intermolecular Force series (1/R-expansion) // Theoretica Chemica Acta. 1976. Vol. 41, no. 1. Pp. 7-15. DOI: 10.1007/BF00558020
2. Davies E.B. The twisting trick for double well Hamiltonians // Communications in Mathematical Physics. 1982. Vol. 85, no. 3. Pp. 471-479. DOI: 10.1007/BF01208725
3. Hoegh-Krohn R., Mebknout M. The 1/r expansion for the critical multiple well problem // Communications in Mathematical Physics. 1983. Vol.91, no. 1. Pp. 65-73. DOI: 10.1007/BF01206050
4. Klaus M. On the bound state of Schrodinger operators in one dimension // Annals of Physics. 1977. Vol. 108, no. 2. Pp. 288-300. DOI: 10.1016/0003-4916(77)90015-X
5. Klaus M., Simon B. Coupling constants threshold in nonrelativistic quantum mechanics. I. Short-range two-body case // Annals of Physics. 1980. Vol. 130, no. 2. Pp. 251-281. DOI: 10.1016/0003-4916(80)90338-3
6. Morgan J.D. III, Simon B. Behavior of molecular potential energy curves for large nuclear separations // Intern. J. of Quantum Chemistry. 1980. Vol. 17, no. 6. Pp. 1143-1166. DOI: 10.1002/qua.560170609
7. Graffi S., Grecchi V., Harrell E.M II, Silverstone H.J. The 1R expansion for H+: Analyticity, summability and asymptotics // Annals of Physics. 1985. Vol. 165, no. 2. Pp. 441-483. DOI: 10.1016/0003-4916(85)90305-7
8. Harrell E.M. Double wells // Communications in Mathematical Physics. 1980. Vol. 75, no. 3. Pp. 239-261. DOI: 10.1007/BF01212711
9. Klaus M. Some remarks on double-wells in one and three dimensions // Annales de l'Institut Henri Poincare. Sect. A. 1981. Vol. 34, no. 4. Pp. 405-417.
10. Reity O.K. Asymptotic expansions of the potential curves of the relativistic quantum-mechanical two-Coulomb-center promlem // Proc. of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. 2002. Vol. 43, no. 2. Pp. 672-675.
11. Klaus M., Simon B. Binding of Schrodinger particles through conspiracy of potential wells // Annales de l'Institut Henri Poincare. Sect. A. 1979. Vol. 30, no. 2. Pp. 83-87.
12. Borisov D.I. Asymptotic behaviour of the spectrum of a waveguide with distant perturbations // Mathematical Physics, Analysis and Geometry. 2007. Vol. 10, no. 2. Pp. 155-196. DOI: 10.1007/s11040-007-9028-1
13. Borisov D.I. Distant perturbations of the Laplacian in a multi-dimensional space // Annales Henri Poincare. 2007. Vol. 8, no. 7. Pp. 1371-1399. DOI: 10.1007/s00023-007-0338-4
14. Golovina A.M. Discrete eigenvalues of periodic operators with distant perturbations // J. of Mathematical Sciences. 2013. Vol. 189, no. 3. Pp. 342-364. DOI: 10.1007/s10958-013-1192-1
15. Головина A.M. О спектре периодических эллиптических операторов с разбегающимися возмущениями в пространстве // Алгебра и анализ. 2013. Т. 25, № 5. С. 32-60.
16. Головина A.M. О дискретном спектре возмущенного периодического дифференциального оператора // Доклады Акад. наук. 2013. T. 448, №3. C. 258-260. DOI: 10.7868/ S0869565213030043
17. Golovina A.M. On the resolvent of elliptic operators with distant perturbations in the space // Russian J. of Mathematical Physics. 2012. Vol.19, no. 2. Pp. 182-192. DOI: 10.1134/S1061920812020045
18. Головина A.M. Резольвенты операторов с разбегающимися возмущениями // Математические заметки. 2012. Т. 91, № 3. С. 464-466. DOI: 10.4213/mzm9318
19. Борисов Д.И., Головина A.M. О резольвентах периодических операторов с разбегающимися возмущениями // Уфимский математический журнал. 2012. Т. 4, №2. С. 65-73.
