CC BY
12
УДК 532.61.096
__ и и
потере устойчивости равновесия двух жидкостей в цилиндре при наличии границы раздела
Евгений П. Магденко*
Институт математики, Сибирский федеральный университет, Свободный, 79, Красноярск, 660041;
Институт вычислительного моделирования СО РАН, Академгородок, 50/44, Красноярск, 660036,
Россия
Получена 25.04.2012, окончательный вариант 25.06.2012, принята к печати 01.08.2012 Рассмотрена задача о возникновении конвекции в двухслойной цилиндричесой системе. Для ее решения был применен метод разделения переменных. В результате получено однородное дифференциальное уравнение шестого порядка с постоянными коэффициентами со сложными граничными условиями. Для случая, когда система находится в состоянии невесомости, а возмущения монотонные, получено аналитическое выражение для критических чисел Марангони. Доказано, что с увеличением радиуса цилиндра они стремятся к известным числам Марангони для системы двух плоских слоев.
Ключевые слова: поверхность раздела, невесомость, критические числа Марангони.
1. Постановка задачи
Пусть цилиндрический контейнер заполнен двумя несмешиваемыми покоящимися жидкостями с общей поверхностью раздела. Обозначим через Пх = (0,а) х (0, 2п) х (—0) и П = (0,а) х (0, 2п) х (0,^2) области, занятые жидкостями (рис. 1).
Рис. 1. Схема области конвекции
Равновесное состояние системы в рамках модели Обербека-Буссинеска в цилиндрической системе координат r, z при отсутствии силы тяжести описывается уравнениями
Vpj = 0, (Г)
д2©. 1 д©. 1 д2©, д2©.
~дТ2 + + Г2 = 0, (2)
* mag_djin@mail.ru © Siberian Federal University. All rights reserved
где pj — давление, а 0j — температура ^’-го слоя жидкости, j = 1, 2. На основаниях и боковых стенках цилиндров задается температура
01 (г, р, -Нх) =001 (г, р), 02 (г, р, ^2)=©02 (г, р) , (3)
0j (а, р, х) = 0у (р, х). (4)
На границе раздела Г (х = 0) имеем условия
К = 0, (5)
0 0 к д0х , 502
01 = 02' *■-&■ = к2~эГ' (6)
( Р2 + Р1) п = Уга, (7)
где п — единичный вектор нормали к Г, направленный из Пх в П2; Уп — скорость перемещения поверхности раздела Г в направлении п; Уг — поверхностный градиент; kj — коэффициент теплопроводности; (5) — кинематическое условие; уравнения (6) представляют собой равенство температур и потоков тепла, а (7) — баланс всех сил и кинематическое условие; предполагаем, что поверхностное натяжение линейно зависит от температуры а = а (0) = <г° — ж0, где в силу равенства (6) 0 = 0х =02, а значит,
аг = —Ж0Г, аф = —ж0ф. (8)
Имеем п = (0,0,1), ег = (1,0,0), еф = (0,1,0), поэтому уравнение (7) примет вид
(р1 — Р2) (0,0,1) = ахег + «2еф = (ах, «2, 0), а это выполняется тогда и только тогда, когда
Р1 = Р2, «1 = «2 = 0, (9)
ах = У а • ег = аг, а2 = У а • еф = аф. (10)
Таким образом, с учетом (8) —(10) следует, что при х = 0 0ф = 0Г =0. Далее предполагаем, что и внутри цилиндров это равенство верно, а в (3), (4) функции 001, 002, 0j не зависят от г, р. Тогда из уравнений (2) получим представления для температур
0j = 0j (х) = а^х + bj. Коэффициенты а^,bj находятся из граничных условий (3) — (5):
к (002 — 001) 002 — 0'
01
а1 — -------------, а2 — ,
Н2 + кН1 Н2 + кН1
кН1002 + Н2001 11/1
Ь1 = Ь2 =-------- ——----------, к = к2/к1. (11)
Н2 + кН1
2. Возмущенное решение
Рассмотрим осесимметрическую задачу (1) — (7). Выберем в качестве масштаба длины, времени, скорости, давления и температуры соответственно Н2, Н2/^2, р02^|/Н2, а2Н2. Тогда уравнения для монотонных возмущений в безразмерных переменных в областях
Пі = (0, 1/а) х (—Н, 0) и П2 = (0,1/а) х (0, 1), где а = Н2/а, Н = Ні_/Н2, примут вид
-°пиз [гг + 1 и + и — —
і І7оГ^ IV оГ “Г IV 022 О
-°2^2 \ Г ^ Г2
Р°0 1
Р°2^2
Г
ип
и> +------------------------------+ = 0,
Г
^ №, = -П
кп Х2Рг
ТПГГ + ТТ> + ТП22
(12)
(13)
(14)
(15)
где Pj, Tj, и — возмущение основного решения pj, 0^-, и- = 0; р0-, Vj, х- соответственно
плотность, кинематическая вязкость и коэффициент температуропроводности ^й жидкости; Рг = ^2 /Х2 — число Прандтля.
