CC BY
34
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2012
Математика и механика
№ 4(20)
УДК 532.5.013
А.Н. Ищенко, В.В. Буркин, И.М. Васенин, А.А. Шахтин
О ПОТЕРЕ УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЯ В КАВИТАЦИОННОМ ПУЗЫРЕ ПРИ ВХОДЕ В ВОДУ ЧЕРЕЗ ПРЕГРАДУ
Представлены математическая модель и пример решения задачи о потере устойчивости стержня, движущегося в жидкости в режиме кавитации. Задача исследовалась на основе подхода, предложенного впервые Эйлером при рассмотрении устойчивости нагруженного стержня.
Ключевые слова: кавитация, упругий стержень, устойчивость.
При движении в жидкости удлиненного затупленного осесимметричного тела с большой скоростью вокруг тела образуется кавитационный пузырь [1]. Поэтому, фактически, вся сила сопротивления жидкости оказывается приложенной к поверхности затупления. Величину силы сопротивления можно вычислить по экспериментальной формуле [1]
^ = 0,82£м(1 + ст)
8У 2
(1)
где - площадь затупления Миделя; 5 - плотность жидкости; V - скорость
стержня; ст = -
2(Ро -Ро)
8У 2
- число кавитации; Рш - давление на бесконечности; Р0
- давление в каверне.
Из-за силы сопротивления движение тела замедляется с ускорением:
а --—
(2)
где т - масса тела.
Если замедление всех частей тела происходит с одним и тем же ускорением а, то в произвольном сечении тела с координатой х возникает продольная сила —X, обеспечивающая замедление части стержня, находящейся правее указанной координаты (рис. 1).
F-ї
Рис. 1.
По закону Ньютона
Рх =- атх ,
где тх - масса тела, находящегося правее координаты х. Эта сила аналогична силам гравитации, действующим на тело, опертое на твердую поверхность.
т
I
о
х
Задача о потере устойчивости осесимметричного стержня в поле сил тяжести рассмотрена в [2] на основе подхода, предложенном впервые Эйлером.
При её решении рассматривается стационарное уравнение слабого изгиба стержня в отсутствии изгибающих сил
Е X 1 йх2 йх I—х йх ) , ()
пЯ4( х)
в котором 1 —--------- - момент инерции стержня в сечении х; Я(х) - радиус
4
стержня переменного сечения; Е - модуль упругости; —'х - введенная выше сила напряжения, действующая в сечении х; У(х) - малое отклонение стержня от положения равновесия.
В [2] уравнение (3) решалось с условием закрепления опертого конца (У — 0,У — 0). На свободном конце предполагалось отсутствие моментов и срезывающих сил, которые приводят к равенствам У" — 0, У— 0.
При отсутствии поперечных внешних изгибающих усилий решение уравнения (3) с названными граничными условиями всегда имеет тривиальное решение У(х) — 0 , соответствующее стержню, остающемуся прямолинейным под воздействием продольной силы. Это решение является устойчивым до тех пор, пока сжимающая сила — меньше некоторого критического значения —кр. При достижении величины усилия — — —кр решение задачи (3) становится не единственным.
На практике такая неединственность приводит к потере устойчивости.
В данном разделе методом Эйлера исследуется задача об устойчивости стержня при его входе в воду с большой скоростью через тонкую преграду. Эта задача является актуальной для изучения высокоскоростного движения тел в воде. При входе в воду метаемых тел с большой скоростью исследователи наблюдали деформацию их головной части [3] (рис. 2). Деформация может стать ограничением для высокоскоростного подводного метания и её причины заслуживают отдельного изучения.
Рис. 2
На первом этапе задача решалась для цилиндрического стержня в постановке, показанной на рис. 3.
В момент рассмотрения стержень 1 проникает через преграду 2 в водную среду 3. Задний конец стержня находится в отверстии преграды, которая препятствует его перемещению в направлении, перпендикулярном вектору скорости V : Ух={) = 0 . Кроме того, предположим, что стержень при малых отклонениях его формы может свободно поворачиваться в отверстии как на шарнире. Данное предположение позволяет поставить еще одно граничное условие У"=0 = 0 (см. [2]). На свободном конце стержня в отсутствие моментов и срезывающих сил примем, что У "=1 = 0, У х=1 = 0 .