20. Головина A.M. Исследования спектральных свойств операторов с разбегающимися возмущениями (обзор) // Mатематика и Mатематическое моделирование. MTTy им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. №2. С. 1-22. DOI: 10.7463/mathm.0215.0776859
21. Головина A.M. О спектре периодических операторов с разбегающимися возмущениями // Mатематика и Mатематическое моделирование. MTTy им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2017. №2. С. 1-24. DOI: 10.24108/mathm.0217.0000063
22. Борисов Д.И., Головина A.M. О возникновении резонансов из кратного собственного значения оператора Шрёдингера в цилиндре с разбегающимися возмущениями // Итоги
науки и техники. Сер.: Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2019. Т. 163. С. 3-14.
23. Борисов Д.И., Коныркулжаева М.Н. О бесконечной системе резонансов и собственных значений с экспоненциальными асимптотиками, порожденных разбегающимися возмущениями // Уфимский математический журнал. 2020. Т. 12, №4. С. 3-19.
24. Borisov D.I., Golovina A.M.. On finitely many resonances emerging under distant perturbations in multi-dimensional cylinders // J. of Mathematical Analysis and Applications. 2021. Vol. 496, no. 2. Art. no. 124809. DOI: 10.1016/j.jmaa.2020.124809
25. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики: учебник. 7-е изд. М.: Наука, 2004. 798 с.
Mathematics and Mathematical Modeling, 2022, no. 2, pp. 1-13.
DOI: 10.24108/mathm.0222.0000301
© Golovina A. M., 2022.
Mathematics i Mathematical Modelling
http://mathmelpub.ru ISSN 2412-5911
On Laplacian Discrete Spectrum Behavior with Two Distant Perturbations on the Plane in the case of a double limiting eigenvalue
Golovina A. M.1*
:Bauman Moscow State Technical University, Russia * [email protected]
Keywords: Laplacian, distant perturbations, eigenvalue, eigenfunction Received: 20.08.2022.
We consider the Laplacian with two distant perturbations on the plane. Perturbations are a real finite continuous potentials. The investigation is aimed at a behavior of the perturbed operator eigenvalues when the distance between the potentials tends to infinity. The study concerns an existence of the perturbed eigenvalues in the case of a double limiting eigenvalue (a double eigenvalue of the Laplacian with the first finite potential).
The paper aim is to construct the first terms of the asymptotic expansions of the perturbed eigenvalues and the corresponding eigenfunctions in the case of a double limiting eigenvalue.
The technique used to obtain the results is also applicable to the construction of complete asymptotic expansions of perturbed eigenvalues and their corresponding eigenfunctions. The finiteness of the distant potentials made it possible to reveal the complex exponential-power structure of the asymptotics obtained.
The main study results include the following:
• the first terms of the asymptotic expansions of the perturbed eigenvalues and their corresponding eigenfunctions;
• the first corrections of the asymptotics of the perturbed eigenvalues being equal to zero;
• exponential-power structure of the asymptotics of perturbed eigenvalues and their corresponding eigenfunctions.
References
1. Ahlrichs R. Convergence properties of the intermolecular Force series (1/R-expansion). The-
oretica ChemicaActa, 1976, vol. 41, no. 1, pp. 7-15. DOI: 10.1007/BF00558020
2. Davies E.B. The twisting trick for double well Hamiltonians. Communications in Mathematical Physics, 1982, vol. 85, no. 3, pp. 471-479. DOI: 10.1007/BF01208725
3. Hoegh-Krohn R., Mebknout M. The 1/r expansion for the critical multiple well problem. Communications in Mathematical Physics, 1983, vol.91, no. 1, pp. 66-73. DOI: 10.1007/BF01206050
4. Klaus M. On the bound state of Schrodinger operators in one dimension. Annals of Physics, 1977, vol. 108, no. 2, pp. 288-300. DOI: 10.1016/0003-4916(77)90015-X
5. Klaus M., Simon B. Coupling constants threshold in nonrelativistic quantum mechanics. I. Short-range two-body case. Annals of Physics, 1980, vol.130, no. 2, pp. 251-281. DOI: 10.1016/0003-4916(80)90338-3
6. Morgan J.D. III, Simon B. Behavior of molecular potential energy curves for large nuclear separations. Intern. J. of Quantum Chemistry, 1980, vol.17, no. 6, pp. 1143-1166. DOI: 10.1002/qua.560170609
7. Graffi S., Grecchi V., Harrell E.M. II, Silverstone H.J. The 1R expansion for H+: Analyticity, summability and asymptotics. Annals of Physics, 1985, vol. 165, no. 2, pp. 441-483. DOI: 10.1016/0003-4916(85)90305-7
8. Harrell E.M. Double wells. Communications in Mathematical Physics, 1980, vol. 75, no. 3, pp. 239-261. DOI: 10.1007/BF01212711
9. Klaus M. Some remarks on double-wells in one and three dimensions. Annales de l'Institut Henri Poincare. Sect. A, 1981, vol. 34, no. 4, pp. 405-417.