Граничные условия на поверхности раздела таковы:
Ті + кЖ = Т2 + ж,
иі = и2,
Рі — Р2 +2
д^2 1 д^
дг
-°^ дг
( Жгг + - Жг
Г
д^2 , дГ2 1 ^і , дил = м ((ЛГ , Т )
"дТ + "д7 — + ~дї) = — РГ(кЖг + Тіг):
м [ ^ — -1-^) = Мі рг (и2г + ^) ,
\ дг -°^ дг у у г у
^і =0,
(16)
(17)
(18)
(19)
(20) (21)
где р0 = ро2/ро1; V = ^2/^1; N — отклонение поверхности раздела от плоскости; №е = аН2/ро2^2 — число Вебера; М = жа2Н2/р0^2х2 — число Марангони; М1 = ж2Ь2/к2ро2^. Параметр М1 характеризует энергию, затрачиваемую на деформацию поверхности раздела.
На основаниях цилиндра выполняются условия прилипания и возмущения температур равны нулю. На боковых стенках контейнера справедливо условие просачивания жидкости по нормали к ним.
Замечание 1. Общий поток жидкости через всю боковую поверхность цилиндра равен нулю.
Задача (12) — (21) допускает разделение переменных, именно
1Д (г) О (г),
Г
1
^ =---------Дг (г) Р, (г),
Т = 1 Дг (г) ап (г),
где
Д = Дп (г) = гJl (тг) здесь т = а5п, а 5п, п = 1, 2... есть решение уравнения
і (5) = 0.
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
Его первые корни равны [1] 5і = 2,4048255577, 52 = 5,5200781103, = 8,6537279129,
54 = 11, 7915344391, 55 = 14, 9309177086. Из (25), (26) выводим равенство Дпг (а) = 0. Таким образом, условия на боковой поверхности для касательной скорости и температуры
заведомо выполнены (Ж- (1/а, х) = 0, Т- (1/а, х) = 0), а нормальная скорость равна
и- ( «,х) = 71 (5п) Р-* (х).
