CC BY
8Математика и математическое моделирование. 2022. №1. С. 21-30.
DOI: 10.24108/mathm.0122.0000300
© Головина А. М., 2022. ХДК 517.984.46
Асимптотика собственных значений периодического оператора с двумя разбегающимися возмущениями на оси
Головина А. М.1'*
1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия * amgolovina@bmstu.ru
Математика к Математическое
моделирование
Сетевое научное издание http://mathmelpub.ru ISSN 2412-5911
Рассматривается периодический оператор второго порядка с двумя разбегающимися возмущениями на вещественной оси. Возмущения описываются финитными потенциалами. Изучается поведение собственных значений возмущенного оператора при увеличении расстояния между потенциалами в случае двукратного предельного собственного. Построены первые члены асимптотических разложений возмущенных собственных значений и соответствующих им собственных функций.
Ключевые слова: периодический оператор, разбегающиеся возмущения, собственное значение, собственная функция
Представлена в редакцию: 15.08.2021.
Введение
Статей, посвященных операторам с разбегающимися возмущениями, довольно много (см., например, [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21]. Основным объектом исследования большого числа работ является дискретный спектр возмущенного оператора (см., например, [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]. В статьях [3, 5] возмущениями являлись вещественные потенциалы, в [1, 4, 6, 7], — кулоновские и финитные потенциалы, в [12, 13, 14, 15, 16, 17, 18] — произвольные абстрактные операторы. Имеются работы, в которых исследуются собственные значения, возникающие из края существенного спектра предельного оператора (см., например, [10, 11]). История исследования операторов с разбегающимися возмущениями и все главные результаты изложены в работе [17]. В последнее время большое внимание уделяется резонансам дифференциальных операторов с разбегающимися возмущениями в многомерном пространстве (см., например, [20, 21, 22]).
Остановимся подробнее на работах, в которых рассматривался кратный случай предельного собственного значения (см., например, [7, 8, 9, 14]). Исследовалось поведе-
ние возмущенных собственных значений, когда предельное собственное значение являлось простым и изолированным собственным значением первого предельного оператора (оператор Лапласа с первым потенциалом) и простым и изолированным собственным значением второго предельного оператора (оператор Лапласа со вторым потенциалом). В [7] выведены представления для возмущенных собственных значений и соответствующих им собственных функций в виде равномерно сходящихся рядов. Получены оценки на коэффициенты. В [8, 9] построены первые члены асимптотик собственных значений и соответствующих им собственных функций. В [8] была замечена симметричность первых поправок асимптотик возмущенных собственных значений относительно нуля. Аналогичная симметричность первых поправок асимптотик возмущенных собственных значений была выявлена в работах [12, 13] для оператора Лапласа с конечным числом разбегающихся абстрактных операторов в случае произвольной кратности предельного собственного значения. Получены первые члены асимптотик возмущенных собственных значений и соответствующих им собственных функций. В работе [14] рассматривался некоторый абстрактный оператор с конечным числом разбегающихся возмущений в многомерном пространстве. Возмущениями также являлись некоторые операторы, удовлетворяющие определенным условиям. Исследовалось поведение дискретного спектра возмущенного оператора при стремлении к бесконечности расстояний между возмущениями в случае двукратного предельного собственного значения (двукратное собственное значение абстрактного оператора с одним из возмущений). Выведены представления для возмущенных собственных значений и соответствующих им собственных функций в виде равномерно сходящихся рядов. Получены явные формулы для коэффициентов данных рядов.
