О дискретном спектре оператора с двумя разбегающимися возмущениями Текст научной статьи по специальности «Математика»

О ДИСКРЕТНОМ СПЕКТРЕ ОПЕРАТОРА С ДВУМЯ РАЗБЕГАЮЩИМИСЯ ВОЗМУЩЕНИЯМИ*

Рассматривается периодический дифференциальный оператор второго порядка с двумя разбегающимися возмущениями. Возмущения задаются финитными потенциалами. Исследуется поведение дискретного спектра возмущенного оператора при различных случаях кратности предельного собственного значения. Построено два первых члена асимптотического разложения собственных значений и соответствующих им собственных функций возмущенного оператора.

Ключевые слова: спектр, дискретный спектр, асимптотика, периодический оператор, разбегающиеся возмущения.

Введение

Операторам с разбегающимися возмущениями посвящено большое количество работ (см., например, [1-8]). Основное внимание уделялось изучению асимптотического поведения резольвенты, а также собственных значений и соответствующих им собственных функций. В работах [1-2] рассматривались операторы Шрёдингера с возмущениями в виде потенциалов. В работе [3] возмущениями являлась смена типа граничных условий, а участки границы, на которых были заданы граничные условия, находились на большом расстоянии друг от друга. В [4-5] возмущающими операторами являлись произвольные абстракные операторы, локализованные в определенном смысле. К числу полученных результатов относятся теоремы сходимости, а также первые члены асимптотических разложений собственных значений и соответствующих им собственных функций возмущенного оператора. В [6-8] исследовалось поведение резольвенты операторов с разбегающимися возмущениями. В статьях [6-7] построены первые члены формального асимптотического разложения резольвенты возмущенного оператора. В работе [8] получена явная формула для представления резольвенты оператора с разбегающимися возмущениями и доказана равномерная резольвентная сходимость возмущенного оператора к невозмущенному.

В настоящей работе рассматривается периодический дифференциальный оператор второго порядка с двумя разбегающимися возмущениями на оси. Возмущения описываются финитными потенциалами. Исследуется поведение дискретного спектра возмущенного оператора при различных случаях кратности предельного собственного значения. Основной результат — построены первые два члена асимптотики собственных значений и соответствующих им собственных функций возмущенного оператора. Для построения асимтотики собственных значений и собственных функций используется методика, описанная в работах [6-7].

*Работа выполнена при частичной финансовой поддержке грантов РФФИ (10-0100118), Президента России для молодых ученых — докторов наук (МД-453.2010.1) и ФЦП (02.740.110612).

Ранее данная схема применялась только для построения асимптотики резольвенты возмущенного оператора. Эта схема очень проста и позволяет построить не только полное асимптотическое разложение резольвенты, но и полные асимптотики собственных значений и соответствующих им собственных функций возмущенного оператора.

1. Постановка задачи и формулировка основных результатов

Обозначим через

в в

Н':=- влх+9+,/+(-1)+^('+

оператор в пространстве Ь2(К) с областью определения Ж22(К), где У± — финитные потенциалы, р £ С *(К), д £ С (К) — некоторые периодические функции с периодом 1,1 — большой положительный параметр. Рассмотрим в пространстве Ь2(К) операторы

в в „ , в в

Н± := -~г-р ^—+ д + У±, но := —~гр ^—+ д

ах ах ах ах

с областями определения Ж22(К).

При I ^ то возмущенный оператор Не расщепляется на два предельных оператора Н+ и Н_. Данный эффект расщепления был описан в работе [8] при построении резольвенты дифференциальных операторов высокого порядка в многомерном пространстве с конечным числом разбегающихся возмущений. Как уже отмечалось, в данной работе рассматривается два случая кратности предельного собственного значения. Первый случай (кратность (1 + 0)) — А0 является собственным значением оператора Н_ и не принадлежит спектру оператора Н+, а ф0,_ — собственная функция, соответствующая данному собственному значению. Так как V— — финитный потенциал, то

ф0,_ (х) = С0е_~Х°Х при х ^ +то, (1)

где С0 — некоторая константа.