Используя формулы (22) — (24), получим обыкновенное дифференциальное однородное уравнение шестого порядка с постоянными коэффициентами Ь3С- = 0, где Ь = й2/йх2 — т2. Оно интегрируется, и решение таково:
С = (8тх2 + 2т (я-4 — ё)х+—°5)сИ тх+
+ (8т2х2 + 2т (я-3 — 4т2)х+—-6)8Ь mх, (27)
где —-*, г = 1, 2, ..6, j = 1, 2 — некоторые неизвестные постоянные. Функции Р- примут вид
(28)
Р- = — к- X- к2Х2Рг
—— х + —о3 ) сИ тх + ( —— х + —о4 ) вИ тх
2т 2т
Условия на поверхности раздела, с учетом (27) — (28), упрощаются:
— равенство температур С1 (0) = С2 (0) + (1 — к) N дает
—15 — —25 + (к — 1) N0; (29)
— равенства скоростей Р1 (0) = Р2 (0), Р^ (0) = Р22 (0) приводят к соотношениям
—13 — кх—23 = 0, х = Х2/Х1; (30)
2т—12 + т—14 — кх ^2т—22 + т—24^ =0; (31)
— динамическое условие (Р^^ — 3т2Р12) — (Р2222 — 3т2Р22) = т4Же^0 примет вид
——14 + кр^х—24 + 1 кр0 vхmPгWeNo = 0; (32)
— условие касательных напряжений т2Р2 + Р2х2 — (т2Р1 + Р122) = Мт (к^0 + С1)
—11 + 2т2—13 — кр^хт2М—15 — кр^х—21 — 2кр^хт2 —25 — к2р^хт2 М^0 = 0; (33)
— условие теплового контакта М (^2^ — к= М1РгР22
М М Мт 1 М М
— 3 —12 — —--—14-----;— —16 + ~— ( М1 — ■;--2 ) —22 + ( О-+ М1т ) —24 +
8кт3 2кт к 2т 4т2 2т
+ Мт—26 = 0; (34)
— кинематическое условие Р2 =0
—23 = 0. (35)
Граничные условия на нижнем основании цилиндра для скоростей и температуры Р1 ( —Н) = Р1х (—Н) = 0, С1 ( —Н) = 0 примут вид
Н н
-——11 — -——12 + —13 — *1—14 = 0 *1 = ^ т— (36)
2т 2т
— — ( Н +--) —11 + — ( Н*1 +--) —12 — т*1—13 + т—14 = ° (37)
2 т 2 т
Л- (- — ^ —11 + -Н2 Г1 — Н*Л —12 + ^ —13 — 7^—14 + —15 — *1—16 = 0. (38)
8т2 т 8т2 т 2т 2т
На верхнем основании выполняются следующие условия Р2 (1) = Р2^ (1) = 0, С (1) = 0:
—21 + -— —22 + —13 + *2—24 = 0, *2 = Ш т, (39)
2т 2т
1 ( 1 + — ) —21 + 1 (*2 + — ) —22 + т*2—23 + т—24 = 0, (40)
2 т 2 т
д—2 (1--^ —21 + о—2 (*2---------^ —22 + —23 + 7;— —24 + —25 + *2—26 = 0. (41)
8т2 т 8т2 т 2т 2т
Полученная система из условий (29) — (41) будет являться алгебраической относительно постоянных —-*, г = 1, 2, ..6, j = 1, 2. Нетривиальное решение системы уравнений существует тогда и только тогда, когда ее определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, равен нулю. Это дает возможность найти критические числа Марангони. Аналитические вычисления в системе Мар1е показывают, что
4т2Рг (А — к^^1^2М1 ( т2- 52)( т2 н2 — 52))
Рг£ — ДШе-1 , ( )
где
А = 2 (к^1С2 + 52С1) (т3Н2/ + т3Н — т2^1С1 — т2Н2/52С2 — тН522 — т/52 +
+М^2^2С + 51^1^1) ; (43)
£ = к/ (т5Н3х^2С1 — т3Н3х^3С1 + т353С2 + т2Н2^3^1 — т5Н251С2 — т2х5352 + +Х^3523 — 5353) ; (44)
Б = 8кт3 (51С2 + 52С1) (т2Н2/ — т2Н2 + Н25| — /52) ; (45)
/ = Po2V2/рolVl; 51 = вИ тН; С = сИ тН; 52 = вИ т; С2 = сИ т. (46)
Замечание 2. Если а — то, п — то таким образом, что т = £п-1/а — т0 = сопв*, то выражение (42) в точности совпадает с числом Марангони для контактирующих жидкостей в бесконечных слоях.