В настоящей работе рассматривается периодический оператор с двумя разбегающимися возмущениями на вещественной оси. Возмущениями являются вещественные финитные непрерывные потенциалы. Исследуется поведение собственных значений возмущенного оператора, когда расстояние между финитными потенциалами стремится к бесконечности. Изучается вопрос существования возмущенных собственных значений в случае двукратного предельного собственного значения (простое и изолированное собственное значение периодического оператора с первым финитным потенциалом+простое и изолированное собственное значение периодического оператора со вторым финитным потенциалом). Построены первые члены асимптотических разложений возмущенных собственных значений и соответствующих им собственных функций. Замечен эффект симметричности относительно нуля первых поправок асимптотик возмущенных собственных значений. Продемострирована методика, с помощью которой в работе [14] были построены явные формулы для коэффициентов равномерно сходящися рядов возмущенных собственных значений и соотвествующих им собственных функций. Финитность разбегающихся потенциалов, позволила выявить экспоненциальную структуру построенных асимптотик.
1. Постановка задачи и основной результат
Рассмотрим классический пример дифференциального периодического оператора второго порядка с двумя разбегающимися возмущениями
и И
Н = -ИХ + + С-(х + £) + С+ + (х - £) в Ь2(Ж), V(H¿) = Ж22(К),
где р(х) е С д(х) € С (К) — некоторые периодические функции с периодом £; С± — вещественные финитные непрерывные потенциалы; £ — большой положительный параметр.
Введем в рассмотрение еще три оператора в пространстве Ь2(Ж) с областями определения Ж? (К):
Но=-ИХр(х) ИХ+?(х), Н±=-ИХр(х) ИХ+?(х)+(1)
Пусть Ло является простым собственным значением каждого из операторов Н±, а ф± — собственные функции операторов Н±, соответствующие данному собственному значению. Так как С± — финитные потенциалы, то
= С0±ет/-1°х при х (2)
Целью данной работы является построение первых членов асимптотических разложений возмущенных собственных значений и соответствующих им собственных функций в случае двукратного предельного собственного значения (1 + 1).
Теорема 1. Пусть Л0 является простым и изолированным собственным значением каждого из операторов Н±, а ^±(х) — собственные функции операторов Н±, соответствующие данному собственному значению. Тогда при достаточно больших £ формальные асимптотики собственных значений, сходящихся к предельному собственному значению Л0, и соответствующие им асимптотики собственных функций возмущенного оператора Н имеют вид
Л? = Ло + е-2^-^? (£) + ..., (3)
# = /о0-^о-(' + £) + /0?+ $+(■ - £) + е-2^ (4?-(■ + £) + 4?'+(■ - £)) +
+ (4?1(■ + £) + 4?'+ (■ - £))..., (4)
Здесь Л/?0 (£) — собственные значения матрицы В := I I, элементы которой имеют
\Й21 0
вид:
— _г<- № ((Ъ _ \Л-1
Ь/2 = -С-/0?- ((Н- - Ло)-1(£+е^=^х),^0-) , 621 = -С+ /0?++ ((Н+ - Л0)-1(£-е-^°^х),^0+)
/ /О) \
:= I ,°/) I — собстВеННый в^ соответствующий собственному зНачеНИю л? (£), а функции (х), (х) определены равенствами
(х) = -с/ - Л°)-1(£±е±/=Л0х),
(х) = (Нг - Л°)-1 (л/^х) - СоГ/ООГГ¿г(Н± - Л°)-1(£гег/=Л0х)) .