Второй случай (кратность (1 + 1)) — А0 является собственным значением как оператора Н_ так и оператора Н+, а ф0,_, ^0,+ — собственные функции, соответствующие данному собственному значению. Так как У± — финитные потенциалы, то

ф0,±(х) = С0±е±^_х°Х при х ^ +то, (2)

где С0,± — некоторые константы. Если положить р =1, д = 0, то приходим

к задачам на собственные значения, которые были рассмотрены в работе [5].

Целью данной работы является построение первых двух членов асимптотического разложения собственных значений и соответствующих им собственных функций возмущенного оператора Не при различных случаях кратности предельного собственного значения А0.

Основные результаты сформулированы в виде следующих двух теорем.

Теорема 1 (кратность 1 + 0). Если Ао — простое собственное значение оператора Н-, а ф0>- — соответствующая ему собственная функция, и А0 не принадлежит спектру оператора Н+, то формальные асимптотики собственного значения, сходящегося к предельному собственному значению А0, и соответствующая ему собственная функция возмущенного оператора Ні имеют вид

А« = А0 + е-4^^1Л((і) + е-8^-^^ + ..., і = 1, 2 фі = фо,-(■ + I) + Є-27-101фі)+(- - І) + е-47-101 ф2,-(- + 1)+ (3)

+е-б/-Л01фз,+ (. - І) + е-8^-10іф4)-(. + І) + . . . ,

где

ф1,+ (х) = — С0 (Н+ — А0) 1 ^"^+е ^ Л°^ )

+ (х) = С1ел'^ °х при х ^ — ж,

-(х) = (Н- — А0)-1 (Л2ф0,- — СІУ-е^*) ,

-(х) = С2е-л/-Л°х при х ^ +ж,

+ (х) = (Н+ — А0) 1 ( — С2^+е х/-Л°х + Л2ф1,+^ ,

ф3,+(х) = С3^-Л°х при х ^ —ж,

Л1 = — С1 (У-е^-Л0х,ф0)Л ,

V / І2(К)

Л2 = С3 (^-е^1,ф0,-) L (к) + Л2 (ф2-,ф0-)Ь2(К) ,

(4)

0,

/ І2(К)

ф4,-(х) = (Н- — А0) 1 ^ —Сз^-Є^ Л°х + Л2ф2,- + Л4ф0,^ .

С1, С2, С3 — некоторые константы, а оператор (Н- — А0)-1 действует в ортогональном дополнении к собственной функции ф0,_.

Теорема 2 (кратность 1 + 1). Если А0 — собственное значение как оператора Н-, так и оператора Н+, а ф0-, ф0,+ — соответствующие ему собственные функции, то формальные асимптотики собственных значений, сходящихся к предельному собственному значению А0, и соответствующих им собственных функций возмущенного оператора Ні имеют вид

А« = А0 + е-2^^іЛ(1і) + е-4у-Л°іл2і) + ..., і = 1, 2

^іг)(х) = /0г- ф0,-(х +1) + /0г:+ ф0,+(х — І) + е-2^“Л°іф1г)-(х

фіг)(х) = /(-ф0,-(х + І) + /(+ф0,+(х — І) + е 2лГ1°1ф5^_(х + 1)+ (5)

+е-2/=Л°1ф(г+(х — І) + е-4/^іф2І)-(х + І) + е-4^^іф2І+(х — І) + ...

