О построении тригонометрических сплайнов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519 Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2004, вып. 2

И. Г. Бурова О ПОСТРОЕНИИ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ*

В данной работе на равномерной сетке узлов построены непрерывно дифференцируемые тригонометрические сплайны первого порядка и рассмотрена некоторая новая интерполяционная задача, при этом использован прием работы [1]. Непрерывные тригонометрические сплайны на достаточно широком классе существенно неравномерных сеток были построены автором ранее (см., напр., [2]). Отмечено, что предлагаемые тригонометрические сплайны связаны с известными квадратичными полиномиальными B-сплайнами [3] простым соотношением.

1. Пусть функция / € С 1(Д1) задана в узлах равномерной сетки {ху}, ху = ]к,

2 = 0, ±1, ±2 ..., к > 0, ... < х^_1 < ху < Ху+1 < ...

Можно построить решение интерполяционной задачи Лагранжа с помощью непрерывных минимальных интерполяционных тригонометрических сплайнов (см., напр. [2])

(х)

2

2

ж —

ЭШ-8111-

Жо—Ж7- + 1 . Жо—Жо + 2 '

эт 3 23+ эт 3 23+ 0, х€ [ху-1,ху+2],

^х €€ [хх у—1, ^х у), х € [ху, ху+1), х € [ху+1, ху + 2 ],

(1)

построив выражение

/(х) =

Е

3 = к—1,к,к+1

/ (ху )шу (x), х € [ху ,ху+1 ^

(2)

обладающее свойством ](х) — /(х) = 0, если f = 1, вш(х), ео8(х).

Базисные сплайны (1) на промежутке [ху ,ху+1 ] получены из аппроксимационных соотношений

Шу — 1 (х) (х) + Шу + 1 (х) = 1,

8ш(ху— 1 )шу—1 (х) +8ш(ху )шу (х) + 8ш(ху+1 )шу+1 (х) = 8ш(х), ео8(ху—1 )шу—1 (х) +ео8(ху )шу (х) + ео8(ху+1 )шу+1 (х) = еов(х).

Рассмотрим теперь систему уравнений более сложного вида относительно (х) с параметрами с01, с10, с02, с20

Шу — 1 (х) (х) + Шу+1 (х) = 1,

в1п(ху-—1 )шу—1 (х) + 8ш(ху- )шу (х) + в1п(ху+1 )шу+1 (х) =

= с10 эт(х) + с01 еов(х), ео8(ху—1 )шу— 1 (х) +ео8(ху )шу (х) +ео8(ху+1)шу+1(х) = = с02 вт(х) + с20 еоб(х).

(3)

* Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты 01-01-00336, 01-01-00398). © И. Г. Бурова, 2004

2

2

2

При значениях параметров co2 = — coi = cos(h/2) sin(h/2), cio = C20 = cos2(h/2), на промежутке [xj, xj+i) из (3) находим

Uj(x)

cos(h) — cos(x — jh — h/22) cos(h/2) (cos(/i) - 1) '

cos(x — jh — h) — 1 cos(x — jh) — 1 =---' ^i+H1) =

2(cos(h) — 1)

2(cos(h) — 1)

Нетрудно получить формулу базисного сплайна

^Х €€ [[X 3 — 1, ^Х 3 ),

х € [х з, хз+1),

Uj (ж)

cos (ж—jh^h) — 1 2(cos(/i)-l) '

cos(h) — cos(x—jh—h/2) cos(/i/2) (cos(ii)-l) '

cos(x—jh—2h) — l г и

2(COs(fe)-l) ' Ж Pj+b

0, Ж </ [xj-i,xj+2].