2. Доказательство основного результата
Для нахождения первых членов формального асимптотического разложения возмущенного собственного значения и соответствующих ему возмущенных собственных функций подставим равенства (3), (4) в уравнение
=
Раскрывам скобки и группируя слагаемые в точках £ и - £ соответственно, получаем
£ : /°0-£+(х - £)^°-(х + £) + е-2/=1^(-Д + £+(х - £) - Ло)^(х - £) -- е-2/-^/-л0)^°-(х + £) + е-2/=Л^£+(х - £)^/1 (х + £) +
+ е-4/^г(-Д + £+(х - £) - Л°)^2Л (х - £) - (х - £) +
:(
+ (х - £) - е л1 ( + е-4/-Л0^+(х - £)^(0-(х + £) - е-6^/^(х - £) = 0,
(0) Г ^ _ Л I г ^ е\ _ \Л„1,(/
- £ : /о:£- (х + £)4+(х - £) + е-^-А о£(-Д + £- (х + £) - Л°)^/- (х + £) -- е-2/-лу(Л л/^°+(х - £) + е-2/-^£-(х + (х - £) +
+ е-4/-^(-Д + £-(х + £) - Л°)^/- (х + £) - (х + £) +
+ е-4/=Л^£-(х + £)^2/1 (х - £) - е-67-^/^(х - £) = 0. Рассмотрим слагаемые одного порядка малости е-2л/-Л в точках £ и -£ соответственно:
е-2/^.(-Д + ^ - Л°)40Г(х) = У (х ± 2£). (5)
Учитывая (2) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях эспоненты в (5), приходим к равенству
^/Г(х) = -СГ/°(0Г(Нг - Л°)-1(£±е±/"Л°х). Под операторами (Нг - Л°)-1 будем понимать оператор, который действует в ортогональном дополнении к собственной функции ^(х).
Далее рассматриваем слагаемые порядка е-4л,/-Л в точках £ и -£ соответственно:
е-2/-Л0(Нг - Л°)^2/Г(х) = Л/0/°/Г#(х) - (х Т 2£). (6)
Применяя условие разрешимости (ортогональность правой части последнего уравнения каждой из собственных функций ^(х) приходим к матричному уравнению следующего вида:
В - Л/)Е)/°/ =0, (7)
где В — матрица, которая имеет следующий вид:
В
/ 0 (х - 2^0- (*)) £а(к)
(х + 2£),^+)Ь2(М) 0
I /о -
Е — единичная матрица размера 2 х 2 /0"') = I 0'- I — собственный вектор, соответству-
V ^О
ющий собственному значению Л^^), ] = 1, 2.
Учитывая теперь поведение на бесконечности функции ^^ (х), получаем
612 = -с/- ((Н- - Ло)-1 ь
621 = -/0 ((Н+ - Ло)-1 (£-е-^)^0+)
(х) = (Н - Л0)-1(л/#(*) - - Л0)-1(^е^0х)).
Для нахождения л2?)(£) остается выписать условие разрешимости уравнения (7), то есть, решить уравнение
ае^В - Л(/°Е) = 0.
Отметим, что при решении последнего уравнения мы приходим к выводу, что первые поправки возмущенных собственных значений равны по модулю, но противоположны по знаку.
Таким образом, первые члены формального асимптотического разложения собственного значения и соответствующей ему собственной функции оператора Нг в случае двукратного собственного значения построены.
Заключение
В работе получены первые члены асимптотических разложений собственных значений и соответствующих им собственных функций периодического оператора второго порядка с двумя разбегающимися финитными потенциалами на вещественной оси в случае двукратного предельного собственного значения (1+1). Другими словами, исследовалось поведение возмущенных собственных значений, когда предельное собственное значение являлось простым и изолированным собственным значением первого предельного оператора (периодический оператор+первый финитный потенциал), а также простым и изолированным собственным значением второго предельного оператора (периодический оператор+второй финитный потенциал). Финитность разбегающихся потенциалов позволила выявить экспоненциальную структуру асимтотики. Методика, с помощью которой были построены первые члены асимптотических разложений собственных значений и соответствующих им собственных функций, позволяет построить полные асимптотические разложения.