Для (42) получены следующие асимптотические формулы: при т0 —— то (использованы асимптотические выражения 51 — е т°^/2, С1 - ет°^/2, 52 - ет°/2, С2 - ет°/2)
М - 4(2(к +1)(м +1) — к/М0 т0; (47)
к/ (х — 1)
при х = 1 асимптотическая формула запишется в следующем виде:
М
2 (к + 1) (М + 1) — к/М1 е2т° - > 1
к/(Рг (т0 — 1)+8кт0Же-1) ’
2 (к + 1) (/ + 1) — к/М1 е2т°
16к2т0Же-1 (/ — 1)
- к / /М” 1 _ ,
-е2т°\ Н < 1
Н = 1 (48)
2(к + 1) (/ + 1) — к/М1 „2т°Ь
кН2 (/Рг (1 — т0-) — 8кт0^е
Замечание 3. Если / = 1 и х = 1, то поверхность раздела отсутствует. При
т0 — 0 (также 51 — т0- + т3Н3/6, С1 — 1 + т0 Н2/2, 52 — т0 + т0/6, С2 — 1 + т2/2)
М 2РгН (-/ +1)(-к + 1) 2 (49)
М — -----------=------------------т0; (49)
3к2 Же-1 (Н + 1)(Н2/ — 1) 0 у '
— если Н2/ = 1, то
8Рг (Нк + 1) к2Же-1 (Н — 1) (Н + 1)’
М — ,2„, ^; (50)
— при Н = 1 и / = 1 имеем
В случае недеформируемой поверхности раздела (Же = то) при т0 — 0 получим
М 64 (Н/ +1)(Нк + 1) -2; (52)
М — к/Н= (х-2 — 1) т0 ; (52)
если Н2х = 1, то
М 2304 (Н/ + 1) (Нк + 1) т-4 (53)
М — — к/Н2 (Н — 1) (Н + 1) "0 . (53)
Зависимость числа Марангони от геометрических параметров в случае однослойной жидкости
Предположим, что у нас имеется однослойная жидкость (-2 =0) с верхней свободной деформируемой границей, на которой задан теплообмен с окружающей средой. Равновесное состояние системы в рамках модели Обербека-Буссинеска в цилиндрической системе координат г, р, х при отсутствии силы тяжести описывается уравнениями (1), (2). На свободной
границе Г1 (х = 0) справедливы следующие условия [2]:
д 0
к1“дх--+ ^1 (01 — 0ой ) = ^ (54)
(Рой — Р1) п = У^с, К = 0, (55)
где п — единичный вектор нормали к Г1, направленный из П1; РП — скорость перемещения свободной границы Г1 в направлении п; 71 — коэффициент межфазного теплообмена; рой, 0ок — давление и температура окружающей среды; ^ — заданный поток тепла. Равенство (54) представляют собой условие теплового контакта, а (55) — баланс всех сил и кинематическое условие. На нижнем основании 0 (г, р, —-1) = 001 (р, х).
Выберем в качестве масштаба длины, времени, скорости, давления и температуры соответственно -1, -1^1, ро^2/Н2, а1-1. Рассмотрим осесимметрическую задачу (1), (2), (54), (55). Тогда для монотонных возмущений в безразмерных переменных в области ^1 = (0,1/а) х ( —1,0), где а = -1 /а, получим уравнения
Р1г = ( и1гг +-----и1г + и1££---------------2“ ) ,
^1
и1г +--------+ ^10 — 0,
г
= Рг (Т1гг + г" Т1г + Т10
(56)
(57)
(58)
(59)
Р10 = ^1ГГ + - ^1Г + Ж
На свободной границе выполняются следующие условия:
д^і ( 1
— Рі + 2 —— = W е І Жгг +— Жг
дг у г
д^і + дгі = М (ж + Т )
"дГ + ^7 = — РГ(ж + Тіг), Ті2 + Ві (Ті + N) = 0, Жі = 0,
(60)
(61)
(62)
(63)
где Же = ст-1/ро^2; Рг = Vl/хl; М = жа^/ро^хх; М1 = ж2бх/кхро^х; Вг = 71-1/^ -число Био. Условия на нижнем основании цилиндра для скоростей и температуры дают
рі ( —1) = Л* ( —1)=0, Сі ( —1)=0.