10. Reity O.K. Asymptotic expansions of the potential curves of the relativistic quantum-mechanical two-Coulomb-center promlem. Proc. of Institute ofMathematics ofNAS of Ukraine, 2002, vol. 43, no. 2, pp. 672-675.
11. Klaus M., Simon B. Binding of Schrodinger particles through conspiracy of potential wells. Annales de hInstitut Henri Poincare. Sect. A, 1979, vol. 30, no. 2, pp. 83-87.
12. Borisov D.I. Asymptotic behaviour of the spectrum of a waveguide with distant perturbations. Mathematical Physics, Analysis and Geometry, 2007, vol. 10, no. 2, pp. 155-196. DOI: 10.1007/s11040-007-9028-1
13. Borisov D.I. Distant perturbations of the Laplacian in a multi-dimensional space. Annales Henri Poincare, 2007, vol. 8, no. 7, pp. 1371-1399. DOI: 10.1007/s00023-007-0338-4
14. Golovina A.M. Discrete eigenvalues of periodic operators with distant perturbations. J. of mathematical sciences, 2013, vol. 189, no. 3, pp. 342-364. DOI: 10.1007/s10958-013-1192-1
15. Golovina A.M. Spectrum of periodic elliptic operators with distant perturbations in space. St. Petersburg Mathematical J., 2014, vol.25, no. 5, pp. 735-764. DOI: 10.1090/ S1061-0022-2014-01314-3
16. Golovina A.M. On the discrete spectrum of periodic differential operators with a distant perturbation. Doklady Mathematics, 2013, vol. 87. № 1. Pp. 42-44. DOI: 10.1134/ S106456241301016X
17. Golovina A.M. On the resolvent of elliptic operators with distant perturbations in the space. Russian J. of Mathematical Physics, 2012, vol.19, no. 2, pp. 182-192. DOI: 10.1134/S1061920812020045
18. Golovina A.M. Resolvents of operators with distant perturbations. Mathematical Notes, 2012, vol. 91, no. 3-4, pp. 435-438. DOI: 10.1134/S0001434612030133
19. Borisov D.I., Golovina A.M. On the resolvents of periodic operators with distant perturbations. Ufimskij matematicheskij zhurnal [Ufa Mathematical J.], 2012, vol. 4, no. 2, pp. 65-73 (in Russian).
20. Golovina A.M. Investigations in the spectral properties of operators with distant perturbations (survey). Matematika i matematicheskoe modelirovanie [Mathematics and Mathematical Modeling], 2015, no. 2, pp. 1-22. DOI: 10.7463/mathm.0215.0776859 (in Russian).
21. Golovina A.M. On the spectrum of periodic operators with distant perturbations. Matematika i matematicheskoe modelirovanie [Mathematics and Mathematical Modeling], 2017, no. 2, pp. 1-24. DOI: 10.24108/mathm.0217.0000063 (in Russian).
22. Borisov D.I., Golovina A.M. On occurrence of resonances from multiple eigenvalues of the Schrödinger operator in a cylinder with scattering perturbations. Itogi nauki i tekhniki. Ser. Sovremennaia matematika i ee prilozheniia. Tematicheskie obzory [Results of Science and Technology. Ser.: Modern Mathematics and its Applications. Thematic Reviews], 2019, vol. 163, pp. 3-14 (in Russian).
23. Borisov D.I, Konyrkulzhayeva M.N. On infinite system of resonance and eigenvalues with exponential asymptotics generated by distant perturbations. Ufa Mathematical J., 2020, vol. 12, no. 4, pp. 3-18. DOI: 10.13108/2020-12-4-3
24. Borisov D.I., Golovina A.M.. On finitely many resonances emerging under distant perturbations in multi-dimensional cylinders. J. of Mathematical Analysis and Applications, 2021, vol. 496, no. 2, art. no. 124809. DOI: 10.1016/j.jmaa.2020.124809
25. Tikhonov A.N., Samarskiji A.A. Uravneniia matematicheskojfiziki [Equations of mathematical physics]: a textbook. 7th ed. Moscow: Nauka Publ., 2004. 798 p. (in Russian).