Список литературы
1. Ahlrichs R. Convergence properties of the intermolecular Force series (1/R-expansion) // Theoretica Chemica Acta. 1976. Vol. 41, no. 1. Pp. 7-15. DOI: 10.1007/BF00558020
2. Davies E.B. The twisting trick for double well Hamiltonians // Communications in Mathematical Physics. 1982. Vol. 85, no. 3. Pp. 471-479. DOI: 10.1007/BF01208725
3. Hoegh-Krohn R., Mebknout M. The 1/r expansion for the critical multiple well problem // Communications in Mathematical Physics. 1983. Vol.91, no. 1. Pp. 65-73. DOI: 10.1007/BF01206050
4. Klaus M. On the bound state of Schrodinger operators in one dimension // Annals of Physics. 1977. Vol. 108, no. 2. Pp. 288-300. DOI: 10.1016/0003-4916(77)90015-X
5. Klaus M., Simon B. Coupling constants threshold in nonrelativistic quantum mechanics. I. Short-range two-body case // Annals of Physics. 1980. Vol. 130, no. 2. Pp. 251-281. DOI: 10.1016/0003-4916(80)90338-3
6. Morgan J.D. III, Simon B. Behavior of molecular potential energy curves for large nuclear separations // Intern. J. of Quantum Chemistry. 1980. Vol. 17, no. 6. Pp. 1143-1166. DOI: 10.1002/qua.560170609
7. Graffi S., Grecchi V., Harrell E.M II, Silverstone H.J. The 1R expansion for H+: Analyticity, summability and asymptotics // Annals of Physics. 1985. Vol. 165, no. 2. Pp. 441-483. DOI: 10.1016/0003-4916(85)90305-7
8. Harrell E.M. Double wells // Communications in Mathematical Physics. 1980. Vol. 75, no. 3. Pp. 239-261. DOI: 10.1007/BF01212711
9. Klaus M. Some remarks on double-wells in one and three dimensions // Annales de l'Institut Henri Poincare. Sect. A. 1981. Vol. 34, no. 4. Pp. 405-417.
10. Reity O.K. Asymptotic expansions of the potential curves of the relativistic quantum-mechanical two-Coulomb-center promlem // Proc. of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. 2002. Vol. 43, no. 2. Pp. 672-675.
11. Klaus M., Simon B. Binding of Schrodinger particles through conspiracy of potential wells // Annales de l'Institut Henri Poincare. Sect. A. 1979. Vol. 30, no. 2. Pp. 83-87.
12. Borisov D.I. Asymptotic behaviour of the spectrum of a waveguide with distant perturbations // Mathematical Physics, Analysis and Geometry. 2007. Vol. 10, no. 2. Pp. 155-196. DOI: 10.1007/s11040-007-9028-1
13. Borisov D.I. Distant perturbations of the Laplacian in a multi-dimensional space // Annales Henri Poincare. 2007. Vol. 8, no. 7. Pp. 1371-1399. DOI: 10.1007/s00023-007-0338-4
14. Golovina A.M. Discrete eigenvalues of periodic operators with distant perturbations // J. of Mathematical Sciences. 2013. Vol. 189, no. 3. Pp. 342-364. DOI: 10.1007/s10958-013-1192-1
15. Головина A.M. О спектре периодических эллиптических операторов с разбегающимися возмущениями в пространстве // Алгебра и анализ. 2013. Т. 25, № 5. С. 32-60.
16. Головина A.M. О дискретном спектре возмущенного периодического дифференциального оператора // Доклады Акад. наук. 2013. T. 448, №3. C. 258-260. DOI: 10.7868/ S0869565213030043
17. Головина A.M. Исследования спектральный свойств операторов с разбегающимися возмущениями (обзор) // Математика и Математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. №2. С. 1-22. DOI: 10.7463/mathm.0215.0776859
18. Борисов Д.И., Головина A.M. О резольвентах периодических операторов с разбегающимися возмущениями // Уфимский математический журнал. 2012. Т. 4, №2. С. 65-73.
19. Головина A.M. О спектре периодических операторов с разбегающимися возмущениями // Математика и Математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2017. №2. С. 1-24. DOI: 10.24108/mathm.0217.0000063
20. Борисов Д.И., Головина А.М. О возникновении резонансов из кратного собственного значения оператора Шрёдингера в цилиндре с разбегающимися возмущениями // Итоги науки и техники. Сер.: Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2019. Т. 163. С. 3-14.