где

л(1) = С0,-(^+е л'Л~Л°х, ф0,+)Ь2(К)) л(2) = — С0,-(^+е Л'^^х, ф0,+)Ь2(К))

= (Н± — А0)-1 (Л(1‘)/0:±ф0.± — /0ІІ С^е*'^*)

фі*± = С(г±е^-Л°х при х ^ +ж,

л2° = -^(^),/^)}к2, ^ = ^с\-(у+е ^Л^^+ь^Л ,

2 \с1;+ у ’

ф2!± = (н± - Ао)-1^» +Л/ фо,± - с1^ - Со,^л(;^ ^е^0*

+Л2)/0,± ф0,±),

С1)± — некоторые константы, /(±, /!г±, /2*± — компоненты собственных векторов /0г), /(г), /() соответственно, а операторы (Н± - Ао)-1 действуют в ортогональном дополнении к собственной функции ф0,+, ф0,_ соответственно.

Замечание 1. В различных случаях кратности предельного собственного значения Ао порядки первых и вторых поправок у собственных значений возмущенного оператора различны. В случае кратности (1 + 0) первый член асимптотического разложения собственного значения порядка е_41, а в случае кратности (1 + 1) — е_21. Второй член асимптотики собственных значений в первом случае порядка

—81 —41

е 81, а во втором случае — е 41.

Замечание 2. Первые поправки собственных значений А1 и А! в случае кратности (1 + 1) одинаковы по модулю, но противоположны по знаку. Аналогичный результат был получен в работе [5] для случая р =1 и д = 0.

2. Доказательство теоремы 1

Для нахождения первых членов асимптотики собственного значения и соответствующей ему собственной функции подставим равенства (3) в уравнение

= А^.

Раскрывая скобки и группируя слагаемые в точках I и -1 соответственно, получаем

в в \

-ОжРОж+д+у+('-1) - 7 ф!,+('-1)+у+('- 1)^о,-(‘+1)+

+ е-6^01 (-вХрвХ + д + у+(. - I) - а^ фз>+ (■ - I) - е-14^Л2фз)+(- - I)-

- е-6^0^!^^- - I) + е-^^^1У+(- - 1)ф4,-(' + I) - е-1^^=101Л2ф1;+(- - I)-

- е-1о/-Л01Л1^з,+ (- - I) + е-4^-101У+(- - 1)^2,- (■ + I) = 0,

е-4^101 Г-^р-^ + д + V- (■ +1) - аЛ ф2 - (■ +1) + е-2^101 V- (■ +1)^1 +(■ -1)+ \ аж аж у

+ е-8^101 Г--^(-^ + д + у_(- +1) - аЛ ^4,-(- +1) - е-12^-Л01Л1^4)-(- + I)-

\ аж аж у

- е-4^_Л01Л1фо,_(- + I) + е_6^^1у_(- + 1)ф3,+ (- - I) - е_8^^1Л2ф0;_(- + I)- е_8'/=Л01Л1ф2_(- +1) - е-12л/_Л01Л2'02,_(■ +1) - е_16л/=Л01Л2ф4_(- +1) = 0

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях экспонент, учитывая равенство (1) и пользуясь периодичностью функций р, д, получаем

ф!,+(ж) = -Со (Н+ - Ао)-1 (у+(ж)е_^_Л0^ .

Так как У+ — финитный потенциал, то имеет место равенство

ф!,+(ж) = С^е^-Л°х при ж ^ -ж,

где С1 — некоторая константа. Пользуясь периодичностью функций р, д и учитывая последнее равенство, приходим к уравнению

(Н_ - Ао)^2,_ = Л2ф0,_ - С1У_ел/“Л0ж. (6)

Применяя условие разрешимости (ортогональность правой части уравнения собственной функции ф0,_) к последнему уравнению, находим

Л2 — —С1 (у-еУ Л°Ж, фо,-(х)'|

V / j

Ь2(К)

Из уравнения (6) получаем

ф2,_ = (Н_ - Ао) 1 ^Л2ф0,_ - С^_ел'/-Л°^ .