Для цилиндрического стержня уравнение (3) принимает вид
ё 4У ёх 4
где р - плотность вещества. Оно имеет интеграл
а Зу
ёх
± (і-х)£.=0,
ЕІ ёх ёх
.рол^ ± (і-х)ау = с. ЕІ ёх ёх
(4)
Полагая х = I, с учетом условия У "=1 = 0 находим, что С = 0 . Введем новую
независимую переменную
х = -
новую функцию и =
ёУ
ё
и обозначим
р апЯ0 ЕІ
= О . Для функции и получим
ё 2и ёх 2
Общее решение (5) имеет вид [4]
+ О(1 -х)и = 0 .
и = й,3
а/до + /_(£)
3 3
где
С= "2 [б(1 - х)3 ] 2 ; / 1 (О, /1 (С) - функции Бесселя.
Г
х
і
Граничные условия Yx=l — 0, Y'— — 0 для функции u(Z) переходят в условия
du
dx
і
— uZZ 3 — 0 при Z 0 — -4q
du
x—0
и
3 dx
і
— uZZ3 — 0 при Z — 0. Условие
УX'=l = иХ=1 = 0 для функции u выполняется автоматически в силу (5). При ^ ^ 0
— 3
и^ С3 = Р---------. Поэтому, для того чтобы удовлетворить граничному условию в
г(1+^
точке £ = 0, нужно положить р = 0. Следовательно, функция и (О имеет вид
1
и (О = аС3 3_1(С).
3
Подставляя сюда разложение 3 ДО в ряд по £ , найдем
3
(_1к )23
к=0 к! г (к +1 _ 3) ^ 2
Вычисляя производную и' (0 и подставляя ее в граничное условие при X = 1, получим равенство для нахождения величины 0:
С
и. к 0)=£ (_1к >23 1 Г5° 12к-1= 0. (6)
к = (к _ 1)! Г (к +1 _ 3)V 2 У
Ряд, стоящий в левой части (6), очень быстро сходится. При его вычислении на ПК было найдено
с 0 = 3,3806.
Выражая величину Q через и подставляя в Q значение ускорения а из формул (1) и (2), найдем критическую величину скорости V , при которой можно ожидать потерю устойчивости стержня:
'■р ЧІZ ЧCEE т (7)
В качестве примера рассчитаем критическую скорость медного стержня радиуса R = 1,7 мм и длиной ЗЗ мм в воде. Полагая CR — 0,83, p —1000 кг/м3,
E — 0,9 • 1011 Па , найдем Укр —1119 м/с.
Рассмотрим далее при тех же граничных условиях устойчивость стержня, имеющего форму усеченного конуса высоты l с радиусами оснований R0 и r0 . Для такого конуса момент инерции
x—1
J — П R4
J — 4 Ro
і - (і -^)(і - x) R0
а сила
Fx —
anR^l 3p
E
0 \2
(і - x) - (і --f)(1 - x )2 + (і--0-)
(і - x )3
(8)
Для таких функций искать аналитическое точное решение уравнения (3) весьма затруднительно. Поэтому, авторами для нахождения критических параметров в случае усеченного конуса применялся приближенный метод Бубнова - Галеркина. С целью обоснования применимости метода Бубнова - Галеркина к решению поставленной задачи первоначально он был опробован на решении задачи для цилиндрического стержня, решение которой приведено выше.
В качестве линейно-независимых базовых функций были выбраны функции uk (х) = cos кп(1 - х), автоматически удовлетворяющие граничным условиям u'(0) = 0, u'(1) = 0. Приближенное решение задачи для уравнения L[u] = 0, где L[u] = u'' + Q(1 - x)u , разыскивалось в виде отрезка ряда Фурье
u = 2 a0 + a cos п(1 - x) + a2 cos 2n(1 - x).
После подстановки этого отрезка в (5) для нахождения коэффициентов aг использовалась система функционалов
IL
2
Z aiui
L І — 0
ukdx — 0, k — 0,1,2 .