21. Борисов Д.И., Коныркулжаева М.Н. О бесконечной системе резонансов и собственных значений с экспоненциальными асимптотиками, порожденный разбегающимися возмущениями // Уфимский математический журнал. 2020. Т. 12, №4. С. 3-19.
22. Borisov D.I., Golovina A.M.. On finitely many resonances emerging under distant perturbations in multi-dimensional cylinders // J. of Mathematical Analysis and Applications. 2021. Vol. 496, no. 2. Art. no. 124809. DOI: 10.1016/j.jmaa.2020.124809
Mathematics and Mathematical Modeling, 2022, no. 1, pp. 21-30.
DOI: 10.24108/mathm.0122.0000300
© Golovina A. M., 2022.
Mathematics & Mathematical Modelling
http://mathmelpub.ru ISSN 2412-5911
Asymptotic Behavior of the Eigenvalues of a Periodic Operator with Two Distant Perturbations on the Axis
Golovina A. M.1'*
Bauman Moscow State Technical University, Russia * amgolovina@bmstu.ru
Keywords: periodic operator, distant perturbations, eigenvalue, eigenfunction
Received: 15.08.2021.
We consider a second-order periodic operator with two distant perturbations on the real axis. Perturbations are real finite continuous potentials. The objective is to investigate a behavior of the eigenvalues of the perturbed operator when the distance between the potentials tends to infinity. The study issue is an existence of perturbed eigenvalues in the case of a double limiting eigenvalue (the simple and isolated eigenvalue of a periodic operator with first potential + the simple and isolated eigenvalue of a periodic operator with a second potential).
The paper aim is to construct the first terms of the asymptotic expansions of the perturbed eigenvalues and the corresponding eigenfunctions in the case of a double limiting eigenvalue.
The technique to obtain the results can also find application when constructing complete asymptotic expansions of perturbed eigenvalues and their corresponding eigenfunctions. The finiteness of the distant potentials allowed us to reveal the complex exponential structure of the asymptotics obtained.
The main results include the following:
• the first terms of the asymptotic expansions of the perturbed eigenvalues and their corresponding eigenfunctions;
• symmetry of the first corrections of the asymptotics of the perturbed eigenvalues with respect to zero;
• exponential structure of the asymptotics of perturbed eigenvalues and their corresponding eigenfunctions.
References
1. Ahlrichs R. Convergence properties of the intermolecular Force series (1/R-expansion) // Theoretica ChemicaActa, 1976, vol. 41, no. 1, pp. 7-15. DOI: 10.1007/BF00558020
2. Davies E.B. The twisting trick for double well Hamiltonians. Communications in Mathematical Physics, 1982, vol. 85, no. 3, pp. 471-479. DOI: 10.1007/BF01208725
3. Hoegh-Krohn R., Mebknout M. The 1/r Expansion for the Critical Multiple Well Problem. Communications in Mathematical Physics, 1983, vol.91, no. 1, pp. 65-73. DOI: 10.1007/BF01206050
4. Klaus M. On the bound state of Schrodinger operators in one dimension. Annals of Physics, 1977, vol. 108, no. 2, pp. 288-300. DOI: 10.1016/0003-4916(77)90015-X
5. Klaus M., Simon B. Coupling constants threshold in nonrelativistic quantum mechanics. I. Short-range two-body case. Annals of Physics, 1980, vol.130, no. 2, pp. 251-281. DOI: 10.1016/0003-4916(80)90338-3
6. Morgan J.D. III, Simon B. Behavior of molecular potential energy curves for large nuclear separations Intern. J. of Quantum Chemistry, 1980, vol.17, no. 6, pp. 1143-1166. DOI: 10.1002/qua.560170609
7. Graffi S., Grecchi V., Harrell E.M II, Silverstone H.J. The 1R expansion for H+: Analyticity, summability and asymptotics. Annals of Physics, 1985, vol. 165, no. 2, pp. 441-483. DOI: 10.1016/0003-4916(85)90305-7
8. Harrell E.M. Double wells. Communications in Mathematical Physics, 1980, vol. 75, no. 3, pp. 239-261. DOI: 10.1007/BF01212711
9. Klaus M. Some remarks on double-wells in one and three dimensions. Annales de l'Institut Henri Poincare. Sect. A., 1981, vol. 34, no. 4, pp. 405-417.