В данном параграфе под оператором (Н_ - Ао)-1 будем понимать оператор, который действует не на всем пространстве, а в ортогональном дополнении к собственной функции ф0,_. В силу финитности потенциала V— имеет место равенство

ф2_(ж) = С2е-Л,/-Л°х при ж ^ +ж,

где С2 — некоторая константа. Учитывая последнее равенство и периодичность функций р, д, получаем

ф3,+ = (Н+ - А0) 1 ^-С2У+е л,/“Л0Х + Л2ф1,+^ •

Так как возмущениями являются финитные потенциалы, то

ф3,+ (ж) = Сзе^-Л°х при ж ^ -ж,

где Сз — некоторая константа. Пользуясь периодичностью функций р, д и учитывая последнее равенство, получаем уравнение

(Н_ - Ао)ф4,_ = -СзУ_ел/=Л0х + Л2ф2,_ + Л4^0,_. (7)

Применяя к последнему равенству условие разрешимости, находим Л4 = Сз (У_^л/-Л01,Фо)^ Ь2(к) - Л2 (ф2,_,ф0,_)Ь2(Ю •

Из уравнения (7) получаем

ф4,_ = (Н_ - Ао) 1 ^-СзУ—е^ Л°х + Л2ф2,_ + Л4^о,^ •

Таким образом, формальное асимптотическое разложение первых двух членов асимптотики собственных значений и соответствующих им собственных функций оператора Ні в случае кратности (1 + 0) построено.

3. Доказательство теоремы 2

Для доказательства теоремы 2 подставляем (5) в уравнение

= А/01г).

Тогда получим

е-2'^ (- 0^1- + д + У_(. + I) - А^ V® (■ + I) + /0:+ V—(■ + ЭД'О.+ О - 1) +

+е-2</—л0 Г - аж-р-а+д+у+(. -1} - аЛ ф!:+(■ -ю+/0:_ ад - <:>/>„.-(•+1}-

- е-2'^ л<:)^:- ^о,_(-+1} - е-"^ л/ Фо._ (-+1} - е-^^л® /<:+*,,+(• -1}:) ! В\ I ^_21^_Л°т/ ( | „/, / | п\ ^—41-^—Л° Л (:)л/,(:)

- е_4^-л° л^2; /0;+фо,+(- -1) + е_2^-л° у+(- + 1)ф1,_(- +1) - е_4^-л° л!; VI,—(■ +1)+ +е_41/_л0 ^ - а_ра_+д+у_(.+1) - а^ ф2:—(-+1) - е_б1у—^л!^:—

+е_41/_л0 /- а_р0_+д+у+(.-1) - аЛ ф2:+(-1) - е_

\ аж аж у ’

- е_61^^ л2:)ф2:—(-+1)+е_41/—л° у_(+1}ф2,+(- -1) - е_41у—л0 л1:)ф5:+(- -1)+

+ е_21/_л0 у_(.+1)ф1>+(. -1) - е-61^-л0 л2:)ф!^+(- -1) - е-61^-л0 л!:)ф2^+(- -1)-

- е_81^^ л2:)ф2:+(- -1) + е-41/_л0 у+(-+1)ф2,_(-+1) = 0.

Далее, группируя слагаемые в точках I и -I соответственно, приходим к уравнениям

е-21^0 (- аажра;ж + д + у+(- -1) - Ао) ф(:+(- -1) - е-21^0 л!:)/0:+фо,+(- -1)+

р(:) Т/ (. _ Л _1_ /П _ 0-41^_л° Л (:) Л:) л _ /П _ 0-41/_А0

+ /0.- у+(- - 1)ф0,_(- +1) - е-4^-л° л^/о;+фо,+(- -1) - е-4^-л° л^ ф!:+(- -1)+

аа

-р— + д + У+(- -1) - Ао

+е (-dXpаX + д + у+(--1) - а^ ф2:+ (1) - е 6^"^10л2:)ф(:+(--1)+

+е_41/_л0 у_(.+1}ф2,+(. -1) - е_61^^ л!:)ф2:+(- -1) - е-81^10 л2:)ф2:+(- -1)+ + е-21/_-0у_(. + 1)ф1,+ (- - I) = 0