(4)

Введем функцию си(х) = + 3Н/2). Нетрудно видеть, что виррш(х) = [х—3/2, Х3/2]. Функция ей(х) —четная. При Н = 1 имеем

2Q/2+3/4) sin2(l/2) '

;(x) = <

x е [—3/2, —1/2),

x е [—1/2,1/2),

cos(l/2) cos(cc) — cos(l) 2 sin2 (1/2)

^(v'f, ж € [1/2, 3/2], 0, xe [—3/2, 3/2],

Нетрудно видеть, что ий(х) —непрерывно дифференцируемая функция. При х € [1/2, 3/2] значение выражение ий(х) убывает от 1/2 до 0, а на промежутке [—3/2, —1/2] — возрастает от 0 до 1/2. Отметим, что на равномерной сетке формулы рассматриваемых тригонометрических сплайнов с точностью до 0(Н2) совпадают с фомулами полиномиального базисного B-сплайна ([3], с. 25) в следующем смысле. Полиномиальные квадратичные В-сплайны на равномерной сетке могут быть заданы формулой

1

2 h2

(^x ^xj—1) , ^x ее [xj—1, ^xj),

^(x) = <

2 h.(X X3) ~h?(X xj) > x ^ lxj>xj+1); \ - ±(x -Xj+1) + 2^2 (ж -Xj+1)2] x e [xj+1,xj+2],

0, xe[xj—i,xj+2],

которую преобразуем к виду

т--

полагая у(£Н + jН) = й(^). 10

fi(t+l)2, t G [—1, 0),

i+t-t2, te [0,1), i-(t-l) + i(t-l)2, te [1,2], 0, xe[—1,2],

Нетрудно видеть, что подставив х = ЬН + ]Н в правую часть (4) и разложив в ряд в окрестности Н = 0, имеем

±(t + l)2+0(ft2), i € [-1,0),

w(t) =

_ j 2 +t -t2 + 0(h2), te [0,1), 2(t- 2)2+ 0(h2), i € [1,2],

\(t — 2)2 + 0(h2) ,0, ж / [-1, 2].

Сравнивая с предыдущей формулой, заметим, что ^ — (t — 1) + i(t — l)2 = i(t — 2)2. Отметим, что квадратичные полиномиальные В-сплайны могут быть получены из ап-проксимационных соотношений

Vj—1(x) + <Pj (х) + Vj+i (х) = 1,

h

Xj-iifij-iix) + Tjifijix) + xj+1ifij+1{x) =

2 2 2 (l - ^i)^--i(x) + (l - + (l - =

х2 hx h2

~ Y + T ~ T'

которые представляют собой несколько первых членов разложения в ряд соотношений (3) в окрестности h = 0. Очевидно, что третье уравнение этой системы (с учетом первого) может быть записано в виде

h2

+x2jfj(x) + xj+iVj+i(x) =х2 -hx+ —.

Могут быть полезны следующие эквивалентные представления функции Wk (х), к = j — 1,j,j + 1 на промежутке [xj,xj+i). Пусть х = Xj + th, t G [0,1]. Обозначим

_ cos (th - h/2) cos(/i/2) - 1 sin (th - h/2)

2(cos(h) - 1) ' ^ 2sin(/i/2) '

Тогда на промежутке [0,1) имеем

шj (t) = 1 — 2а, wj+1(t) = а + в/2, wj—1(t) = а — в/2. (5)

2. На промежутке [хj ,xj+i) рассмотрим задачу интерполяции

f(xs) + a(h)J'(xs) = f (xs) + a(h)f '(xs), s = 0, 1, 2 ...,

где

f (х) = VkШк(х), (6)

k=j-1,j,j+1

Wk(х) —базисные функции, vk = f (xk) + a(h)f'(xk), а a(h) = tg(h/2). Лемма. Выполняются следующие соотношения

У^ шь(х) — 1 = 0, k=j—i ,j,j +i

У sin(xk )wk (х) + a(h) ^^ cos(xk )wk(x) — sin(x) = 0, k=j—i,j,j+i k=j—i,j,j+i

У cos(xk )wk(x) — a(h) ^^ sin(xk )wk (x) — cos(x) = 0. k=j—i,j,j+i k=j—i,j,j+i

Доказательство. Первое равенство очевидно ввиду первого аппроксимационного соотношения (3).