(64)
Для решения задачи (56) — (64) используем формулы (22) — (24) (7 = 1). В результате получаем обыкновенное дифференциальное однородное уравнение шестого порядка с постоянными коэффициентами (Ь3Сі = 0, где Ь = й2/Лг2 — т2, т = а5п), решение которого имеет вид (27) (7 = 1). Функция такова:
ґі = — РГ
г + ЯіП еЬ тг + ( г + Ям ) вЬ тг
2т 2т
(65)
где —1*, г = 1, 2, ..6 — некоторые неизвестные постоянные.
Используя условия на свободной границе (60) - (63), с учетом (27), (65) получим:
— динамическое условие 3т2Рх0 — Рь^ = т4Же^0 —
—14 + тЖеРг^ = 0;
— условие касательных напряжений т2Рх + Рх00 = т2-М (N0 + Сх) —
—11 + 2т2 —13 — т2М—15 — т2М^0 = 0;
— условие теплового контакта Сх0 + Вг (Сх + N0) = 0 —
-—3 —12 + —— —14 + Вг—15 + т—16 + Вг^0 = 0;
8т3 2т
— кинематическое условие =0 —
Ніз = 0.
Граничные условия (64) примут вид
-— Нц — -— Ні2 + Ні3 — *іНі4 = 0, *і = їЬ т
2т 2т
— 1 ( 1 + — ) Ніі + 1 (і і + — ) Ні2 — тііЯіз + тНі4 = 0,
2 т 2 т
О—2 1----1 Ніі + о—2 (-------Ні2 + о— Ні3 — о— Ні4 + Ні5 — ^іНі6
8т2 т 8т2 т 2т 2т
0.
(66)
(67)
(68)
(69)
(70)
(71)
(72)
Полученная система из условий (66) - (72) также будет являться алгебраической относительно постоянных. Нетривиальное решение системы уравнений существует тогда и только тогда, когда ее определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных,
равен нулю. Это дает возможность найти критические числа Марангони. Аналитические вычисления в системе Мар1е показывают, что
8m (BiSi + mCi) (m — SiCi) Cm3 — Sf — 8Cim3 (PrWe)~
где 5х = вИ т; Сх = сИ т.
Замечание 4. Если а — то, п — то таким образом, что т = ^пНх/а — т0 = еопв*, то
выражение (73) в точности совпадает с числом Марангони для бесконечного слоя [2].
Для (73) найдены следующие асимптотические формулы: при т0 — то, 5х — ет°/2, Сх — ет°/2
М — 8т2 (74)
при т-0 — 0, 5х — т-0 + т3/6, С1 ' — 1 + т0/2,
М — 24 (Вг + 3). (75)
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю В. К. Андрееву за постановку задачи и ценные советы.
Работа выполнена при поддержке интеграционного проекта СО РАН №38 и проекта РФФИ №11-01-00283.
Список литературы
[1] М.Абрамовица, И.Стиган Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами, М., Наука, 1979.
[2] В.К.Андреев, В.Е.Захватаев, Е.А.Рябицкий. Термокапиллярная устойчивоть, Новосибирск, Наука, 2000.
The Loss of Stability Equilibrium between Two Liquids in Cylinder the Presence of Interface
Eugeny P. Magdenko
The arising convection problem in a two-layers cylindrical system was considered. To seek for it solution the method of variables separation was used. As result obtained the homogeneous differential equation of sixth order with constant coefficients of the complicated boundary conditions. For the case of weightlessness and the monotonic disturbances the analytical expression for the critical Marangoni numbers were found. It is proved that with increasing radius of the cylinder, these numbers tend to well-known Marangoni number for a system of two flat layers.
Keywords: interface, weightlessenss, critical Marangoni number.