-21/^ (-аажра:ж + д + у_(-+1) - а,) ф5:—(-+I) + /0:+ у_(-+1)фо,+(- -1)-

- е-21^^л/фо,—(■ + I) - е

+ е_2^_А0-+( + 1)ф1,_ (■ + I) - е

+е_41/—^ ---О-р#-

V аж аж

е

+ е_4^_А0 у+( + 1}ф2,—(■ + I) = 0.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях экспонент, учитывая периодичность функций р, д и равенства (2), получаем уравнения

(Н± - Ао)^!:± = Л‘.:)/(£±*>.± - /йС\тУ±е*^ (8)

Записывая для каждого уравнения последнего равенства условие разрешимости, приходим к выводу, что л!:) являются собственными значениями матрицы

А = - 0 а02( (9)

\«21 0 у

/ \

с собственным вектором /0 = I °(:+ I , где

/0.

«12 = /£-Со,- (У+е лГ10ж,'0о,+) ,

’ V / Ь2(к)

«2! = /0:+ Со,+ (у_е^_А0Ж,фО,Л .

0,+ V /Ь2(К)

В данном случае собственные значения матрицы А имеют вид

л! ) = \/1 а12а211, л! ) = -\/|а12а21|.

Из (8) находим

(10)

ФМ= — (Н± — А0) ^Л1г) /03= ф0,± — /0^4:С0,4^^) + /1*±ф0,±-

Всюду в параграфе под операторами (Н± - Ао)-1 будем понимать операторы, которые действуют на ортогональных дополнениях к собственным функциям фо,± соответственно. Так как У± — финитные потенциалы, то имеют место равенства

ф(:±=с(:±е^л/_л0х при ж ^ +ж,

где С1>± — некоторые константы. Пользуясь периодичностью функций р, д и учитывая последние равенства, получаем

(н± - ао)ф2:±=+л<:)/<:± *,,± - с« у±ет^»- (11)

- С0,Т/1,^еТ^/—Л0х + л2)/0,±"0О,±.

Вновь записывая условие разрешимости для каждого уравнения последнего раЛ (:)

венства, получаем, что л2 находятся из уравнения

а/<:) = л2:)/0:) + л/ + р,

где А — матрица, определенная равенством (9),

р = /'с:—(у+е—^=л0х,фо,+}ь,(Ел

V с(:+(V—е^,*,—)ь,(ю / ’

( /(:)

собственные значения л2:) имеют вид л2:) = —/0(:) (Р(:),/1(:))к2 , I (:+ I — соответ-

\/1,_/

ствующие им собственные векторы. Из (11) находим

ф(:±=(н± - ао)-1(л!м:±+л!:)/1(:±^)± - с^у±е^_^ - со/уье^0*+

+ л2 )/0, ± фо,±} + /2, ± фо,±.

Покажем теперь, что первые поправки собственных значений л!!), л!2) равны по модулю, но противоположны по знаку. Для этого докажем следующую лемму.

Лемма 1. Выполнено равенство а12 = а21.

Доказательство. Для доказательства данной леммы вернемся к формулам (10), которые без учета равенства (2) имеют вид

а12 = /о:_ (У+ф0,-( ■ + 21), ф0,+}Ь2(К) , а21 = /0:+ (У-ф0,+ ( ■ - 21) ф0,-)Ь2(К) .

Согласно определению скалярного произведения в пространстве Ь2(К),

а21 = У0:+ (У-ф0,+ ( ■ - 21), Фо,-)Ь2(К) = /0:+ У У_ф0,+ ( ■ - 21)ф0,-аж. (12)

К

Так как фо,_ является собственной функцией оператора Н_,

аа

У-фо,- = -(-+ д - Ао I фо,_. (13)

аж аж

Подставляя последнее равенство в (12), получаем

аа

- + д - Ао I фо,-0ж =

” /

(14)

У_фо,+ ( ■ - 21)ф0,_аж = - / фо,+ ( ■ - 21) ( -d-Pа- + д - Ао ) ф0,_аж

К К

= - J ф0,+ ( ■ - 21) ^-ажр0ж^ ф0,_0ж - J ф0,+ ( ■ - 21) (д - А0} ф0,-аж.