Ввиду второго аппроксимационного соотношения (3) и соотношений между параметрами cío = С20, co2 = —coi левую часть второго утверждения леммы можно переписать в виде

sin(x) — c10 sin(x) + c02 cos(x) — a(h)c10 cos(x) — a(h)c02 sin(x). Отсюда, подставляя значения параметров, получаем

sin(x) — c10 sin(x) + c02 cos(x) = sin(x) — cos2 (h/2) sin(x) + 1/2 sin(h) cos(x) = = sin(x) sin2(h/2) + sin(h/2) cos(h/2) cos(x) = sin(h/2)[sin(x) sin(h/2) + cos(h/2) cos(x) =

= sin(h/2) cos(x — h/2).

А так как

a(h)c10 cos(x) + a(h)c02 sin(x) = sin(h/2) cos(h/2) cos(x)+ + sin2(h/2) sin(x) = sin(h/2) cos(x — h/2), то отсюда следует справедливость второго утверждения. Аналогично докажем третье утверждение. Имеем

cos(x) — ^^ cos(xk )wfc(x)+ a(h) ^^ sin(xk )шк (x) = k=j-i,j,j+i k=j-1,j,j+1 = cos(x) — c10 cos(x) — c02 sin(x) + a(h)c10 sin(x) — a(h)c02 cos(x).

Так как

cos(x) — c10 cos(x) — c02 sin(x) = cos(x) — cos2(h/2) cos(x) — sin(h/2) cos(h/2) sin(x) = = sin2(h/2) cos(x) — sin(h/2) cos(h/2) sin(x) = sin(h/2) sin(h/2 — x). a(h)c10 sin(x) — ac02 cos(x) = a(cos2(h/2) sin(x) — sin(h/2) cos(h/2) cos(x)) = = cos(h/2)(cos(h/2) sin(x) — sin(h/2) cos(x)) = = a(h) cos(h/2) sin(x — h/2) = sin(h/2) sin(x — h/2). Поэтому справедливо третье утверждение. Лемма доказана.

Таким образом, если f (x) тригонометрический многочлен первого порядка

f (x) = 1 + cos(x) + sin(x),

то

f' (x) = — sin(x) + cos(x),

поэтому

f (x) — f(x)=(l Mx)) +

k=j-1,j,j+1

+ (sin(x) — sin(xfc )wfc(x) — a(h) cos(xfc )wfc(x)j +

k=j-i,j,j+i k=j-i,j,j+i

+ (cos(x) cos(xfc )uk(x)+a(h)^ sin(xfc )wfc(x)j .

k=j-i,j,j+i k=j-i,j,j+i Здесь слагаемые обращаются в ноль. Таким образом, предлагаемая аппроксимация обладает свойством точности на тригонометрических полиномах не выше первого порядка.

3. На промежутке [xj,xj+i) рассмотрим задачу интерполяции

f(xs)+b(h)f'(xs) = f (xs)+b(h)f '(xs), s = 0,1, 2 ..., (7)

где

1(х) =53

Ь=3—1,3,3+1

где фь(х) —квадратичные полиномиальные базисные функции, д/. = /(хь) + Ъ(Н)/'(хь), а Ъ(Н) = Н/2.

Заметим, что для решения интерполяционной задачи (7) с помощью квадратичных полиномиальных сплайнов справедлива следующая оценка.

Теорема. Пусть функция / € С3[хз—1 ,х3+1 ], тогда при х € [хз,хз+\]

\/(х) - ?(х)\ < Н3К/'Чо^х^, К « 0,221. Доказательство.

Имеем Е(х) = /(х) - /(х) = /(¿Н - Н)фз—1 (х) + /(¿Н)фз(х) + /(¿Н + Н)фз+1 (х) + Ъ(Н)/У Н - Н)фз—1(х) + /'(¿Нф(х) + /'(¿Н + Н)ф+ (х)) - /(х).