10. Reity O.K. Asymptotic expansions of the potential curves of the relativistic quantum-mechanical two-Coulomb-center problem. Proc. of Institute ofMathematics ofNAS of Ukraine, 2002, vol. 43, no. 2, pp. 672-675.
11. Klaus M., Simon B. Binding of Schrodinger particles through conspiracy of potential wells. Annales de l'Institut Henri Poincare. Sect. A, 1979, vol. 30, no. 2, pp. 83-87.
12. Borisov D.I. Asymptotic behaviour of the spectrum of a waveguide with distant perturbations. Mathematical Physics, Analysis and Geometry, 2007, vol. 10, no. 2, pp. 155-196. DOI: 10.1007/s11040-007-9028-1
13. Borisov D.I. Distant perturbations of the Laplacian in a multi-dimensional space. Annales Henri Poincare, 2007, vol. 8, no. 7, pp. 1371-1399. DOI: 10.1007/s00023-007-0338-4
14. Golovina A.M. Discrete eigenvalues of periodic operators with distant perturbations. J. of Mathematical Sciences, 2013, vol. 189, no. 3, pp. 342-364. DOI: 10.1007/s10958-013-1192-1
15. Golovina A.M. Spectrum of periodic elliptic operators with distant perturbations in space. St. Petersburg Mathematical J., 2014, vol.25, no. 5, pp. 735-754. DOI: 10.1090/ S1061-0022-2014-01314-3
16. Golovina A.M. On the discrete spectrum of periodic differential operators with a distant perturbation. Doklady Mathematics, 2013, vol. 87, no. 1, pp. 42-44. DOI: 10.1134/ DOI: S106456241301016X
17. Golovina A.M. Investigations in the spectral properties of operators with distant perturbations (survey). Matematika i matematicheskoe modelirovanie [Mathematics and Mathematical Modeling], 2015, no. 2, pp. 1-22. DOI: 10.7463/mathm.0215.0776859 (in Russian).
18. Borisov D.I., Golovina A.M. On the resolvents of periodic operators with distant perturbations. Ufimskij matematicheskij zhurnal [Ufa Mathematical J.], 2012, vol. 4, no. 2, pp. 65-73 (in Russian).
19. Golovina A.M. On the spectrum of periodic operators with distant perturbations. Matematika i matematicheskoe modelirovanie [Mathematics and Mathematical Modeling], 2017, no. 2, pp. 1-24. DOI: 10.24108/mathm.0217.0000063 (in Russian).
20. Borisov D.I., Golovina A.M. On the occurrence of resonances from multiple eigenvalues of the Schrödinger operator in a cylinder with scattering perturbations. Itogi nauki i tekhniki. Ser. : Sovremennaia matematika i ee prilozheniia. Tematicheskie obzory [Results of Science and Technology. Ser.: Modern Mathematics and its Applications. Thematic Reviews], 2019, vol. 163, pp. 3-14 (in Russian).
21. Borisov D.I., Konyrkulzhaeva M.N. On infinite system of resonance and eigenvalues with exponential asymptotics generated by distant perturbations. Ufa Mathematical J., 2020, vol. 12, no. 4, pp. 3-18. DOI: 10.13108/2020-12-4-3
22. Borisov D.I., Golovina A.M.. On finitely many resonances emerging under distant perturbations in multi-dimensional cylinders. J. of Mathematical Analysis and Applications, 2021, vol. 496, no. 2, art. no. 124809. DOI: 10.1016/j.jmaa.2020.124809