К К

Рассмотрим теперь интеграл вида / ф0,+ ( ■ - 21) (-^рф0,_аж. Дважды инте-

К хх,

грируя по частям, получаем

в

а а \ а

фо,+( ■ - 21) ( - ажр^^ У ф0,_аж = в|1п1>фо,+( ■ - 2l)Pd-Vo,-

К

в

а а а

- Иш р—фо-^-Фо,+( ■ - 21)0ж = Иш фо,+( ■ - 21)р—фо,-

в^^ у аж аж в^гс> аж

-в

-в

в

в

а

- Иш рфо,-^-фо,+( ■ - 21) в^гс> аж

в в

+ Иш фо,--тр^-фо,+( ■ - 21)0ж.

в^ / г ’ а^ а^ ’+

-в _в

Поскольку собственные функции фо,_, ф0,+ убывают на бесконечности, все вне-интегральные члены равны нулю. Таким образом,

/ фо,+ ( ■ - 21) Гфо,_аж = [ фо,^-ар-афо,+ ( ■ - 21)аж. аж аж аж аж

К К

Подставляя последнее равенство в (14), приводя подобные и пользуясь периодичностью функций р, д, последовательно выводим

J У-ф0,+(■ - 21)^0-^ж = - J фо)-(■ + 21) ^ф0,+аж. (15)

Так как ф0)+ — собственная функция оператора Н+, то для нее справедливо равенство, аналогичное равенству (13):

^+^0,+ = -(-±Л- + д - аЛ ^0,+-

\ аж аж у

Подставляя последнее равенство в (15), получим

У У-^0,+( ■ - 21)^0,-ОьХ = J ф0,-( ■ + 21)У+^0,+аж.

Из последнего равенства вытекает утверждение леммы. □

Таким образом, формальное асимптотическое разложение первых двух членов асимптотики собственных значений и соответствующих им собственных функций оператора Н в случае кратности (1 + 1) построено.

Список литературы

1. Harrell, E. M. Double wells / E. M. Harrell // Communications in Mathematical

Physics. - 1980. - Vol. 75, № 3. - P. 239-261.

2. Klaus, M. Binding of Schrodinger particles through conspiracy of potential wells / M. Klaus, B. Simon // Annales de l’Institut Henri Poincare, section A. — 1979. — Vol. 30, № 2. — P. 83-87.

3. Borisov, D. I. Exponential splitting of bound in a waveguide with a pair of distant

windows / D. I. Borisov, P. Exner // Journal of Physics A: Mathematical and

General. — 2004. — Vol. 37, № 10. — P. 3411-3428.

4. Borisov, D. I. Asymtotic behaviour of the spectrum of a waveguide with distant perturbation / D. I. Borisov// Mathematical Physics and Analytic Geometry. — 2007. — Vol. 10, № 2. — P. 155-196.

5. Borisov, D. I. Distant perturbation of the Laplacian in a multi-dimensional space / D. I. Borisov // Annales Henri Poincare. — 2007. — Vol. 8, № 7. — P. 1371-1399.

6. Головина, А. М. Об асимптотике резольвенты одномерного оператора с разбегающимися возмущениями / А. М. Головина // Уч. зап. физ.-мат. фак. БГПУ : сб. науч. ст. — Уфа, 2010. — Математика, вып. 11. — С. 11-16.

7. Головина, А. М. Об асимптотике резольвенты одномерного периодического оператора с разбегающимися возмущениями / А. М. Головина // Уч. зап. физ.-мат. фак. БГПУ : сб. науч. ст. — Уфа, 2011. — Математика, вып. 12. — С. 8-112.

8. Головина, А. М. Резольвенты операторов с разбегающимися возмущениями / А. М. Головина // Мат. заметки; в печати.