Разложив /(¿Н-Н), /(¿Н), /(¿Н+Н), /'(¿Н-Н), /'(¿Н), /'(¿Н+Н) в окрестности точки х по формуле Тейлора второго порядка с остаточным членом в форме Лагранжа и приведя подобные члены, получаем, что коэффициенты при /(х), /'(х), /''(х)/2 обращаются в ноль ввиду выполнения полиномиальных аппроксимационных соотношений. Действительно, коэффициент при /(х) равен фз—1(х)+фз(х)+фз+1 (х)-1 = 0. Коэффициент при

/'(х) равен (jН—Н—x)фз—1(x) + (jН—x)фз(х) + ^Н+Н-х)фз+1(х)+Ъ(Н)(фз—1 (х)+фз(х) +

Фз+1(х)^ = (¿Н-Н)фз—1(х) + (уН)ф>з(х) + (уН+ Н)фз+\(х) -х + Ъ(Н) = х- Н/2 -х + Н/2 = 0. Коэффициент при /''(х)/2 равен (¿Н - Н - х)2Фз—1 (х) + (¿Н - х)2фз(х) + (¿Н + Н -х)2Фз+1(х) + 2Ъ(Н)^Н - Н - х)фз—1 (х) + (¿Н - х)фз(х) + (¿Н + Н - х)фз+1 (х)^ = х2 - Нх + Н2/2 - 2х(х - Н/2) + х2 + Н(х - Н/2 - х) = 0. Поэтому при в, в1 € (¿Н - Н, х), £,£1 € (¿Н,х), С,С,1 € (х, ¿Н + Н) получаем

ВД = ~ Ь ~ х)^з-+ ~ х)\з(х) +

+ ™ О'Ь + Ь - *?4>э+Лх) + \ - н - х)2ф^1(х)+

~ х)2^(х) + + Н - х)2ф3+1{х)) .

Первые два слагаемые отрицательны, остальные — положительны; применив теорему о среднем, при в2,С,2 € [¿Н - Н^Н + Н] имеем

ад = (иь -ь- х)^з-Лх) + (эЬ, - х)3фз(х)^ +

+/'"&) + н- х)3Ф1+1(х) + ^ -к- х)2ф^{х) +

Отсюда

\П(Х)\ < 4||.Л1[Жз-1,Жз+1] тах -Н- х)3ф^1{х) +

3!

+ ^Н-х)3фз(х)\\/'"\\[ ] тах + ^—+

хЕ [Xз + 3!

+т2 ~h~ xfipj-i{x) + ^(jh - x)2tpj(x)+

+ h ~ x)2fj+i(x)) ■ На промежутке [xj, Xj+i] при t G [0,1] имеем x = jh + th, поэтому

\R(x)\ < \\f'"\\c[x-uXj+1]h3K,

где

K = ™o Ц (3! (t3^'(t) + (t + rfvi-iit))) + max (-(1 - tf<fj+i(t)+

так как ^j-1 (t) = 1/2 -1 +t2/2, щ(t) = 1/2 +1 -t2, (t) = t2/2, получаем X « 0,221. Теорема доказана.

4. Приведем результаты численного эксперимента аппроксимации некоторых функций с помощью рассматриваемых тригонометрических приближений f(x) задаваемых формулой (6) на промежутке [0,1] при шаге сетки h = 0,1 и для сравнения приведем

результаты аналогичных приближений f(x) квадратичными полиномиальными сплайнами

f (x) тахже[од] \f (x) - f(x)\ тахже[од] \f (x) - f(x)\

2 X2 0,00009 0

X3 0,0004 0,0003

4 X4 0,001 0,001

cos(x) 0 0,00004

cos(2x) 0,0003 0,0004

cos(3x) 0,0012 0,0013

cos(4x) 0,003 0,0031

Замечание. Аппроксимация (2) дает эффект погранслоя (ухудшения погрешности приближения) на первом сеточном интервале конечного промежутка интерполяции. Следующее приближение

f(x) =53 Vk Mx)

k=j,j+1,j+2

при a = — tg(h/2) имеет эффект погранслоя только на последнем сеточном интервале конечного промежутка интерполяции.

Summary

I. G. Burova. On trigonometric splines construction.

Trigonometric splines which are similar with well-known polynomial B-splines are constructed. Литература

1. Демьянович Ю. К. Биортогональная система для минимальных сплайнов и решения задач интерполяции // Докл. РАН 2001. Т. 377, №6. С. 739-742.

2. Бурова И. Г., Демьянович Ю. К. Теория минимальных сплайнов. СПб., 2000. 316 с.

3. Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций. М. 1980. 352 с.

Статья поступила в редакцию 23 сентября 2003 г.