(9)
После вычисления интегралов (9) и приведения подобных была получена система однородных линейных уравнений
a0 +—a1 — 0, п
10 П- 01 + fQ - -п2J a-=0,
4
і Л1Q-П-
ю Q
а +----— а9 — 0 .
.4 п4 Г 2 ] 1 9 п2 2
Из условия разрешимости этой системы для значения Qкр получилось квадратное уравнение:
і 2б2 і ' Q- f З п2 іб ' Q 4 0
Qкp-ІТ7П-------7 IQro +п — °.
Был взят его меньший корень Qкр — 25,664. Так как ^0 — '33^JQKр, то получим
<^0 — 3,3801. Это число только в пятом знаке отличается от ранее найденного точного значения ^0 — 3,3806 .
4
Полученный результат послужит основанием для применения метода Бубнова-Галеркина к решению уравнения (3) с коэффициентами (8) для конического
йУ
стержня. В результате однократного интегрирования и замены — = и уравнение
йх
(3) было приведено к виду
d
dx
і - (і-^Ц(і - x)
. R .
du
dx
+Q
(і - x) - (і--f)(1 - x )2 + (і --f)2
(і - x )3
Ro
R
и — 0,
(10)
где Q —
panR-l3
E
f nRo V
Задача для уравнения (10) с граничными условиями и'(0) — 0, и' (1) — 0 решалась методом Бубнова - Галеркина с теми же базисными функциями, которые применялись при решении задачи для цилиндрического стержня. При этом интегралы, входящие в систему (9), вычислялись численно. Критическая величина Q , как и в первом случае цилиндрического стержня, находилась из условия раз-
решимости линейных уравнений для коэффициентов аг-. Для случая — — 0,3 бы-
Я0
ла найдена величина Qкр — 2,760.
Ускорение а находилось из (2) для силы Е из (1) и массы усеченного конуса
m — pnR01
і-(і-А.)+1(1 -ІЦ2
Ro 3 Ro
После подстановки a в выражение для Q было получено
2СВ 5u-Pl2 I
^R кр
Qp =-
R0
2
ER02
0 \2
і - (і --^) + - (і --0-)
Ro
Ro
Из этого соотношения находилась критическая скорость
и—
кр
Q
кр
2
E
і - (і - ^)+^(1 - -Г^)2 Ro r Ro
Ro2
Cr 5
rol
(11)
Для медного стержня с г0 — 0,00075 м , Я0 — 0,0026 м, Е — 9 -10 Па , 5 — 1000 кг/м3, Ск — 0,83 по формуле (11) получим икр — 1290 м/с.
Проведенное исследование объясняет экспериментальные результаты по деформации стержней при их входе в воду через преграду со скоростями, превышающими 1000 м/с.
ЛИТЕРАТУРА
1. Савченко Ю.Н. Моделирование суперкавитационньїх процессов. // Прикладна гідромеханіка. 2000. № 2(74). С. 75-86.
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1987. 246 с.
3. Kirschner Ivan. Results of selected experiments involving supercavitating flows // High Speed Body Motion in Water. RTO EN, Belgium, 2001. P. 15-1 - l5-14.
4. Камке 3. Справочник по обьжновенньїм дифференциальньїм уравнениям. М.: Физмат-лит, 1961. 703 с.
Статья поступила 26.10.2012 г.
Ishchenko A. N., Burkin V. V., Vasenin I. M., Shakhtin A. A. ON THE LOSS OF STABILITY OF A ROD IN A CAVITATION BUBBLE WHEN ENTERING INTO WATER THROUGH A BARRIER. A mathematical model and an example of a solution for the problem about the loss of stability of a rod moving in a liquid in the cavitation mode are presented. The problem was considered based on the approach proposed for the first time by Euler when considering the stability of a loaded rod.
Keywords: Cavitation, elastic rod, stability
ISHCHENKO Alexander Nikolaevich (Tomsk State University)
E-mail: ichan@niipmm.tsu.ru
BURKIN Victor Vladimirovich (Tomsk State University)
E-mail: ichan@niipmm.tsu.ru
VASENIN Igor' Mihailovich (Tomsk State University).
E-mail: akrainov@ftf.tsu.ru
SHAKHTINAndrey Anatolyevich (Tomsk State University).
E-mail: shahtin@sibmail.com
